Chap10: Calculs des intégrales

# Chap10: Calculs des intégrales ## Présentation et propriétés ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre crucial des mathématiques de Terminale qui introduit les intégrales. Après avoir exploré les fonctions et leurs dérivées, nous allons découvrir une nouvelle opération, l'intégration, qui peut être vue comme l'inverse de la dérivation. Les intégrales sont des outils puissants pour calculer des aires, des volumes et de nombreuses autres grandeurs en physique, ingénierie et économie. Nous allons commencer par comprendre ce qu'est une intégrale définie, son interprétation géométrique et ses propriétés fondamentales. ### Concepts Clés #### 1. Définition de l'intégrale définie L'intégrale définie d'une fonction continue et positive \( f \) sur un intervalle \( [a, b] \) est l'aire de la région délimitée par la courbe de \( f \), l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations \( x=a \) et \( x=b \). Plus formellement, si \( F \) est une primitive de \( f \), alors l'intégrale de \( f \) de \( a \) à \( b \) est donnée par : \[ \int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \] * \( \int \) est le symbole d'intégration. * \( a \) est la borne inférieure et \( b \) est la borne supérieure de l'intégrale. * \( f(x) \) est la fonction à intégrer (l'intégrande). * \( dx \) indique que l'intégration se fait par rapport à la variable \( x \). #### 2. Interprétation Géométrique * **Fonction positive:** Si \( f(x) \ge 0 \) sur \( [a, b] \), alors \( \int_a^b f(x) \, dx \) représente l'aire de la région située sous la courbe de \( f \), au-dessus de l'axe des abscisses, et entre les droites \( x=a \) et \( x=b \) (exprimée en unités d'aire). * **Fonction négative:** Si \( f(x) \le 0 \) sur \( [a, b] \), alors \( \int_a^b f(x) \, dx \) est l'opposé de l'aire de la région située au-dessus de la courbe de \( f \), sous l'axe des abscisses. * **Fonction de signe variable:** Si \( f(x) \) change de signe sur \( [a, b] \), l'intégrale représente une somme algébrique des aires : les aires au-dessus de l'axe des abscisses sont comptées positivement, et celles en dessous négativement. #### 3. Propriétés des intégrales définies ##### a. Linéarité Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur \( [a, b] \), et \( k \) un réel : * **Intégrale d'une somme :** \[ \int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \] * **Intégrale d'un produit par un scalaire :** \[ \int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx \] ##### b. Relation de Chasles Pour une fonction \( f \) continue sur un intervalle contenant \( a, b, c \) : \[ \int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \] ##### c. Inversion des bornes \[ \int_b^a f(x) \, dx = - \int_a^b f(x) \, dx \] ##### d. Intégrale sur un intervalle nul \[ \int_a^a f(x) \, dx = 0 \] ##### e. Positivité et Monotonie * **Positivité :** Si \( f(x) \ge 0 \) sur \( [a, b] \) avec \( a \le b \), alors \[ \int_a^b f(x) \, dx \ge 0 \] * **Monotonie :** Si \( f(x) \le g(x) \) sur \( [a, b] \) avec \( a \le b \), alors \[ \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx \] #### 4. Valeur moyenne d'une fonction La valeur moyenne \( m \) d'une fonction continue \( f \) sur un intervalle \( [a, b] \) (avec \( a \ne b \)) est donnée par : \[ m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \] Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle de base \( [a, b] \) dont l'aire est égale à l'aire sous la courbe de \( f \) sur ce même intervalle. ### Vocabulaire * **Intégrale définie :** Un nombre qui représente l'aire algébrique sous la courbe d'une fonction sur un intervalle donné. * **Primitive :** Une fonction \( F \) dont la dérivée est \( f \), c'est-à-dire \( F'(x) = f(x) \). * **Intégrande :** La fonction \( f(x) \) que l'on intègre. * **Bornes d'intégration :** Les valeurs \( a \) et \( b \) qui définissent l'intervalle sur lequel l'intégration est effectuée. * **Intégration :** L'opération mathématique qui permet de calculer une intégrale. * **Aire algébrique :** Somme des aires où celles situées sous l'axe des abscisses sont comptées négativement. * **Valeur moyenne :** Une valeur représentative d'une fonction sur un intervalle, calculée à l'aide de l'intégrale. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul d'une intégrale simple Calculer \( \int_1^3 (2x + 1) \, dx \). 