Chap4: Suites numériques

# Chap4: Suites numériques ## Suites monotones; suites bornées ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des suites numériques en introduisant deux propriétés fondamentales : la monotonie et l'état borné d'une suite. Ces concepts sont essentiels pour l'étude du comportement à long terme des suites, notamment en vue de déterminer leur convergence ou leur divergence. Comprendre si une suite « monte » toujours, « descend » toujours, ou si elle reste confinée dans un certain intervalle, nous donne des outils puissants pour analyser leur évolution. ### Concepts Clés #### I. Suites Monotones Une suite numérique \( (u_n) \) est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante à partir d'un certain rang. ##### 1. Définitions * **Suite croissante :** Une suite \( (u_n) \) est croissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} \ge u_n \). * **Suite strictement croissante :** Une suite \( (u_n) \) est strictement croissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} > u_n \). * **Suite décroissante :** Une suite \( (u_n) \) est décroissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} \le u_n \). * **Suite strictement décroissante :** Une suite \( (u_n) \) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} < u_n \). * **Suite constante :** Une suite \( (u_n) \) est constante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = u_n \). Une suite constante est à la fois croissante et décroissante. ##### 2. Méthodes pour étudier la monotonie Plusieurs méthodes permettent de déterminer la monotonie d'une suite : * **Étude du signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \) :** * Si \( u_{n+1} - u_n > 0 \) pour tout \( n \), la suite est strictement croissante. * Si \( u_{n+1} - u_n < 0 \) pour tout \( n \), la suite est strictement décroissante. * Si \( u_{n+1} - u_n = 0 \) pour tout \( n \), la suite est constante. * **Étude du quotient \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) (pour les suites à termes strictement positifs) :** * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \) pour tout \( n \), la suite est strictement croissante. * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \) pour tout \( n \), la suite est strictement décroissante. * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 \) pour tout \( n \), la suite est constante. * **Attention :** Cette méthode ne s'applique qu'aux suites dont tous les termes sont strictement positifs. Si les termes sont négatifs, il faut être vigilant avec le sens des inégalités. * **Utilisation d'une fonction associée :** Si une suite est définie par \( u_n = f(n) \), où \( f \) est une fonction dérivable sur \( [0; +\infty[ \) ou sur \( [N; +\infty[ \) à partir d'un certain \( N \): * Si \( f'(x) > 0 \) sur cet intervalle, alors \( (u_n) \) est strictement croissante. * Si \( f'(x) < 0 \) sur cet intervalle, alors \( (u_n) \) est strictement décroissante. #### II. Suites Bornées Une suite est bornée si ses termes restent confinés entre deux valeurs fixes. ##### 1. Définitions * **Suite majorée :** Une suite \( (u_n) \) est majorée s'il existe un nombre réel \( M \) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \le M \). \( M \) est appelé un majorant de la suite. * **Suite minorée :** Une suite \( (u_n) \) est minorée s'il existe un nombre réel \( m \) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \ge m \). \( m \) est appelé un minorant de la suite. * **Suite bornée :** Une suite \( (u_n) \) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Autrement dit, il existe deux nombres réels \( m \) et \( M \) tels que, pour tout entier naturel \( n \), \( m \le u_n \le M \). On peut aussi dire qu'il existe un réel \( K > 0 \) tel que, pour tout \( n \), \( |u_n| \le K \). ##### 2. Propriétés * Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse (une suite bornée n'est pas nécessairement convergente, ex: \( (-1)^n \)). * Le théorème de convergence monotone stipule que toute suite croissante et majorée est convergente, et toute suite décroissante et minorée est convergente. ### Vocabulaire * **Monotonie :** Caractère d'une suite qui est soit croissante, soit décroissante (soit constante). * **Suite croissante :** Une suite dont chaque terme est supérieur ou égal au précédent. * **Suite décroissante :** Une suite dont chaque terme est