Hacheur (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - expliquer le principe de fonctionnement d’un hacheur à découpage (buck, boost, buck‑boost) en mode continu et discontinu ; - déterminer les valeurs moyennes de la tension et du courant aux bornes de la charge et du commutateur à l’aide des formules d’intégration sur une période ; - réaliser un dimensionnement simple d’un hacheur destiné à alimenter une charge résistive ou inductive typique d’un équipement de réfrigération ou d’un système de commande de moteur au Cameroun ; - appliquer les consignes de sécurité électrique liées à la manipulation de composants de puissance (diodes, MOSFET, selfs) en atelier. **Prérequis** : - notions de base en électrotechnique (loi d’Ohm, loi des mailles, loi des nœuds) ; - connaissance des composants semi‑conducteurs de puissance (diode Schottky, MOSFET à canal N) et de leurs caractéristiques statiques (V_GS(th), R_DS(on), I_D) ; - maîtrise du calcul d’intégrales simples et de la notion de valeur moyenne d’un signal périodique ; - familiarité avec les schémas de puissance et les symboles normalisés (IEC 60617). ## Introduction contextualisée Dans les installations de réfrigération commerciale présentes dans les marchés urbains du Cameroun (Yaoundé, Douala, Garoua), les systèmes de contrôle de température utilisent souvent des hacheurs à découpage pour régler la vitesse des compresseurs ou la puissance des résistances de dégivrage. Le hacheur permet d’obtenir une tension de sortie variable tout en minimisant les pertes dans le commutateur, ce qui améliore l’efficacité énergétique – un critère essentiel face à la hausse du coût de l’électricité et aux exigences du programme national d’efficacité énergétique (PNEE). Ce chapitre approfondit la partie théorique du hacheur en se concentrant sur le calcul des valeurs moyennes des grandeurs (tension, courant) qui sont indispensables pour dimensionner correctement les composants et prédire le comportement thermique du système. ## I. Activités d’intégration ### A. Présentation du hacheur Un hacheur (ou convertisseur statique à découpage) est un montage électronique qui transforme une tension d’entrée continue V_E en une tension de sortie V_S de valeur moyenne différente, en commandant l’ouverture et la fermeture d’un interrupteur électronique (souvent un MOSFET) à une fréquence f de plusieurs dizaines à plusieurs centaines de kilohertz. Le rapport cyclique α = t_ON/T (où T = 1/f) détermine la valeur moyenne de la sortie selon le type de hacheur. ### B. Objectifs de l’activité - Observer expérimentalement la forme du signal de tension aux bornes de la charge d’un hacheur buck alimenté par une source de 24 V. - Mesurer, à l’aide d’un oscilloscope, les valeurs instantanées et moyennes de la tension de sortie pour différents rapports cycliques (α = 0,2 ; 0,5 ; 0,8). - Comparer les mesures avec les valeurs théoriques obtenues par intégration sur une période. - Tirer les conclusions concernant l’influence du rapport cyclique sur la puissance délivrée à la charge. ### C. Déroulement pas à pas 1. **Montage du circuit** : sur une plaquette d’essais, assembler un hacheur buck composé d’un MOSFET IRF540, d’une diode Schottky 1N5819, d’une self L = 200 µH et d’une résistance de charge R = 10 Ω. Connecter l’entrée à une alimentation réglable de 24 V CC. 2. **Génération du signal de commande** : utiliser un générateur de fonctions (ex. : FG‑200) pour produire un signal PWM de fréquence f = 20 kHz, avec un duty cycle réglable. 3. **Acquisition des données** : placer la sonde de l’oscilloscope en parallèle sur la résistance de charge pour visualiser v_S(t). Enregistrer les formes d’onde pour chaque valeur de α. 4. **Mesure des valeurs moyennes** : activer la fonction “measure → mean” de l’oscilloscope sur chaque tracé afin d’obtenir V_{S, moy}. 5. **Calcul théorique** : appliquer la formule V_{S, moy} = α·V_E (hacheur buck en mode continu). 