Chap12: Proportionnalité

# Chap12: Proportionnalité ## Suites de nombres proportionnels ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur la proportionnalité ! Dans de nombreuses situations de la vie courante, nous rencontrons des grandeurs qui évoluent ensemble de manière régulière. Par exemple, le prix des fruits en fonction de leur poids, la distance parcourue par une voiture en fonction du temps, ou la quantité d'ingrédients dans une recette. Comprendre la proportionnalité nous permet de résoudre de nombreux problèmes et de prédire des valeurs. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur les suites de nombres proportionnels et comment les identifier. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une suite de nombres proportionnels ? Deux suites de nombres sont proportionnelles si l'on peut passer de la première à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le **coefficient de proportionnalité**. * **Exemple simple:** * Suite 1: \( 2, 4, 6, 8 \) * Suite 2: \( 6, 12, 18, 24 \) Ici, pour passer de la Suite 1 à la Suite 2, on multiplie chaque nombre par 3. Le coefficient de proportionnalité est 3. #### Tableau de proportionnalité Pour mieux visualiser la proportionnalité entre deux suites de nombres, on utilise souvent un tableau. Un tableau est un tableau de proportionnalité si les nombres d'une ligne sont obtenus en multipliant les nombres de l'autre ligne par un même nombre (le coefficient de proportionnalité). | Ligne 1 | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \( x_3 \) | ... | |---------|---------|---------|---------|-----| | Ligne 2 | \( y_1 \) | \( y_2 \) | \( y_3 \) | ... | Si le tableau est proportionnel, alors il existe un nombre \( k \) tel que pour chaque colonne: \[ y_i = k \times x_i \] Ou de manière équivalente: \[ \frac{y_i}{x_i} = k \] #### Propriétés de linéarité Les situations de proportionnalité possèdent deux propriétés importantes : * **Propriété additive:** Si on additionne deux colonnes (ou deux situations) d'un tableau de proportionnalité, on obtient une nouvelle colonne (ou une nouvelle situation) qui fait également partie de la situation de proportionnalité. * Exemple: Si 2 kg de pommes coûtent 4€ et 3 kg de pommes coûtent 6€, alors \( (2+3) \) kg = 5 kg de pommes coûteront \( (4+6) \)€ = 10€. * **Propriété multiplicative:** Si on multiplie une colonne (ou une situation) d'un tableau de proportionnalité par un nombre, on obtient une nouvelle colonne (ou une nouvelle situation) qui fait également partie de la situation de proportionnalité. * Exemple: Si 2 kg de pommes coûtent 4€, alors \( 2 \times 3 \) kg = 6 kg de pommes coûteront \( 4 \times 3 \)€ = 12€. #### Le produit en croix Le produit en croix est une méthode très utile pour trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité ou pour vérifier si un tableau est proportionnel. Pour quatre nombres \( a, b, c, d \) disposés dans un tableau de la forme : | \( a \) | \( b \)| |---|---| | \( c \) | \( d \)| Le tableau est un tableau de proportionnalité si et seulement si: \[ a \times d = b \times c \] Cette relation est appelée le produit en croix. ### Vocabulaire * **Proportionnalité:** Relation entre deux grandeurs telle que le rapport de leurs valeurs reste constant. * **Suite de nombres:** Une liste ordonnée de nombres. * **Coefficient de proportionnalité:** Le nombre constant par lequel on multiplie les valeurs d'une suite pour obtenir les valeurs correspondantes de l'autre suite. * **Tableau de proportionnalité:** Un tableau qui représente une situation de proportionnalité, où les rapports entre les valeurs correspondantes des deux lignes sont constants. * **Produit en croix:** Méthode utilisée pour vérifier la proportionnalité ou trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité, basée sur l'égalité \( a \times d = b \times c \). ### Exemples #### Exemple 1: Achat de bonbons Un sachet de 200g de bonbons coûte 2,50€. Combien coûtent 500g de ces mêmes bonbons ? * **Méthode 1: Par le coefficient de proportionnalité** * Calculons le prix par gramme: \( \frac{2,50 \text{€}}{200 \text{g}} = 0,0125 \text{€/g} \) * C'est notre coefficient de proportionnalité. * Pour 500g: \( 500 \text{g} \times 0,0125 \text{€/g} = 6,25 \text{€} \) * **Méthode 2: Avec un tableau et le produit en croix** | Poids (g) | 200 | 500 | |---|---| | Prix (€) | 2,50 | \( x \) | * En utilisant le produit en croix: \( 200 \times x = 500 \times 2,50 \) * \( 200x = 1250 \) * \( x = \frac{1250}{200} = 6,25 \) * Donc, 500g de bonbons coûtent 6,25€. #### Exemple 2: Recette de crêpes Pour une recette de crêpes pour 4 personnes, il faut 200g de farine. Quelle quantité de farine faut-il pour 6 personnes ? * **Avec un tableau:** | Nombre de personnes | 4 | 6 | |---|---| | Farine (g) | 200 | \( x \) | * Produit