Gradateur

## Objectifs et prérequis **Objectifs** - Comprendre le principe de fonctionnement d’un gradateur à thyristor (triac) alimentant une charge résistive. - Déterminer les formes d’onde de tension et de courant, ainsi que leurs valeurs moyennes, efficaces et instantanées. - Savoir calculer la puissance moyenne délivrée à la charge en fonction de l’angle de déclenchement α. - Dimensionner les composants du gradateur (triac, diac, résistances de déclenchement, réseau snubber) selon les normes camerounaises (NF C 15‑100, IEC 60947‑4‑2). - Mettre en œuvre une procédure de réglage et de mesure en atelier, en respectant les consignes de sécurité (mise à la terre, disjoncteur différentiel 30 mA, isolation). **Prérequis** - Lois d’Ohm et de Joule, notion de puissance instantanée et moyenne. - Concepts de redressement, de thyristor, de diac et d’angle de déclenchement. - Manipulation d’un oscilloscope et d’un voltmètre true‑RMS. - Notions de base en électrotechnique de sécurité (protection contre les contacts directs et indirects). --- ## Introduction contextualisée Dans les installations électriques camerounaises, le gradateur trouve de nombreuses applications : réglage de l’intensité d’éclairage des salles de classe, des ateliers de menuiserie ou de métallerie, commande de la vitesse de petits moteurs à courant alternatif dans les systèmes de ventilation, ou encore variation de la puissance des résistances de chauffage dans les laboratoires de physique. Le gradateur à thyristor (souvent appelé « gradateur à triac ») permet de modifier l’angle de déclenchement α d’un dispositif bidirectionnel, ce qui agit directement sur la partie du sinus de la tension appliquée à la charge. Cette commande est particulièrement adaptée aux charges résistives (lampes à incandescence, résistances de chauffage) où le courant suit instantanément la tension. Le présent cours détaille, d’une part, le fonctionnement du gradateur lorsqu’il débite sur une charge résistive (Leçon 13) et, d’autre part, le calcul des valeurs moyennes des grandeurs électriques qui caractérisent ce dispositif (Leçon 14). --- ## I. Gradateur débitant sur une charge résistive ### 1. Principe de fonctionnement Un gradateur monophasé à thyristor se compose essentiellement de : - Un **triac** (ex. BTA16‑600B) qui conduit dans les deux demi‑ondes lorsqu’il reçoit un courant de déclenchement suffisant. - Un **diac** (ex. DB3) associé à un réseau RC‑potentiomètre qui crée le déclenchement à l’angle désiré α. - Un **réseau snubber** (résistance Rs en série avec un condensateur Cs) destiné à limiter les dv/dt et à protéger le triac contre les surtensions. - Une **résistance de charge** R (ex. lampe 100 Ω). Lorsqu’une tension sinusoïdale \(v(t)=V_m\sin(\omega t)\) est appliquée, le triac reste bloqué tant que la tension instantanée est inférieure à la tension de déclenchement du diac. Quand elle atteint ce seuil, le diac se déclenche, envoie un courant de gate au triac, lequel se met alors à conduire jusqu’au passage par zéro du courant (ou de la tension, selon le type de charge). Ainsi, pour chaque demi‑onde, la conduite débute à l’angle α et se poursuit jusqu’au passage par zéro du courant (donc de la tension), soit jusqu’à π pour la demi‑onde positive et jusqu’à 2π pour la demi‑onde négative. > **>** *Le gradateur à triac réalise une commande de phase : l’angle de déclenchement α varie de 0 ( pleine conduction) à π ( aucune conduction).