Chap1: Équations, inéquations, systèmes

# Chap1: Équations, inéquations, systèmes ## Équations de degré 2 ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre fondamental des mathématiques de Terminale ! Les équations du second degré sont des outils puissants que vous rencontrerez dans de nombreux domaines, de la physique à l'économie. Comprendre comment les résoudre et analyser leurs propriétés est essentiel pour la suite de votre parcours scientifique. Dans ces notes, nous allons explorer en détail ces équations, leurs solutions, leur factorisation et comment étudier leur signe. ### Concepts Clés #### 1. Définition et Forme Générale Une **équation du second degré** (ou **équation quadratique**) est une équation polynomiale dont le degré le plus élevé est 2. Sa forme générale est la suivante: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où: * \( x \) est l'inconnue. * \( a, b, c \) sont des coefficients réels, avec \( a \ne 0 \). Si \( a \) était nul, l'équation serait du premier degré. #### 2. Le Discriminant (\( \Delta \)) Le **discriminant**, noté \( \Delta \) (delta), est un outil crucial pour déterminer le nombre et la nature des solutions (appelées **racines**) d'une équation du second degré. Il est calculé par la formule: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Selon la valeur du discriminant, trois cas sont possibles: ##### Cas 1: \( \Delta > 0 \) (Discriminant strictement positif) L'équation admet **deux racines réelles distinctes** (différentes). ##### Cas 2: \( \Delta = 0 \) (Discriminant nul) L'équation admet **une unique racine réelle double**. Cela signifie que les deux racines sont identiques. ##### Cas 3: \( \Delta < 0 \) (Discriminant strictement négatif) L'équation n'admet **aucune racine réelle**. Dans ce cas, les solutions sont des nombres complexes conjugués, un concept que vous étudierez plus en détail en Terminale (si votre programme l'aborde). #### 3. Calcul des Racines Les racines de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) sont données par les formules suivantes: ##### Si \( \Delta > 0 \): Les deux racines réelles distinctes sont: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] et \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] ##### Si \( \Delta = 0 \): La racine réelle double est: \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] ##### Si \( \Delta < 0 \): Il n'y a pas de solution réelle. Les solutions sont \( x_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \) et \( x_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \) où \( i \) est l'unité imaginaire (\( i^2 = -1 \)). #### 4. Factorisation du Trinôme du Second Degré Le **trinôme** \( ax^2 + bx + c \) peut être factorisé en fonction de ses racines: ##### Si \( \Delta > 0 \): \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \) ##### Si \( \Delta = 0 \): \( ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 \) ##### Si \( \Delta < 0 \): Le trinôme ne peut pas être factorisé dans l'ensemble des nombres réels. #### 5. Relations de Viète (Somme et Produit des Racines) Si \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les racines d'une équation du second degré \( ax^2 + bx + c = 0 \) (même si elles sont complexes), * La **somme des racines** \( S \) est: \( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) * Le **produit des racines** \( P \) est: \( P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} \) Ces relations sont très utiles pour vérifier des solutions, construire une équation à partir de ses racines ou résoudre certains problèmes sans calculer explicitement les racines. #### 6. Signe du Trinôme \( ax^2 + bx + c \) L'étude du signe d'un trinôme \( ax^2 + bx + c \) est essentielle pour résoudre des inéquations du second degré. On utilise un tableau de signes: ##### Si \( \Delta > 0 \): Le trinôme est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines \( x_1 \) et \( x_2 \) et du signe opposé à \( a \) entre les racines. | \( x \) | \( -\infty \) | \( x_1 \) | | \( x_2 \) | \( +\infty \) | | :----: | :------------: | :-------: | :------: | :-------: | :------------: | | \( ax^2+bx+c \) | Signe de \( a \) | \( 0 \) | Signe de \( -a \) | \( 0 \) | Signe de \( a \) | (On suppose \( x_1 < x_2 \)) ##### Si \( \Delta = 0 \): Le trinôme est toujours du signe de \( a \), et s'annule en \( x_0 \). | \( x \) | \( -\infty \) | | \( x_0 \) | | \( +\infty \) | | :----: | :------------: | :------: | :-------: | :------: | :------------: | | \( ax^2+bx+c \) | Signe de \( a \) | | \( 0 \) | | Signe de \( a \) | ##### Si \( \Delta < 0 \): Le trinôme est toujours du signe de \( a \) et ne s'annule jamais. | \( x \) | \( -\infty \) | | \( +\infty \) | | :----: | :------------: | :------: | :------------: | | \( ax^2+bx+c \) | Signe de \( a \) | | Signe de \( a \) | ### Vocabulaire * **Équation du second degré / Équation quadratique**: Une équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) où \( a \ne 0 \). * **Trinôme du second degré**: Une expression de la forme \( ax^2 + bx + c \). * **Coefficients**: Les nombres \( a, b, c \) dans l'équation du second degré. * **Discriminant (\( \Delta \))**: Le nombre \( b^2 - 4ac \) qui détermine la nature et le nombre de solutions. * **Racine / Solution**: Une valeur de \( x \) qui satisfait l'équation. * **Racine double**: Une unique solution lorsque \( \Delta = 0 \). * **Factorisation**: L'action d'écrire un polynôme comme un produit de facteurs. * **Relations de Viète**: Les formules qui lient la somme et le produit des racines aux coefficients de l'équation. ### Exemples #### Exemple 1: Deux racines réelles distinctes (\( \Delta > 0 \)) Résolvons l'équation \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Ici, \( a=1 \), \( b=-5 \), \( c=6 \). 1. Calcul du discriminant: \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \). 2. Comme \( \Delta = 1 > 0 \), il y a deux racines réelles distinctes. 3. Calcul des racines: \( x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) Les solutions sont \( S = \{2, 3\} \). #### Exemple 2: Une racine réelle double (\( \Delta = 0 \)) Résolvons l'équation \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \). Ici, \( a=4 \), \( b=-12 \), \( c=9 \). 1. Calcul du discriminant: \( \Delta = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0 \). 2. Comme \( \Delta = 0 \), il y a une racine réelle double. 3. Calcul de la racine double: \( x_0 = \frac{-(-12)}{2(4)} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \) La solution est \( S = \{\frac{3}{2}\} \). #### Exemple 3: Aucune racine réelle (\( \Delta < 0 \)) Résolvons l'équation \( x^2 + x + 1 = 0 \). Ici, \( a=1 \), \( b=1 \), \( c=1 \). 