inférieur ou égal au précédent. * **Suite majorée :** Une suite dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à un certain nombre réel (le majorant). * **Suite minorée :** Une suite dont tous les termes sont supérieurs ou égaux à un certain nombre réel (le minorant). * **Suite bornée :** Une suite qui est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire que ses termes restent dans un intervalle fini. * **Majorant :** Un nombre réel plus grand ou égal à tous les termes d'une suite. * **Minorant :** Un nombre réel plus petit ou égal à tous les termes d'une suite. ### Exemples #### Exemple 1 : Étude de la monotonie par la différence Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par \( u_n = n^2 - 3n + 1 \). Calculons la différence \( u_{n+1} - u_n \) : \[ u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2 - 3(n+1) + 1) - (n^2 - 3n + 1) \\ = (n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 + 1) - (n^2 - 3n + 1) \\ = (n^2 - n - 1) - (n^2 - 3n + 1) \\ = n^2 - n - 1 - n^2 + 3n - 1 \\ = 2n - 2 \] Nous devons étudier le signe de \( 2n - 2 \). * Si \( 2n - 2 > 0 \), c'est-à-dire \( 2n > 2 \), donc \( n > 1 \). La suite est strictement croissante pour \( n \ge 2 \). * Si \( 2n - 2 < 0 \), c'est-à-dire \( 2n < 2 \), donc \( n < 1 \). Pour \( n=0 \), \( u_1 - u_0 = -2 \), donc \( u_1 < u_0 \). * Si \( 2n - 2 = 0 \), c'est-à-dire \( n = 1 \). \( u_2 - u_1 = 0 \), donc \( u_2 = u_1 \). La suite n'est pas monotone sur \( \mathbb{N} \). Elle est décroissante de \( u_0 \) à \( u_1 \), constante de \( u_1 \) à \( u_2 \), puis croissante à partir de \( n=1 \) (stricte à partir de \( n=2 \)). On dira qu'elle est croissante à partir du rang 1. #### Exemple 2 : Étude de la monotonie par le quotient Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) par \( u_n = \frac{2^n}{n} \). Tous les termes sont positifs. Calculons le quotient \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}} \\ = \frac{2^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{2^n} \\ = \frac{2^n \cdot 2 \cdot n}{(n+1) \cdot 2^n} \\ = \frac{2n}{n+1} \] Comparons \( \frac{2n}{n+1} \) à 1 : \( \frac{2n}{n+1} > 1 \iff 2n > n+1 \iff n > 1 \). * Pour \( n > 1 \), \( \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \), donc la suite est strictement croissante pour \( n \ge 2 \). * Pour \( n = 1 \), \( \frac{u_2}{u_1} = \frac{2(1)}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 \), donc \( u_2 = u_1 \). (\( u_1=2, u_2=2 \)) La suite est croissante à partir du rang 1. #### Exemple 3 : Étude de la monotonie avec une fonction associée Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par \( u_n = \frac{n}{n+1} \). Considérons la fonction \( f(x) = \frac{x}{x+1} \) pour \( x \ge 0 \). Calculons la dérivée de \( f(x) \) : \[ f'(x) = \frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} \] Pour \( x \ge 0 \), \( (x+1)^2 > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \). La fonction \( f \) est strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \). Par conséquent, la suite \( (u_n) \) est strictement croissante. #### Exemple 4 : Étude de l'état borné Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 5 - \frac{1}{n+1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * **Minorant :** Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( n+1 \ge 1 \), donc \( 0 < \frac{1}{n+1} \le 1 \). Alors \( -1 \le -\frac{1}{n+1} < 0 \). Ainsi, \( 5 - 1 \le 5 - \frac{1}{n+1} < 5 - 0 \). \( 4 \le u_n < 5 \). La suite est minorée par 4. * **Majorant :** La suite est majorée par 5. Puisqu'elle est à la fois minorée par 4 et majorée par 5, la suite \( (u_n) \) est bornée. ### Exercices 1. **Monotonie :** Étudiez la monotonie des suites suivantes : a. \( u_n = 2n - 5 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). b. \( v_n = -n^2 + 4n - 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). c. \( w_n = \frac{3^n}{n+1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 2. **Bornée :** Déterminez si les suites suivantes sont bornées, majorées ou minorées : a. \( u_n = \frac{1}{n+1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). b. \( v_n = 3 - n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). c. \( w_n = \cos(n) \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). ### Devoirs 1. **Analyse complète :** Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 2 \) et, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \). a. Calculez les premiers termes de la suite : \( u_1, u_2, u_3 \). b. Conjecturez la monotonie de la suite. c. Prouvez par récurrence que la suite est majorée par 6. d. En utilisant la récurrence ou l'étude de \( u_{n+1} - u_n \), démontrez la monotonie de la suite. e. Que peut-on en déduire concernant la convergence de \( (u_n) \) ? 