Chap4: Triangles

# Chap4: Triangles ## Droites des milieux dans un triangle. ### Introduction Chers élèves, dans ce chapitre, nous allons découvrir une propriété très intéressante des triangles, appelée le théorème des milieux. Cette propriété nous permet de comprendre les relations entre les milieux des côtés d'un triangle et le troisième côté. C'est un outil puissant en géométrie pour démontrer le parallélisme de droites ou calculer des longueurs. ### Concepts Clés #### 1. Le théorème des milieux (sens direct) Ce théorème établit une relation fondamentale entre la droite qui relie les milieux de deux côtés d'un triangle et le troisième côté de ce triangle. **Propriété 1 :** Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. * **Explication :** Si M est le milieu du côté [AB] et N est le milieu du côté [AC] dans le triangle ABC, alors la droite (MN) est parallèle au côté (BC). **Propriété 2 :** Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. * **Explication :** En reprenant l'exemple précédent, si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC], alors la longueur du segment [MN] est la moitié de la longueur du segment [BC]. On peut l'écrire mathématiquement : \( MN = \frac{1}{2} BC \) ou \( BC = 2 \times MN \). #### 2. La réciproque du théorème des milieux La réciproque du théorème des milieux est également très utile. Elle nous permet de trouver le milieu d'un côté si on connaît le milieu d'un autre côté et une droite parallèle. **Propriété :** Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. * **Explication :** Si M est le milieu du côté [AB] dans le triangle ABC, et si une droite passant par M est parallèle au côté (BC) et coupe le côté [AC] en un point N, alors N est nécessairement le milieu de [AC]. ### Vocabulaire * **Milieu d'un segment :** Le point qui divise un segment en deux segments de même longueur. Si M est le milieu de [AB], alors \( AM = MB \). * **Segment :** Un morceau de droite délimité par deux points. * **Droite parallèle :** Deux droites qui ne se rencontrent jamais, même si on les prolonge à l'infini. Elles ont la même direction. * **Triangle :** Figure géométrique à trois côtés et trois angles. * **Théorème :** Une proposition qui peut être démontrée comme vraie. * **Réciproque :** Une propriété obtenue en échangeant la condition et la conclusion d'une autre propriété. ### Exemples #### Exemple 1 (Théorème direct) Dans un triangle ABC, le point I est le milieu du côté [AB] et le point J est le milieu du côté [AC]. On sait que \( BC = 10 \text{ cm} \). 1. Que peut-on dire des droites (IJ) et (BC) ? 2. Quelle est la longueur du segment [IJ] ? **Solution :** 1. D'après la propriété des milieux (sens direct), puisque I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC] respectivement, la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC). 2. D'après la propriété des milieux (sens direct), la longueur du segment [IJ] est la moitié de la longueur du segment [BC]. Donc, \( IJ = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ cm} \). #### Exemple 2 (Réciproque du théorème des milieux) Dans un triangle EFG, le point K est le milieu du côté [EF]. Une droite passant par K est parallèle au côté (FG) et coupe le côté [EG] au point L. Que peut-on dire du point L ? **Solution :** D'après la réciproque du théorème des milieux, puisque K est le milieu de [EF] et que la droite (KL) est parallèle à (FG), alors la droite (KL) coupe le troisième côté [EG] en son milieu. Donc, L est le milieu du segment [EG]. ### Exercices 1. **Exercice 1 :** Soit un triangle MNP. Le point A est le milieu de [MN] et le point B est le milieu de [MP]. a. Quelle est la position relative des droites (AB) et (NP) ? b. Si \( NP = 14 \text{ cm} \), quelle est la longueur de [AB] ? 