Redresseurs monophasés commandés avec charges R et RLE (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire le fonctionnement d’un redresseur monophasé commandé avec transformateur à point milieu, pont mixte symétrique et pont mixte asymétrique. - Analyser les formes de tension et de courant aux bornes d’une charge résistive (R) ou résistive‑inductive (RLE). - Calculer les valeurs moyennes, efficaces, le facteur de forme, le facteur de crête et le ripple des tensions et courants de sortie. - Dimensionner les composants (thyristors, diodes, résistances, selfs) selon les contraintes de tension et de courant. - Appliquer les règles de sécurité électrique liées à la manipulation de thyristors et aux courants de forte valeur. **Prérequis** : - Lois de Kirchhoff, loi d’Ohm, concepts de tension efficace et moyenne. - Fonctionnement d’une diode de puissance et d’un thyristor (déclenchement, angle de retard α). - Notions de transformateur (rapport de transformation, point milieu). - Analyse de circuits RL en régime transitoire et permanent. --- ## Introduction contextualisée Dans les installations industrielles camerounaises (usines de transformation agroalimentaire, ateliers de soudure, stations de traitement d’eau), les redresseurs monophasés commandés permettent de convertir la tension alternative du réseau en tension continue réglable pour alimenter des moteurs à excitation, des électroaimants ou des systèmes de chauffage par résistance. Le transformateur à point milieu offre une galvanisation simple et économique, tandis que les ponts mixtes (symétriques ou asymétriques) permettent d’obtenir une meilleure utilisation du cycle de la tension réseau et de réduire les harmoniques. Maîtriser ces topologies est essentiel pour le technicien supérieur qui doit intervenir sur le montage, le réglage et la maintenance de ces équipements en respectant les normes de sécurité (décret du MINEE relatif à la sécurité des installations électriques). --- ## I. Leçon 10 – Redressement avec transformateur à point milieu ### A. Principe de fonctionnement Un transformateur à point milieu possède un secondaire en deux enroulements égaux (180° de déphasage). Deux thyristors (T1, T2) sont placés chacun en série avec un enroulement ; leurs cathodes sont reliées entre elles formant la sortie positive ; le point milieu du secondaire est relié à la sortie négative (ou à la masse). En déclenchant alternativement T1 et T2 avec un angle de retard α, chaque demi‑onde positive du réseau est redressée. > **>** *Formule de la tension instantanée au secondaire* : $v_{s}(t)=\sqrt{2}V_{rms}\sin(\omega t)$ pour l’enroulement 1 et $-\sqrt{2}V_{rms}\sin(\omega t)$ pour l’enroulement 2. ### B. Schéma électrique ``` ~~~~ ~~~~ | | | | T1 | T2 | | | | | | | | | | | +---|<|---+---|<|---+ ← Sortie continue Vdc (+) | | | +---+---+---+---+ ← Sortie continue Vdc (–) ou GND | RLE | GND ``` Le point milieu du secondaire est relié à la sortie négative. ### C. Analyse des formes d’onde #### Charge purement résistive (R) - Courant de chaque thyristor : $i_{T1}(t)=\frac{v_{s}(t)}{R}$ lorsque T1 est conducteur (α ≤ ωt ≤ π+α), sinon zéro. - Courant de charge : $i_{L}(t)=i_{T1}(t)+i_{T2}(t)$ (forme d’onde plein‑onde rectifiée). #### Charge RLE Le courant ne peut pas changer brusquement ; il présente une période de continuation lorsque la tension du secondaire devient négative mais que le thyristor reste bloqué jusqu’au prochain déclenchement. L’équation différentielle : $L\frac{di}{dt}+Ri=v_{s}(t)$ pendant la conduction, et $L\frac{di}{dt}+Ri=0$ pendant le blocage. > **>** *Condition de continuité du courant* : Le courant ne tombe à zéro que si l’angle