Chap3: Suites numériques

# Chap3: Suites numériques ## Raisonnement par récurrence sur IN ### Introduction Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration mathématique essentielle, principalement utilisée pour prouver qu'une propriété \( P(n) \) est vraie pour tous les nombres entiers naturels \( n \) à partir d'un certain rang \( n_0 \). Il est particulièrement utile pour les suites, les sommes, les inégalités, et d'autres propriétés dépendant d'un entier \( n \). ### Concepts Clés #### Principe du raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence repose sur un principe intuitif, souvent comparé à une rangée de dominos. Si le premier domino tombe et que chaque domino qui tombe entraîne la chute du suivant, alors tous les dominos tomberont. En mathématiques, cela se traduit par trois étapes fondamentales : ##### 1. Initialisation (ou Cas de base) Il s'agit de prouver que la propriété \( P(n) \) est vraie pour le premier terme, c'est-à-dire pour la plus petite valeur de \( n \) pour laquelle la propriété est supposée être vraie (souvent \( n=0 \), \( n=1 \) ou un autre entier \( n_0 \)). ##### 2. Hérédité (ou Étape inductive) Cette étape consiste à montrer que si la propriété \( P(k) \) est vraie pour un entier naturel \( k \) quelconque (avec \( k \ge n_0 \)), alors elle est aussi vraie pour l'entier suivant, \( P(k+1) \). L'hypothèse que \( P(k) \) est vraie s'appelle l'**hypothèse de récurrence**. ##### 3. Conclusion Une fois les étapes d'initialisation et d'hérédité prouvées, on peut conclure que la propriété \( P(n) \) est vraie pour tous les entiers naturels \( n \) supérieurs ou égaux à \( n_0 \). #### Formules de sommes et de produits Le raisonnement par récurrence est fréquemment utilisé pour démontrer des formules générales concernant des sommes ou des produits de termes. Par exemple, la somme des \( n \) premiers entiers ou la somme des termes d'une suite géométrique. ### Vocabulaire * **Raisonnement par récurrence** : Méthode de démonstration pour les propriétés dépendant d'un entier naturel. * **Initialisation** : Vérification de la propriété pour le premier cas. * **Hérédité** : Preuve que si la propriété est vraie pour \( k \), elle l'est aussi pour \( k+1 \). * **Hypothèse de récurrence** : Supposition que la propriété \( P(k) \) est vraie pour un \( k \) donné. * **Conclusion** : Énoncé final de la validité de la propriété pour tous les entiers \( n \ge n_0 \). * **Nombre entier naturel (IN)** : L'ensemble des entiers positifs ou nuls (\( \{0, 1, 2, \dots\} \)). * **Propriété \( P(n) \)** : L'affirmation ou l'égalité que l'on souhaite prouver. ### Exemples #### Exemple 1: Somme des premiers entiers Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \( n \), la somme des \( n \) premiers entiers est donnée par la formule : \[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \] * **1. Initialisation** : Pour \( n=1 \) : \( \sum_{i=1}^{1} i = 1 \) D'autre part, \( \frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1 \). La propriété est vraie pour \( n=1 \). * **2. Hérédité** : Supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel non nul \( k \) (hypothèse de récurrence) : \( \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2} \). Montrons qu'elle est vraie pour \( k+1 \) : \( \sum_{i=1}^{k+1} i = \left( \sum_{i=1}^{k} i \right) + (k+1) \) En utilisant l'hypothèse de récurrence : \( \sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \) \( = (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) \) \( = (k+1) \left( \frac{k+2}{2} \right) \) \( = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \) C'est bien la formule attendue pour \( n=k+1 \). * **3. Conclusion** : Puisque la propriété est vraie pour \( n=1 \) et qu'elle est héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel non nul \( n \). #### Exemple 2: Inégalité Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), \( 2^n > n \). * **1. Initialisation** : Pour \( n=0 \) : \( 2^0 = 1 \) et \( 0 \). On a \( 1 > 0 \). La propriété est vraie pour \( n=0 \). * **2. Hérédité** : Supposons