1. Calcul du discriminant: \( \Delta = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \). 2. Comme \( \Delta = -3 < 0 \), il n'y a pas de solution réelle. L'ensemble des solutions réelles est \( S = \emptyset \). #### Exemple 4: Étude du signe d'un trinôme Étudions le signe de \( f(x) = -2x^2 + 3x + 2 \). Ici, \( a=-2 \), \( b=3 \), \( c=2 \). 1. Calcul du discriminant: \( \Delta = (3)^2 - 4(-2)(2) = 9 + 16 = 25 \). 2. Comme \( \Delta = 25 > 0 \), il y a deux racines réelles distinctes. 3. Calcul des racines: \( x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2 \) \( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \) 4. Ordonnons les racines: \( x_2 = -\frac{1}{2} \) et \( x_1 = 2 \). 5. Le coefficient \( a = -2 \) est négatif. 6. Tableau de signes: | \( x \) | \( -\infty \) | \( -\frac{1}{2} \) | | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :----: | :------------: | :---------------: | :------: | :-------: | :------------: | | \( -2x^2+3x+2 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | ### Exercices Résolvez les équations et inéquations suivantes et/ou étudiez le signe des trinômes: 1. Résoudre l'équation: \( 2x^2 + 7x + 3 = 0 \) 2. Résoudre l'équation: \( 9x^2 - 6x + 1 = 0 \) 3. Résoudre l'équation: \( 3x^2 - x + 1 = 0 \) 4. Étudier le signe du trinôme \( -x^2 + 4x - 3 \) en fonction de \( x \). 5. Trouver deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 24. ### Devoirs 1. **Résolution d'équations:** a. \( x^2 - x - 20 = 0 \) b. \( 5x^2 + 8x - 4 = 0 \) c. \( (x-3)(x+2) = 6 \) d. \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \) (Indice: posez \( y = x^2 \)) 2. **Inéquations:** a. Résoudre l'inéquation: \( x^2 - 3x - 10 > 0 \) b. Résoudre l'inéquation: \( -x^2 + 6x - 9 \ge 0 \) 3. **Problème concret:** Un rectangle a une longueur de \( (x+5) \) cm et une largeur de \( (x-2) \) cm. Si l'aire du rectangle est de \( 60 \) cm\(^2\), quelle est la valeur de \( x \) ? Déterminez ensuite les dimensions du rectangle. 4. **Application des relations de Viète:** Sans calculer les racines de l'équation \( 2x^2 - 5x + 1 = 0 \), déterminez la somme et le produit de ses racines. ### Résumé Les équations du second degré, de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \), sont au cœur de nombreuses applications mathématiques. La clé pour les résoudre est le **discriminant** \( \Delta = b^2 - 4ac \). * Si \( \Delta > 0 \), il y a deux racines réelles distinctes: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). * Si \( \Delta = 0 \), il y a une racine réelle double: \( x_0 = \frac{-b}{2a} \). * Si \( \Delta < 0 \), il n'y a pas de racines réelles. Le trinôme \( ax^2 + bx + c \) peut être factorisé en \( a(x - x_1)(x - x_2) \) ou \( a(x - x_0)^2 \) selon le cas. L'étude de son signe est primordiale pour les inéquations, en tenant compte du signe de \( a \) et des racines. Enfin, n'oubliez pas les **relations de Viète** qui lient les coefficients aux sommes et produits des racines, offrant des raccourcis précieux. Maîtriser ces concepts vous ouvre les portes de problèmes plus complexes et vous prépare aux défis futurs en mathématiques. ## Inéquations de degré 3 ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre consacré aux inéquations de degré 3. Après avoir maîtrisé les équations et inéquations de degré 1 et 2, nous allons maintenant aborder celles de degré 3. Une inéquation de degré 3 est une inégalité dans laquelle l'inconnue est élevée à la puissance 3 comme plus haute puissance. La résolution de ces inéquations fait appel à des méthodes similaires à celles que vous connaissez déjà, notamment la factorisation et l'utilisation de tableaux de signes. L'objectif est de trouver l'ensemble des valeurs de \( x \) qui satisfont l'inégalité donnée. ### Concepts Clés #### Définition d'une inéquation de degré 3 Une inéquation de degré 3 est une inéquation de la forme : \[ ax^3 + bx^2 + cx + d \ > \ 0 \] ou \( \ge 0 \), \( \< 0 \), \( \le 0 \), où \( a, b, c, d \) sont des nombres réels et \( a \ne 0 \). Le terme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) est appelé un polynôme de degré 3. #### Méthode de résolution La méthode générale pour résoudre une inéquation de degré 3 consiste à ramener l'inéquation à une forme où un polynôme de degré 3 est comparé à zéro, puis à étudier le signe de ce polynôme. 1. **Mettre l'inéquation sous la forme \( P(x) > 0 \) (ou \( < 0 \), etc.)** : Transférer tous les termes d'un côté de l'inégalité pour obtenir un polynôme \( P(x) \) comparé à zéro. 2. **Rechercher les racines du polynôme \( P(x) \)** : * **Racines évidentes** : Cherchez si des valeurs simples comme \( 0, 1, -1, 2, -2 \) annulent le polynôme \( P(x) \). Si \( P(r) = 0 \), alors \( r \) est une racine et \( (x-r) \) est un facteur de \( P(x) \). * **Factorisation** : Si vous trouvez une racine \( r \), vous pouvez factoriser \( P(x) \) sous la forme \( (x-r)Q(x) \), où \( Q(x) \) est un polynôme de degré 2. Vous pouvez obtenir \( Q(x) \) par division euclidienne ou par identification des coefficients. * **Résoudre \( Q(x) = 0 \)** : Une fois \( Q(x) \) obtenu, résolvez l'équation quadratique \( Q(x) = 0 \) pour trouver les deux autres racines (si elles existent) à l'aide du discriminant \( \Delta \). 3. **Construire un tableau de signes** : * Placez toutes les racines trouvées (dans l'ordre croissant) sur la première ligne du tableau. * Sur les lignes suivantes, indiquez le signe de chaque facteur (\( x-r_1 \), \( x-r_2 \), \( x-r_3 \) si le polynôme est totalement factorisé, ou \( x-r \) et \( Q(x) \) sinon). * Sur la dernière ligne, déterminez le signe du produit de tous les facteurs (c'est-à-dire le signe de \( P(x) \)) en appliquant la règle des signes. 4. **Conclure l'ensemble des solutions** : À partir du tableau de signes, identifiez les intervalles où \( P(x) \) satisfait l'inégalité de départ. N'oubliez pas d'inclure ou d'exclure les bornes des intervalles selon que l'inégalité est stricte (\( <, > \)) ou large (\( \le, \ge \)). #### Interprétation graphique La résolution de \( P(x) > 0 \) (respectivement \( < 0 \)) revient à trouver les intervalles où la courbe représentative de la fonction \( f(x) = P(x) \) est au-dessus (respectivement en dessous) de l'axe des abscisses. ### Vocabulaire * **Polynôme de degré 3** : Expression algébrique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \). * **Inéquation de degré 3** : Inégalité impliquant un polynôme de degré 3. * **Racine d'un polynôme** : Valeur de \( x \) pour laquelle le polynôme s'annule (c'est-à-dire \( P(x) = 0 \)). Graphiquement, ce sont les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. * **Factorisation** : Écrire un polynôme comme un produit de facteurs de degré inférieur. * **Tableau de signes** : Outil permettant de déterminer le signe d'une expression sur différents intervalles en fonction des signes de ses facteurs. * **Intervalle de solution** : Ensemble des valeurs de \( x \) qui vérifient l'inéquation, exprimé sous forme d'intervalle(s). ### Exemples #### Exemple 1 : Inéquation déjà factorisée Résolvons l'inéquation : \[ (x-1)(x+2)(x-3) > 0 \] 1. **Racines des facteurs** : * \( x-1 = 0 \implies x = 1 \) * \( x+2 = 0 \implies x = -2 \) * \( x-3 = 0 \implies x = 3 \) Les racines sont \( -2, 1, 3 \). 