de retard dépasse une valeur critique $\alpha_{c}$ donnée par $\cos\alpha_{c}= \frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}$. ### D. Valeurs moyennes et efficaces - Tension moyenne de sortie : $$ V_{dc}= \frac{2V_{m}}{\pi}\cos\alpha $$ où $V_{m}= \sqrt{2}V_{rms}$ est la valeur crête du secondaire. - Tension efficace de sortie : $$ V_{rms}= V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} $$ - Facteur de forme : $$ FF = \frac{V_{rms}}{V_{dc}} = \frac{\pi}{2\cos\alpha}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} $$ - Facteur de crête : $$ CF = \frac{V_{m}}{V_{dc}} = \frac{\pi}{2\cos\alpha} $$ - Ripple de tension (composante alternée RMS) : $$ V_{r}= \sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}} = V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}-\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\cos^{2}\alpha } $$ - Courant moyen (charge R ou RLE en conduction continue) : $$ I_{dc}= \frac{V_{dc}}{R} $$ ### E. Exemple chiffré Données : $V_{rms}=230\text{ V}$, $f=50\text{ Hz}$, $R=10\ \Omega$, $L=20\text{ mH}$, $\alpha=30^{\circ}$. 1. $V_{m}= \sqrt{2}\times230=325.3\text{ V}$ 2. $V_{dc}= \dfrac{2V_{m}}{\pi}\cos\alpha = \dfrac{2\times325.3}{\pi}\cos30^{\circ}= \dfrac{650.6}{3.1416}\times0.8660 = 179.4\text{ V}$ 3. $I_{dc}= V_{dc}/R = 179.4/10 = 17.9\text{ A}$ 4. $V_{rms}= V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} = 325.3\sqrt{0.5-0.08333+0.0689}= 325.3\times0.6969 = 226.7\text{ V}$ 5. Facteur de forme : $FF= \dfrac{V_{rms}}{V_{dc}} = \dfrac{226.7}{179.4}=1.263$ 6. Facteur de crête : $CF= \dfrac{V_{m}}{V_{dc}} = \dfrac{325.3}{179.4}=1.813$ 7. Ripple de tension : $V_{r}= \sqrt{226.7^{2}-179.4^{2}} = 138.6\text{ V}$ Vérification de la continuité du courant : $\omega L = 2\pi 50 \times 0.02 = 6.28\ \Omega$ $\alpha_{c}= \arccos\!\left(\dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\right)=\arccos\!\left(\dfrac{10}{\sqrt{10^{2}+6.28^{2}}}\right)=\arccos(0.847)=32.1^{\circ}$ Comme $\alpha=30^{\circ}<\alpha_{c}$, le courant reste continu. Puissance dissipée dans chaque thyristor (chute approximative $V_{T}=1,5\text{ V}$) : $I_{T,\text{moy}} = I_{dc}/2 = 8.95\text{ A}$ $P_{thy}= V_{T}\times I_{T,\text{moy}} = 1,5\times 8,95 = 13,4\text{ W}$ par thyristor. ### F. Consignes de sécurité - Vérifier l’isolement du transformateur avant mise sous tension. - Utiliser des dissipateurs thermiques adaptés aux thyristors (calcul de $P_{thy}=V_{T}\cdot I_{T,\text{moy}}$). - Ne jamais toucher les points actifs pendant le déclenchement ; porter des gants isolants. - Installer un disjoncteur différentiel de 30 mA en amont du redresseur. --- ## II. Leçon 11 – Redressement à pont mixte symétrique ### A. Principe Le pont mixte symétrique (ou semi‑contrôlé) comporte deux branches identiques : chaque branche contient soit un thyristor, soit une diode, disposés en opposition de façon à former un pont. Les anodes des thyristors sont reliés aux extrémités du secondaire d’un transformateur ordinaire ; les cathodes des thyristors se rejoignent pour former la sortie positive ; les cathodes des diodes se rejoignent pour la sortie négative (ou la masse). En déclenchant les thyristors avec le même angle α, on obtient un redressement plein‑onde où chaque demi‑onde du réseau est portée par un thyristor‑diode (thyristor conducteur, diode en roue libre dans l’autre branche). > **>** *Avantage* : Réduction du courant de crête dans les thyristors car la diode partage la conduction pendant la moitié du cycle. ### B. Schéma électrique ``` ~~~~ ~~~~ | | | T1 | T2 (thyristors) | | | | D1 D2 (diodes) | \ / | +---+---+ ← Vdc (+) | | +---+---+ ← Vdc (–) ou GND | RLE | GND ``` Les