* ### 2. Équations de base (charge résistive pure) - **Tension instantanée aux bornes de la charge** \[ v_o(t)=\begin{cases} V_m\sin(\omega t), & \alpha\le \omega t\le \pi\\[2pt] V_m\sin(\omega t), & \pi+\alpha\le \omega t\le 2\pi\\[2pt] 0, & \text{ailleurs} \end{cases} \] - **Courant instantané** (loi d’Ohm) \[ i_o(t)=\dfrac{v_o(t)}{R} \] - **Valeur moyenne de la tension sur une période** \[ \boxed{V_{o,\,\text{moy}}=\dfrac{V_m}{\pi}\bigl(1+\cos\alpha\bigr)} \] - **Valeur moyenne du courant** \[ \boxed{I_{o,\,\text{moy}}=\dfrac{V_{o,\,\text{moy}}}{R}} \] - **Valeur efficace (RMS) de la tension** \[ \boxed{V_{o,\,\text{rms}}=V_m\sqrt{\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}+\dfrac{\sin 2\alpha}{4\pi}}} \] - **Valeur efficace du courant** \[ \boxed{I_{o,\,\text{rms}}=\dfrac{V_{o,\,\text{rms}}}{R}} \] - **Puissance moyenne délivrée à la charge** \[ \boxed{P_{o,\,\text{moy}}=V_{o,\,\text{rms}}\,I_{o,\,\text{rms}}=\dfrac{V_{o,\,\text{rms}}^{2}}{R}} \] > **>** *Pour une charge résistive, la puissance moyenne s’obtient directement par \(P=V_{\text{rms}}^{2}/R\).* ### 3. Exemple chiffré complet **Données** - Tension secteur : \(U=230\;{\rm V_{rms}}\) → \(V_m=\sqrt{2}\,U\approx 325\;{\rm V}\) - Résistance de charge : \(R=100\;\Omega\) - Angle de déclenchement : \(\alpha=60^{\circ}= \pi/3\;{\rm rad}\) **Calculs** 1. **Tension moyenne** \[ V_{o,\,\text{moy}}=\frac{325}{\pi}\bigl(1+\cos60^{\circ}\bigr)=\frac{325}{\pi}(1+0,5)=\frac{487,5}{\pi}\approx 155,2\;{\rm V} \] 2. **Courant moyen** \[ I_{o,\,\text{moy}}=\frac{155,2}{100}=1,552\;{\rm A} \] 3. **Tension efficace** \[ \begin{aligned} V_{o,\,\text{rms}}&=325\sqrt{\frac12-\frac{\pi/3}{2\pi}+\frac{\sin(2\pi/3)}{4\pi}}\\ &=325\sqrt{0,5-0,1667+\frac{0,8660}{12,566}}\\ &=325\sqrt{0,4022}\approx 325\times0,6343=206,1\;{\rm V} \end{aligned} \] 4. **Courant efficace** \[ I_{o,\,\text{rms}}=\frac{206,1}{100}=2,061\;{\rm A} \] 5. **Puissance moyenne** \[ P_{o,\,\text{moy}}=V_{o,\,\text{rms}}\,I_{o,\,\text{rms}}=206,1\times2,061\approx 424,8\;{\rm W} \] ou directement \(P=V_{o,\,\text{rms}}^{2}/R=206,1^{2}/100\approx 425\;{\rm W}\). > **>** *Résultat : avec un angle de déclenchement de 60°, le gradateur délivre environ 425 W à une résistance de 100 Ω alimentée par 230 V rms.* ### 4. Schéma typique et composants | Élément | Référence courante (exemple) | Rôle | |---------|------------------------------|------| | Triac | BTA16‑600B (600 V, 16 A) | Commute la charge en fonction du gate | | Diac | DB3 | Déclenche le triac à une tension définie | | Potentiomètre | 10 kΩ linéaire | Réglage de l’angle α via le réseau RC | | Résistance de déclenchement | 330 Ω | Limite le courant de gate | | Condensateur de déclenchement | 0,1 µF | Détermine la constante de temps RC | | Snubber (Rs‑Cs) | Rs = 47 Ω, Cs = 0,1 µF | Atténue les dv/dt et protège le triac | | Fusible | 250 mA (rapide) | Protection contre les