en croix: \( 4 \times x = 6 \times 200 \) * \( 4x = 1200 \) * \( x = \frac{1200}{4} = 300 \) * Il faut donc 300g de farine pour 6 personnes. ### Exercices 1. Indiquez si les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. Si oui, donnez le coefficient de proportionnalité. a) | Ligne 1 | 3 | 5 | 8 | |---|---|---|---| | Ligne 2 | 9 | 15 | 24 | b) | Ligne 1 | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---| | Ligne 2 | 5 | 7 | 9 | 2. Complétez le tableau de proportionnalité suivant : | Quantité (L) | 3 | 5 | ? | |---|---|---|---| | Prix (€) | 7,50 | ? | 20 | 3. Un cycliste parcourt 45 km en 2 heures à vitesse constante. Combien de kilomètres parcourra-t-il en 3 heures ? (Utilisez la méthode du produit en croix). ### Devoir 1. Pour faire un gâteau, il faut 150g de sucre pour 3 œufs. Si vous voulez faire un gâteau avec 5 œufs, quelle quantité de sucre devrez-vous utiliser ? 2. Dans une librairie, 4 livres coûtent 36€. Combien coûtent 7 livres du même type ? 3. Un agriculteur plante 30 salades sur une surface de 5 m². Combien de salades peut-il planter sur une surface de 12 m², en supposant la proportionnalité ? 4. Vérifiez si les suites de nombres (10, 25, 40) et (4, 10, 16) sont proportionnelles. Justifiez votre réponse. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les suites de nombres proportionnels. Nous avons appris que deux suites sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre par une multiplication constante, appelée le **coefficient de proportionnalité**. Les **tableaux de proportionnalité** sont un outil visuel utile pour représenter ces relations. Nous avons également vu deux propriétés clés : la **propriété additive** et la **propriété multiplicative**, qui nous aident à résoudre des problèmes de proportionnalité. Enfin, la méthode du **produit en croix** est un moyen efficace de trouver des valeurs manquantes ou de vérifier la proportionnalité dans un tableau. La proportionnalité est partout autour de nous, et maîtriser ces concepts vous aidera à mieux comprendre le monde et à résoudre de nombreux problèmes pratiques. ## Propriétés dans un tableau de proportionnalités ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée aux propriétés des tableaux de proportionnalité ! En 4ème, la proportionnalité est un concept fondamental en mathématiques. Un tableau de proportionnalité est un outil très utile pour représenter des situations où deux grandeurs sont liées par une relation de proportionnalité. Aujourd'hui, nous allons explorer les propriétés qui nous permettent de manipuler ces tableaux, de vérifier s'ils sont proportionnels et de trouver des valeurs manquantes plus facilement. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un tableau de proportionnalité ? Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on passe de la première ligne à la deuxième ligne (ou inversement) en multipliant (ou divisant) par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé le **coefficient de proportionnalité**. * **Exemple simple :** | Nombre de stylos | 1 | 2 | 3 | | :--------------- | : | : | : | | Prix (€) | 0,50 | 1 | 1,50 | Ici, pour passer de la première ligne à la deuxième, on multiplie par 0,50. Le coefficient de proportionnalité est \( 0,50 \). #### Propriétés Fondamentales des tableaux de proportionnalité Les tableaux de proportionnalité ont des propriétés importantes qui facilitent leur utilisation et la résolution de problèmes. Ces propriétés découlent directement de la définition de la proportionnalité. ##### 1. Propriété d'addition ou de soustraction des colonnes Si on additionne (ou soustrait) deux colonnes d'un tableau de proportionnalité, on obtient une nouvelle colonne qui fait également partie du tableau de proportionnalité. * **Règle :** Si \( (a, b) \) et \( (c, d) \) sont deux colonnes proportionnelles, alors \( (a+c, b+d) \) et \( (a-c, b-d) \) (si \( a \ge c \) et \( b \ge d \)) sont aussi des colonnes proportionnelles. ##### 2. Propriété de multiplication ou de division d'une colonne Si on multiplie (ou divise) tous les nombres d'une colonne par un même nombre (non nul), on obtient une nouvelle colonne qui fait également partie du tableau de proportionnalité. * **Règle :** Si \( (a, b) \) est une colonne proportionnelle et \( k \) est un nombre, alors \( (k \times a, k \times b) \) et \( (a \div k, b \div k) \) (si \( k \ne 0 \)) sont aussi des colonnes proportionnelles. ##### 3. Passage par l'unité (ou recherche du coefficient de proportionnalité) Pour trouver la valeur associée à l'unité (par exemple, le prix pour 1 kg, la distance pour 1 heure), on divise la valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne. Ce rapport est le coefficient de proportionnalité. * **Règle :** Le coefficient de proportionnalité \( k \) est égal à \( \frac{\text{valeur de la 2ème ligne}}{\text{valeur de la 1ère ligne}} \). On peut l'utiliser pour trouver n'importe quelle valeur manquante. ##### 4. Le produit en croix (pour vérifier ou trouver une valeur) Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases \( \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \), les produits en diagonale sont égaux. C'est-à-dire : \[ a \times d = b \times c \] * Cette propriété est très utile pour vérifier si un tableau est proportionnel ou pour calculer une valeur manquante. ### Vocabulaire * **Tableau de proportionnalité :** Tableau où les valeurs d'une ligne sont obtenues en multipliant (ou divisant) les valeurs de l'autre ligne par un même nombre. * **Coefficient de proportionnalité :** Le nombre constant par lequel on multiplie les valeurs d'une ligne pour obtenir celles de l'autre. * **Grandeurs proportionnelles :** Deux grandeurs dont les valeurs sont liées par une relation de proportionnalité. * **Produit en croix :** Méthode consistant à multiplier en diagonale dans un tableau à quatre cases pour vérifier la proportionnalité ou trouver une valeur manquante. ### Exemples #### Exemple 1 : Utilisation de la propriété d'addition Le tableau suivant représente le prix de sacs de bonbons : | Nombre de sacs | 2 | 3 | 5 | 8 | | :--------------- | : | : | : | : | | Prix (€) | 4 | 6 | 10 | ? | Nous voulons trouver le prix de 8 sacs. Nous remarquons que \( 2 + 3 = 5 \). Par la propriété d'addition, le prix de 5 sacs est \( 4 + 6 = 10 \). On peut aussi remarquer que \( 5 + 3 = 8 \). Donc le prix de 8 sacs est \( 10 + 6 = 16 \) €. #### Exemple 2 : Utilisation de la propriété de multiplication Le tableau suivant représente le nombre de crêpes que l'on peut faire avec des œufs : | Nombre d'œufs | 3 | 9 | 12 | | :-------------- | : | : | : | | Nombre de crêpes | 6 | ? | ? | Pour la deuxième colonne, nous remarquons que \( 3 \times 3 = 9 \). Donc, par la propriété de multiplication, le nombre de crêpes est \( 6 \times 3 = 18 \). Pour la troisième colonne, nous remarquons que \( 3 \times 4 = 12 \). Donc, le nombre de crêpes est \( 6 \times 4 = 24 \). #### Exemple 3 : Utilisation du produit en croix pour une valeur manquante Un boulanger utilise 500g de farine pour faire 10 baguettes. Combien de baguettes peut-il faire avec 1250g de farine ? | Farine (g) | 500 | 1250 | | :--------- | :-- | :--- | | Baguettes | 10 | ? | Soit \( x \) le nombre de baguettes. D'après la propriété du produit en croix : \[ 500 \times x = 1250 \times 10 \] \[ 500x = 12500 \] \[ x = \frac{12500}{500} \] \[ x = 25 \] Il peut faire 25 baguettes avec 1250g de farine. ### Exercices 1. **Identifier les tableaux de proportionnalité :** Pour chaque tableau, indiquez s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Justifiez votre réponse. a) | Quantité | 2 | 4 | 6 | | :------- | : | : | : | | Prix (€) | 5 | 10 | 15 | b) | Âge (ans) | 10 | 15 | 20 | | :-------- | : | : | : | | Taille (cm) | 140 | 160 | 175 | 2. **Compléter les tableaux en utilisant les propriétés :** Complétez les tableaux de proportionnalité suivants. a) (Utilisez la propriété d'addition/soustraction) | Nombre d'heures | 2 | 5 | 7 | 10 | | :-------------- | : | : | : | : | | Salaire (€) | 30 | 75 | ? | ? | b) (Utilisez la propriété de multiplication/division ou le produit en croix) | Distance (km) | 4 | 12 | ? | | :------------ | : | : | : | | Temps (min) | 10 | ? | 40 | ### Devoirs à la maison 1. **Problème d'application :** Un automobiliste parcourt 180 km en 2 heures à vitesse constante. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 450 km à la même vitesse ? Créez un tableau de proportionnalité et utilisez la méthode de votre choix pour résoudre le problème. 2. **Création de tableau :** Inventez une situation de proportionnalité et représentez-la dans un tableau de 4 colonnes. Puis, expliquez comment vous pourriez utiliser une des propriétés étudiées pour trouver une valeur manquante dans votre tableau. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que les tableaux de proportionnalité sont des outils puissants pour organiser des données liées par un coefficient constant. Nous avons vu plusieurs propriétés clés : * L'**addition ou soustraction de colonnes** donne une nouvelle colonne proportionnelle. * La **multiplication ou division d'une colonne** par un nombre donne une nouvelle colonne proportionnelle. * Le **passage par l'unité** ou la recherche du coefficient de proportionnalité permet de trouver le rapport constant entre les grandeurs. * Le **produit en croix** \( (a \times d = b \times c) \) est un moyen rapide de vérifier la proportionnalité ou de trouver une valeur manquante. Maîtriser ces propriétés vous aidera à résoudre de nombreux problèmes de proportionnalité plus efficacement. Continuez à pratiquer !