2. **Exercice 2 :** Dans un triangle RST, le point U est le milieu de [RS]. La droite (UV) est parallèle à (ST) et coupe [RT] en V. Que représente le point V pour le segment [RT] ? Justifiez votre réponse. 3. **Exercice 3 :** Construisez un triangle ABC tel que \( AB = 6 \text{ cm} \), \( AC = 8 \text{ cm} \) et \( BC = 10 \text{ cm} \). Placez le point I milieu de [AB] et le point J milieu de [AC]. Mesurez la longueur [IJ]. Est-ce que votre mesure confirme la propriété ? ### Devoirs 1. **Devoir 1 :** Soit un triangle XYZ. Le point D est le milieu de [XY] et le point E est le milieu de [XZ]. Si \( DE = 7 \text{ cm} \), quelle est la longueur du côté [YZ] ? Expliquez votre raisonnement. 2. **Devoir 2 :** Dans un triangle JKL, le point P est le milieu de [JK]. La droite passant par P est parallèle à (JL) et coupe [KL] en Q. a. Que peut-on dire du point Q ? b. Si \( PQ = 4 \text{ cm} \), quelle est la longueur de [JL] ? 3. **Devoir 3 :** Dessinez un triangle équilatéral ABC de côté \( 9 \text{ cm} \). Placez I, J, K les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CA]. Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifiez vos affirmations. ### Résumé Nous avons exploré aujourd'hui le théorème des milieux et sa réciproque dans un triangle. Retenez ces points essentiels : * **Théorème direct :** Si une droite joint les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est **parallèle** au troisième côté et sa longueur est la **moitié** de la longueur de ce troisième côté. * **Réciproque :** Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est **parallèle** au deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son **milieu**. Ces propriétés sont très utiles pour démontrer des parallélismes, calculer des longueurs de segments et résoudre des problèmes de géométrie. Entraînez-vous avec les exercices pour bien maîtriser ces concepts ! ## Médianes et centre de gravité d'un triangle ### Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Dans ce chapitre, nous allons explorer des lignes remarquables du triangle appelées les **médianes**. Nous découvrirons également un point très spécial à l'intérieur de tout triangle, le **centre de gravité**, qui est étroitement lié aux médianes. Comprendre ces concepts est fondamental en géométrie et vous aidera à mieux analyser les propriétés des triangles. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une médiane d'un triangle ? Une **médiane** d'un triangle est un segment de droite qui relie un sommet du triangle au milieu du côté opposé à ce sommet. * Chaque triangle possède trois sommets, donc chaque triangle possède **trois médianes**. * Pour tracer une médiane, il faut d'abord trouver le milieu d'un côté. #### Construction d'une médiane Pour construire une médiane issue d'un sommet (par exemple, le sommet A) : 1. Identifiez le côté opposé au sommet A. Appelons ce côté \( [BC] \). 2. Trouvez le milieu du côté \( [BC] \). Pour cela, vous pouvez utiliser une règle pour mesurer la longueur de \( [BC] \) et diviser par deux, ou utiliser un compas pour construire la médiatrice du segment \( [BC] \) (le milieu est sur cette médiatrice). 