surintensités | | Disjoncteur différentiel | 30 mA, type AC | Sécurité des personnes | **Normes de référence** - NF C 15‑100 (installations électriques basse tension) – exigences de protection et de mise à la terre. - IEC 60947‑4‑2 (contacteurs et démarreurs électromagnétiques, partie 2 : démarreurs à semi‑conducteurs) – caractéristiques des thyristors/triacs. - Réglementation camerounaise en matière de sécurité électrique (arrêtés MINEDUC). ### 5. Procédé de réglage pas à pas (atelier) 1. **Vérification de l’alimentation** – mesurer la tension secteur avec un voltmètre true‑RMS (doit être ≈ 230 V). 2. **Mise sous tension du gradateur** – vérifier que le voyant d’alimentation s’allume. 3. **Réglage du potentiomètre** – tourner lentement jusqu’à obtenir l’angle souhaité mesuré à l’oscilloscope (détection du front de montée du signal de gate). 4. **Contrôle de la forme d’onde** – observer la tension aux bornes de la charge : elle doit présenter des tronçons sinusoïdaux commençant à l’angle α et se terminant aux passages par zéro. 5. **Mesure des grandeurs** – - Tension moyenne avec un voltmètre à réponse lente (filtre passe‑bas) ou en intégrant le signal sur l’oscilloscope. - Tension efficace avec un voltmètre true‑RMS. - Courant efficace avec une pince ampèremétrique true‑RMS. 6. **Calcul de la puissance** – comparer \(P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\) avec la valeur théorique obtenue par les formules. 7. **Contrôle de sécurité** – s’assurer que le boîtier est relié à la terre, que le différentiel déclenche à 30 mA en cas de défaut d’isolement, et que aucun conducteur nu n’est accessible. > **>** *Toute intervention sous tension doit être réalisée avec des gants isolants et des lunettes de protection.* --- ## II. Valeurs moyennes des grandeurs du gradateur ### 1. Définitions des grandeurs moyennes Pour une fonction périodique \(f(t)\) de période \(T\) : \[ \overline{f}= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)\,dt \] Appliquée au gradateur, on obtient : - \(\overline{v_o}\) : tension moyenne (valeur continue équivalente). - \(\overline{i_o}\) : courant moyen. - \(\overline{p_o}= \overline{v_o\,i_o}\) : puissance moyenne (qui, pour une charge résistive, vaut aussi \(\overline{v_o^{2}}/R\)). ### 2. Formules détaillées (rappel) | Grandeur | Formule | Unité | |----------|---------|-------| | Tension moyenne | \(V_{o,\,\text{moy}}=\dfrac{V_m}{\pi}(1+\cos\alpha)\) | V | | Courant moyen | \(I_{o,\,\text{moy}}=\dfrac{V_{o,\,\text{moy}}}{R}\) | A | | Tension efficace | \(V_{o,\,\text{rms}}=V_m\sqrt{\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}+\dfrac{\sin2\alpha}{4\pi}}\) | V | | Courant efficace | \(I_{o,\,\text{rms}}=\dfrac{V_{o,\,\text{rms}}}{R}\) | A | | Puissance moyenne | \(P_{o,\,\text{moy}}=V_{o,\,\text{rms}}I_{o,\,\text{rms}}=\dfrac{V_{o,\,\text{rms}}^{2}}{R}\) | W | | Facteur de puissance (résistif) | \(\displaystyle \text{FP}= \frac{P_{o,\,\text{moy}}}{V_{o,\,\text{rms}}I_{o,\,\text{rms}}}=1\) | – | > **>** *Le facteur de puissance reste égal à 1 tant que la charge est purement résistive, indépendamment de l’angle α.