2. **Tableau de signes** : | \( x \) | \( -\infty \) | \( -2 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( +\infty \) | | :----------------- | :------------: | :-------: | :------: | :-------: | :-------------: | | Signe de \( (x-1) \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( (x+2) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( (x-3) \) | \( - \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | Signe de \( P(x) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( + \) | 3. **Conclusion** : Nous cherchons les intervalles où \( P(x) > 0 \). D'après le tableau, \( P(x) \) est positif sur \( ]-2 ; 1[ \) et sur \( ]3 ; +\infty[ \). L'ensemble solution est \( S = ]-2 ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[ \). #### Exemple 2 : Inéquation à factoriser Résolvons l'inéquation : \[ x^3 - 2x^2 - x + 2 \le 0 \] 1. **Recherche de racines évidentes** : Soit \( P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \). * \( P(0) = 2 \ne 0 \) * \( P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 \). Donc \( x=1 \) est une racine. Puisque \( x=1 \) est une racine, \( (x-1) \) est un facteur de \( P(x) \). On peut donc écrire \( P(x) = (x-1)(ax^2+bx+c) \). 2. **Factorisation** : Par division euclidienne ou identification : \( (x-1)(ax^2+bx+c) = ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c \) En comparant avec \( x^3 - 2x^2 - x + 2 \) : * \( a = 1 \) * \( b-a = -2 \implies b-1 = -2 \implies b = -1 \) * \( c-b = -1 \implies c-(-1) = -1 \implies c+1 = -1 \implies c = -2 \) * \( -c = 2 \implies c = -2 \) (cohérent) Donc, \( P(x) = (x-1)(x^2-x-2) \). 3. **Racines de \( Q(x) = x^2-x-2 \)** : Calculons le discriminant : \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). Les racines sont : \( x_1 = \frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1-3}{2} = -1 \) \( x_2 = \frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1+3}{2} = 2 \) Les racines du polynôme \( P(x) \) sont donc \( -1, 1, 2 \). 4. **Tableau de signes** : | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :----------------- | :------------: | :-------: | :------: | :-------: | :-------------: | | Signe de \( (x-1) \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( (x+1) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( (x-2) \) | \( - \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | Signe de \( P(x) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( + \) | 5. **Conclusion** : Nous cherchons les intervalles où \( P(x) \le 0 \). D'après le tableau, \( P(x) \) est négatif ou nul sur \( ]-\infty ; -1] \) et sur \( [1 ; 2] \). L'ensemble solution est \( S = ]-\infty ; -1] \cup [1 ; 2] \). ### Exercices Résolvez les inéquations suivantes en utilisant la méthode du tableau de signes : 1. \( (x+1)(x-2)(x+3) \ge 0 \) 2. \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 < 0 \) (Indice : cherchez des racines évidentes parmi \( \pm 1, \pm 2, \pm 3 \) ) 3. \( -x^3 + 5x^2 - 2x - 8 \le 0 \) (Indice : cherchez des racines évidentes et n'oubliez pas le signe négatif devant \( x^3 \) dans le tableau de signes.) ### Devoirs 1. Résolvez l'inéquation : \( 2x^3 - 5x^2 - 4x + 3 > 0 \) (Indice : \( x= -1 \) est une racine.) 2. Déterminez l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles le polynôme \( P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) est strictement négatif. (Indice : \( x=1 \) est une racine.) 3. Un constructeur automobile étudie le bénéfice \( B(x) \) (en milliers d'euros) réalisé pour la vente de \( x \) centaines de véhicules, où \( B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x \) pour \( x \in [0 ; 10] \). Déterminez le nombre de centaines de véhicules à vendre pour que le bénéfice soit positif. ### Résumé Pour résoudre une inéquation de degré 3 : 1. **Ramenez** l'inéquation à la forme \( P(x) \diamond 0 \), où \( \diamond \) est un symbole d'inégalité. 2. **Trouvez les racines** du polynôme \( P(x) \) en cherchant des racines évidentes, puis en factorisant pour ramener à la résolution d'une équation de degré 2. 3. **Construisez un tableau de signes** en plaçant toutes les racines sur la première ligne et en étudiant le signe de chaque facteur, puis le signe du produit. 4. **Déduisez l'ensemble solution** en fonction du sens de l'inégalité de départ, en faisant attention aux bornes (incluses ou exclues). La maîtrise de ces étapes est essentielle pour résoudre efficacement les inéquations de degré 3. ## Inéquations de degré 2 ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre consacré aux inéquations de degré 2. Après avoir maîtrisé les équations du second degré, nous allons explorer comment résoudre des inéquations impliquant des polynômes de degré 2. Cela nous permettra de déterminer les intervalles sur lesquels une fonction quadratique est positive, négative ou nulle. Ces compétences sont fondamentales en mathématiques et trouveront des applications dans divers domaines, de la physique à l'économie. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une inéquation de degré 2 ? Une inéquation de degré 2 est une inégalité qui peut être mise sous l'une des formes suivantes, où \(a, b, c\) sont des nombres réels avec \(a \ne 0\): * \(ax^2 + bx + c > 0\) * \(ax^2 + bx + c < 0\) * \(ax^2 + bx + c \ge 0\) * \(ax^2 + bx + c \le 0\) La résolution d'une telle inéquation consiste à trouver toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'inégalité est vérifiée. #### Méthode de résolution pas à pas La méthode générale pour résoudre une inéquation de degré 2 repose sur l'étude du signe du polynôme \(P(x) = ax^2 + bx + c\). ##### Étape 1: Ramener l'inéquation à la forme \(ax^2 + bx + c \diamondsuit 0\) Assurez-vous que l'un des membres de l'inégalité est égal à zéro. Si ce n'est pas le cas, déplacez tous les termes d'un côté de l'inégalité. ##### Étape 2: Calculer le discriminant \(\Delta\) Pour étudier le signe du polynôme \(P(x) = ax^2 + bx + c\), nous devons d'abord trouver ses racines, si elles existent. Pour cela, nous utilisons le discriminant: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Les racines (solutions de l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\)) dépendent