3. Nommez ce milieu M. 4. Tracez le segment de droite qui relie le sommet A au point M. Ce segment \( [AM] \) est la médiane issue de A. **Exemple de notation :** Dans le triangle ABC, si M est le milieu de \( [BC] \), alors \( [AM] \) est la médiane issue du sommet A. #### Le Centre de Gravité d'un triangle Lorsque l'on trace les trois médianes d'un triangle, on observe une propriété remarquable : * Les trois médianes d'un triangle sont toujours **concourantes**, c'est-à-dire qu'elles se coupent en un seul et même point. * Ce point d'intersection s'appelle le **centre de gravité** du triangle. On le note souvent par la lettre \( G \). * Le centre de gravité est aussi appelé l'**isobarycentre** du triangle. **Propriété du centre de gravité :** Le centre de gravité \( G \) a une propriété très importante : il divise chaque médiane en deux segments, l'un étant le double de l'autre. Plus précisément, le segment allant du sommet au centre de gravité est deux fois plus long que le segment allant du centre de gravité au milieu du côté opposé. Soit \( [AM] \) la médiane issue du sommet A, où M est le milieu de \( [BC] \). Alors le centre de gravité \( G \) est situé sur \( [AM] \) tel que : \[ AG = \frac{2}{3} AM \] et \[ GM = \frac{1}{3} AM \] Ce qui implique que \( AG = 2 \times GM \). C'est la même chose pour les deux autres médianes du triangle. ### Vocabulaire * **Triangle :** Figure géométrique à trois côtés et trois angles. * **Sommet :** Point où se rencontrent deux côtés d'un triangle (A, B, C). * **Côté :** Segment de droite formant la bordure du triangle (\( [AB] \), \( [BC] \), \( [CA] \)). * **Milieu :** Point qui divise un segment en deux segments de même longueur. * **Médiane :** Segment reliant un sommet au milieu du côté opposé. * **Centre de gravité :** Point d'intersection des trois médianes d'un triangle. * **Concourantes :** Se dit de plusieurs droites ou segments qui se coupent en un seul et même point. ### Exemples **Exemple 1 : Tracer une médiane** Dessinez un triangle ABC quelconque. Pour tracer la médiane issue de C : 1. Mesurez le côté \( [AB] \). Supposons \( AB = 8 \text{ cm} \). 2. Le milieu I de \( [AB] \) est à \( 8 \text{ cm} / 2 = 4 \text{ cm} \) de A (et de B). 3. Placez le point I sur \( [AB] \). 4. Tracez le segment \( [CI] \). C'est la médiane issue de C. **Exemple 2 : Utiliser la propriété du centre de gravité** Soit un triangle DEF dont la médiane \( [DP] \) (où P est le milieu de \( [EF] \)) mesure \( 9 \text{ cm} \). Si G est le centre de gravité de ce triangle, calculons les longueurs des segments \( [DG] \) et \( [GP] \). D'après la propriété, \( DG = \frac{2}{3} DP \) et \( GP = \frac{1}{3} DP \). Donc : * \( DG = \frac{2}{3} \times 9 \text{ cm} = 2 \times 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm} \) * \( GP = \frac{1}{3} \times 9 \text{ cm} = 3 \text{ cm} \) Vérification : \( DG + GP = 6 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 9 \text{ cm} \). C'est bien la longueur totale de la médiane \( [DP] \). ### Exercices 1. Dessinez un triangle JKL. Tracez les trois médianes de ce triangle. Que remarquez-vous ? Nommez le point d'intersection \( G \). 2. Dans le triangle JKL de l'exercice 1, nommez les milieux de chaque côté. 3. Si la médiane \( [JS] \) d'un triangle JRT (S étant le milieu de \( [RT] \)) mesure \( 12 \text{ cm} \) et que \( G \) est son centre de gravité, quelle est la longueur de \( [JG] \) ? Et celle de \( [GS] \) ? 4. Vrai ou Faux : * Un triangle peut avoir deux médianes qui ne se coupent pas. \( \square \) * Le centre de gravité est toujours à l'intérieur du triangle. \( \square \) * La médiane est toujours plus courte que le côté auquel elle est opposée. \( \square \) ### Devoirs 1. Construisez un triangle isocèle ABC, avec \( AB = AC = 7 \text{ cm} \) et \( BC = 5 \text{ cm} \). Tracez ses trois médianes et vérifiez la position de son centre de gravité. Que pouvez-vous dire de la médiane issue du sommet principal A ? 2. Dans un triangle MNP, les médianes \( [MD] \), \( [NE] \) et \( [PF] \) se coupent en \( G \). Si \( GD = 3 \text{ cm} \), quelle est la longueur de la médiane \( [MD] \) ? Si \( NE = 15 \text{ cm} \), quelle est la longueur de \( [GE] \) ? 