* ### 3. Exemple d’application professionnelle **Situation** – Un atelier de soudure au Cameroun utilise une résistance chauffante de 150 Ω pour préchauffer les pièces avant soudage. L’alimentation est monophasée 230 V rms. Le gradateur doit permettre de faire varier la puissance de 0 à ≈ 350 W. **Objectif** – Déterminer l’angle α nécessaire pour obtenir une puissance moyenne de 250 W. **Résolution** 1. Calcul de la tension de crête : \(V_m=\sqrt{2}\times230\approx325\;{\rm V}\). 2. On cherche α tel que \(P_{o,\,\text{moy}}=250\;{\rm W}\). \[ P_{o,\,\text{moy}}=\frac{V_m^{2}}{R}\Bigl(\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin2\alpha}{4\pi}\Bigr) \] En posant \(k=\dfrac{P_{o,\,\text{moy}}R}{V_m^{2}}\) : \[ k=\frac{250\times150}{325^{2}}\approx\frac{37500}{105625}\approx0,355 \] Donc il faut résoudre : \[ \frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin2\alpha}{4\pi}=k \] → \(\displaystyle \frac{\alpha}{2\pi}-\frac{\sin2\alpha}{4\pi}= \frac12-k =0,145\) → \(\displaystyle \frac{\alpha}{\pi}-\frac{\sin2\alpha}{2\pi}=0,29\) On résout numériquement (méthode de Newton ou essai‑erreur). Essai α = 50° (0,872 rad) : \(\frac{0,872}{\pi}=0,278\) ; \(\sin(2\alpha)=\sin100°=0,985\) ; \(\frac{0,985}{2\pi}=0,157\) ; différence = 0,121 (<0,29). Essai α = 70° (1,222 rad) : \(\frac{1,222}{\pi}=0,389\) ; \(\sin140°=0,643\) ; \(\frac{0,643}{2\pi}=0,102\) ; différence = 0,287 ≈ 0,29. Donc α ≈ 70° (1,22 rad). 3. Vérification : \[ V_{o,\,\text{rms}}=325\sqrt{0,5-\frac{1,222}{2\pi}+\frac{\sin(2,444)}{4\pi}} \] \(\sin(2,444)=\sin140°=0,643\). Terme = 0,5‑0,194+0,051=0,357 → racine = 0,598 → \(V_{o,\,\text{rms}}=325\times0,598≈194\;{\rm V}\). Puissance = \(V_{o,\,\text{rms}}^{2}/R=194^{2}/150≈251\;{\rm W}\) (conforme). > **>** *Pour obtenir 250 W sur une charge de 150 Ω alimentée en 230 V rms, il faut régler le gradateur à un angle de déclenchement d’environ 70°.* ### 4. Tableau récapitulatif des valeurs caractéristiques (exemple α = 30°, 60°, 90°) | α (°) | \(V_{o,\,\text{moy}}\) (V) | \(V_{o,\,\text{rms}}\) (V) | \(I_{o,\,\text{rms}}\) (A) | \(P_{o,\,\text{moy}}\) (W) | |------|---------------------------|---------------------------|---------------------------|---------------------------| | 0 | 207,0 | 230,0 | 2,30 | 529 | | 30 | 193,0 | 226,5 | 2,27 | 513 | | 60 | 155,2 | 206,1 | 2,06 | 425 | | 90 | 103,5 | 162,5 | 1,63 | 264 | | 120 | 51,7 | 101,6 | 1,02 | 103 | | 150 | 13,9 | 39,0 | 0,39 | 15 | | 180 | 0 | 0 | 0 | 0 | > **>** *Lorsque α augmente, la tension moyenne, la tension efficace et la puissance délivrée diminuent de façon monotone.* --- ## Synthèse du chapitre - Le gradateur à thyristor (triac) commande la conduction d’une charge résistive en variant l’angle de déclenchement α. - Les formes d’onde de tension et de courant sont nulles pendant les intervalles de blocage \([0,\alpha]\) et \([\pi,\pi+\alpha]\), puis suivent le sinus de la tension d’alimentation. - **Valeurs moyennes** : \[ V_{o,\,\text{moy}}=\frac{V_m}{\pi}(1+\cos\alpha),\qquad I_{o,\,\text{moy}}=\frac{V_{o,\,\text{moy}}}{R} \] - **Valeurs efficaces** : \[ V_{o,\,\text{rms}}=V_m\sqrt{\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin2\alpha}{4\pi}},\qquad I_{o,\,\text{rms}}=\frac{V_{o,\,\text{rms}}}{R} \] - **Puissance