Translations (suite et fin)

# Translations (suite et fin) ## Propriétés des translations. ### Introduction Dans la leçon précédente, nous avons découvert ce qu'est une translation et comment construire l'image d'un point ou d'une figure. Aujourd'hui, nous allons aller plus loin en explorant les propriétés fondamentales des translations. Comprendre ces propriétés est essentiel car cela nous aidera à savoir ce qui est conservé (ce qui ne change pas) lorsqu'on déplace une figure par translation. ### Concepts Clés Les translations sont des transformations géométriques qui "glissent" une figure sans la déformer. Elles possèdent des propriétés importantes qui garantissent la conservation de certaines caractéristiques des figures. #### 1. Conservation de l'alignement Si des points sont alignés avant une translation, leurs images par cette translation seront également alignées. Une droite est transformée en une droite parallèle ou en elle-même. #### 2. Conservation des distances (longueurs) La translation conserve les longueurs des segments. Si un segment \( [AB] \) est translaté en \( [A'B'] \), alors la longueur \( AB \) est égale à la longueur \( A'B' \). #### 3. Conservation des mesures d'angles La translation conserve les mesures des angles. Si un angle \( \widehat{ABC} \) est translaté en \( \widehat{A'B'C'} \), alors \( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{A'B'C'}) \). #### 4. Conservation du parallélisme Si deux droites sont parallèles, leurs images par translation seront également parallèles. Une translation transforme une droite en une droite parallèle à elle-même, ou en elle-même. #### 5. Conservation des formes et des aires Grâce aux propriétés ci-dessus, une translation transforme une figure géométrique (comme un triangle, un carré, un cercle) en une figure qui lui est superposable (isométrique). Cela signifie que la forme et la taille (et donc l'aire) de la figure ne changent pas. Un cercle est transformé en un cercle de même rayon. #### 6. Conservation des milieux Le milieu d'un segment est transformé par translation en le milieu du segment image. Si \( M \) est le milieu de \( [AB] \), alors l'image de \( M \), notée \( M' \), sera le milieu de \( [A'B'] \). ### Vocabulaire * **Translation :** Transformation géométrique qui déplace tous les points d'une figure dans la même direction, le même sens et sur la même distance. * **Vecteur :** Un objet mathématique qui représente une translation. Il est caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme). * **Image :** La figure (ou le point) obtenue après l'application d'une translation. * **Antécédent :** La figure (ou le point) d'origine avant l'application d'une translation. * **Conserver (préserver) :** Maintenir une caractéristique géométrique inchangée après une transformation. * **Alignement :** La propriété pour plusieurs points d'être situés sur une même droite. * **Parallélisme :** La propriété pour deux droites de ne jamais se rencontrer. ### Exemples 1. **Translation d'un segment :** Soit un segment \( [AB] \) de longueur 4 cm. Après une translation, on obtient le segment \( [A'B'] \). D'après les propriétés, la longueur de \( [A'B'] \) sera aussi de 4 cm. De plus, la droite \( (A'B') \) sera parallèle à \( (AB) \). 2. **Translation d'un triangle :** Soit un triangle \( ABC \) rectangle en \( B \). Après une translation, on obtient le triangle \( A'B'C' \). Ce triangle \( A'B'C' \) sera également rectangle en \( B' \), car la translation conserve les mesures des angles. Les longueurs de ses côtés seront identiques à celles de \( ABC \). 3. **Translation d'un cercle :** Soit un cercle de centre \( O \) et de rayon \( R \). L'image de ce cercle par translation sera un nouveau cercle de centre \( O' \) (l'image de \( O \) par la translation) et de même rayon \( R \). ### Exercices 1. On considère un segment \( [MN] \) de 7 cm. Par une translation, il est transformé en un segment \( [M'N'] \). Quelle est la longueur de \( [M'N'] \) ? Justifiez votre réponse. 2. Un angle mesure \( 60^{\circ} \). Quelle sera la mesure de son image par translation ? Pourquoi ? 3. Si deux droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont parallèles, que peut-on dire de leurs images \( d'_1 \) et \( d'_2 \) par la même translation ? 4. Dessinez un triangle \( ABC \). Choisissez un vecteur de translation. Construisez l'image \( A'B'C' \) de ce triangle. Que pouvez-vous observer concernant leurs formes et leurs tailles ? ### Devoir à la maison 1. Sur une feuille à carreaux, tracez un rectangle \( EFGH \) dont les côtés mesurent 6 cm et 3 cm. Dessinez le vecteur de translation qui va du point \( E \) au point \( M \) (choisissez \( M \) quelques carreaux à droite et en bas de \( E \)). Construisez l'image \( E'F'G'H' \) de ce rectangle par cette translation. Que pouvez-vous dire de l'aire de \( E'F'G'H' \) par rapport à celle de \( EFGH \) ? 2. On donne un segment \( [XY] \) et son image \( [X'Y'] \) par une translation. Quelle est la propriété qui vous permet d'affirmer que \( (XY) \) est parallèle à \( (X'Y') \) ? 3. Est-il possible qu'une translation transforme un carré en un rectangle qui n'est pas un carré ? Expliquez votre réponse en utilisant les propriétés des translations. ### Résumé Pour conclure, retenez que la translation est une isométrie, c'est-à-dire une transformation qui **conserve** les distances. Cela implique qu'elle préserve l'alignement des points, les longueurs des segments, les mesures des angles, le parallélisme, les milieux, ainsi que les formes et les aires des figures. En somme, une translation déplace une figure sans jamais la déformer, la faisant glisser comme un objet sur une surface plane.