3. Proposez une expérience simple pour démontrer que le centre de gravité est bien le point d'équilibre d'une forme triangulaire découpée dans du carton. ### Résumé Nous avons appris que : * Une **médiane** d'un triangle est le segment reliant un sommet au milieu du côté opposé. * Chaque triangle a **trois médianes**. * Les trois médianes d'un triangle sont **concourantes** en un point unique appelé le **centre de gravité** (ou isobarycentre), souvent noté \( G \). * Le centre de gravité \( G \) divise chaque médiane dans un rapport \( 2:1 \) : la distance du sommet à \( G \) est le double de la distance de \( G \) au milieu du côté opposé. ## Bissectrices et centre du cercle inscrit dans un triangle ### Introduction Bonjour à tous! Aujourd'hui, nous allons explorer une propriété fascinante des triangles qui nous permettra de découvrir comment inscrire un cercle parfait à l'intérieur de n'importe quel triangle. Nous allons nous concentrer sur les **bissectrices** des angles d'un triangle et voir comment elles nous mènent au **centre du cercle inscrit**. ### Concepts Clés #### 1. La bissectrice d'un angle La bissectrice d'un angle est une droite qui partage cet angle en deux angles égaux. En d'autres termes, elle coupe l'angle en son "milieu". * **Définition:** La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l'angle et qui partage cet angle en deux angles de même mesure. * **Propriété fondamentale:** Tout point situé sur la bissectrice d'un angle est **équidistant** des deux côtés de cet angle. Cela signifie que la distance entre le point et un côté est la même que la distance entre le point et l'autre côté. Rappelez-vous que la distance d'un point à une droite est mesurée le long de la perpendiculaire abaissée du point à la droite. Soit un angle \( \widehat{xOy} \) et \( [Oz) \) sa bissectrice. Si \( M \) est un point sur \( [Oz) \), et si \( A \) et \( B \) sont les projections orthogonales de \( M \) sur \( (Ox) \) et \( (Oy) \) respectivement, alors \( MA = MB \). #### 2. Les bissectrices d'un triangle Un triangle possède trois angles, donc il a trois bissectrices. * **Propriété:** Les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles se coupent toutes en un même point. #### 3. Le centre du cercle inscrit Le point d'intersection des trois bissectrices d'un triangle est très spécial. On l'appelle le **centre du cercle inscrit**. * **Définition:** Le point de concours des trois bissectrices d'un triangle est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. * **Propriété:** Ce point est équidistant des trois côtés du triangle. C'est pourquoi on peut y tracer un cercle qui touche parfaitement chacun des trois côtés. La distance entre ce point et chaque côté du triangle est le rayon du cercle inscrit. #### 4. Le cercle inscrit Le cercle inscrit est le cercle qui se trouve à l'intérieur du triangle et qui est tangent (touche) à ses trois côtés. * **Construction:** 1. Tracez le triangle \( ABC \). 2. Construisez la bissectrice de l'angle \( \widehat{A} \) (par exemple, avec un compas). 3. Construisez la bissectrice de l'angle \( \widehat{B} \). 4. Le point d'intersection de ces deux bissectrices est le centre \( I \) du cercle inscrit. (Il n'est pas nécessaire de tracer la troisième bissectrice, mais elle passerait aussi par \( I \)). 5. Du point \( I \), abaissez une perpendiculaire à l'un des côtés du triangle (par exemple, à \( (BC) \)). Le point d'intersection \( H \) est le point de tangence, et la longueur \( IH \) est le rayon \( r \) du cercle inscrit. 