6. **Analyse** : comparer les valeurs mesurées et calculées, discuter des écarts (chute de tension sur la diode, résistance série de la self, pertes de commutation). ### D. Résultats attendus - L’élève doit obtenir une tension moyenne proche de la valeur théorique (ex. : pour α = 0,5, V_{S, moy} ≈ 12 V) avec un écart inférieur à 5 % lorsqu’il tient compte des pertes. - Il doit être capable d’expliquer pourquoi la forme du signal est une suite de pulsations rectangulaires et pourquoi la moyenne dépend linéairement du rapport cyclique. - Il doit relever les précautions de sécurité : mise à la terre du châssis, utilisation de lunettes de protection, vérification que l’alimentation est éteinte avant toute modification du circuit. > **> Règle de sécurité** : Toujours débrancher l’alimentation et décharger les condensateurs de puissance avant de toucher aux nœuds du hacheur. > **> Définition** : Le rapport cyclique α est le rapport entre la durée d’état conducteur t_ON du commutateur et la période totale T du signal de commande. > **> Formule fondamentale** : Pour un hacheur buck en mode continu, la valeur moyenne de la tension de sortie est V_{S, moy} = α·V_E. > **> Astuce de mesure** : Utiliser la fonction “mean” de l’oscilloscope sur au moins trois périodes consécutives pour réduire l’erreur due au bruit. ## II. Leçon 17: Valeurs moyennes des grandeurs du hacheur ### A. Définitions des grandeurs instantanées et moyennes Une grandeur périodique x(t) de période T possède une valeur moyenne sur une période définie par : \[ \overline{x} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\,dt \] Cette définition s’applique tant à la tension v(t) qu’au courant i(t) traversant le commutateur, la diode, la self ou la charge. ### B. Formule de la valeur moyenne sur une période Pour une forme d’onde rectangulaire (niveau haut V_H pendant t_ON, niveau bas V_L pendant t_OFF = T‑t_ON) : \[ \overline{v}= \frac{V_{H}\,t_{ON}+V_{L}\,t_{OFF}}{T}= \alpha V_{H}+(1-\alpha)V_{L} \] Dans le cas d’un hacheur buck idéal, V_L = 0 (lorsque le MOSFET est éteint, la diode est polarisée en inverse et la tension aux bornes de la charge est nulle), donc : \[ \overline{v}= \alpha V_{E} \] ### C. Application au hacheur en mode continu (buck) et en mode discontinu - **Mode continu** : le courant de la self ne tombe jamais à zéro durant la période. La relation précédente reste valable. - **Mode discontinu** : le courant de la self atteint zéro avant la fin de la période ; la tension moyenne aux bornes de la charge dépend alors aussi de la durée de zéro courant et de la charge. Le calcul devient plus complexe et nécessite de résoudre les équations du régime transitoire ; on privilégie le mode continu pour les dimensionnements de puissance moyenne. ### D. Calcul du courant moyen de charge, tension moyenne de sortie Dans un hacheur buck idéal, la puissance moyenne délivrée à la charge R est : \[ P_{S}= \frac{\overline{v}^{2}}{R}= \frac{(\alpha V_{E})^{2}}{R} \] Le courant moyen de charge suit alors : \[ \overline{i}_{S}= \frac{\overline{v}}{R}= \frac{\alpha V_{E}}{R} \] Le courant moyen traversant le MOSFET (lorsqu’il est conducteur) est égal au courant de la self, qui, en régime permanent, vaut également \(\overline{i}_{S}\) (en négligeant le courant de ripple). ### E. Exemple chiffré entièrement résolu **Données** : - Tension d’entrée V_E = 48 V (alimentation d’un panneau solaire photovoltaïque utilisé pour la réfrigération hors réseau). - Fréquence de commande f = 25 kHz → T = 40 µs. - Rapport cyclique α = 0,35. - Charge résistive R = 15 Ω (simulant une résistance de chauffage d’un dégivreur). - Self L = 200 µH. **Étape 1 – Tension moyenne de sortie** : \[ \overline{v}_{S}= \alpha V_{E}= 0,35 \times 48\text{ V}= 16,8\text{ V} \] **Étape 2 – Courant moyen de charge** : \[ \overline{i}_{S}= \frac{\overline{v}_{S}}{R}= \frac{16,8\text{ V}}{15\ \Omega}= 1,12\text{ A} \] **Étape 3 – Puissance moyenne délivrée** : \[ P_{S}= \overline{v}_{S}\,\overline{i}_{S}= 16,8\text{ V}\times 1,12\text{ A}= 18,8\text{ W} \] ou, équivalentement, \[ P_{S}= \frac{(\alpha V_{E})^{2}}{R}= \frac{(0,35\times48)^{2}}{15}= \frac{(16,8)^{2}}{15}= 