points de connexion du secondaire sont : extrémité gauche → anode de T1 / cathode de D1 ; extrémité droite → anode de T2 / cathode de D2. ### C. Analyse avec charge R et RLE #### Charge R Pendant l’intervalle où le thyristor T1 est conducteur (α ≤ ωt ≤ π+α), la tension aux bornes de la charge suit la forme du secondaire moins la chute de la diode (≈0,7 V, négligeable). Le courant est : $i(t)=\frac{v_{s}(t)}{R}$ #### Charge RLE L’équation différentielle est identique à celle du point milieu pendant la conduction du thyristor : $L\frac{di}{dt}+Ri=v_{s}(t)$ Pendant la période où le thyristor est bloqué, la diode de roue libre maintient le courant ; la tension aux bornes de la charge est approximativement nulle (chute de diode négligée) : $L\frac{di}{dt}+Ri=0$ > **>** *Courant moyen* (valable tant que le courant ne tombe pas à zéro) : $$ I_{dc}= \frac{V_{dc}}{R} $$ ### D. Formules de sortie - Tension moyenne de sortie : $$ V_{dc}= \frac{2V_{m}}{\pi}\cos\alpha $$ - Tension efficace de sortie : $$ V_{rms}= V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} $$ - Facteur de forme : $$ FF = \frac{V_{rms}}{V_{dc}} = \frac{\pi}{2\cos\alpha}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} $$ - Facteur de crête : $$ CF = \frac{V_{m}}{V_{dc}} = \frac{\pi}{2\cos\alpha} $$ - Ripple de tension (composante alternée RMS) : $$ V_{r}= \sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}} = V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}-\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\cos^{2}\alpha } $$ ### E. Exemple chiffré Données : $V_{rms}=230\text{ V}$, $R=15\ \Omega$, $L=10\ \text{mH}$, $\alpha=45^{\circ}$. 1. $V_{m}= \sqrt{2}\times230=325.3\text{ V}$ 2. $V_{dc}= \dfrac{2V_{m}}{\pi}\cos\alpha = \dfrac{2\times325.3}{\pi}\cos45^{\circ}= \dfrac{650.6}{3.1416}\times0.7071 = 146.5\text{ V}$ 3. $I_{dc}= V_{dc}/R = 146.5/15 = 9.77\text{ A}$ 4. $V_{rms}= V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} = 325.3\sqrt{0.5-0.125+0.0796}= 325.3\times0.6743 = 219.4\text{ V}$ 5. Facteur de forme : $FF= \dfrac{219.4}{146.5}=1.497$ 6. Facteur de crête : $CF= \dfrac{325.3}{146.5}=2.221$ 7. Ripple de tension : $V_{r}= \sqrt{219.4^{2}-146.5^{2}} = 163.3\text{ V}$ Vérification de la continuité du courant : $\omega L = 2\pi 50 \times 0.01 = 3.14\ \Omega$ $\alpha_{c}= \arccos\!\left(\dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\right)=\arccos\!\left(\dfrac{15}{\sqrt{15^{2}+3.14^{2}}}\right)=\arccos(0.978)=12.0^{\circ}$ Comme $\alpha=45^{\circ}>\alpha_{c}$, le courant serait discontinu pour une charge pure R ; toutefois la présence de la diode de roue libre prolonge la conduction, permettant un courant continu effectif. Puissance dissipée dans chaque thyristor (chute approximative $V_{T}=1,5\text{ V}$) : $I_{T,\text{moy}} = I_{dc}/2 = 4.89\text{ A}$ $P_{thy}= V_{T}\times I_{T,\text{moy}} = 1,5\times 4,89 = 7,3\text{ W}$ par thyristor. ### F. Consignes de sécurité - S’assurer que les diodes sont correctement polarisées (anode vers le secondaire, cathode vers la sortie). - Vérifier le refroidissement des thyristors (calcul de la puissance dissipée : $P_{thy}=V_{T}\,I_{T,\text{moy}}$). - Utiliser des fusibles rapides sur chaque branche pour protéger contre les courts‑circuits. - Ne jamais travailler sous tension ; couper l’alimentation et vérifier l’absence de tension avec un voltmètre avant toute intervention. --- ## III. Leçon 12 – Redressement à pont mixte asymétrique ### A. Principe Dans le pont mixte asymétrique, une branche comporte un thyristor en série avec une diode (branche commandée) ; l’autre branche comporte deux diodes en série (branche passive). Cette configuration permet de