6. Tracez le cercle de centre \( I \) et de rayon \( IH \). Le rayon du cercle inscrit, souvent noté \( r \), peut être calculé par la formule \[ r = \frac{A}{s} \] où \( A \) est l'aire du triangle et \( s \) est le demi-périmètre du triangle (\( s = \frac{a+b+c}{2} \)). ### Vocabulaire * **Bissectrice:** Droite qui coupe un angle en deux angles égaux. * **Équidistant:** Qui est à la même distance de deux ou plusieurs points/lignes. * **Concourantes:** Se dit de plusieurs droites qui se coupent en un même point. * **Incentre:** Le point d'intersection des trois bissectrices d'un triangle (centre du cercle inscrit). * **Cercle inscrit:** Cercle tangent aux trois côtés d'un triangle et situé à l'intérieur de celui-ci. * **Tangent (à une droite):** Se dit d'un cercle qui touche une droite en un seul point. ### Exemples #### Exemple 1: Construction d'une bissectrice Pour construire la bissectrice de l'angle \( \widehat{ABC} \): 1. Avec le compas, centrez en \( B \) et tracez un arc qui coupe \( [BA) \) en \( E \) et \( [BC) \) en \( F \). 2. Gardez le même écartement ou changez-le. Centrez en \( E \) et tracez un arc à l'intérieur de l'angle. 3. Sans changer l'écartement, centrez en \( F \) et tracez un autre arc qui coupe le précédent en un point \( G \). 4. La demi-droite \( [BG) \) est la bissectrice de l'angle \( \widehat{ABC} \). #### Exemple 2: Construction du cercle inscrit Suivons les étapes pour un triangle \( MNP \): 1. Tracez le triangle \( MNP \). 2. Construisez la bissectrice de l'angle \( \widehat{NMP} \). 3. Construisez la bissectrice de l'angle \( \widehat{MPN} \). 4. Ces deux bissectrices se coupent en un point \( I \). C'est l'incentre. 5. Depuis \( I \), tracez la perpendiculaire au côté \( (MN) \). Soit \( H \) le point d'intersection. La longueur \( IH \) est le rayon du cercle inscrit. 6. Tracez le cercle de centre \( I \) et de rayon \( IH \). Vous verrez qu'il touche les trois côtés du triangle en un seul point. ### Exercices 1. Dessinez un triangle quelconque \( DEF \). Construisez avec précision les trois bissectrices de ce triangle. Que remarquez-vous? 2. Dans le triangle \( DEF \) de l'exercice 1, nommez le point d'intersection des bissectrices \( K \). Que représente le point \( K \) pour le triangle? 3. En utilisant le point \( K \) et la propriété d'équidistance, tracez le cercle inscrit dans le triangle \( DEF \). 4. Expliquez pourquoi le centre du cercle inscrit est équidistant des trois côtés du triangle. 5. Dessinez un angle de 70°. Construisez sa bissectrice. Mesurez les deux angles obtenus. Sont-ils égaux? ### Devoir 1. Construisez un triangle \( RST \) dont les mesures des côtés sont \( RS = 7 \text{ cm} \), \( ST = 8 \text{ cm} \) et \( TR = 6 \text{ cm} \). 2. Construisez le centre de son cercle inscrit, puis tracez ce cercle avec précision. 3. Tracez un triangle \( GHI \) isocèle en \( G \). Que pouvez-vous dire de la bissectrice de l'angle \( \widehat{G} \) et de la hauteur issue de \( G \)? Superposent-elles? 4. Est-il possible que le centre du cercle inscrit se trouve à l'extérieur du triangle? Justifiez votre réponse. 5. Si un point est équidistant des trois côtés d'un triangle, que représente ce point? ### Résumé Pour conclure, nous avons appris aujourd'hui que: * La **bissectrice** d'un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles égaux. * Tout point sur une bissectrice est **équidistant** des côtés de l'angle. * Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un seul point, appelé l'**incentre**. * L'incentre est le **centre du cercle inscrit** dans le triangle, car il est équidistant des trois côtés. * Le **cercle inscrit** est tangent aux trois côtés du triangle. Sa construction implique de trouver l'incentre et le rayon (distance de l'incentre à un côté). Ces propriétés sont fondamentales en géométrie et vous seront utiles pour comprendre d'autres constructions et théorèmes à l'avenir. Continuez à pratiquer ces constructions pour bien les maîtriser! ## Hauteurs et orthocentre d'un triangle ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les triangles ! Aujourd'hui, nous allons découvrir une propriété importante des triangles : les hauteurs. Nous apprendrons à les tracer et à identifier un point particulier, appelé l'orthocentre. Ces concepts sont fondamentaux en géométrie et vous aideront à mieux comprendre les différentes caractéristiques des triangles. