Nombres rationnels (suite )

# Nombres rationnels (suite ) ## : Règles de multiplication et de division de nombres rationnels ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des nombres rationnels en explorant les règles spécifiques qui régissent leur multiplication et leur division. Vous avez déjà appris à additionner et soustraire ces nombres. Il est maintenant temps de découvrir comment les multiplier et les diviser, une compétence essentielle en mathématiques. ### Concepts Clés #### Rappel : Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ? Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction \( \frac{a}{b} \), où \( a \) est un entier relatif (positif ou négatif) et \( b \) est un entier relatif non nul. Les fractions, les nombres décimaux finis et les entiers sont tous des nombres rationnels. #### Multiplication de nombres rationnels Pour multiplier deux nombres rationnels (ou deux fractions), il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. N'oubliez pas la règle des signes ! * **Règle :** Pour multiplier \( \frac{a}{b} \) par \( \frac{c}{d} \), on calcule : \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \] * **Règle des signes :** * Positif \( \times \) Positif = Positif * Négatif \( \times \) Négatif = Positif * Positif \( \times \) Négatif = Négatif * Négatif \( \times \) Positif = Négatif #### Division de nombres rationnels Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse. C'est une règle très importante à retenir pour les fractions. * **L'inverse d'un nombre rationnel :** L'inverse d'une fraction \( \frac{c}{d} \) est \( \frac{d}{c} \) (à condition que \( c \) et \( d \) soient différents de zéro). * **Règle :** Pour diviser \( \frac{a}{b} \) par \( \frac{c}{d} \) (où \( \frac{c}{d} \) est non nul), on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde : \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \] * **Règle des signes :** La même règle des signes que pour la multiplication s'applique. ### Vocabulaire * **Nombre rationnel :** Un nombre qui peut être exprimé comme une fraction \( \frac{a}{b} \) où \( a \) est un entier relatif et \( b \) est un entier relatif non nul. * **Numérateur :** Le nombre supérieur d'une fraction (le \( a \) dans \( \frac{a}{b} \)). * **Dénominateur :** Le nombre inférieur d'une fraction (le \( b \) dans \( \frac{a}{b} \)). Il doit être non nul. * **Inverse d'un nombre :** Pour un nombre \( x \) non nul, son inverse est \( \frac{1}{x} \). Pour une fraction \( \frac{a}{b} \) non nulle, son inverse est \( \frac{b}{a} \). * **Simplification :** Action de réduire une fraction à sa forme la plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. ### Exemples #### Exemple 1 : Multiplication Calculez le produit de \( \frac{2}{3} \) et \( \frac{5}{7} \). * **Solution :** \[ \frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21} \] Calculez le produit de \( \frac{-4}{5} \) et \( \frac{3}{2} \). * **Solution :** \[ \frac{-4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{-4 \times 3}{5 \times 2} = \frac{-12}{10} = \frac{-6}{5} \] *(N'oubliez pas de simplifier la fraction si possible.)* #### Exemple 2 : Division Calculez le quotient de \( \frac{3}{4} \) par \( \frac{5}{2} \). * **Solution :** L'inverse de \( \frac{5}{2} \) est \( \frac{2}{5} \). \[ \frac{3}{4} \div \frac{5}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \] Calculez le quotient de \( \frac{-6}{7} \) par \( \frac{3}{-14} \). * **Solution :** L'inverse de \( \frac{3}{-14} \) est \( \frac{-14}{3} \). \[ \frac{-6}{7} \div \frac{3}{-14} = \frac{-6}{7} \times \frac{-14}{3} = \frac{(-6) \times (-14)}{7 \times 3} = \frac{84}{21} = 4 \] ### Exercices Calculez les expressions suivantes et simplifiez les résultats si possible : 1. \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \) 2. \( \frac{-2}{5} \times \frac{10}{3} \) 3. \( \frac{7}{8} \div \frac{21}{4} \) 4. \( \frac{-9}{4} \div \frac{-3}{8} \) ### Devoirs Calculez et simplifiez les expressions suivantes. Montrez toutes les étapes de votre calcul. 1. \( \frac{5}{6} \times \frac{9}{10} \) 2. \( \left(\frac{-3}{4}\right) \div \left(\frac{9}{-2}\right) \) 3. \( \frac{15}{7} \times \frac{14}{5} \) 4. \( 2\frac{1}{3} \div \frac{7}{9} \) *(Indice : convertissez le nombre mixte en fraction impropre d'abord).* ### Résumé Pour conclure, la multiplication et la division de nombres rationnels sont des opérations fondamentales. Rappelez-vous les points clés suivants : * **Multiplication :** Multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Appliquez la règle des signes. \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \] * **Division :** Multipliez la première fraction par l'inverse de la seconde. Appliquez la règle des signes. \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \] * **Simplification :** Toujours simplifier vos fractions à leur forme irréductible. Avec de la pratique, ces opérations deviendront intuitives. Continuez à vous exercer pour maîtriser ces concepts ! ## Règles d’addition et de soustraction des nombres rationnels ### Introduction Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons approfondir notre compréhension des nombres rationnels en nous concentrant sur les règles d'addition et de soustraction. Vous avez déjà manipulé des fractions, qui sont une forme de nombres rationnels. Nous allons maintenant systématiser ces opérations pour tous les nombres rationnels. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ? Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction \( \frac{a}{b} \), où \( a \) est un entier relatif (numérateur) et \( b \) est un entier relatif non nul (dénominateur). Les nombres entiers et les nombres décimaux sont aussi des nombres rationnels, car ils peuvent être écrits sous forme de fraction. Par exemple, \( 3 = \frac{3}{1} \) et \( 0.5 = \frac{1}{2} \). #### Addition de nombres rationnels ##### Cas 1 : Les dénominateurs sont identiques Pour additionner deux nombres rationnels qui ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Ensuite, si possible, on simplifie la fraction. Formule: \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \] ##### Cas 2 : Les dénominateurs sont différents Pour additionner deux nombres rationnels qui ont des dénominateurs différents, il faut d'abord les réduire au même dénominateur commun. Le dénominateur commun est souvent le plus petit commun multiple (PPCM) des deux dénominateurs. Une fois les fractions écrites avec le même dénominateur, on applique la règle du Cas 1. Étapes : 1. Trouver un dénominateur commun (PPCM). Par exemple, si vous avez \( \frac{a}{b} \) et \( \frac{c}{d} \), le dénominateur commun peut être \( b \times d \) ou le PPCM de \( b \) et \( d \). 2. Mettre chaque fraction au même dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre. \( \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \) et \( \frac{c}{d} = \frac{c \times m}{d \times m} \), où \( b \times k = d \times m \) est le dénominateur commun. 3. Additionner les nouveaux numérateurs et garder le dénominateur commun. 4. Simplifier la fraction finale si possible. #### Soustraction de nombres rationnels ##### Cas 1 : Les dénominateurs sont identiques Pour soustraire deux nombres rationnels qui ont le même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Ensuite, si possible, on simplifie la fraction. Formule: \[ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \] ##### Cas 2 : Les dénominateurs sont différents Pour soustraire deux nombres rationnels qui ont des dénominateurs différents, on procède de la même manière que pour l'addition : Étapes : 1. Trouver un dénominateur commun (PPCM). 2. Mettre chaque fraction au même dénominateur. 3. Soustraire les nouveaux numérateurs et garder le dénominateur commun. 4. Simplifier la fraction finale si possible. #### Priorité des opérations Lorsqu'il y a plusieurs opérations (addition, soustraction, multiplication, division) et des parenthèses, on respecte l'ordre des opérations (PEMDAS/BODMAS) : 1. **P**arenthèses (ou **B**rackets) 2. **E**xposants (ou **O**rders/Indices) 3. **M**ultiplication et **D**ivision (de gauche à droite) 4. **A**ddition et **S**oustraction (de gauche à droite) ### Vocabulaire * **Nombre rationnel :** Nombre qui peut s'écrire sous la forme \( \frac{a}{b} \) où \( a \) est un entier et \( b \) est un entier non nul. * **Numérateur :** Le nombre du haut dans une fraction (le \( a \) dans \( \frac{a}{b} \)). * **Dénominateur :** Le nombre du bas dans une fraction (le \( b \) dans \( \frac{a}{b} \)), il doit être non nul. * **Dénominateur commun :** Un dénominateur partagé par deux ou plusieurs fractions après les avoir transformées. * **Fraction irréductible :** Une fraction qui ne peut plus être simplifiée car le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseurs communs autres que 1. ### Exemples #### Exemple 1 : Addition avec le même dénominateur Calculez \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} \). Solution: \[ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \] #### Exemple 2 : Soustraction avec le même dénominateur Calculez \( \frac{9}{11} - \frac{4}{11} \). Solution: \[ \frac{9}{11} - \frac{4}{11} = \frac{9-4}{11} = \frac{5}{11} \] #### Exemple 3 : Addition avec des dénominateurs différents Calculez \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \). Solution: Le PPCM de 3 et 4 est 12. \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12} \] #### Exemple 4 : Soustraction avec des dénominateurs différents Calculez \( \frac{5}{6} - \frac{2}{9} \). Solution: Le PPCM de 6 et 9 est 18. \[ \frac{5}{6} - \frac{2}{9} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} - \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18} \] #### Exemple 5 : Opérations avec des nombres négatifs Calculez \( -\frac{3}{5} + \frac{1}{2} \). Solution: Le PPCM de 5 et 2 est 10. \[ -\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = -\frac{3 \times 2}{5 \times 2} + \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = -\frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{-6+5}{10} = -\frac{1}{10} \] ### Exercices Calculez et simplifiez si possible : 1. \( \frac{7}{10} + \frac{3}{10} \) 2. \( \frac{13}{15} - \frac{8}{15} \) 3. \( \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \) 4. \( \frac{5}{8} - \frac{1}{4} \) 5. \( -\frac{1}{3} + \frac{2}{7} \) 6. \( \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \) ### Devoir Maison Calculez et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible : 1. \( \frac{4}{9} + \frac{2}{3} \) 2. \( \frac{7}{12} - \frac{1}{6} \) 3. \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \) 4. \( -\frac{5}{7} - (-\frac{2}{14}) \) 5. Un agriculteur a labouré \( \frac{2}{5} \) de son champ le matin et \( \frac{1}{3} \) l'après-midi. Quelle fraction de son champ a-t-il labouré au total ? ### Résumé Pour additionner ou soustraire des nombres rationnels : * **Si les dénominateurs sont identiques**, on additionne ou soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun. * **Si les dénominateurs sont différents**, on doit d'abord trouver un dénominateur commun (idéalement le PPCM) pour les deux fractions, puis les réécrire avec ce dénominateur commun avant d'additionner ou de soustraire les numérateurs. N'oubliez pas de toujours simplifier votre résultat final en une fraction irréductible.