Chap6: Vecteurs

# Chap6: Vecteurs ## Notion de vecteur ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons découvrir un nouvel outil mathématique très utile pour décrire les déplacements et les transformations géométriques : le vecteur. Un vecteur permet de représenter un mouvement qui a une direction, un sens et une longueur. C'est une notion fondamentale qui sera utilisée tout au long de votre parcours en mathématiques. ### Concepts clés #### 1. Qu'est-ce qu'un vecteur ? Un vecteur est un objet mathématique qui décrit un déplacement. Imaginez-vous en train de déplacer un objet d'un point A à un point B. Ce déplacement peut être représenté par un vecteur. Il est caractérisé par trois éléments essentiels : * **Sa direction :** C'est la ligne sur laquelle s'effectue le déplacement. Par exemple, la direction peut être horizontale, verticale, ou oblique. On parle de la droite qui "porte" le vecteur, ou de toute droite qui lui est parallèle. * **Son sens :** Sur une direction donnée, il y a toujours deux sens possibles (par exemple, de gauche à droite ou de droite à gauche ; du haut vers le bas ou du bas vers le haut). Le sens indique dans quelle orientation le déplacement se fait. * **Sa norme (ou longueur) :** C'est la distance parcourue, la "taille" du déplacement. C'est la longueur du segment qui relie le point de départ au point d'arrivée. #### Représentation d'un vecteur Un vecteur est généralement représenté par une flèche : * La base de la flèche est le **point de départ** (ou origine) du vecteur. * La pointe de la flèche est le **point d'arrivée** (ou extrémité) du vecteur. * Si le vecteur va d'un point A à un point B, on le note \( \vec{AB} \). Le point A est l'origine et le point B est l'extrémité. * On peut aussi le nommer avec une seule lettre minuscule surmontée d'une flèche, par exemple \( \vec{u} \) ou \( \vec{v} \). #### 2. Vecteurs égaux Deux vecteurs sont dits **égaux** s'ils représentent exactement le même déplacement. Cela signifie qu'ils doivent avoir : * La même direction. * Le même sens. * La même norme. Si \( \vec{AB} = \vec{CD} \), cela veut dire que le déplacement de A vers B est rigoureusement identique au déplacement de C vers D. Concrètement, cela implique que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (dans l'ordre des points A, B, D, C) ou que les points A, B, C, D sont alignés. #### 3. Qu'est-ce qu'une translation ? La translation est une des transformations géométriques fondamentales. Elle correspond à un "glissement" d'une figure sans la déformer ni la faire tourner. Le vecteur est l'outil parfait pour définir une translation. Quand on dit qu'une figure (ou un point) est transformée par une translation, cela signifie que chaque point de la figure est déplacé selon un vecteur donné. * Si le point M' est l'image du point M par la translation de vecteur \( \vec{u} \), alors le vecteur \( \vec{MM'} \) est égal au vecteur \( \vec{u} \) : \[ \vec{MM'} = \vec{u} \] ### Vocabulaire * **Vecteur :** Objet mathématique représentant un déplacement. Il est défini par sa direction, son sens et sa norme. * **Origine :** Le point de départ d'un vecteur (par exemple, A pour \( \vec{AB} \)). * **Extrémité :** Le point d'arrivée d'un vecteur (par exemple, B pour \( \vec{AB} \)). * **Direction :** L'orientation de la ligne sur laquelle se situe le vecteur (ex: horizontale, verticale, oblique). * **Sens :** L'orientation spécifique du déplacement sur une direction (ex: vers la droite, vers le haut). * **Norme :** La longueur ou la magnitude du vecteur, la distance parcourue. * **Translation :** Transformation géométrique qui déplace tous les points d'une figure selon un même vecteur, sans rotation ni déformation. ### Exemples #### Exemple 1 : Identifier les caractéristiques d'un vecteur Si un oiseau vole de sa branche (point O) à un nid (point N) situé 5 mètres plus loin vers le nord-est, le vecteur \( \vec{ON} \) a : * **Direction :** La droite qui relie la branche au nid (direction nord-est). * **Sens :** Du sud-ouest vers le nord-est. * **Norme :** 5 mètres. #### Exemple 2 : Vecteurs égaux Sur un quadrillage, si le point A est en (1,1) et B en (4,3), le vecteur \( \vec{AB} \) correspond à un déplacement de 3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut. Si un point C est en (0,0) et D en (3,2), le vecteur \( \vec{CD} \) correspond aussi à 3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut. Donc, \( \vec{AB} = \vec{CD} \). #### Exemple 3 : Application de la translation Vous avez un triangle ABC. Dessinez un vecteur \( \vec{u} \) sur votre feuille. Pour construire l'image A'B'C' du triangle ABC par la translation de vecteur \( \vec{u} \) : 1. Construisez A' tel que \( \vec{AA'} = \vec{u} \). 