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'une hauteur dans un triangle ? Une **hauteur** d'un triangle est une droite (ou un segment) qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement). * Chaque triangle possède trois sommets, donc il possède trois hauteurs. * La hauteur est toujours perpendiculaire au côté sur lequel elle 'tombe'. Cela signifie qu'elle forme un angle droit (90°) avec ce côté. * Le côté sur lequel 'tombe' la hauteur est appelé la **base relative** à cette hauteur. #### 2. Comment tracer une hauteur ? Pour tracer une hauteur, vous avez besoin d'une règle et d'une équerre. 1. **Choisissez un sommet** (par exemple, le sommet A). 2. **Identifiez le côté opposé** à ce sommet (par exemple, le côté BC). 3. **Placez l'équerre** de manière à ce que l'un de ses côtés formant l'angle droit soit aligné avec le côté opposé (BC). 4. **Faites glisser l'équerre** le long du côté opposé jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit de l'équerre passe par le sommet choisi (A). 5. **Tracez la droite** depuis le sommet (A) jusqu'au côté opposé (BC). Cette droite est la hauteur issue de A. * **Cas du triangle acutangle (tous les angles aigus) :** Les trois hauteurs sont à l'intérieur du triangle. * **Cas du triangle rectangle :** Deux des hauteurs sont les côtés du triangle formant l'angle droit. La troisième hauteur est à l'intérieur. * **Cas du triangle obtusangle (un angle obtus) :** Deux des hauteurs sont à l'extérieur du triangle et nécessitent de prolonger les côtés opposés. #### 3. L'orthocentre L'**orthocentre** est le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle. C'est une propriété remarquable : les trois hauteurs d'un triangle sont toujours concourantes (elles se coupent en un unique point). * **Position de l'orthocentre : * Dans un triangle acutangle (tous les angles sont aigus), l'orthocentre est **à l'intérieur** du triangle. * Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est le **sommet de l'angle droit**. * Dans un triangle obtusangle (un angle est obtus), l'orthocentre est **à l'extérieur** du triangle. ### Vocabulaire * **Hauteur (d'un triangle) :** Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. * **Orthocentre :** Point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle. * **Sommet :** Point d'un triangle où se rencontrent deux côtés. * **Côté opposé :** Le côté du triangle qui ne touche pas le sommet considéré. * **Perpendiculaire :** Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit (90°). On utilise le symbole \( ot \). * **Segment :** Portion de droite délimitée par deux points. * **Droite :** Entité géométrique linéaire, illimitée dans les deux sens. * **Concourantes :** Se dit de plusieurs droites qui se coupent en un même point. ### Exemples #### Exemple 1 : Triangle acutangle Soit un triangle ABC avec des angles A = 60°, B = 70°, C = 50°. 1. Tracez le triangle ABC. 2. Tracez la hauteur issue de A vers BC. Appelez le pied de la hauteur \(H_A\) sur BC. La droite \( (AH_A) \) est perpendiculaire à \( (BC) \). 3. Tracez la hauteur issue de B vers AC. Appelez le pied de la hauteur \(H_B\) sur AC. La droite \( (BH_B) \) est perpendiculaire à \( (AC) \). 