que pour un entier naturel \( k \), \( 2^k > k \) (hypothèse de récurrence). Montrons que \( 2^{k+1} > k+1 \). On sait que \( 2^{k+1} = 2 \times 2^k \). D'après l'hypothèse de récurrence, \( 2^k > k \), donc \( 2 \times 2^k > 2k \). Il faut montrer que \( 2k \ge k+1 \) pour \( k \ge 1 \). (Pour \( k=0 \), \( 2^0 > 0 \) est déjà prouvé, et pour \( k=1 \), \( 2^1 > 1 \) est vrai. \( 2k \ge k+1 \) est équivalent à \( k \ge 1 \)). Si \( k ext{ est } \ge 1 \), alors \( 2k = k + k \ge k + 1 \). Donc \( 2^{k+1} > 2k \ge k+1 \), d'où \( 2^{k+1} > k+1 \). * **3. Conclusion** : La propriété \( 2^n > n \) est vraie pour \( n=0 \) et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel \( n \). #### Exemple 3: Divisibilité Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), le nombre \( 3^{2n+1} + 2^{n+2} \) est divisible par 7. * **1. Initialisation** : Pour \( n=0 \) : \( 3^{2(0)+1} + 2^{0+2} = 3^1 + 2^2 = 3 + 4 = 7 \). 7 est divisible par 7. La propriété est vraie pour \( n=0 \). * **2. Hérédité** : Supposons que pour un entier naturel \( k \), \( 3^{2k+1} + 2^{k+2} \) est divisible par 7 (hypothèse de récurrence). Ceci signifie qu'il existe un entier \( m \) tel que \( 3^{2k+1} + 2^{k+2} = 7m \). Montrons que \( 3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} \) est divisible par 7. \( 3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} = 3^{2k+2+1} + 2^{k+3} = 3^{2k+3} + 2^{k+3} \) \( = 3^2 \times 3^{2k+1} + 2 \times 2^{k+2} = 9 \times 3^{2k+1} + 2 \times 2^{k+2} \) Nous voulons faire apparaître l'expression de l'hypothèse de récurrence. De l'hypothèse, \( 3^{2k+1} = 7m - 2^{k+2} \). Substituons : \( = 9(7m - 2^{k+2}) + 2 \times 2^{k+2} \) \( = 9 \times 7m - 9 \times 2^{k+2} + 2 \times 2^{k+2} \) \( = 9 \times 7m - (9-2) \times 2^{k+2} \) \( = 9 \times 7m - 7 \times 2^{k+2} \) \( = 7(9m - 2^{k+2}) \) Puisque \( 9m - 2^{k+2} \) est un entier, \( 3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} \) est divisible par 7. * **3. Conclusion** : La propriété est vraie pour \( n=0 \) et est héréditaire, donc \( 3^{2n+1} + 2^{n+2} \) est divisible par 7 pour tout entier naturel \( n \). ### Exercices 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \) : \[ \sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1}-1 \] 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \( n \), \( n^3+2n \) est divisible par 3. ### Devoir à la maison 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \ge 1 \) : \[ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \ge 4 \), \( 2^n > 4n \). ### Résumé Le raisonnement par récurrence est un outil puissant pour prouver des propriétés sur les entiers naturels. Il se déroule en trois étapes : l'**initialisation** (vérifier le premier cas), l'**hérédité** (montrer que si c'est vrai pour \( k \), c'est vrai pour \( k+1 \)), et la **conclusion** (énoncer que la propriété est vraie pour tous les \( n \) à partir du rang initial). ## Suites monotones; suites bornées ### Introduction Dans l'étude des suites numériques, comprendre leur comportement est fondamental. Cette leçon introduit deux propriétés cruciales qui nous aident à caractériser les suites : la monotonie (savoir si une suite « monte » ou « descend ») et le fait d'être bornée (savoir si les termes de la suite restent dans un certain intervalle). Ces notions sont essentielles, notamment pour déterminer si une suite converge ou non, un concept central en Terminale. ### Concepts Clés #### I. Suites Monotones Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. ##### A. Suite Croissante (ou strictement croissante) * Une suite \( (u_n) \) est **croissante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} \geq u_n \). * Cela est équivalent à dire que \( u_{n+1} - u_n \geq 0 \). * Une suite \( (u_n) \) est **strictement croissante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} > u_n \). * Cela est équivalent à dire que \( u_{n+1} - u_n > 0 \). ##### B. Suite Décroissante (ou strictement décroissante) * Une suite \( (u_n) \) est **décroissante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} \leq u_n \). * Cela est équivalent à dire que \( u_{n+1} - u_n \leq 0 \). * Une suite \( (u_n) \) est **strictement décroissante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} < u_n \). * Cela est équivalent à dire que \( u_{n+1} - u_n < 0 \). ##### C. Comment étudier la monotonie d'une suite ? Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la monotonie d'une suite \( (u_n) \) : 1. **Étude du signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \) :** C'est la méthode la plus directe. * Si \( u_{n+1} - u_n \geq 0 \), la suite est croissante. * Si \( u_{n+1} - u_n \leq 0 \), la suite est décroissante. 2. **Comparaison du rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) à 1 :** Cette méthode est utile lorsque les termes de la suite sont strictement positifs. * Si \( u_n > 0 \) pour tout \( n \) : * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \), la suite est croissante. * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 \), la suite est décroissante. 3. **Étude des variations d'une fonction associée :** Si la suite \( (u_n) \) est définie par \( u_n = f(n) \), on peut étudier les variations de la fonction \( f \) sur \( [0, +\infty[ \) (ou l'intervalle de définition approprié). * Si \( f \) est croissante sur \( [0, +\infty[ \), alors \( (u_n) \) est croissante. * Si \( f \) est décroissante sur \( [0, +\infty[ \), alors \( (u_n) \) est décroissante. #### II. Suites Bornées Une suite est dite bornée si ses termes restent confinés entre deux valeurs réelles. ##### A. Suite Majorée Une suite \( (u_n) \) est **majorée** s'il existe un nombre réel \( M \) (appelé majorant) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \leq M \). ##### B. Suite Minorée Une suite \( (u_n) \) est **minorée** s'il existe un nombre réel \( m \) (appelé minorant) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \geq m \). ##### C. Suite Bornée Une suite \( (u_n) \) est **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée. Cela signifie qu'il existe deux nombres réels \( m \) et \( M \) tels que, pour tout entier naturel \( n \), \( m \leq u_n \leq M \). De manière équivalente, une suite \( (u_n) \) est bornée s'il existe un réel \( K > 0 \) tel que \( |u_n| \leq K \) pour tout \( n \). #### III. Théorème Fondamental : Théorème de Convergence des Suites Monotones Bornées Ce théorème est un outil puissant pour prouver la convergence d'une suite sans avoir besoin de calculer sa limite explicite. * **Toute suite croissante et majorée converge.** * **Toute suite décroissante et minorée converge.** Attention : une suite bornée n'est pas nécessairement monotone (ex: \( u_n = (-1)^n \)) et une suite monotone n'est pas nécessairement bornée (ex: \( u_n = n \)). Cependant, si une suite est à la fois monotone et bornée, alors elle est convergente. ### Vocabulaire * **Suite croissante** : Une suite dont chaque terme est supérieur ou égal au précédent. * **Suite strictement croissante** : Une suite dont chaque terme est strictement supérieur au précédent. * **Suite décroissante** : Une suite dont chaque terme est inférieur ou égal au précédent. * **Suite strictement décroissante** : Une suite dont chaque terme est strictement inférieur au précédent. * **Suite monotone** : Une suite qui est soit croissante, soit décroissante. * **Majorant** : Un nombre réel \( M \) tel que tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à \( M \). * **Minorant** : Un nombre réel \( m \) tel que tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à \( m \). * **Suite majorée** : Une suite qui possède un majorant. * **Suite minorée** : Une suite qui possède un minorant. * **Suite bornée** : Une suite qui est à la fois majorée et minorée. * **Convergence** : Propriété d'une suite dont les termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur unique (appelée limite) lorsque \( n \) tend vers l'infini. ### Exemples #### Exemple 1 : Monotonie de \( u_n = rac{n+1}{n+2} \) pour \( n \in \mathbb{N} \). Étudions le signe de \( u_{n+1} - u_n \) : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(n+1)+1}{(n+1)+2} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} \] Mise au même dénominateur : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(n+2)(n+2) - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{n^2+4n+4 - (n^2+4n+3)}{(n+3)(n+2)} \] \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+3)(n+2)} \] Puisque \( n \in \mathbb{N} \), \( (n+3)(n+2) > 0 \). Donc \( u_{n+1} - u_n > 0 \). La suite \( (u_n) \) est **strictement croissante**. #### Exemple 2 : Suite bornée - \( u_n = rac{n+1}{n+2} \) Pour cette même suite \( u_n = rac{n+1}{n+2} \) : * **Minorant :** \( u_n = rac{n+1}{n+2} = 1 - rac{1}{n+2} \). Pour \( n=0 \), \( u_0 = rac{1}{2} \). Puisque la suite est croissante, tous les termes sont supérieurs ou égaux à \( u_0 \). Donc \( u_n rac{1}{2} \) pour tout \( n \). La suite est minorée par \( rac{1}{2} \). * **Majorant :** \( u_n = 1 - rac{1}{n+2} \). Puisque \( rac{1}{n+2} > 0 \), on a \( 1 - rac{1}{n+2} < 1 \). Donc \( u_n < 1 \) pour tout \( n \). La suite est majorée par \( 1 \). Conclusion : La suite \( (u_n) \) est minorée par \( rac{1}{2} \) et majorée par \( 1 \). Elle est donc **bornée**. #### Exemple 3 : Application du Théorème de convergence Puisque la suite \( (u_n) = rac{n+1}{n+2} \) est croissante (Exemple 1) et majorée par 1 (Exemple 2), le Théorème des suites monotones bornées nous assure qu'elle est **convergente**. ### Exercices 1. **Monotonie :** Déterminer la monotonie des suites suivantes : a. \( u_n = 3n - 5 \) pour \( n \in \mathbb{N} \). b. \( v_n = rac{1}{n+1} \) pour \( n \in \mathbb{N} \). c. \( w_n = (-1)^n (n+1) \) pour \( n \in \mathbb{N} \). 2. **Bornes :** Pour les suites suivantes, déterminer si elles sont majorées, minorées, bornées : a. \( x_n = n^2 - n \) pour \( n \in \mathbb{N} \). b. \( y_n = rac{\cos(n)}{n^2+1} \) pour \( n \in \mathbb{N} \). 3. **Monotonie et Bornes (suite récurrente) :** Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 8 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). a. Calculer les premiers termes \( u_1 \) et \( u_2 \). b. Montrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n > 6 \). c. Étudier le signe de \( u_{n+1} - u_n \). En déduire la monotonie de la suite \( (u_n) \). d. En utilisant le théorème de convergence des suites monotones bornées, que peut-on conclure sur la suite \( (u_n) \) ? ### Devoirs 1. **Étude complète d'une suite :** On considère la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \geq 1 \) par \( u_n = n + \frac{1}{n} \). a. Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \). b. La suite \( (u_n) \) est-elle majorée ? minorée ? bornée ? Justifier. c. Cette suite est-elle convergente ? Pourquoi ? 2. **Suite définie par une relation de récurrence :** Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 1 \) et \( v_{n+1} = \sqrt{2+v_n} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). a. Calculer \( v_1 \) et \( v_2 \). b. Démontrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 0 < v_n < 2 \). c. Étudier la monotonie de la suite \( (v_n) \) (on pourra étudier le signe de \( v_{n+1} - v_n \) ou le rapport \( \frac{v_{n+1}}{v_n} \), ou encore \( v_{n+1}^2 - v_n^2 \)). d. En déduire si la suite \( (v_n) \) converge. Si oui, quelle est sa limite potentielle ? ### Résumé Cette leçon a introduit les notions de suites monotones et de suites bornées, deux propriétés fondamentales pour l'analyse des suites numériques. * Une suite est **monotone** si elle est toujours croissante ou toujours décroissante. On l'étudie généralement en examinant le signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \). * Une suite est **majorée** si ses termes ne dépassent pas un certain réel \( M \). Elle est **minorée** si ses termes sont toujours supérieurs à un certain réel \( m \). Elle est **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée. * Le **Théorème de Convergence des Suites Monotones Bornées** est essentiel : toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème permet d'affirmer l'existence d'une limite sans la calculer explicitement.