2. Construisez B' tel que \( \vec{BB'} = \vec{u} \). 3. Construisez C' tel que \( \vec{CC'} = \vec{u} \). Vous obtiendrez un nouveau triangle A'B'C' qui est une copie exacte de ABC, simplement glissée. ### Exercices 1. **Question 1 :** Citez les trois éléments qui caractérisent un vecteur. Expliquez brièvement chacun d'eux. 2. **Question 2 :** Tracez sur votre cahier un vecteur \( \vec{EF} \). Dessinez ensuite un autre vecteur \( \vec{GH} \) qui est égal à \( \vec{EF} \). 3. **Question 3 :** Dans un parallélogramme JKLM (avec J, K, L, M dans l'ordre des sommets), quels sont les vecteurs qui sont égaux au vecteur \( \vec{JK} \) ? Et quels sont les vecteurs qui sont égaux au vecteur \( \vec{KL} \) ? ### Devoir 1. **Exercice 1 :** Tracez un point P et un vecteur \( \vec{w} \) de 4 cm de long vers le bas. Construisez le point Q tel que \( \vec{PQ} = \vec{w} \). 2. **Exercice 2 :** Soit un losange RSTU dont les diagonales se coupent en O. * Citez tous les vecteurs égaux à \( \vec{RS} \). * Citez tous les vecteurs qui ont la même direction que \( \vec{ST} \) mais un sens opposé. * Citez deux vecteurs qui ont la même norme que \( \vec{RO} \) mais une direction différente. 3. **Exercice 3 :** Un joueur de football tape dans un ballon. Le ballon part du point A et arrive au point B. Décrivez le vecteur \( \vec{AB} \) en termes de direction, de sens et de norme, en imaginant un mouvement simple (par exemple, 20 mètres vers le nord-est). Dessinez une représentation schématique de ce vecteur. ### Résumé Pour résumer, un **vecteur** est un concept fondamental en mathématiques qui permet de décrire un déplacement. Il est défini par trois caractéristiques clés : sa **direction**, son **sens** et sa **norme** (longueur). Deux vecteurs sont **égaux** s'ils partagent ces trois caractéristiques identiques. Enfin, la **translation** est une transformation géométrique qui utilise un vecteur pour "glisser" une figure, déplaçant tous ses points selon ce même vecteur. Maîtriser la notion de vecteur est essentiel pour comprendre de nombreuses autres notions en géométrie et en physique. ## Égalité de vecteurs. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les vecteurs ! Dans la vie de tous les jours, nous parlons souvent de mouvements : un objet qui se déplace d'un point A à un point B. Pour décrire ce mouvement, il ne suffit pas de dire où il va, il faut aussi préciser sa "direction", son "sens" et la "distance" parcourue. C'est exactement ce qu'un vecteur représente en mathématiques ! Dans cette leçon, nous allons découvrir ce qu'est un vecteur et surtout, quand est-ce que deux vecteurs peuvent être considérés comme "égaux". ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un vecteur ? Un vecteur est un outil mathématique qui permet de représenter un déplacement ou une translation. Il est caractérisé par : * **Une direction** : C'est la droite sur laquelle le déplacement s'effectue (par exemple, horizontale, verticale, oblique). * **Un sens** : C'est l'orientation du déplacement sur cette direction (par exemple, de gauche à droite ou de droite à gauche, du haut vers le bas ou du bas vers le haut). * **Une longueur (ou norme)** : C'est la distance parcourue. On l'appelle aussi l'intensité du vecteur. Un vecteur est souvent représenté par une flèche. Si le vecteur va d'un point A à un point B, on le note \( \vec{AB} \). On peut aussi le noter avec une seule lettre minuscule surmontée d'une flèche, par exemple \( \vec{u} \). #### Quand deux vecteurs sont-ils égaux ? Deux vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) sont dits **égaux** s'ils ont les trois caractéristiques suivantes : 1. **La même direction** : Les droites (AB) et (CD) doivent être parallèles ou confondues. 2. **Le même sens** : Le déplacement de A vers B doit avoir la même orientation que le déplacement de C vers D. 3. **La même longueur** : La distance AB doit être égale à la distance CD. On peut écrire \( AB = CD \). Si ces trois conditions sont remplies, alors on écrit \( \vec{AB} = \vec{CD} \). #### Propriété fondamentale : Le parallélogramme Une propriété très importante de l'égalité de vecteurs est liée aux parallélogrammes : Si \( \vec{AB} = \vec{CD} \), alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres !). Inversement, si ABDC est un parallélogramme, alors \( \vec{AB} = \vec{CD} \) et \( \vec{AC} = \vec{BD} \). **Pourquoi ?** * Si \( \vec{AB} = \vec{CD} \), alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles (même direction) et les segments [AB] et [CD] ont la même longueur. Puisqu'ils ont aussi le même sens, cela implique que les côtés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur, ce qui est la définition d'un parallélogramme (ABDC). #### Construire un point pour créer une égalité de vecteurs Pour construire un point D tel que \( \vec{AB} = \vec{CD} \) : 1. Placez les points A, B et C. 2. Tracez la droite passant par C et parallèle à (AB) (pour la direction). 