4. Tracez la hauteur issue de C vers AB. Appelez le pied de la hauteur \(H_C\) sur AB. La droite \( (CH_C) \) est perpendiculaire à \( (AB) \). 5. Vous remarquerez que les trois hauteurs se coupent en un point unique à l'intérieur du triangle. Ce point est l'orthocentre O. #### Exemple 2 : Triangle rectangle Soit un triangle DEF rectangle en E. (angle E = 90°) 1. Tracez le triangle DEF. 2. La hauteur issue de D est perpendiculaire à EF, donc c'est le segment DE lui-même. 3. La hauteur issue de F est perpendiculaire à DE, donc c'est le segment FE lui-même. 4. Ces deux hauteurs (DE et FE) se coupent au sommet E. 5. La troisième hauteur issue de E est perpendiculaire à DF. Elle coupe DF en un point \(H_E\). La droite \( (EH_E) \) passe également par E. 6. L'orthocentre du triangle DEF est le sommet E de l'angle droit. #### Exemple 3 : Triangle obtusangle Soit un triangle GHI avec un angle H = 110°. 1. Tracez le triangle GHI. 2. La hauteur issue de H vers GI se trouve à l'intérieur du triangle. 3. Pour la hauteur issue de G vers HI, vous devez prolonger le côté HI. La hauteur sera perpendiculaire au prolongement de HI et passera par G. Elle est à l'extérieur du triangle. 4. Pour la hauteur issue de I vers GH, vous devez prolonger le côté GH. La hauteur sera perpendiculaire au prolongement de GH et passera par I. Elle est à l'extérieur du triangle. 5. Les trois hauteurs (ou leurs prolongements) se coupent en un point O qui est à l'extérieur du triangle GHI. C'est l'orthocentre. ### Exercices 1. **Définitions :** a. Qu'est-ce qu'une hauteur dans un triangle ? b. Qu'est-ce que l'orthocentre d'un triangle ? 2. **Tracé et identification :** a. Dessinez un triangle ABC avec AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 7 cm. b. Tracez les trois hauteurs de ce triangle. c. Marquez l'orthocentre O. Est-il à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le triangle ? 3. **Vrai ou Faux :** a. Un triangle possède toujours trois hauteurs. (Vrai/Faux) b. L'orthocentre d'un triangle rectangle est toujours à l'intérieur du triangle. (Vrai/Faux) c. Si un triangle a un angle de 100°, son orthocentre est à l'extérieur. (Vrai/Faux) 4. **Cas particuliers :** a. Dans un triangle isocèle ABC avec AB = AC, la hauteur issue de A est aussi la médiane et la médiatrice du côté BC. Que pouvez-vous en déduire sur l'orthocentre dans ce type de triangle si le triangle est aussi acutangle ? ### Devoirs 1. **Construction : * Dessinez un triangle MNP dont l'angle en M est obtus (par exemple 120°). * Tracez ses trois hauteurs (n'oubliez pas de prolonger les côtés si nécessaire). * Localisez et nommez son orthocentre. Expliquez pourquoi il se trouve à cet endroit. 2. **Réflexion : * Si un triangle est équilatéral, où se trouve son orthocentre par rapport à d'autres points remarquables (centre de gravité, centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit) ? Justifiez votre réponse. 3. **Problème : * Le point O est l'orthocentre du triangle ABC. Que peut-on dire des points O, A, B, C si l'angle en B est un angle droit ? ### Résumé Pour conclure, nous avons appris aujourd'hui que : * Une **hauteur** d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). * Chaque triangle a trois hauteurs. * Les trois hauteurs d'un triangle sont **concourantes** en un unique point appelé l'**orthocentre**. * La position de l'orthocentre dépend du type de triangle : * **Triangle acutangle :** orthocentre à l'intérieur. * **Triangle rectangle :** orthocentre au sommet de l'angle droit. * **Triangle obtusangle :** orthocentre à l'extérieur. Il est essentiel de bien savoir tracer les hauteurs à l'aide d'une équerre et d'une règle pour comprendre ces propriétés fondamentales. Entraînez-vous bien avec les exercices et les devoirs !