moyenne** : \(P_{o,\,\text{moy}}=V_{o,\,\text{rms}}^{2}/R\). - Le facteur de puissance reste égal à 1 pour une charge purement résistive. - Le réglage se fait par un potentiomètre associé à un réseau RC‑diac ; la mesure s’effectue avec un oscilloscope (angle) et un voltmètre/ampèremètre true‑RMS (valeurs efficaces). - Sécurité : mise à la terre, disjoncteur différentiel 30 mA, fusible rapide, respect des normes NF C 15‑100 et IEC 60947‑4‑2. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Triac** | Dispositif semi‑conducteur bidirectionnel pouvant conduire dans les deux sens lorsqu’il reçoit un courant de gate suffisant. | | **Diac** | Composant à déclenchement symétrique qui ne conduit que lorsque la tension dépasse un seuil défini, utilisé pour déclencher le triac. | | **Angle de déclenchement (α)** | Angle électrique (en degrés ou radians) à partir duquel le triac commence à conduire durant chaque demi‑onde. | | **Valeur moyenne** | Moyenne temporelle d’une grandeur sur une période : \(\overline{f}= \frac1T\int_0^T f(t)dt\). | | **Valeur efficace (RMS)** | Racine carrée de la moyenne du carré de la grandeur sur une période : \(X_{\text{rms}}=\sqrt{\frac1T\int_0^T x^2(t)dt}\). | | **Facteur de puissance** | Rapport entre la puissance active et la puissance apparente ; pour une charge résistive, il vaut 1. | | **Snubber** | Circuit RC placé en parallèle avec le triac pour limiter les variations rapides de tension (dv/dt) et protéger le dispositif. | | **True‑RMS** | Mesure qui donne la valeur efficace indépendamment de la forme d’onde, contrairement aux voltmètres moyennés destinés aux signaux sinusoïdaux purs. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Un gradateur alimente une résistance de 80 Ω provenant d’une tension secteur de 220 V rms. L’angle de déclenchement est réglé à 45°. 1. Calculer la tension moyenne, la tension efficace, le courant efficace et la puissance moyenne délivrée à la charge. 2. Vérifier que le facteur de puissance vaut 1. **Corrigé** - \(V_m=\sqrt{2}\times220\approx311\;{\rm V}\) - \(\alpha=45^{\circ}= \pi/4\) rad, \(\cos\alpha=0,7071\), \(\sin2\alpha=\sin90^{\circ}=1\). **Tension moyenne** \[ V_{o,\,\text{moy}}=\frac{311}{\pi}(1+0,7071)=\frac{311\times1,7071}{\pi}\approx\frac{530,9}{\pi}=169,0\;{\rm V} \] **Tension efficace** \[ V_{o,\,\text{rms}}=311\sqrt{\frac12-\frac{\pi/4}{2\pi}+\frac{1}{4\pi}} =311\sqrt{0,5-0,125+0,0796}=311\sqrt{0,4546}=311\times0,6743=209,8\;{\rm V} \] **Courant efficace** \[ I_{o,\,\text{rms}}=\frac{209,8}{80}=2,622\;{\rm A} \] **Puissance moyenne** \[ P_{o,\,\text{moy}}=V_{o,\,\text{rms}}I_{o,\,\text{rms}}=209,8\times2,622\approx550\;{\rm W} \] ou directement \(P=V_{o,\,\text{rms}}^{2}/R=209,8^{2}/80\approx550\;{\rm W}\). **Facteur de puissance** \[ \text{FP}= \frac{P}{V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}}= \frac{550}{209,8\times2,622}=1,00 \] (les arrondissements donnent exactement 1). --- ### Exercice 2 Dans un laboratoire de physique au lycée, on veut faire varier la puissance d’une lampe à incandescence modélisée par une résistance de 120 Ω entre 50 W et 250 W, alimentée par 230 V rms. Déterminer