18,8\text{ W} \] **Étape 4 – Courant moyen dans le MOSFET** : En mode continu, le courant moyen traversant le MOSFET lorsqu’il est ON vaut également \(\overline{i}_{S}=1,12\) A. Le courant de pointe (ripple) peut être estimé par : \[ \Delta i_{L}= \frac{V_{E}- \overline{v}_{S}}{L}\,t_{ON}= \frac{48-16,8}{200\ \mu H}\times (\alpha T) \] avec L = 200 µH (self du hacheur). \[ t_{ON}= \alpha T = 0,35 \times 40\ \mu s = 14\ \mu s \] \[ \Delta i_{L}= \frac{31,2}{200\times10^{-6}}\times 14\times10^{-6}= 156\,000 \times 14\times10^{-6}= 2,18\text{ A} \] Le courant instantané dans la self varie donc entre \(\overline{i}_{S} \pm \Delta i_{L}/2\) ≈ 1,12 A ± 1,09 A, soit de 0,03 A à 2,21 A. Comme le courant reste toujours positif, le diode de roue libre ne voit pas de courant négatif ; elle conduit simplement pendant l’intervalle OFF pour maintenir le courant dans la self. **Étape 5 – Vérification du mode de fonctionnement** : Comme le courant minimum reste positif (≈ 0,03 A > 0), le hacheur travaille effectivement en mode continu pour ces paramètres. > **> Formule de la valeur moyenne** : \(\displaystyle \overline{x}= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt\) > **> Formule du hacheur buck idéal** : \(\displaystyle \overline{v}_{S}= \alpha V_{E}\) > **> Courant moyen de charge** : \(\displaystyle \overline{i}_{S}= \frac{\alpha V_{E}}{R}\) > **> Puissance moyenne** : \(\displaystyle P_{S}= \frac{(\alpha V_{E})^{2}}{R}\) ### F. Tableau récapitulatif | Paramètre | Symbole | Expression (buck idéal) | Unité | |-------------------------------|---------|----------------------------------|-------| | Tension d’entrée | V_E | – | V | | Rapport cyclique | α | t_ON/T | – | | Tension moyenne de sortie | V_{S, moy} | α·V_E | V | | Courant moyen de charge | I_{S, moy} | α·V_E/R | A | | Puissance moyenne de charge | P_S | (α·V_E)² / R | W | | Courant de ripple de la self | ΔI_L | (V_E‑α·V_E)·α·T / L | A | > **> Rappel de sécurité** : Toujours vérifier que la self est correctement dimensionnée pour supporter le courant de pointe sans saturation du noyau. ## Synthèse du chapitre - Le hacheur transforme une tension continue en une autre tension continue de valeur moyenne réglable par le rapport cyclique α. - La valeur moyenne d’une grandeur périodique s’obtient par intégration sur une période : \(\overline{x}= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt\). - Pour un hacheur buck idéal en mode continu : V_{S, moy} = α·V_E, I_{S, moy} = α·V_E/R, P_S = (α·V_E)²/R. - Le courant de la self présente une composante ripple dont l’amplitude dépend de L, de V_E, de α et de la période T. - En mode discontinu, le calcul de la moyenne devient plus complexe et dépend de la durée où le courant est nul ainsi que de la charge. - Les mesures d’oscilloscope (fonction “mean”) permettent de valider les formules théoriques, à condition de tenir compte des pertes (chute de diode, résistance série de la self). - Les précautions de sécurité (déconnexion, décharge des condensateurs, port de lunettes) sont indispensables lors des manipulations en atelier. ## Glossaire - **Hacheur** : Convertisseur statique à découpage qui module la largeur d’impulsion d’un commutateur pour obtenir une tension de sortie moyenne variable. - **Rapport cyclique (α)** : Rapport entre la durée d’état conducteur du commutateur (t_ON) et la période totale du signal de commande (T). - **Valeur moyenne** : Résultat de l’intégration d’une grandeur périodique sur une période, divisée par la durée de cette période. - **Mode continu** : Régime où le courant de l’inductance (self) ne tombe jamais à zéro durant un cycle de commutation. - **Mode discontinu** : Régime où le courant de l’inductance atteint zéro avant la fin de la période de commutation. - **Self (inductance L)** : Composant qui stocke de l’énergie magnétique et lisse le courant dans le hacheur. - **Diode de roue libre** : Composant qui permet au courant de l’inductance de continuer à circuler lorsque le commutateur est ouvert. - **PWM (Pulse Width Modulation)** : Technique de modulation de la largeur d’impulsion utilisée pour générer le signal de commande du hacheur. ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un hacheur buck pour un dégivreur **Énoncé** : Un dégivreur de chambre froide nécessite une puissance moyenne de 30 W sous une tension d’alimentation de 36 V. On choisit un hacheur buck avec une fréquence de 20 kHz et une self de 150 µH. La résistance équivalente du dégivreur est R = 12 Ω. Déterminer : a) le rapport cyclique α nécessaire ; b) le courant moyen de charge ; c) le courant de ripple approximatif ΔI_L. **Corrigé** : a) La tension moyenne de sortie requise pour délivrer 30 W à une charge de 12 Ω est \[ V_{S, moy}= \sqrt{P_{S}\,R}= \sqrt{30\times12}= \sqrt{360}= 18,97\text{ V} \] Le rapport cyclique est alors \[ \alpha = \frac{V_{S, moy}}{V_{E}}= \frac{18,97}{36}= 0,527 \approx 0,53 \] b) Courant moyen de charge : \[ I_{S, moy}= \frac{V_{S, moy}}{R}= \frac{18,97}{12}= 1,58\text{ A} \] c) Courant de ripple : \[ \Delta I_{L}= \frac{V_{E}-V_{S, moy}}{L}\,t_{ON} \] avec \(T = 1/f = 1/20\,000 = 50\;\mu s\) et \(t_{ON}= \alpha T = 0,53 \times 50\;\mu s = 26,5\;\mu s\). \[ \Delta I_{L}= \frac{36-18,97}{150\ \mu H}\times 26,5\ \mu s = \frac{17,03}{150\times10^{-6}}\times 26,5\times10^{-6} = 113\,533 \times 26,5\times10^{-6} \approx 3,01\text{ A} \] **Réponse** : α ≈ 0,53 ; I_{S, moy} ≈ 1,58 A ; ΔI_L ≈ 3,0 A. ### Exercice 2 – Vérification du mode de fonctionnement **Énoncé** : Un hacheur buck alimente une batterie de 12 V à partir d’une source de 24 V. La self vaut 80 µH, la fréquence de commande est 25 kHz et le rapport cyclique est fixé à 0,4. La charge équivalente de la batterie est modélisée par une résistance de 6 Ω. Déterminer si le hacheur travaille en mode continu ou discontinu. **Corrigé** : - Tension moyenne de sortie : V_{S, moy} = α·V_E = 0,4 × 24 = 9,6 V. - Courant moyen de charge : I_{S, moy} = V_{S, moy}/R = 9,6 / 6 = 1,6 A. - Courant de ripple : \[ \Delta I_{L}= \frac{V_{E}-V_{S, moy}}{L}\,t_{ON} \] T = 1/25 000 = 40 µs ; t_ON = α·T = 0,4 × 40 µs = 16 µs. \[ \Delta I_{L}= \frac{24-9,6}{80\ \mu H}\times 16\ \mu s = \frac{14,4}{80\times10^{-6}}\times 16\times10^{-6} = 180\,000 \times 16\times10^{-6} = 2,88\text{ A} \] - Courant minimum dans la self : I_min = I_{S, moy} – ΔI_L/2 = 1,6 – 1,44 = 0,16 A (> 0). Comme le courant reste positif durant toute la période, le hacheur fonctionne en **mode continu**. ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Mesure corrective / règle de sécurité | |----|------------------|-------------|----------------------------------------| | 1 | Oublier de décharger la self avant de toucher aux nœuds | Risque de choc dû à l’énergie magnétique stockée | Toujours placer une résistance de décharge (ex. : 1 kΩ) aux bornes de la self pendant au moins 5 s après coupure de l’alimentation. | | 2 | Confondre le rapport cyclique α avec le duty cycle exprimé en pourcentage | Calcul erroné de la tension de sortie | Rappeler que α = duty‑cycle/100 ; utiliser systématiquement la forme décimale dans les formules. | | 3 | Négliger la chute de tension de la diode Schottky dans le calcul de V_{S, moy} | Surestimation de la tension de sortie, leading to overload de la charge | Ajouter un terme V_D (≈ 0,3 V–0,5 V) dans l’équation : V_{S, moy} = α·(V_E‑V_D) (approximation courante). | | 4 | Utiliser une self trop petite → saturation du noyau | Augmentation du ripple, perte d’inductance, surchauffe | Vérifier que le courant de pointe reste en dessous du courant de saturation spécifié (I_sat) ; choisir L ≥ (V_E‑V_S)·t_ON/ΔI_max. | | 5 | Ne pas mettre à la terre le châssis du hacheur | Risque de choc en cas de défaut d’isolement | Relier le châssis à la terre de protection (PE) selon la norme NF C 15‑100. | | 6 | Mesurer la moyenne avec l’oscilloscope sur moins d’une période | Valeur moyenne biaisée par le transitoire | Utiliser la fonction “mean” sur au moins trois périodes stables ou effectuer une moyenne manuelle sur plusieurs périodes capturées. | --- *Fin de la fiche de cours.*