Triangles (suite et fin) Chap5: Cercle

# Triangles (suite et fin) Chap5: Cercle ## Propriété directe de Pythagore ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée à l'une des propriétés les plus célèbres et les plus utiles en géométrie : la propriété directe de Pythagore. Ce théorème est un outil fondamental qui nous permet de calculer les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Que ce soit pour construire un angle droit parfait ou pour déterminer une distance inaccessible, le théorème de Pythagore est partout ! Nous allons apprendre à l'utiliser pour résoudre des problèmes concrets. ### Concepts Clés #### Le Triangle Rectangle Un triangle rectangle est un triangle particulier qui possède un angle droit (un angle de 90 degrés). C'est la condition essentielle pour pouvoir appliquer le théorème de Pythagore. * **Hypoténuse :** C'est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. * **Côtés de l'angle droit (ou cathètes) :** Ce sont les deux autres côtés du triangle qui forment l'angle droit. #### La Propriété Directe de Pythagore **Énoncé :** Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les côtés de l'angle droit). Considérons un triangle \( ABC \) rectangle en \( A \). Les côtés de l'angle droit sont \( AB \) et \( AC \), et l'hypoténuse est \( BC \). **Formule :** \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] C'est la formule que nous allons utiliser pour nos calculs. Elle permet de trouver la longueur d'un côté d'un triangle rectangle si l'on connaît les longueurs des deux autres côtés. #### Comment utiliser la propriété de Pythagore ? La propriété de Pythagore s'utilise principalement de deux manières : 1. **Calculer la longueur de l'hypoténuse :** Si vous connaissez les longueurs des deux côtés de l'angle droit, vous pouvez trouver la longueur de l'hypoténuse. 2. **Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit :** Si vous connaissez la longueur de l'hypoténuse et la longueur d'un des côtés de l'angle droit, vous pouvez trouver la longueur de l'autre côté de l'angle droit. ### Vocabulaire * **Triangle rectangle :** Un triangle qui possède un angle de 90 degrés. * **Angle droit :** Un angle mesurant 90 degrés. * **Hypoténuse :** Le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit. * **Côtés de l'angle droit (cathètes) :** Les deux côtés d'un triangle rectangle qui forment l'angle droit. * **Carré d'un nombre :** Le résultat de la multiplication d'un nombre par lui-même (par exemple, le carré de 3 est \( 3^2 = 3 \times 3 = 9 \)). * **Racine carrée d'un nombre :** Le nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre initial (par exemple, la racine carrée de 25 est \( \sqrt{25} = 5 \) car \( 5 \times 5 = 25 \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Calculer la longueur de l'hypoténuse Soit un triangle \( DEF \) rectangle en \( E \) tel que \( DE = 3 \) cm et \( EF = 4 \) cm. Calculer la longueur de l'hypoténuse \( DF \). 1. **Identifier le triangle rectangle et l'hypoténuse :** Le triangle \( DEF \) est rectangle en \( E \), donc l'hypoténuse est \( DF \). 2. **Appliquer la propriété de Pythagore :** D'après la propriété de Pythagore : \[ DF^2 = DE^2 + EF^2 \] 3. **Remplacer par les valeurs connues :** \[ DF^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ DF^2 = 9 + 16 \] \[ DF^2 = 25 \] 4. **Calculer la racine carrée :** \[ DF = \sqrt{25} \] \[ DF = 5 \] cm L'hypoténuse \( DF \) mesure 5 cm. #### Exemple 2 : Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit Soit un triangle \( GHI \) rectangle en \( H \) tel que \( GI = 10 \) cm (hypoténuse) et \( HI = 6 \) cm. Calculer la longueur du côté \( GH \). 1. **Identifier le triangle rectangle et les côtés :** Le triangle \( GHI \) est rectangle en \( H \). L'hypoténuse est \( GI \). Les côtés de l'angle droit sont \( GH \) et \( HI \). 2. **Appliquer la propriété de Pythagore :** D'après la propriété de Pythagore : \[ GI^2 = GH^2 + HI^2 \] 3. **Remplacer par les valeurs connues :** \[ 10^2 = GH^2 + 6^2 \] \[ 100 = GH^2 + 36 \] 4. **Isoler le terme inconnu :** \[ GH^2 = 100 - 36 \] \[ GH^2 = 64 \] 5. **Calculer la racine carrée :** \[ GH = \sqrt{64} \] \[ GH = 8 \] cm Le côté \( GH \) mesure 8 cm. ### Exercices 1. Un triangle \( LMN \) est rectangle en \( M \). On sait que \( LM = 7 \) cm et \( MN = 24 \) cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse \( LN \). 