Repérage (suite et fin)

# Repérage (suite et fin) ## Couple de coordonnées d’un point ### 1. Introduction Dans les leçons précédentes, nous avons appris à nous repérer sur une droite graduée. Aujourd'hui, nous allons étendre cette idée au plan. Imaginez que vous regardez une carte : pour trouver un lieu précis, vous avez besoin de plus qu'un seul numéro. En mathématiques, nous utilisons un **couple de coordonnées** pour localiser n'importe quel point dans un plan. C'est un outil fondamental qui vous servira dans de nombreuses situations, en mathématiques et au-delà ! ### 2. Concepts Clés #### 2.1 Le plan et le repère orthogonal Un **plan** est une surface plate infinie. Pour nous repérer dans ce plan, nous utilisons un **repère orthogonal** (ou cartésien). * Un repère orthogonal est constitué de deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en un point appelé l'**origine**. * La droite horizontale est l'**axe des abscisses**. Les nombres sur cet axe sont appelés les **abscisses**. * La droite verticale est l'**axe des ordonnées**. Les nombres sur cet axe sont appelés les **ordonnées**. * L'origine est le point d'intersection des deux axes. Ses coordonnées sont \( (0;0) \). #### 2.2 Coordonnées d'un point Chaque point dans le plan peut être identifié de manière unique par un couple de nombres, appelé ses **coordonnées**. * Les coordonnées d'un point \( M \) s'écrivent sous la forme \( (x;y) \), où : * \( x \) est l'**abscisse** du point (la position sur l'axe horizontal). * \( y \) est l'**ordonnée** du point (la position sur l'axe vertical). * **Pour trouver les coordonnées d'un point :** 1. Tracez une droite verticale passant par le point et lisez sa position sur l'axe des abscisses (c'est \( x \)). 2. Tracez une droite horizontale passant par le point et lisez sa position sur l'axe des ordonnées (c'est \( y \)). 3. Écrivez les coordonnées sous la forme \( (x;y) \). * **Pour placer un point à partir de ses coordonnées :** 1. Repérez l'abscisse \( x \) sur l'axe des abscisses. 2. Repérez l'ordonnée \( y \) sur l'axe des ordonnées. 3. Tracez une ligne verticale depuis \( x \) et une ligne horizontale depuis \( y \). Le point d'intersection est le point que vous cherchez. #### 2.3 Points particuliers * Un point situé sur l'axe des abscisses a toujours une ordonnée égale à 0. Ses coordonnées sont de la forme \( (x;0) \). * Un point situé sur l'axe des ordonnées a toujours une abscisse égale à 0. Ses coordonnées sont de la forme \( (0;y) \). * L'origine du repère a pour coordonnées \( (0;0) \). ### 3. Vocabulaire * **Repère orthogonal :** Système de coordonnées avec deux axes perpendiculaires. Synonyme : repère cartésien. * **Axe des abscisses :** Axe horizontal d'un repère orthogonal. * **Axe des ordonnées :** Axe vertical d'un repère orthogonal. * **Origine :** Point d'intersection des deux axes (coordonnées \( (0;0) \)). * **Coordonnées :** Le couple de nombres \( (x;y) \) qui définit la position d'un point. * **Abscisse :** Le premier nombre du couple de coordonnées \( x \), correspondant à la position sur l'axe horizontal. * **Ordonnée :** Le deuxième nombre du couple de coordonnées \( y \), correspondant à la position sur l'axe vertical. * **Plan :** Surface géométrique bidimensionnelle infinie. ### 4. Exemples **Exemple 1 : Lecture de coordonnées** Considérons un repère orthogonal. Soient les points A, B et C. * Le point A est situé à 2 unités à droite de l'origine et 3 unités vers le haut. Ses coordonnées sont donc \( A(2;3) \). * Le point B est situé à 4 unités à gauche de l'origine et 1 unité vers le bas. Ses coordonnées sont donc \( B(-4;-1) \). * Le point C est situé à 0 unité à droite/gauche et 2 unités vers le haut. Ses coordonnées sont donc \( C(0;2) \). Ce point est sur l'axe des ordonnées. **Exemple 2 : Placer des points** Placer les points \( D(3;-2) \), \( E(-1;4) \) et \( F(-3;0) \) dans un repère orthogonal. * Pour \( D(3;-2) \) : Je pars de l'origine, je me déplace de 3 unités à droite (abscisse positive), puis de 2 unités vers le bas (ordonnée négative). * Pour \( E(-1;4) \) : Je pars de l'origine, je me déplace de 1 unité à gauche (abscisse négative), puis de 4 unités vers le haut (ordonnée positive). * Pour \( F(-3;0) \) : Je pars de l'origine, je me déplace de 3 unités à gauche (abscisse négative), et je ne monte ni ne descends (ordonnée nulle). Ce point est sur l'axe des abscisses. ### 5. Exercices 1. Dans un repère orthogonal, placez les points suivants : * \( P(1;5) \) * \( Q(-2;3) \) * \( R(4;-1) \) * \( S(-3;-4) \) * \( T(0;-2) \) * \( U(5;0) \) 2. Observez le repère ci-dessous (imaginez un repère avec des points nommés G, H, I, J). Donnez les coordonnées de chaque point : * G : (..., ...) * H : (..., ...) * I : (..., ...) * J : (..., ...) 3. Le point \( M \) a pour coordonnées \( (x_M;y_M) \). Que peut-on dire si : * \( x_M = 0 \) ? * \( y_M = 0 \) ? * \( x_M = 0 \) et \( y_M = 0 \) ? ### 6. Devoirs 1. Construisez un repère orthogonal et placez-y les points \( A(4;2) \), \( B(-2;2) \), \( C(-2;-3) \) et \( D(4;-3) \). Quelle figure géométrique obtenez-vous en reliant ces points dans l'ordre alphabétique ? Calculez son périmètre et son aire (en unités de longueur et d'aire). 2. Un navire est localisé en \( N(3;1) \). Il doit se rendre à un port situé en \( P(-2;4) \). Tracez la trajectoire rectiligne entre ces deux points sur un repère. Un phare se trouve en \( F(1;0) \). Le navire passe-t-il par le phare ? 3. Défi : Le symétrique d'un point \( A(x;y) \) par rapport à l'axe des abscisses est le point \( A' \). Quelles sont les coordonnées de \( A' \) ? Et par rapport à l'axe des ordonnées (point \( A'' \)) ? Et par rapport à l'origine (point \( A''' \)) ? Essayez avec un exemple comme \( A(2;3) \). ### 7. Résumé En résumé, pour se repérer dans un plan, on utilise un **repère orthogonal** composé de l'**axe des abscisses** (horizontal) et de l'**axe des ordonnées** (vertical), se coupant à l'**origine** \( (0;0) \). Chaque point du plan est identifié de manière unique par un **couple de coordonnées** \( (x;y) \), où \( x \) est l'**abscisse** et \( y \) est l'**ordonnée**. L'ordre de ces nombres est crucial : \( (2;3) \) n'est pas le même point que \( (3;2) \). Cette méthode permet de situer précisément n'importe quel élément dans un plan et constitue une base essentielle pour la géométrie analytique.