2. **Suite de type \( f(n) \) :** Soit la suite \( (v_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) par \( v_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1} \). a. Étudiez la monotonie de la suite \( (v_n) \) en utilisant une fonction associée \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1} \). b. Montrez que la suite \( (v_n) \) est bornée. ### Résumé Ce chapitre nous a introduit aux notions de **suites monotones** (croissantes ou décroissantes) et de **suites bornées** (majorées et minorées). Nous avons appris différentes méthodes pour étudier la monotonie d'une suite, notamment par l'étude du signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \) ou du quotient \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) (pour les termes positifs), ou encore par l'étude de la fonction associée. Une suite est bornée si ses termes restent dans un intervalle fermé. Ces propriétés sont cruciales car, comme le stipule le théorème de convergence monotone, toute suite monotone et bornée est convergente. Ces outils nous permettent d'anticiper le comportement des suites à l'infini. ## Raisonnement par récurrence sur IN ### Introduction Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration puissante et fondamentale en mathématiques, particulièrement adaptée pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels à partir d'un certain rang. Il est souvent comparé à l'effet domino : si le premier domino tombe, et que la chute de chaque domino entraîne celle du suivant, alors tous les dominos tomberont. Ce chapitre vous permettra de maîtriser cette technique indispensable pour la suite de vos études scientifiques. ### Concepts Clés #### Le Principe du Raisonnement par Récurrence Pour démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à un certain entier \(n_0\), on procède en trois étapes : ##### 1. L'Initialisation * On vérifie que la propriété \(P(n)\) est vraie pour le premier entier \(n_0\) (souvent \(n_0 = 0\) ou \(n_0 = 1\)). * C'est la base de la récurrence, le premier domino qui tombe. ##### 2. L'Hérédité * On suppose que la propriété \(P(k)\) est vraie pour un entier \(k\) arbitraire et quelconque, \(k \\ge n_0\). C'est l'**hypothèse de récurrence**. * À partir de cette hypothèse, on démontre que la propriété \(P(k+1)\) est également vraie. * Cela signifie que si un domino tombe (\(P(k)\) est vraie), alors le suivant tombera aussi (\(P(k+1)\) est vraie). ##### 3. La Conclusion * Si les deux étapes précédentes sont validées, alors on conclut, par le principe de récurrence, que la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n \\ge n_0\). #### Quand Utiliser le Raisonnement par Récurrence ? Ce type de raisonnement est particulièrement utile pour : * Démontrer des propriétés sur les suites numériques (expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), sens de variation, majoration/minoration). * Prouver des identités impliquant des sommes ou des produits. * Établir des inégalités. * Démontrer des propriétés de divisibilité. ### Vocabulaire * **Propriété \(P(n)\) :** L'énoncé mathématique dépendant d'un entier \(n\) que l'on souhaite prouver. * **Initialisation :** La première étape d'une démonstration par récurrence, où l'on vérifie la propriété pour la valeur de départ \(n_0\). * **Hérédité :** La deuxième étape, où l'on prouve que si la propriété est vraie pour un entier \(k\), elle l'est aussi pour \(k+1\). * **Hypothèse de récurrence :** L'hypothèse que la propriété \(P(k)\) est vraie pour un entier \(k\) donné. * **Conclusion :** La dernière étape, affirmant que la propriété est vraie pour tous les entiers \(n \\ge n_0\) grâce au principe de récurrence. * **Nombre entier naturel (\\(\\\\mathbb{N}\\\) ) :** Ensemble des entiers positifs ou nuls \(\\{0, 1, 2, ...\\}\). ### Exemples #### Exemple 1 : Somme des premiers entiers Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n \\ge 1\), la somme des \(n\) premiers entiers naturels est donnée par la formule : \[ \\sum_{i=1}^{n} i = \\frac{n(n+1)}{2} \] Soit \(P(n)\) la propriété : \(1+2+...