2. Un triangle \( PQR \) est rectangle en \( P \). L'hypoténuse \( QR \) mesure \( 13 \) cm et le côté \( PQ \) mesure \( 5 \) cm. Calcule la longueur du côté \( PR \). 3. Une échelle de 5 mètres de long est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 3 mètres du bas du mur. À quelle hauteur sur le mur l'échelle atteint-elle ? (Fais un schéma pour t'aider et identifie le triangle rectangle). ### Devoir à la Maison 1. Un écran de télévision a une diagonale de 75 cm. Sa largeur est de 60 cm. Quelle est la hauteur de cet écran ? 2. Dans un repère orthonormé, on donne les points \( A(1, 2) \), \( B(4, 2) \) et \( C(4, 6) \). Le triangle \( ABC \) est-il rectangle ? Si oui, en quel point ? Calcule les longueurs des trois côtés et utilise la propriété de Pythagore pour le vérifier. 3. Un carré a des côtés de 6 cm. Quelle est la longueur de sa diagonale ? Donne une valeur exacte, puis une valeur arrondie au millimètre près. ### Résumé La propriété directe de Pythagore est un outil puissant pour travailler avec les triangles rectangles. Elle établit une relation fondamentale entre les longueurs des côtés d'un tel triangle : * **Condition :** Le triangle doit être rectangle. * **Formule :** Si le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \), alors \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \). * **Utilisation :** Elle permet de calculer la longueur d'un des côtés (hypoténuse ou côté de l'angle droit) si les longueurs des deux autres côtés sont connues. Maîtriser cette propriété est essentiel pour de nombreuses applications en géométrie et au-delà. ## Propriété réciproque de Pythagore ### Introduction Dans la leçon précédente, nous avons découvert le Théorème de Pythagore, un outil puissant pour calculer la longueur d'un côté dans un triangle *rectangle* lorsque l'on connaît les deux autres. Aujourd'hui, nous allons explorer la "propriété réciproque" de ce théorème. Son rôle est inversé : elle nous permet de *vérifier* si un triangle est rectangle lorsque l'on connaît les longueurs de ses trois côtés. ### Concepts Clés #### Rappel du Théorème de Pythagore Le Théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles. Il stipule que : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si ABC est un triangle rectangle en B, alors : \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] #### Propriété Réciproque du Théorème de Pythagore Cette propriété est utilisée pour *prouver* qu'un triangle est rectangle. Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle. **Méthode :** 1. Identifie le côté le plus long du triangle. C'est le candidat pour être l'hypoténuse. Calcule le carré de sa longueur. 2. Calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. 3. Compare les deux résultats : * Si les résultats sont **égaux**, alors le triangle est rectangle. L'angle droit est l'angle opposé au côté le plus long. * Si les résultats sont **différents**, alors le triangle n'est pas rectangle (voir la contraposée ci-dessous). **Exemple Formel :** Soit un triangle ABC dont les côtés sont AB, BC et AC. Si AC est le côté le plus long et que \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \], alors le triangle ABC est rectangle en B. #### La Contraposée du Théorème de Pythagore Cette propriété est utilisée pour *prouver* qu'un triangle **n'est pas** rectangle. Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long n'est *pas* égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est *pas* un triangle rectangle. **Exemple Formel :** Soit un triangle ABC dont les côtés sont AB, BC et AC. Si AC est le côté le plus long et que \[ AC^2 \neq AB^2 + BC^2 \], alors le triangle ABC n'est pas rectangle. ### Vocabulaire * **Triangle rectangle :** Un triangle qui possède un angle droit (90 degrés). * **Hypoténuse :** Le côté le plus long d'un triangle rectangle, toujours opposé à l'angle droit. * **Côtés de l'angle droit (ou cathètes) :** Les deux côtés du triangle rectangle qui forment l'angle droit. * **Théorème de Pythagore :** Règle mathématique permettant de calculer une longueur dans un triangle rectangle. * **Propriété réciproque :** Propriété qui permet de déterminer si une condition inverse est vraie (ici, si un triangle est rectangle à partir de ses côtés). * **Contraposée :** Proposition logique qui permet de prouver qu'une condition n'est pas