contrôler l’angle de conduction uniquement sur une demi‑onde, ce qui est utile lorsqu’on veut réduire les harmoniques tout en conservant une régulation de tension simple. > **>** *Particularité* : Seul le thyristor de la branche commandée influence l’angle α ; l’autre branche redresse toujours en plein‑onde. ### B. Schéma électrique ``` ~~~~ ~~~~ | | | T | (thyristor + diode) | | | | D1 D2 D3 D4 (diodes) | \ / \ / | +---+---+---+---+ ← Vdc (+) | | | +---+---+---+---+ ← Vdc (–) ou GND | RLE | GND ``` La branche supérieure (T‑D1) est commandée ; la branche inférieure (D2‑D3‑D4) est passive. Les points de connexion du secondaire sont : extrémité gauche → anode de T / cathode de D1 ; extrémité droite → anode de D2 / cathode de D3 (et D4 en série avec D2‑D3). ### C. Analyse avec charge R et RLE #### Charge R - Pendant la conduction du thyristor (α ≤ ωt ≤ π+α), la tension de sortie suit la moitié du secondaire moins la chute de D1. - En dehors de cet intervalle, la branche passive fournit une redressement plein‑onde (diodes D2‑D4) donnant une tension positive constante égale à la valeur crête du secondaire moins les chutes de diodes. - Le résultat est une forme d’onde à deux niveaux : un plateau élevé (quand la branche passive conduit) et une valeur réduite (quand le thyristor conduit). #### Charge RLE L’inductance lisse la transition entre les deux niveaux. L’équation différentielle s’écrit par morceaux : - **Intervalle 1 (thyristor conducteur)** : $L\frac{di}{dt}+Ri = v_{s}(t)-V_{D1}$ - **Intervalle 2 (thyristor bloqué)** : $L\frac{di}{dt}+Ri = v_{s}(t)-V_{D2}-V_{D3}-V_{D4}$ où $V_{Dx}\approx0,7\text{ V}$ (négligeable devant les centaines de volts). > **>** *Condition de continuité du courant* : Le courant ne tombe à zéro que si l’angle de retard dépasse une valeur critique $\alpha_{c}^{\prime}$ donnée par $$ \cos\alpha_{c}^{\prime}= \frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cdot\frac{1}{2} $$ (en raison du facteur 2 provenant de la branche passive qui fournit toujours une tension). ### D. Formules de sortie (approximation première harmonique) - Tension moyenne de sortie : $$ V_{dc}= \frac{V_{m}}{\pi}\left(1+\cos\alpha\right) $$ - Tension efficace de sortie : $$ V_{rms}= V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} $$ - Facteur de forme : $$ FF = \frac{V_{rms}}{V_{dc}} = \frac{\pi}{1+\cos\alpha}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} $$ - Facteur de crête : $$ CF = \frac{V_{m}}{V_{dc}} = \frac{\pi}{1+\cos\alpha} $$ - Ripple de tension (composante alternée RMS) : $$ V_{r}= \sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}} = V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}-\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2}(1+\cos\alpha)^{2}} $$ - Courant moyen (charge R ou RLE en conduction continue) : $$ I_{dc}= \frac{V_{dc}}{R} $$ ### E. Exemple chiffré Données : $V_{rms}=230\text{ V}$, $R=12\ \Omega$, $L=15\ \text{mH}$, $\alpha=60^{\circ}$. 1. $V_{m}= \sqrt{2}\times230=325.3\text{ V}$ 2. $V_{dc}= \dfrac{V_{m}}{\pi}\left(1+\cos\alpha\right)= \dfrac{325.3}{3.1416}\times(1+0.5)=103.5\times1.5=155.3\text{ V}$ 3. $I_{dc}= V_{dc}/R = 155.3/12 = 12.9\text{ A}$ 4. $V_{rms}= V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} = 325.3\sqrt{0.5-0.1667+0.0689}= 325.3\times0.6342 = 206.3\text{ V}$ 5. Facteur de forme : $FF= \dfrac{206.3}{155.3}=1.328$ 6. Facteur de crête : $CF= \dfrac{325.3}{155.3}=2.095$ 7. Ripple de tension : $V_{r}= \sqrt{206.3^{2}-155.3^{2}} = 135.8\text{ V}$ Vérification de la continuité du courant : $\omega L = 2\pi 50 \times 0.015 = 4.71\ \Omega$ $\alpha_{c}^{\prime}= \arccos\!\left(\dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cdot\dfrac12\right)=\arccos\!