3. Sur cette droite, à partir de C, reportez la longueur AB dans le même sens que \( \vec{AB} \). Le point trouvé est D. 4. Vérifiez que ABDC est un parallélogramme. ### Vocabulaire * **Vecteur** : Objet mathématique représentant un déplacement, caractérisé par une direction, un sens et une longueur. * **Direction** : Inclinaison de la droite supportant le vecteur (horizontale, verticale, oblique). * **Sens** : Orientation du vecteur sur sa direction (par exemple, de gauche à droite). * **Longueur (ou norme)** : Distance entre le point de départ et le point d'arrivée du vecteur. * **Égalité de vecteurs** : Condition où deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur. * **Parallélogramme** : Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. ### Exemples #### Exemple 1 : Vérifier l'égalité de vecteurs Soit A(1,1), B(3,2), C(2,3) et D(4,4) dans un repère. * Calculons les déplacements pour \( \vec{AB} \) : de A à B, on avance de \( 3-1=2 \) unités horizontalement et de \( 2-1=1 \) unité verticalement. * Calculons les déplacements pour \( \vec{CD} \) : de C à D, on avance de \( 4-2=2 \) unités horizontalement et de \( 4-3=1 \) unité verticalement. Les déplacements sont identiques. Donc, \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) ont la même direction, le même sens et la même longueur. Par conséquent, \( \vec{AB} = \vec{CD} \). #### Exemple 2 : Vecteurs dans un parallélogramme Soit un parallélogramme EFGH. Nous pouvons affirmer que : * \( \vec{EF} = \vec{HG} \) (et non \( \vec{GH} \) ! car il faut respecter le sens) * \( \vec{EH} = \vec{FG} \) * \( \vec{FE} = \vec{GH} \) * \( \vec{HE} = \vec{GF} \) #### Exemple 3 : Construction Soient les points P, Q, R. Construire le point S tel que \( \vec{PQ} = \vec{RS} \). 1. Dessinez les points P, Q, R. 2. Tracez le vecteur \( \vec{PQ} \). 3. À partir de R, tracez une ligne parallèle à (PQ). 4. Mesurez la longueur de [PQ]. Reportez cette longueur à partir de R sur la ligne parallèle, dans le même sens que \( \vec{PQ} \). 5. Le point obtenu est S. Le quadrilatère PQSR est un parallélogramme. ### Exercices 1. **Vrai ou Faux ?** a) Si deux vecteurs ont la même longueur, ils sont égaux. \( \text{Vrai/Faux} \) b) Si \( \vec{MN} = \vec{OP} \), alors MNPO est un parallélogramme. \( \text{Vrai/Faux} \) c) Si ABCD est un carré, alors \( \vec{AB} = \vec{DC} \). \( \text{Vrai/Faux} \) d) Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) ont la même direction et le même sens, ils sont égaux. \( \text{Vrai/Faux} \) 2. **Sur la figure ci-dessous (imaginez une grille avec des points A, B, C, D, E, F) :** a) Identifiez tous les vecteurs égaux à \( \vec{AB} \). b) Identifiez tous les vecteurs égaux à \( \vec{DE} \). 3. **Complétez les égalités :** Soit ABCD un parallélogramme de centre O. a) \( \vec{AB} = \vec{\dots} \) b) \( \vec{BC} = \vec{\dots} \) c) \( \vec{AO} = \vec{\dots} \) d) \( \vec{AD} = \vec{\dots} \) 4. **Construction :** Tracez trois points non alignés K, L, M. Construisez le point N tel que \( \vec{KL} = \vec{MN} \). Quel est la nature du quadrilatère KLNM ? ### Devoir 1. **Dans un repère (O; I, J) :** Placez les points A(1, 2), B(4, 3) et C(2, 5). a) Construisez le point D tel que \( \vec{AB} = \vec{CD} \). Donnez les coordonnées de D. b) Construisez le point E tel que \( \vec{CE} = \vec{BA} \). Donnez les coordonnées de E. c) Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? Justifiez votre réponse. 2. **Exercice avec une figure :** On considère la figure suivante (imaginez un hexagone régulier ABCDEF). a) Citez deux vecteurs égaux à \( \vec{AB} \). b) Citez deux vecteurs égaux à \( \vec{BC} \). c) Citez deux vecteurs dont la longueur est égale à AB, mais qui ne sont pas égaux à \( \vec{AB} \). ### Résumé Pour qu'une égalité de vecteurs \( \vec{AB} = \vec{CD} \) soit vraie, trois conditions essentielles doivent être remplies : 1. Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) doivent avoir la **même direction** (les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues). 2. Ils doivent avoir le **même sens** (l'orientation de A vers B est la même que celle de C vers D). 3. Ils doivent avoir la **même longueur** (la distance AB est égale à la distance CD). Une propriété clé est que si \( \vec{AB} = \vec{CD} \), alors le quadrilatère ABDC est un **parallélogramme**. Cela nous aide à comprendre et à construire des égalités de vecteurs. Comprendre l'égalité de vecteurs est fondamental pour toutes les opérations vectorielles futures et pour la géométrie en général !