du signe de \(\Delta\): * **Si \(\Delta > 0\)**: Le polynôme a deux racines réelles distinctes: \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) * **Si \(\Delta = 0\)**: Le polynôme a une racine réelle double: \(x_0 = \frac{-b}{2a}\) * **Si \(\Delta < 0\)**: Le polynôme n'a pas de racines réelles. ##### Étape 3: Construire un tableau de signes Le tableau de signes est l'outil principal pour déterminer sur quels intervalles le polynôme \(ax^2 + bx + c\) est positif, négatif ou nul. * **Cas 1: \(\Delta > 0\) (deux racines \(x_1 < x_2\))** Le polynôme \(ax^2 + bx + c\) est: * Du signe de \(a\) à l'extérieur des racines (pour \(x < x_1\) ou \(x > x_2\)). * Du signe opposé à celui de \(a\) entre les racines (pour \(x_1 < x < x_2\)). * Nul aux racines (pour \(x = x_1\) ou \(x = x_2\)). | \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | \(ax^2+bx+c\) | Signe de \(a\) | 0 | Signe opposé de \(a\) | 0 | Signe de \(a\) | * **Cas 2: \(\Delta = 0\) (une racine double \(x_0\))** Le polynôme \(ax^2 + bx + c\) est toujours du signe de \(a\) pour tout \(x \ne x_0\), et nul en \(x_0\). | \(x\) | \(-\infty\) | \(x_0\) | \(+\infty\) | |:---:|:---:|:---:|:---:| | \(ax^2+bx+c\) | Signe de \(a\) | 0 | Signe de \(a\) | * **Cas 3: \(\Delta < 0\) (pas de racines réelles)** Le polynôme \(ax^2 + bx + c\) est toujours du signe de \(a\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Il ne s'annule jamais. | \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |:---:|:---:| | \(ax^2+bx+c\) | Signe de \(a\) | ##### Étape 4: Déduire l'ensemble des solutions À partir du tableau de signes, lisez les intervalles qui correspondent à l'inégalité de départ (\(>0\), \(<0\), \(\ge0\) ou \(\le0\)). N'oubliez pas d'inclure les racines si l'inégalité est large (\(\ge\) ou \(\le\)). #### Interprétation graphique La courbe représentative d'un polynôme de degré 2 est une parabole. L'inéquation \(ax^2 + bx + c > 0\) (par exemple) revient à chercher les intervalles de \(x\) pour lesquels la parabole est **au-dessus** de l'axe des abscisses. De même, \(< 0\) correspond à la parabole **en dessous** de l'axe des abscisses. Les racines sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. * Si \(a > 0\), la parabole est ouverte vers le haut. * Si \(a < 0\), la parabole est ouverte vers le bas. ### Vocabulaire * **Inéquation de degré 2**: Une inégalité qui contient un polynôme du second degré. * **Polynôme du second degré**: Une expression de la forme \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \ne 0\). * **Discriminant (\(\Delta\))**: La valeur \(b^2 - 4ac\) qui détermine la nature des racines d'une équation du second degré. * **Racines**: Les valeurs de \(x\) pour lesquelles le polynôme s'annule (les solutions de \(ax^2 + bx + c = 0\)). * **Tableau de signes**: Un tableau qui résume le signe d'une expression algébrique sur différents intervalles. * **Parabole**: La courbe représentative d'une fonction du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\). ### Exemples #### Exemple 1: Deux racines distinctes Résoudre l'inéquation \(x^2 - 5x + 6 > 0\). 1. **Forme canonique**: L'inéquation est déjà sous la forme \(ax^2 + bx + c > 0\). 2. **Calcul du discriminant**: Ici, \(a=1, b=-5, c=6\). \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \) Puisque \(\Delta > 0\), il y a deux racines réelles distinctes: \(x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = 3\) 3. **Tableau de signes**: \(a=1 > 0\), donc le polynôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. | \(x\) | \(-\infty\) | 2 | 3 | \(+\infty\) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | \(x^2-5x+6\) | + | 0 | - | 0 | + | 4. **Ensemble des solutions**: Nous cherchons \(x^2 - 5x + 6 > 0\), donc les intervalles où le signe est \(+\). \(S = ]-\infty, 2[ \cup ]3, +\infty[\) #### Exemple 2: Une racine double Résoudre l'inéquation \(-2x^2 + 4x - 2 \ge 0\). 1. **Forme canonique**: C'est déjà fait. 2. **Calcul du discriminant**: Ici, \(a=-2, b=4, c=-2\). \( \Delta = 4^2 - 4(-2)(-2) = 16 - 16 = 0 \) Puisque \(\Delta = 0\), il y a une racine réelle double: \(x_0 = \frac{-4}{2(-2)} = \frac{-4}{-4} = 1\) 3. **Tableau de signes**: \(a=-2 < 0\), donc le polynôme est toujours négatif sauf en \(x=1\) où il est nul. | \(x\) | \(-\infty\) | 1 | \(+\infty\) | |:---:|:---:|:---:|:---:| | \(-2x^2+4x-2\) | - | 0 | - | 4. **Ensemble des solutions**: Nous cherchons \(-2x^2 + 4x - 2 \ge 0\), c'est-à-dire les intervalles où le signe est \(+\) ou nul. Le seul point où c'est nul est \(x=1\). \(S = \{1\}\) #### Exemple 3: Pas de racines réelles Résoudre l'inéquation \(x^2 + x + 1 < 0\). 1. **Forme canonique**: C'est déjà fait. 2. **Calcul du discriminant**: Ici, \(a=1, b=1, c=1\). \( \Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \) Puisque \(\Delta < 0\), il n'y a pas de racines réelles. 3. **Tableau de signes**: \(a=1 > 0\), donc le polynôme est toujours positif pour tout \(x \in \mathbb{R}\). | \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |:---:|:---:| | \(x^2+x+1\) | + | 4. **Ensemble des solutions**: Nous cherchons \(x^2 + x + 1 < 0\), c'est-à-dire les intervalles où le signe est \(-\). Comme le polynôme est toujours positif, il n'y a aucune valeur de \(x\) pour laquelle l'inéquation est vérifiée. \(S = \emptyset\) ### Exercices Résolvez les inéquations suivantes et donnez l'ensemble des solutions. 1. \(x^2 - 4x + 3 < 0\) 2. \(2x^2 + 3x - 5 \ge 0\) 3. \(-x^2 + 6x - 9 > 0\) 4. \(x^2 + 2x + 5 \le 0\) 5. \(3x^2 - 7x + 2 \le 0\) ### Devoir Maison Résolvez les inéquations suivantes en détaillant toutes les étapes (calcul de \(\Delta\), racines, tableau de signes, ensemble solution). 1. \(x(x-2) \ge 3\) 2. \((x-1)(x+3) < 5\) 3. \(-x^2 + x + 2 < 0\) 4. \(x^2 - 10x + 25 \le 0\) 5. \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 > 0\) ### Résumé Pour résoudre une inéquation de degré 2 \(ax^2 + bx + c \diamondsuit 0\), voici les étapes clés à retenir: 1. **Mettre sous forme canonique**: S'assurer que l'un des membres est nul. 2. **Calculer le discriminant \(\Delta\)**: \( \Delta = b^2 - 4ac \). 3. **Trouver les racines**: Dépend du signe de \(\Delta\). * \(\Delta > 0\): Deux racines distinctes. * \(\Delta = 0\): Une racine double. * \(\Delta < 0\): Pas de racines réelles. 4. **Construire le tableau de signes**: Utiliser les racines (si elles existent) et le signe de \(a\) pour déterminer le signe du polynôme. * \(a > 0\): Positif à l'extérieur des racines (si \(\Delta > 0\)), toujours positif (si \(\Delta \le 0\) et non nul). * \(a < 0\): Négatif à l'extérieur des racines (si \(\Delta > 0\)), toujours négatif (si \(\Delta \le 0\) et non nul). 