\left(\dfrac{12}{\sqrt{12^{2}+4.71^{2}}}\times0.5\right)=\arccos(0.466)=62.2^{\circ}$ Comme $\alpha=60^{\circ}<\alpha_{c}^{\prime}$, le courant reste continu. Puissance dissipée dans le thyristor (chute approximative $V_{T}=1,5\text{ V}$) : $I_{T,\text{moy}} = I_{dc}/2 = 6.45\text{ A}$ $P_{thy}= V_{T}\times I_{T,\text{moy}} = 1,5\times 6,45 = 9,7\text{ W}$ ### F. Consignes de sécurité - Vérifier que les diodes de la branche passive sont bien montées en sens inverse de la tension de blocage afin d’éviter les courants de fuite. - Mesurer la température des thyristors après une période de fonctionnement ; ne pas dépasser la limite spécifiée (souvent 125 °C pour les thyristors de puissance). - Utiliser des résistances de décharge (bleeder) en parallèle avec la sortie pour éviter les surtensions résiduelles lors de la coupure. - Toujours travailler avec un dispositif de coupure d’urgence (bouton d’arrêt) accessible. --- ## Synthèse du chapitre - **Transformateur à point milieu** : deux thyristors, $V_{dc}= \dfrac{2V_{m}}{\pi}\cos\alpha$, $V_{rms}= V_{m}\sqrt{\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}+\dfrac{\sin 2\alpha}{4\pi}}$, $FF= \dfrac{\pi}{2\cos\alpha}\sqrt{\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}+\dfrac{\sin 2\alpha}{4\pi}}$, $CF= \dfrac{\pi}{2\cos\alpha}$, courant continu si $\alpha<\alpha_{c}$ avec $\alpha_{c}= \arccos\!\left(\dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\right)$. - **Pont mixte symétrique** : même $V_{dc}$ et $V_{rms}$ que le point milieu, donc mêmes expressions de $FF$, $CF$ et $V_{r}$; le courant moyen est $I_{dc}=V_{dc}/R$ (en conduction continue) et la diode de roue libre rend la condition de continuité moins restrictive. - **Pont mixte asymétrique** : $V_{dc}= \dfrac{V_{m}}{\pi}(1+\cos\alpha)$, $V_{rms}= V_{m}\sqrt{\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}+\dfrac{\sin 2\alpha}{4\pi}}$, $FF= \dfrac{\pi}{1+\cos\alpha}\sqrt{\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}+\dfrac{\sin 2\alpha}{4\pi}}$, $CF= \dfrac{\pi}{1+\cos\alpha}$, $V_{r}= \sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}}$; condition de continuité $\alpha<\alpha_{c}^{\prime}$ avec $\cos\alpha_{c}^{\prime}= \dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cdot\dfrac12$. - Dans tous les cas, le facteur de forme et le facteur de crête dépendent uniquement de l’angle de retard α (à travers les expressions ci‑dessus). - Le dimensionnement des composants se fait à partir des courants moyens et des tensions de crête, en ajoutant une marge de sécurité (souvent 20 %). - Sécurité : isolement, protection contre les surintensités (fusibles rapides), refroidissement des thyristors, vérification de l’absence de tension avant intervention, port d’EPI appropriés. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Thyristor | Dispositif semi‑conducteur à quatre couches pouvant être déclenché par un courant de porte et restant conducteur jusqu’à ce que le courant descendant tombe en dessous du courant de maintien. | | Angle de retard (α) | Délai entre le passage par zéro de la tension du réseau et le déclenchement du thyristor, exprimé en degrés ou en radians. | | Point milieu | Connexion centrale d’un enroulement de transformateur divisant la tension secondaire en deux parties égales et opposées de phase. | | Pont mixte | Topologie de redressement comportant à la fois des thyristors et des diodes dans ses branches. | | Charge RLE | Charge composée d’une résistance (R) en série avec une inductance (L) éventuellement suivie d’une contre‑électromotrice (E) ; ici on considère uniquement R et L. | | Courant de maintien | Valeur minimale du courant anode‑cathode nécessaire pour maintenir le thyristor dans l’état conducteur après déclenchement. | | Facteur de forme (FF) | Rapport entre la valeur efficace et la valeur moyenne d’une grandeur périodique (FF = Vrms / Vdc). | | Ripple | Composante alternée résiduelle superposée à la tension continue de sortie, généralement exprimée en crête‑à‑crête ou en pourcentage de Vdc. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un redresseur à point milieu **Données** : Alimentation monophasée 230 V / 50 Hz, charge résistive‑inductive R = 8 Ω, L = 25 mH, angle de retard α = 40°. **Demander** : 1. La tension moyenne de sortie Vdc. 2. Le courant moyen Idc. 3. Vérifier si le courant reste continu. 4. Calculer la puissance dissipée dans chaque thyristor (approximation Vthy ≈ 1,5 V). **Corrigé** 1. $V_{m}= \sqrt{2}\times230 = 325,3\text{ V}$ $V_{dc}= \dfrac{2V_{m}}{\pi}\cos\alpha = \dfrac{2\times325,3}{\pi}\cos40^{\circ}= \dfrac{650,6}{3,1416}\times0,766 = 158,8\text{ V}$ 2. $I_{dc}= V_{dc}/R = 158,8/8 = 19,85\text{ A}$ 3. $\omega L = 2\pi 50 \times 0,025 = 7,85\ \Omega$ $\alpha_{c}= \arccos\!\left(\dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\right)=\arccos\!\left(\dfrac{8}{\sqrt{8^{2}+7,85^{2}}}\right)=\arccos\!\left(\dfrac{8}{11,24}\right)=\arccos(0,712)=44,7^{\circ}$ Puisque $\alpha=40^{\circ}<\alpha_{c}=44,7^{\circ}$, le courant est continu. 4. Courant moyen à travers chaque thyristor = $I_{dc}/2 = 9,93\text{ A}$ (chaque thyristor conduit pendant une demi‑onde). Puissance approximative : $P_{thy}= V_{thy}\times I_{thy}=1,5\text{ V}\times9,93\text{ A}=14,9\text{ W}$ par thyristor. ### Exercice 2 – Analyse d’un pont mixte asymétrique **Données** : Transformateur 230 V / 50 Hz, charge R = 10 Ω, L = 12 mH, angle de retard α = 70°. **Demander** : 1. Calculer la tension moyenne de sortie Vdc. 2. Déterminer le courant moyen Idc (charge R). 3. Vérifier la continuité du courant à l’aide de la condition $\alpha_{c}^{\prime}$. 4. Estimer le ripple de tension Vcr (crête‑à‑crête) en utilisant la formule approximative $V_{r}= \sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}}$. **Corrigé** 1. $V_{m}=325,3\text{ V}$ $V_{dc}= \dfrac{V_{m}}{\pi}(1+\cos\alpha)= \dfrac{325,3}{3,1416}\times(1+\cos70^{\circ})=103,5\times(1+0,342)=103,5\times1,342=138,9\text{ V}$ 2. $I_{dc}= V_{dc}/R = 138,9/10 = 13,89\text{ A}$ 3. $\omega L = 2\pi 50 \times 0,012 = 3,77\ \Omega$ $\alpha_{c}^{\prime}= \arccos\!\left(\dfrac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cdot\dfrac12\right)=\arccos\!\left(\dfrac{10}{\sqrt{10^{2}+3,77^{2}}}\times0,5\right)$ $\sqrt{100+14,2}= \sqrt{114,2}=10,69$ $\dfrac{10}{10,69}=0,935$ ; ×0,5 =0,4675 $\alpha_{c}^{\prime}= \arccos(0,467)=62,1^{\circ}$ Puisque $\alpha=70^{\circ}> \alpha_{c}^{\prime}$, le courant serait discontinuous si l’on néglige l’effet de l’inductance sur la durée de conduction. Toutefois, l’inductance prolonge la conduction ; on peut considérer que le courant reste partiellement continu avec une valeur moyenne inférieure à celle calculée en R pur. Pour une estimation conservatrice, on adopte le courant moyen obtenu en charge R comme valeur supérieure réelle. 4. $V_{rms}= V_{m}\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin 2\alpha}{4\pi}} = 325,3\sqrt{0.5-0.1945+0.0512}= 325,3\times0.5972 = 194,3\text{ V}$ $V_{r}= \sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}} = \sqrt{194,3^{2}-138,9^{2}} = 135,9\text{ V}$ Le ripple représente donc environ $135,9/138,9 \approx 98\%$ de la tension moyenne, montrant l’importance d’un filtrage supplémentaire (self ou condensateur) dans ce type de montage. --- *Fin du cours.*