+n = \\frac{n(n+1)}{2}\). 1. **Initialisation :** Pour \(n=1\), la somme est \(1\). La formule donne \(\\frac{1(1+1)}{2} = \\frac{2}{2} = 1\). Donc, \(P(1)\) est vraie. 2. **Hérédité :** Supposons que \(P(k)\) est vraie pour un entier \(k \\ge 1\) quelconque. C'est-à-dire : \[ 1+2+...+k = \\frac{k(k+1)}{2} \] Montrons que \(P(k+1)\) est vraie, c'est-à-dire que : \[ 1+2+...+k+(k+1) = \\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \\frac{(k+1)(k+2)}{2} \] Partons du membre de gauche : \(1+2+...+k+(k+1) = (1+2+...+k) + (k+1)\) En utilisant l'hypothèse de récurrence, on remplace la somme : \( = \\frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\) On factorise par \((k+1)\) : \( = (k+1) \\left( \\frac{k}{2} + 1 \\right)\) \( = (k+1) \\left( \\frac{k+2}{2} \\right)\) \( = \\frac{(k+1)(k+2)}{2}\) On a bien obtenu l'expression pour \(P(k+1)\). Donc, l'hérédité est vérifiée. 3. **Conclusion :** Puisque la propriété est vraie pour \(n=1\) et que l'hérédité est établie, on peut conclure, par le principe de récurrence, que pour tout entier naturel \(n \\ge 1\), la somme des \(n\) premiers entiers est \(\\frac{n(n+1)}{2}\). #### Exemple 2 : Inégalité Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(2^n > n\). Soit \(P(n)\) la propriété : \(2^n > n\). 1. **Initialisation :** Pour \(n=0\), \(2^0 = 1\) et \(0\). On a \(1 > 0\). Donc, \(P(0)\) est vraie. 2. **Hérédité :** Supposons que \(P(k)\) est vraie pour un entier \(k \\ge 0\) quelconque. C'est-à-dire : \[ 2^k > k \] Montrons que \(P(k+1)\) est vraie, c'est-à-dire que : \[ 2^{k+1} > k+1 \] On part de \(2^{k+1}\) : \(2^{k+1} = 2 \\\cdot 2^k\) D'après l'hypothèse de récurrence \(2^k > k\), on a : \(2^{k+1} > 2k\) Nous voulons montrer que \(2k \\ge k+1\). L'inégalité \(2k \\ge k+1\) est équivalente à \(k \\ge 1\). * **Cas 1 :** Si \(k=0\). L'initialisation a montré que \(P(0)\) est vraie. On doit vérifier \(P(1)\). \(2^1 > 1\) est \(2 > 1\), ce qui est vrai. La propriété est vraie pour \(n=0\) et \(n=1\). * **Cas 2 :** Si \(k \\ge 1\). Dans ce cas, \(2k \\ge k+1\) est vraie. Puisque \(2^{k+1} > 2k\) et \(2k \\ge k+1\), par transitivité, on a \(2^{k+1} > k+1\). Donc, \(P(k+1)\) est vraie pour \(k \\ge 1\). 3. **Conclusion :** La propriété est vraie pour \(n=0\), et l'hérédité est établie pour \(k \\ge 0\) (en traitant le cas \(k=0\) séparément pour l'hérédité ou en notant que \(P(1)\) est vraie). Par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\). ### Exercices #### Exercice 1 Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel \(n \\ge 1\), la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\). \[ 1+3+5+...+(2n-1) = n^2 \] #### Exercice 2 Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel \(n \\ge 1\), \(3^{2n}-1\) est divisible par 8. #### Exercice 3 Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 2u_n + 1\) pour tout \(n \\in \\mathbb{N}\\) . Montrez par récurrence que pour tout \(n \\in \\mathbb{N}\\) , \(u_n = 2^n - 1\). ### Devoir Maison #### Exercice 1 : Inégalité de Bernoulli Soit \(x \\in \\mathbb{R}\) tel que \(x > -1\). Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), l'inégalité de Bernoulli est vraie : \[ (1+x)^n \\ge 1+nx \] #### Exercice 2 : Somme géométrique Soit \(q \\in \\mathbb{R}\) tel que \(q \\\ne 1\). Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), la somme des termes d'une suite géométrique est : \[ \\sum_{i=0}^{n} q^i = \\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \] #### Exercice 3 Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel \(n \\ge 4\), \(n! > 2^n\). *(Rappel : \(n! = 1 \\\times 2 \\\times ... \\\times n\\))* ### Résumé * Le raisonnement par récurrence est une méthode pour prouver des propriétés vraies pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang \(n_0\). * Il se déroule en trois étapes cruciales : 1. **L'Initialisation :** Vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme \(P(n_0)\). 2. **L'Hérédité :** Supposer \(P(k)\) vraie pour un \(k \\ge n_0\) (hypothèse de récurrence) et en déduire que \(P(k+1)\) est vraie. 3. **La Conclusion :** Affirmer que la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \\ge n_0\). * Ce principe est illustré par l'analogie des dominos, où chaque domino qui tombe entraîne la chute du suivant.