5. **Déduire l'ensemble des solutions**: À partir du tableau de signes, choisir les intervalles correspondant à l'inégalité de départ. Faites attention aux crochets pour les inégalités strictes ou larges. ## Inéquations de degré 3 ### Introduction Bienvenue à ce cours sur les inéquations de degré 3. Après avoir étudié les équations et inéquations de degré 1 et 2, nous allons aborder une catégorie d'inéquations qui sont souvent plus complexes à résoudre. Une inéquation de degré 3 est une inéquation où l'inconnue \( x \) apparaît avec une puissance maximale de 3. Elles prennent généralement la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d > 0 \), \( ax^3 + bx^2 + cx + d < 0 \), \( ax^3 + bx^2 + cx + d \geq 0 \) ou \( ax^3 + bx^2 + cx + d \leq 0 \), où \( a \neq 0 \). La méthode de résolution implique souvent la factorisation du polynôme et l'étude du signe de chaque facteur. ### Concepts Clés #### 1. Forme Générale d'une Inéquation de Degré 3 Une inéquation de degré 3 peut être écrite sous la forme: \[ P(x) \ge 0 \quad \text{ou} \quad P(x) \le 0 \quad \text{ou} \quad P(x) > 0 \quad \text{ou} \quad P(x) < 0 \] où \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) avec \( a, b, c, d \) des réels et \( a \neq 0 \). #### 2. Méthode de Résolution La résolution d'une inéquation de degré 3 suit généralement les étapes suivantes : 1. **Ramener à zéro:** S'assurer que tous les termes de l'inéquation sont d'un côté et zéro de l'autre, pour obtenir une forme \( P(x) \ge 0 \) (ou \( \le, >, < \) ). 2. **Factorisation:** C'est l'étape la plus cruciale. Il faut factoriser le polynôme \( P(x) \) en produits de facteurs du premier degré (\( ax+b \)) ou du second degré (\( ax^2+bx+c \)). Pour cela, on peut : * **Chercher une racine évidente:** Tester des valeurs simples comme \( 0, 1, -1, 2, -2 \) dans \( P(x) \). Si \( P(k) = 0 \), alors \( (x-k) \) est un facteur de \( P(x) \). * **Division euclidienne ou identification:** Si une racine \( k \) est trouvée, on peut diviser \( P(x) \) par \( (x-k) \) pour trouver un polynôme de degré 2. Alternativement, on peut écrire \( P(x) = (x-k)(ax^2+bx+c) \) et identifier les coefficients. * **Factorisation par regroupement:** Parfois, certains polynômes peuvent être factorisés en regroupant les termes. 3. **Étude du signe:** Une fois \( P(x) \) factorisé en produits de facteurs de degré 1 ou 2, il faut étudier le signe de chaque facteur séparément. * Pour un facteur \( (mx+p) \), le signe change en \( x = -p/m \). * Pour un facteur \( (ax^2+bx+c) \): * Si le discriminant \( \Delta < 0 \), le trinôme est toujours du signe de \( a \). * Si \( \Delta = 0 \), le trinôme est toujours du signe de \( a \) (sauf en sa racine double où il est nul). * Si \( \Delta > 0 \), le trinôme est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines et du signe opposé à \( a \) entre les racines. 4. **Tableau de signes:** Construire un tableau de signes pour déterminer le signe global de \( P(x) \) sur l'ensemble des réels. Les valeurs critiques sont les racines de chaque facteur. 5. **Conclusion:** Identifier les intervalles où \( P(x) \) respecte l'inégalité de départ et donner l'ensemble des solutions. #### 3. Rappel sur le signe d'un trinôme du second degré \( ax^2+bx+c \) Soit \( \Delta = b^2 - 4ac \) le discriminant du trinôme. * Si \( \Delta < 0 \): le trinôme est toujours du signe de \( a \). * Si \( \Delta = 0 \): le trinôme est toujours du signe de \( a \) (s'annule en \( x_0 = -b/(2a) \)). * Si \( \Delta > 0 \): le trinôme a deux racines distinctes \( x_1 \) et \( x_2 \). Il est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines (pour \( x < x_1 \) et \( x > x_2 \)) et du signe opposé à \( a \) entre les racines (pour \( x_1 < x < x_2 \)). ### Vocabulaire * **Inéquation de degré 3:** Une inéquation où la plus haute puissance de l'inconnue est 3. * **Polynôme de degré 3:** Une expression de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) avec \( a \neq 0 \). * **Racine évidente:** Une valeur entière simple (souvent \( 0, 1, -1, 2, -2 \)) qui annule un polynôme. * **Factorisation:** L'action de transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs. * **Tableau de signes:** Un tableau qui permet de visualiser le signe de plusieurs facteurs et de leur produit sur différents intervalles. * **Discriminant (\( \Delta \)):** Valeur \( b^2-4ac \) utilisée pour déterminer le nombre de racines d'un trinôme du second degré. ### Exemples #### Exemple 1: Résoudre \( x^3 - 3x^2 + 2x \le 0 \) 1. **Ramener à zéro:** L'inéquation est déjà sous cette forme. 2. **Factorisation:** * On peut factoriser \( x \) : \( x(x^2 - 3x + 2) \le 0 \). * Maintenant, on factorise le trinôme \( x^2 - 3x + 2 \). Calculons le discriminant: \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \). * Les racines sont \( x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3-1}{2} = 1 \) et \( x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3+1}{2} = 2 \). * Donc, \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \). * L'inéquation devient: \( x(x-1)(x-2) \le 0 \). 3. **Étude du signe:** On a trois facteurs: \( x \), \( (x-1) \) et \( (x-2) \). * \( x = 0 \) * \( x-1 = 0 \implies x = 1 \) * \( x-2 = 0 \implies x = 2 \) 4. **Tableau de signes:** | \( x \) | \( -\infty \) | 0 | 1 | 2 | \( +\infty \) | |------------------|--------|-------|-------|-------|--------| | Signe de \( x \) | - | 0 + | + | + | + | | Signe de \( x-1 \) | - | - | 0 + | + | + | | Signe de \( x-2 \) | - | - | - | 0 + | + | | Signe de \( P(x) \) | - | 0 + | 0 - | 0 + | + | 5. **Conclusion:** On cherche où \( P(x) \le 0 \). L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; 0] \cup [1; 2] \). #### Exemple 2: Résoudre \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 > 0 \) 1. **Ramener à zéro:** L'inéquation est déjà sous cette forme. 2. **Factorisation:** * Cherchons une racine évidente pour \( P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \). * \( P(1) = 1+2-5-6 = -8 \neq 0 \) * \( P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \). Donc \( x = -1 \) est une racine, ce qui signifie que \( (x+1) \) est un facteur. * Effectuons la division euclidienne ou l'identification : \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x+1)(ax^2+bx+c) \). * Par identification (ou division), on trouve \( x^2+x-6 \). * Donc \( P(x) = (x+1)(x^2+x-6) \). * Factorisons le trinôme \( x^2+x-6 \). \( \Delta = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). * Les racines sont \( x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1-5}{2} = -3 \) et \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1+5}{2} = 2 \). * Donc, \( x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \). * L'inéquation devient: \( (x+1)(x+3)(x-2) > 0 \). 