remplie. ### Exemples #### Exemple 1 : Prouver qu'un triangle est rectangle Soit un triangle DEF dont les longueurs sont DE = 6 cm, EF = 8 cm et DF = 10 cm. Le côté le plus long est DF = 10 cm. 1. Calcul du carré du côté le plus long : \[ DF^2 = 10^2 = 100 \] 2. Calcul de la somme des carrés des deux autres côtés : \[ DE^2 + EF^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] 3. Comparaison : On constate que \( DF^2 = DE^2 + EF^2 \). **Conclusion :** D'après la propriété réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle DEF est un triangle rectangle en E. #### Exemple 2 : Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle Soit un triangle GHI dont les longueurs sont GH = 4 cm, HI = 5 cm et GI = 7 cm. Le côté le plus long est GI = 7 cm. 1. Calcul du carré du côté le plus long : \[ GI^2 = 7^2 = 49 \] 2. Calcul de la somme des carrés des deux autres côtés : \[ GH^2 + HI^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \] 3. Comparaison : On constate que \( GI^2 \neq GH^2 + HI^2 \) car \( 49 \neq 41 \). **Conclusion :** D'après la contraposée du Théorème de Pythagore, le triangle GHI n'est pas un triangle rectangle. ### Exercices Pour chaque triangle ci-dessous, indique si c'est un triangle rectangle ou non, en justifiant ta réponse par un calcul. 1. Un triangle PQR avec PQ = 8 cm, QR = 15 cm, PR = 17 cm. 2. Un triangle JKL avec JK = 7 cm, KL = 24 cm, JL = 25 cm. 3. Un triangle MNO avec MN = 5 cm, NO = 6 cm, MO = 8 cm. ### Devoirs 1. **Le terrain de basket :** Un entraîneur veut vérifier que les coins du terrain de basket de son gymnase sont bien des angles droits. Il mesure deux côtés adjacents de 12 mètres et 16 mètres. Il mesure ensuite la diagonale et trouve 20 mètres. Le terrain est-il bien rectangulaire aux coins mesurés ? Justifie ta réponse. 2. **L'équerre cassée :** Malika a cassé son équerre et a gardé un morceau en forme de triangle. Les côtés de ce morceau mesurent 3,5 cm, 4,2 cm et 5,7 cm. Ce morceau peut-il encore servir pour vérifier des angles droits ? Explique pourquoi. ### Résumé La propriété réciproque du Théorème de Pythagore est essentielle pour déterminer si un triangle est un triangle rectangle lorsque l'on connaît la longueur de ses trois côtés. On compare toujours le carré du côté le plus long avec la somme des carrés des deux autres côtés. Si les valeurs sont égales, le triangle est rectangle. Si elles sont différentes, le triangle n'est pas rectangle. C'est un outil très pratique en géométrie pour valider des constructions ou des formes. ## Positions relatives d’une droite et d’un cercle ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer les différentes manières dont une droite peut être positionnée par rapport à un cercle. Nous découvrirons qu'il n'y a que trois possibilités distinctes, chacune ayant ses propres caractéristiques et propriétés. Comprendre ces positions est fondamental pour de nombreux concepts en géométrie. ### Concepts Clés #### Rappel : Qu'est-ce qu'un cercle et une droite ? * **Un cercle** est l'ensemble de tous les points situés à une distance égale (le **rayon**) d'un point fixe (le **centre**). * **Une droite** est un ensemble infini de points alignés, sans début ni fin. #### La distance d'un point à une droite Pour déterminer la position relative d'une droite et d'un cercle, nous utilisons un concept très important : la distance du centre du cercle à la droite. La **distance d'un point à une droite** est la longueur du plus court segment reliant ce point à un point de la droite. Ce segment est toujours **perpendiculaire** à la droite. Si le centre du cercle est noté \( O \) et la droite est notée \( (d) \), on note souvent la distance \( d(O, (d)) \) ou simplement \( d \). Le rayon du cercle est noté \( r \). #### Les trois positions relatives Il existe trois positions possibles pour une droite par rapport à un cercle, définies par la comparaison entre la distance \( d \) (du centre à la droite) et le rayon \( r \) du cercle. ##### 1. La droite est sécante au cercle Une droite est dite **sécante** à un cercle si elle le coupe en **deux points distincts**. * Dans ce cas, la distance du centre du cercle à la droite est **inférieure** au rayon. * Condition : \( d < r \) ##### 2. La droite est tangente au cercle Une droite est dite **tangente** à un cercle si elle le touche en un **seul point**. * Ce point unique