les angles de déclenchement α₁ et α₂ correspondant respectivement à 50 W et 250 W. **Corrigé** - \(V_m=\sqrt{2}\times230\approx325\;{\rm V}\) - Formule de puissance : \[ P(\alpha)=\frac{V_m^{2}}{R}\Bigl(\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin2\alpha}{4\pi}\Bigr) \] On définit \(k=\dfrac{PR}{V_m^{2}}\). **Pour P=50 W** \[ k_{50}= \frac{50\times120}{325^{2}}=\frac{6000}{105625}=0,0568 \] On résout \(\frac12-\frac{\alpha}{2\pi}+\frac{\sin2\alpha}{4\pi}=k_{50}\). Par essais successifs : - α ≈ 131,2° (2,29 rad) donne le second membre ≈ 0,0568. Donc **α₁ ≈ 131°** (≈ 2,29 rad). **Pour P=250 W** \[ k_{250}= \frac{250\times120}{325^{2}}=\frac{30000}{105625}=0,2840 \] Résolution : - α ≈ 83,9° (1,46 rad) donne le second membre ≈ 0,2840. Donc **α₂ ≈ 84°** (≈ 1,46 rad). **Vérification rapide** : - Pour α ≈ 131,2°, \(V_{o,\,\text{rms}}=325\sqrt{0,0568}\approx77,5\;{\rm V}\) → \(P=77,5^{2}/120\approx50\;{\rm W}\). - Pour α ≈ 83,9°, \(V_{o,\,\text{rms}}=325\sqrt{0,284}\approx173,1\;{\rm V}\) → \(P=173,1^{2}/120\approx250\;{\rm W}\). En pratique, on règle le potentiomètre jusqu’à lire la puissance souhaitée avec un wattmètre ou en mesurant \(V_{\text{rms}}\) et \(I_{\text{rms}}\). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de relier le boîtier du gradateur à la terre. | Risque de choc indirect en cas de défaut d’isolement du triac ou du diac. | Toujours vérifier la continuité de la terre avec un ohmmètre avant mise sous tension ; utiliser une prise terre conforme NF C 15‑100. | | 2 | Utiliser un potentiomètre de valeur trop faible (ex. 1 kΩ) dans le réseau de déclenchement. | Courant de gate excessif pouvant endommager le triac ou provoquer un déclenchement prématuré. | Respecter la valeur recommandée (souvent 10 kΩ linéaire) et vérifier la puissance dissipée (P=V²/R). | | 3 | Mesurer la tension moyenne avec un voltmètre moyen (répondant seulement au sinusoïdal) au lieu d’un vrai‑RMS ou d’un filtre passe‑bas. | Lecture sous‑estimée, leading to mauvais réglage de α. | Utiliser un voltmètre true‑RMS ou intégrer le signal sur l’oscilloscope (fonction moyenne). | | 4 | Négliger le réseau snubber ou choisir des valeurs inadaptées (Rs trop faible, Cs trop grand). | Oscillations de tension, déclenchement intempestif, réduction de la durée de vie du triac. | Suivre les recommandations du fabricant du triac (ex. Rs = 47 Ω, Cs = 0,1 µF pour un 600 V/16 A) et vérifier avec un oscilloscope la présence de résonances. | | 5 | Effectuer des réglages sous tension sans équipement de protection isolée (gants, lunettes). | Exposition à l’arc électrique ou à des projections de métal en cas de court‑circuit. | Toujours travailler avec des gants isolants de classe 0, des lunettes de protection et, si possible, un poste de travail sous tension limitée (≤ 50 V) pour les réglages fins. | | 6 | Installer le gradateur sans protection contre les surintensités (fusible ou disjoncteur adapté). | Surchauffe du câblage, risque d’incendie en cas de court‑circuit de charge. | Placer un fusible rapide dont le calibre est légèrement supérieur au courant nominal de charge (ex. 2 A pour une charge de 1,5 A à 230 V). | --- *Fin du cours.*