3. **Étude du signe:** On a trois facteurs: \( (x+1) \), \( (x+3) \) et \( (x-2) \). * \( x+1 = 0 \implies x = -1 \) * \( x+3 = 0 \implies x = -3 \) * \( x-2 = 0 \implies x = 2 \) 4. **Tableau de signes:** (ordonner les racines: \( -3, -1, 2 \)) | \( x \) | \( -\infty \) | -3 | -1 | 2 | \( +\infty \) | |------------------|--------|-------|-------|-------|--------| | Signe de \( x+3 \) | - | 0 + | + | + | + | | Signe de \( x+1 \) | - | - | 0 + | + | + | | Signe de \( x-2 \) | - | - | - | 0 + | + | | Signe de \( P(x) \) | - | 0 + | 0 - | 0 + | + | 5. **Conclusion:** On cherche où \( P(x) > 0 \). L'ensemble des solutions est \( S = ]-3; -1[ \cup ]2; +\infty[ \). ### Exercices Résolvez les inéquations suivantes et donnez l'ensemble des solutions : 1. \( (x+4)(x-1)(x-5) \le 0 \) 2. \( x^3 - 4x^2 - x + 4 > 0 \) 3. \( -x^3 + 6x^2 - 11x + 6 \ge 0 \) (Indice: \( x=1 \) est une racine évidente) ### Devoirs 1. Résoudre l'inéquation: \( 2x^3 + x^2 - 5x + 2 < 0 \) (Indice: \( x=1 \) est une racine évidente) 2. Résoudre l'inéquation: \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \ge 0 \) (Indice: \( x=2 \) est une racine évidente) 3. Un cylindre a un rayon \( r \) et une hauteur \( h = r+2 \). Le volume du cylindre est \( V = \pi r^2 h \). Pour quelle(s) valeur(s) de \( r \) (\( r>0 \)), le volume du cylindre est-il supérieur à \( 3\pi \)? (Indice: vous arriverez à une inéquation de degré 3 en \( r \)). ### Résumé La résolution des inéquations de degré 3 repose principalement sur la capacité à factoriser le polynôme de degré 3 en produits de facteurs de degré 1 et/ou 2. Les étapes clés sont de ramener l'inéquation à une forme comparable à \( P(x) \ge 0 \), de trouver une racine évidente pour factoriser le polynôme, puis d'utiliser un tableau de signes pour déterminer les intervalles où l'inégalité est satisfaite. C'est une compétence fondamentale qui renforce votre compréhension de la manipulation algébrique et de l'étude de fonctions. N'oubliez pas l'importance de la rigueur dans la factorisation et la construction du tableau de signes. ## Systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues: Pivot de Gauss ### I. Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les systèmes linéaires. Vous avez déjà rencontré des systèmes de deux équations à deux inconnues. Aujourd'hui, nous allons étendre cette notion aux systèmes de trois équations à trois inconnues et apprendre une méthode puissante pour les résoudre : le pivot de Gauss. ### II. Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'un système linéaire de trois équations à trois inconnues ? Un système linéaire de trois équations à trois inconnues est un ensemble de trois équations du premier degré, chacune contenant trois variables, généralement notées \( x, y, z \). Sa forme générale est : \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases} \] où \( a_i, b_i, c_i, d_i \) sont des coefficients réels connus. Le but est de trouver toutes les valeurs \( (x, y, z) \) qui satisfont simultanément les trois équations. #### 2. Le Pivot de Gauss (ou méthode d'élimination de Gauss) ##### Principe Le pivot de Gauss est une méthode systématique pour résoudre les systèmes linéaires. L'idée principale est de transformer le système initial en un système équivalent, mais plus simple à résoudre, appelé **système triangulaire**. ##### Opérations élémentaires autorisées Pour transformer le système sans changer son ensemble de solutions, nous pouvons effectuer les opérations suivantes sur les équations : * **Échanger l'ordre de deux équations** : Permet de choisir une meilleure équation "pivot". * **Multiplier une équation par un réel non nul** : Utile pour simplifier les coefficients ou préparer des éliminations. * **Ajouter à une équation un multiple d'une autre équation** : C'est l'opération clé pour l'élimination des inconnues. On note souvent \( L_i \leftarrow L_i + k \cdot L_j \) pour dire "la ligne i est remplacée par la ligne i plus k fois la ligne j". ##### Étapes de la méthode La méthode se déroule en deux phases principales : la phase de triangularisation (ou d'élimination) et la phase de substitution (ou de remontée). ###### Phase 1 : Triangularisation du système L'objectif est d'obtenir un système de la forme suivante : \[ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z = D_1 \\ \quad \quad B_2y + C_2z = D_2 \\ \quad \quad \quad \quad C_3z = D_3 \end{cases} \] **Étape 1 : Éliminer la première inconnue (\( x \)) des deuxième et troisième équations.** * On choisit la première équation comme équation "pivot". Le coefficient de \( x \) dans cette équation est le "pivot". S'il est nul, on échange avec une autre équation. * On utilise la première équation pour annuler le coefficient de \( x \) dans la deuxième équation. Pour cela, on remplace \( L_2 \) par \( L_2 - k_1 \cdot L_1 \), où \( k_1 \) est choisi pour annuler \( x \). * De même, on utilise la première équation pour annuler le coefficient de \( x \) dans la troisième équation. On remplace \( L_3 \) par \( L_3 - k_2 \cdot L_1 \). * À la fin de cette étape, le système a la forme : \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ \quad \quad b'_2y + c'_2z = d'_2 \\ \quad \quad b'_3y + c'_3z = d'_3 \end{cases} \] **Étape 2 : Éliminer la deuxième inconnue (\( y \)) de la nouvelle troisième équation.** * On choisit la nouvelle deuxième équation comme équation "pivot". Le coefficient de \( y \) dans cette équation est le nouveau "pivot". S'il est nul, on échange avec la troisième équation (si possible). * On utilise la deuxième équation (modifiée) pour annuler le coefficient de \( y \) dans la troisième équation (modifiée). On remplace \( L_3 \) par \( L_3 - k_3 \cdot L_2 \). * À la fin de cette étape, le système est triangulaire : \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ \quad \quad b'_2y + c'_2z = d'_2 \\ \quad \quad \quad \quad c''_3z = d''_3 \end{cases} \] ###### Phase 2 : Substitution (ou remontée) * **Résoudre la dernière équation** : On détermine la valeur de \( z \) à partir de la troisième équation. * **Substituer et résoudre la deuxième équation** : On remplace la valeur de \( z \) trouvée dans la deuxième équation pour trouver la valeur de \( y \). * **Substituer et résoudre la première équation** : On remplace les valeurs de \( y \) et \( z \) trouvées dans la première équation pour trouver la valeur de \( x \). * La solution est un triplet \( (x, y, z) \). #### 3. Cas particuliers * **Pas de solution** : Si à une étape, on obtient une équation contradictoire (ex: \( 0 = 5 \)), le système n'a pas de solution (il est incompatible). * **Une infinité de solutions** : Si à une étape, on obtient une équation triviale (ex: \( 0 = 0 \)) et qu'il reste moins d'équations que d'inconnues (après élimination des équations dépendantes), le système admet une infinité de solutions (il est indéterminé). On exprime alors les solutions en fonction d'un ou plusieurs paramètres. ### III. Vocabulaire Clé * **Système linéaire** : Ensemble d'équations linéaires. * **Inconnue** : Variable dont on cherche la valeur (ici \( x, y, z \)). * **Équation linéaire** : Équation où les inconnues apparaissent au premier degré. * **Coefficients** : Les nombres qui multiplient les inconnues dans les équations. * **Second membre** : Le terme constant de chaque équation (\( d_i \)). * **Pivot** : Le coefficient non nul d'une inconnue qu'on utilise pour l'éliminer dans les équations suivantes. * **Système triangulaire** : Un système linéaire où la première équation contient toutes les inconnues, la deuxième une inconnue de moins que la première, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière équation qui ne contient qu'une seule inconnue. * **Solution d'un système** : Un ensemble de valeurs pour les inconnues qui satisfont simultanément toutes les équations du système. * **Système compatible** : Un système qui a au moins une solution. * **Système incompatible** : Un système qui n'a aucune solution. * **Système déterminé** : Un système compatible qui a une solution unique. * **Système indéterminé** : Un système compatible qui a une infinité de solutions. ### IV. Exemples Détaillés #### Exemple 1 : Résolution d'un système 3x3 (indéterminé) Résolvons le système suivant : \[ (S) \begin{cases} x + 2y - z = 1 & (L_1) \\ 2x - y + 3z = 4 & (L_2) \\ 3x + y + 2z = 5 & (L_3) \end{cases} \] **Phase 1 : Triangularisation** 1. **Étape 1 : Éliminer \( x \) de \( L_2 \) et \( L_3 \).** * Pour \( L_2 \) : On fait \( L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 \) \( (2x - y + 3z) - 2(x + 2y - z) = 4 - 2(1) \) \( 2x - y + 3z - 2x - 4y + 2z = 4 - 2 \) \( -5y + 5z = 2 \) (Nouvelle \( L_2 \)) * Pour \( L_3 \) : On fait \( L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1 \) \( (3x + y + 2z) - 3(x + 2y - z) = 5 - 3(1) \) \( 3x + y + 2z - 3x - 6y + 3z = 5 - 3 \) \( -5y + 5z = 2 \) (Nouvelle \( L_3 \)) Le système devient : \[ \begin{cases} x + 2y - z = 1 & (L_1) \\ -5y + 5z = 2 & (L_2) \\ -5y + 5z = 2 & (L_3) \end{cases} \] 2. **Étape 2 : Éliminer \( y \) de la nouvelle \( L_3 \).** * On remarque que \( L_2 \) et \( L_3 \) sont identiques. Si on fait \( L_3 \leftarrow L_3 - L_2 \) : \( (-5y + 5z) - (-5y + 5z) = 2 - 2 \) \( 0 = 0 \) (Nouvelle \( L_3 \)) Le système est maintenant triangulaire (ou plutôt "dégénéré" ici) : \[ \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ -5y + 5z = 2 \\ 0 = 0 \end{cases} \] L'équation \( 0=0 \) indique que le système n'est pas déterminé de manière unique ; il y aura une infinité de solutions. **Phase 2 : Substitution (remontée)** 1. La troisième équation \( 0=0 \) ne nous donne pas d'information sur \( z \). On peut exprimer \( y \) en fonction de \( z \) (ou l'inverse) à partir de la deuxième équation. \( -5y + 5z = 2 \) \( -5y = 2 - 5z \) \( y = \frac{2 - 5z}{-5} \) \( y = -\frac{2}{5} + z \) 2. Substituons \( y \) dans la première équation : \( x + 2(-\frac{2}{5} + z) - z = 1 \) \( x - \frac{4}{5} + 2z - z = 1 \) \( x + z - \frac{4}{5} = 1 \) \( x = 1 + \frac{4}{5} - z \) \( x = \frac{9}{5} - z \) La solution est donc l'ensemble des triplets \( (x, y, z) \) de la forme \( \left(\frac{9}{5} - z, -\frac{2}{5} + z, z\right) \), où \( z \) est un nombre réel quelconque. On dit que \( z \) est un paramètre. #### Exemple 2 : Système incompatible Considérons le système : \[ \begin{cases} x + y + z = 1 & (L_1) \\ x + y + z = 2 & (L_2) \\ 2x - y + z = 0 & (L_3) \end{cases} \] Si nous faisons \( L_2 \leftarrow L_2 - L_1 \), nous obtenons : \( (x + y + z) - (x + y + z) = 2 - 1 \) \( 0 = 1 \) Cette équation est une contradiction. Donc, le système n'a aucune solution. C'est un **système incompatible**. ### V. Exercices Résolvez les systèmes linéaires suivants par la méthode du pivot de Gauss : **Exercice 1 :** \[ \begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ 2x + y - z = 3 \\ x + 2y - 3z = 5 \end{cases} \] **Exercice 2 :** \[ \begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ x - y + 2z = 2 \\ 2x + 3y - 3z = -1 \end{cases} \] **Exercice 3 :** \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + 5y + 6z = 30 \end{cases} \] ### VI. Devoir Maison Résolvez les systèmes suivants en utilisant le pivot de Gauss. Détaillez toutes les étapes. **Devoir 1 :** \[ \begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - 3y + 2z = 1 \\ 4x - y + z = 7 \end{cases} \] **Devoir 2 :** \[ \begin{cases} x + 2y - z = 5 \\ -3x - 6y + 3z = -15 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} \] *(Indice : Attention, ce système pourrait avoir une infinité de solutions ou être incompatible.)* **Devoir 3 :** \[ \begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ -x - y + 2z = -2 \\ 2x + y + z = 6 \end{cases} \] ### VII. Résumé * Le **pivot de Gauss** est une méthode systématique pour résoudre les systèmes linéaires de n équations à n inconnues. * Elle consiste à transformer le système initial en un **système triangulaire équivalent** à l'aide d'opérations élémentaires sur les équations. * Les **opérations autorisées** sont l'échange de lignes, la multiplication d'une ligne par un réel non nul, et l'addition d'un multiple d'une ligne à une autre. * Une fois le système triangulaire obtenu, on procède par **substitution "en remontant"** pour trouver les valeurs des inconnues. * Il est important de savoir reconnaître les **cas particuliers** : systèmes incompatibles (pas de solution) ou systèmes indéterminés (infinité de solutions). ## Systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues: Substitution ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les systèmes d'équations ! Après avoir travaillé sur les systèmes à deux équations et deux inconnues, nous allons maintenant étendre nos compétences pour résoudre des problèmes plus complexes : les systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues. Dans cette leçon, nous nous concentrerons sur la méthode de substitution, une technique puissante et systématique pour trouver les solutions à ces systèmes. La compréhension de cette méthode est cruciale car elle forme la base de la résolution de nombreux problèmes en mathématiques, en sciences et en ingénierie. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un système linéaire de trois équations à trois inconnues ? Un système linéaire de trois équations à trois inconnues est un ensemble de trois équations linéaires où chaque équation contient jusqu'à trois variables (généralement notées \(x\), \(y\) et \(z\)). L'objectif est de trouver un triplet de valeurs \((x, y, z)\) qui satisfait simultanément les trois équations. La forme générale d'un tel système est la suivante : \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases} \] Où \(a_i, b_i, c_i, d_i\) sont des coefficients réels connus, et \(x, y, z\) sont les inconnues. #### La méthode de substitution La méthode de substitution consiste à exprimer une des variables en fonction des autres à partir d'une équation, puis à remplacer cette expression dans les deux autres équations. Cela réduit le système initial de 3x3 à un système de 2x2, que vous savez déjà résoudre. Une fois les deux variables trouvées, on peut facilement calculer la troisième. Voici les étapes détaillées : 1. **Choisir une équation et une variable à isoler :** Examinez les équations et choisissez celle qui vous permettra d'isoler une variable (par exemple \(x\)) le plus facilement possible. Idéalement, choisissez une variable dont le coefficient est 1 ou -1 pour éviter les fractions initialement. 2. **Exprimer la variable choisie :** Réécrivez l'équation choisie pour exprimer cette variable en fonction des deux autres. Par exemple, si vous choisissez d'isoler \(x\) de la première équation, vous obtiendrez une expression du type \(x = ext{expression en } y ext{ et } z\). 3. **Substituer l'expression :** Remplacez l'expression obtenue pour la variable (dans notre exemple, \(x\)) dans les *deux autres* équations du système. Cela transformera ces deux équations en deux nouvelles équations qui ne contiennent plus que deux inconnues (dans notre exemple, \(y\) et \(z\)). 4. **Résoudre le système 2x2 :** Vous avez maintenant un système de deux équations à deux inconnues. Résolvez ce nouveau système en utilisant la méthode de substitution ou la méthode d'élimination (combinaison linéaire) que vous maîtrisez déjà. Cela vous donnera les valeurs numériques de deux de vos inconnues. 5. **Trouver la troisième inconnue :** Une fois que vous avez les valeurs des deux inconnues, substituez-les dans l'expression que vous avez trouvée à l'étape 2 (par exemple, \(x = ext{expression en } y ext{ et } z\)) pour trouver la valeur de la troisième inconnue. 6. **Vérifier la solution :** Il est crucial de substituer le triplet de valeurs \((x, y, z)\) obtenu dans les trois équations *originales* du système pour s'assurer qu'elles sont toutes satisfaites. Si ce n'est pas le cas, revérifiez vos calculs. ### Vocabulaire * **Système linéaire :** Un ensemble d'équations où chaque équation est de degré 1. Toutes les inconnues apparaissent avec un exposant de 1 et ne sont pas multipliées entre elles. * **Équation linéaire :** Une équation dont les termes sont des constantes ou des produits d'une constante et d'une seule variable à la puissance 1 (ex: \(3x - 2y + z = 7\)). * **Inconnue :** Une variable (comme \(x\), \(y\), ou \(z\)) dont la valeur doit être déterminée. * **Solution d'un système :** Un ensemble de valeurs (un triplet \((x, y, z)\) pour un système 3x3) qui rend toutes les équations du système vraies simultanément. * **Substitution :** La méthode de résolution consistant à remplacer une variable par son expression équivalente tirée d'une autre équation. * **Coefficient :** Le nombre qui multiplie une variable dans une équation linéaire. ### Exemples Résolvons le système suivant en utilisant la méthode de substitution : \[ \begin{cases} x + y + z = 6 ag{L_1} \\ 2x - y + z = 3 ag{L_2} \\ x + 2y - 3z = -4 ag{L_3} \end{cases} \] **Étape 1 : Isoler une variable.** Nous allons isoler \(x\) de l'équation \((L_1)\) car son coefficient est 1 : \(x = 6 - y - z ag{L_4}\) **Étape 2 : Substituer dans les autres équations.** * **Substitution dans \((L_2)\) :** \(2(6 - y - z) - y + z = 3\) \(12 - 2y - 2z - y + z = 3\) \(-3y - z = 3 - 12\) \(-3y - z = -9\) \(3y + z = 9 ag{L_5}\) * **Substitution dans \((L_3)\) :** \((6 - y - z) + 2y - 3z = -4\) \(6 + y - 4z = -4\) \(y - 4z = -4 - 6\) \(y - 4z = -10 ag{L_6}\) **Étape 3 : Résoudre le système 2x2.** Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues : \[ \begin{cases} 3y + z = 9 ag{L_5} \\ y - 4z = -10 ag{L_6} \end{cases} \] Isolons \(z\) de l'équation \((L_5)\) : \(z = 9 - 3y ag{L_7}\) Substituons cette expression de \(z\) dans l'équation \((L_6)\) : \(y - 4(9 - 3y) = -10\) \(y - 36 + 12y = -10\) \(13y = -10 + 36\) \(13y = 26\) \(y = 2\) **Étape 4 : Trouver la troisième inconnue.** Maintenant que nous avons \(y = 2\), substituons cette valeur dans \((L_7)\) pour trouver \(z\) : \(z = 9 - 3(2)\) \(z = 9 - 6\) \(z = 3\) Enfin, substituons les valeurs de \(y = 2\) et \(z = 3\) dans l'équation \((L_4)\) pour trouver \(x\) : \(x = 6 - y - z\) \(x = 6 - 2 - 3\) \(x = 1\) **Solution :** Le triplet solution est \((1, 2, 3)\). **Étape 5 : Vérification.** Substituons \(x=1, y=2, z=3\) dans les trois équations originales : * \((L_1) ext{ : } 1 + 2 + 3 = 6 ext{ (Vrai)}\) * \((L_2) ext{ : } 2(1) - 2 + 3 = 2 - 2 + 3 = 3 ext{ (Vrai)}\) * \((L_3) ext{ : } 1 + 2(2) - 3(3) = 1 + 4 - 9 = 5 - 9 = -4 ext{ (Vrai)}\) Toutes les équations sont satisfaites, donc notre solution est correcte. ### Exercices Résolvez les systèmes linéaires suivants par la méthode de substitution. N'oubliez pas de vérifier vos solutions ! 1. \[ \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + z = 3 \\ -x + 2y + 2z = 9 \end{cases} \] 2. \[ \begin{cases} a - b + c = 2 \\ 2a + b - c = 1 \\ -a + 2b + 3c = 13 \end{cases} \] ### Devoir Pour renforcer votre compréhension et votre maîtrise de la méthode de substitution, résolvez les systèmes suivants. Ces problèmes peuvent nécessiter un peu plus d'attention aux détails. 1. \[ \begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x - 3y + 2z = -1 \\ 3x + 2y + z = 10 \end{cases} \] 2. \[ \begin{cases} 3x - 2y + z = 1 \\ x + y - 2z = -3 \\ -2x + 3y + 4z = 6 \end{cases} \] ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à résoudre des systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues en utilisant la méthode de substitution. Cette technique implique les étapes clés suivantes : 1. Isoler une variable d'une des équations. 2. Substituer l'expression de cette variable dans les deux autres équations, réduisant ainsi le système à un système 2x2. 3. Résoudre le système 2x2 pour trouver deux des inconnues. 4. Substituer les valeurs trouvées pour déterminer la troisième inconnue. 5. Vérifier la solution dans les trois équations originales pour s'assurer de sa validité. La méthode de substitution est une compétence fondamentale en algèbre qui vous sera utile dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences. La pratique régulière est essentielle pour maîtriser cette technique.