est appelé le **point de tangence**. * La droite tangente est **perpendiculaire au rayon** qui aboutit au point de tangence. * Dans ce cas, la distance du centre du cercle à la droite est **égale** au rayon. * Condition : \( d = r \) ##### 3. La droite est extérieure au cercle Une droite est dite **extérieure** à un cercle si elle ne coupe pas le cercle, c'est-à-dire qu'elle n'a **aucun point en commun** avec le cercle. * Dans ce cas, la distance du centre du cercle à la droite est **supérieure** au rayon. * Condition : \( d > r \) ### Vocabulaire * **Cercle :** Ensemble de points équidistants d'un centre. * **Centre :** Le point fixe d'où tous les points du cercle sont à égale distance. * **Rayon :** La distance du centre à n'importe quel point du cercle. * **Droite :** Une ligne infinie de points. * **Sécante :** Une droite qui coupe un cercle en deux points. * **Tangente :** Une droite qui touche un cercle en un seul point. * **Point de tangence :** Le point unique où une tangente touche un cercle. * **Extérieure :** Une droite qui n'a aucun point en commun avec un cercle. * **Distance d'un point à une droite :** La longueur du segment perpendiculaire mené du point à la droite. ### Exemples **Exemple 1 : Identification de position** Considérons un cercle de centre \( O \) et de rayon \( r = 5 \text{ cm} \). * Si la distance du point \( O \) à la droite \( (d_1) \) est de \( 3 \text{ cm} \) (c'est-à-dire \( d = 3 \text{ cm} \)). Puisque \( 3 < 5 \) (\( d < r \)), la droite \( (d_1) \) est **sécante** au cercle. * Si la distance du point \( O \) à la droite \( (d_2) \) est de \( 5 \text{ cm} \) (c'est-à-dire \( d = 5 \text{ cm} \)). Puisque \( 5 = 5 \) (\( d = r \)), la droite \( (d_2) \) est **tangente** au cercle. * Si la distance du point \( O \) à la droite \( (d_3) \) est de \( 7 \text{ cm} \) (c'est-à-dire \( d = 7 \text{ cm} \)). Puisque \( 7 > 5 \) (\( d > r \)), la droite \( (d_3) \) est **extérieure** au cercle. **Exemple 2 : Construction d'une tangente** Pour construire une tangente à un cercle de centre \( O \) passant par un point \( A \) du cercle : 1. Tracez le rayon \( OA \). 2. Tracez la droite perpendiculaire au rayon \( OA \) passant par le point \( A \). Cette droite est la tangente au cercle au point \( A \). ### Exercices (à faire en classe) 1. **Question :** Un cercle a un rayon de \( 6 \text{ cm} \). La distance de son centre à une droite est de \( 4 \text{ cm} \). Quelle est la position relative de la droite par rapport au cercle ? Justifiez votre réponse. 2. **Question :** Dessinez un cercle de centre \( O \) et de rayon \( 4 \text{ cm} \). Tracez : * Une droite sécante à ce cercle. * Une droite tangente à ce cercle (précisez le point de tangence). * Une droite extérieure à ce cercle. 3. **Question :** On vous donne un cercle de rayon \( R \) et une droite \( (d) \). Si le point de tangence est \( T \), quelle est la relation entre le segment \( OT \) et la droite \( (d) \) ? ### Devoir (à la maison) 1. **Question :** Soit un cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( O \) et de rayon \( r = 7.5 \text{ cm} \). * Déterminez la position relative d'une droite \( (d_1) \) si \( d(O, (d_1)) = 6 \text{ cm} \). * Déterminez la position relative d'une droite \( (d_2) \) si \( d(O, (d_2)) = 7.5 \text{ cm} \). * Déterminez la position relative d'une droite \( (d_3) \) si \( d(O, (d_3)) = 8 \text{ cm} \). 2. **Construction :** Tracez un cercle de centre \( C \) et de rayon \( 5 \text{ cm} \). Placez un point \( M \) à l'extérieur de ce cercle. Construisez une tangente au cercle qui ne passe pas par \( M \). Justifiez votre construction. 3. **Réflexion :** Une droite peut-elle couper un cercle en plus de deux points ? Expliquez pourquoi. ### Résumé Pour déterminer la position relative d'une droite par rapport à un cercle, il faut comparer la distance \( d \) du centre du cercle à la droite avec le rayon \( r \) du cercle. Voici les trois possibilités : * Si \( d < r \), la droite est **sécante** (coupe le cercle en deux points). * Si \( d = r \), la droite est **tangente** (touche le cercle en un seul point, et est perpendiculaire au rayon en ce point). * Si \( d > r \), la droite est **extérieure** (n'a aucun point en commun avec le cercle). Ces règles simples nous permettent de classer toutes les interactions possibles entre une droite et un cercle.