1. Trouver une primitive de \( f(x) = 2x + 1 \). Une primitive est \( F(x) = x^2 + x \) (car \( F'(x) = 2x + 1 \)). 2. Appliquer la formule \( F(b) - F(a) \) : \( \int_1^3 (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_1^3 = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 \). #### Exemple 2: Utilisation de la relation de Chasles Soit \( \int_0^2 f(x) \, dx = 5 \) et \( \int_2^5 f(x) \, dx = 3 \). Calculer \( \int_0^5 f(x) \, dx \). En utilisant la relation de Chasles : \( \int_0^5 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^5 f(x) \, dx = 5 + 3 = 8 \). #### Exemple 3: Calcul de la valeur moyenne Calculer la valeur moyenne de la fonction \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \( [0, 3] \). 1. Calculer l'intégrale : \( \int_0^3 x^2 \, dx \). Une primitive de \( x^2 \) est \( \frac{x^3}{3} \). \( \int_0^3 x^2 \, dx = [\frac{x^3}{3}]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9 \). 2. Appliquer la formule de la valeur moyenne : \( m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx = \frac{1}{3-0} \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \). La valeur moyenne de \( f(x) = x^2 \) sur \( [0, 3] \) est \( 3 \). ### Exercices 1. Calculer les intégrales suivantes : a. \( \int_{-1}^2 (3x^2 - 4x) \, dx \) b. \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \) c. \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \) 2. Soient \( \int_1^4 g(x) \, dx = 7 \) et \( \int_1^4 h(x) \, dx = -2 \). Calculer \( \int_1^4 (2g(x) - 3h(x)) \, dx \). 3. La vitesse d'un objet en mouvement est donnée par \( v(t) = 3t^2 + 2t \) m/s. Calculer la distance parcourue entre \( t=1 \) s et \( t=3 \) s. 4. Déterminer la valeur moyenne de la fonction \( f(x) = e^x \) sur l'intervalle \( [0, 1] \). ### Devoirs 1. Calculer l'aire délimitée par la courbe de la fonction \( f(x) = x^3 \), l'axe des abscisses, et les droites \( x=0 \) et \( x=2 \). 2. Sachant que \( \int_{-2}^0 f(x) \, dx = 4 \) et \( \int_0^3 f(x) \, dx = -1 \), calculer \( \int_{-2}^3 f(x) \, dx \) et \( \int_3^0 f(x) \, dx \). 3. Montrer que si \( f(x) = k \) (une constante), alors la valeur moyenne de \( f \) sur \( [a, b] \) est \( k \). 4. Une fonction \( f \) est définie par \( f(x) = x^2 - 4 \). a. Calculer \( \int_0^3 f(x) \, dx \). b. Expliquer l'interprétation géométrique du résultat de la question a. (aide : la fonction \( f \) change-t-elle de signe sur \( [0, 3] \) ?). ### Résumé Ce chapitre a introduit la notion fondamentale d'intégrale définie, qui permet de calculer l'aire sous une courbe. Nous avons vu que l'intégrale est étroitement liée aux primitives d'une fonction, grâce à la formule \( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \). Les propriétés de linéarité, la relation de Chasles et les règles de comparaison sont des outils essentiels pour manipuler et simplifier les calculs d'intégrales. Enfin, la valeur moyenne d'une fonction offre une manière de caractériser son comportement global sur un intervalle. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour les applications futures des intégrales en sciences et en ingénierie. ## Inégalité de la moyenne; valeur moyenne ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer deux concepts fondamentaux liés aux intégrales définies: l'inégalité de la moyenne, qui nous permet d'encadrer la valeur d'une intégrale, et la valeur moyenne d'une fonction, qui nous donne une idée de la "hauteur moyenne" d'une fonction sur un intervalle donné. Ces outils sont essentiels pour comprendre le comportement global des fonctions et leurs applications dans divers domaines. ### Concepts Clés #### Encadrement d'une intégrale (Inégalité de la moyenne) Quand une fonction est continue sur un intervalle, nous pouvons souvent estimer l'étendue de son intégrale. Le théorème de l'inégalité de la moyenne nous donne un cadre pour cela. * **Théorème**: Soit une fonction \( f \) continue sur un intervalle \( [a, b] \). S'il existe deux nombres réels \( m \) et \( M \) tels que pour tout \( x \in [a, b] \), nous ayons \( m \le f(x) \le M \), alors l'intégrale de \( f \) sur \( [a, b] \) est encadrée de la manière suivante: \[ m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \] * **Interprétation Géométrique**: L'aire sous la courbe de \( f \) est comprise entre l'aire d'un rectangle de hauteur minimale \( m \) et celle d'un rectangle de hauteur maximale \( M \), tous deux ayant la même largeur \( (b-a) \). * **Comment trouver \( m \) et \( M \)**: * Si la fonction \( f \) est monotone (croissante ou décroissante) sur \( [a, b] \), alors ses valeurs minimale et maximale sont atteintes aux bornes de l'intervalle. Par exemple, si \( f \) est croissante, alors \( m = f(a) \) et \( M = f(b) \). * Dans d'autres cas, il peut être nécessaire d'étudier les variations de la fonction (dérivée) pour trouver ses extremums sur l'intervalle. #### Valeur moyenne d'une fonction La valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle est une généralisation de la moyenne arithmétique. * **Définition**: Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a, b] \) avec \( a \ne b \). La valeur moyenne de \( f \) sur cet intervalle, notée \( \mu \) (mu), est donnée par la formule: \[ \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \] * **Interprétation Géométrique**: La valeur moyenne \( \mu \) représente la hauteur d'un rectangle de largeur \( (b-a) \) qui aurait la même aire que l'aire sous la courbe de \( f \) sur l'intervalle \( [a, b] \). Autrement dit, le rectangle d'aire \( \mu (b-a) \) a la même aire que \( \int_a^b f(x) dx \). * **Théorème de la moyenne (pour les intégrales)**: Si \( f \) est une fonction continue sur \( [a, b] \), alors il existe au moins un réel \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = \mu \). Cela signifie que la fonction atteint réellement sa valeur moyenne à au moins un point de l'intervalle. ### Vocabulaire * **Intégrale définie**: L'aire algébrique sous la courbe d'une fonction sur un intervalle donné. * **Fonction continue**: Une fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon, sans "saut" ni "trou". * **Borne inférieure/supérieure**: Les extrémités de l'intervalle d'intégration (par exemple, \( a \) et \( b \) dans \( [a, b] \)). * **Minimum/Maximum d'une fonction**: Les plus petites/grandes valeurs atteintes par la fonction sur un intervalle. * **Valeur moyenne**: La valeur \( \mu \) définie ci-dessus, représentant la hauteur équivalente pour un rectangle d'aire égale à l'intégrale. * **Théorème de la moyenne (pour les intégrales)**: Le théorème qui garantit l'existence d'un point \( c \) où la fonction prend sa valeur moyenne. ### Exemples #### Exemple 1: Encadrement d'une intégrale Soit la fonction \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \( [1, 3] \). Encadrons \( \int_1^3 x^2 dx \). 1. **Trouver \( m \) et \( M \)**: La fonction \( f(x) = x^2 \) est croissante sur \( [1, 3] \). * \( m = f(1) = 1^2 = 1 \) * \( M = f(3) = 3^2 = 9 \) 2. **Appliquer l'inégalité**: \( b-a = 3-1 = 2 \) \[ m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \] \[ 1(2) \le \int_1^3 x^2 dx \le 9(2) \] \[ 2 \le \int_1^3 x^2 dx \le 18 \] #### Exemple 2: Calcul de la valeur moyenne Calculons la valeur moyenne de \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \( [1, 3] \). 1. **Calculer l'intégrale**: Une primitive de \( x^2 \) est \( \frac{x^3}{3} \). \[ \int_1^3 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \] 2. **Calculer la valeur moyenne**: \( b-a = 3-1 = 2 \) \[ \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{3} = \frac{13}{3} \] 3. **Trouver \( c \)**: Cherchons \( c \in [1, 3] \) tel que \( f(c) = \mu \). \( c^2 = \frac{13}{3} \implies c = \sqrt{\frac{13}{3}} \). Puisque \( 1 \le \sqrt{\frac{13}{3}} \approx \sqrt{4.33} \approx 2.08 \le 3 \), cette valeur est bien dans l'intervalle. #### Exemple 3: Valeur moyenne d'une fonction trigonométrique Calculons la valeur moyenne de \( f(x) = \sin(x) \) sur l'intervalle \( [0, \pi] \). 1. **Calculer l'intégrale**: Une primitive de \( \sin(x) \) est \( -\cos(x) \). \[ \int_0^\pi \sin(x) dx = [- \cos(x)]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 2. **Calculer la valeur moyenne**: \( b-a = \pi - 0 = \pi \) \[ \mu = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin(x) dx = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \] ### Exercices 1. **Encadrement**: Soit la fonction \( f(x) = e^x \) sur l'intervalle \( [0, 2] \). * Trouvez les valeurs minimale et maximale de \( f(x) \) sur \( [0, 2] \). * Utilisez l'inégalité de la moyenne pour encadrer \( \int_0^2 e^x dx \). 2. **Valeur moyenne**: Calculez la valeur moyenne de la fonction \( f(x) = x^3 - 2x \) sur l'intervalle \( [0, 2] \). 3. **Application du théorème de la moyenne**: Pour la fonction \( g(x) = \frac{1}{x} \) sur l'intervalle \( [1, e] \), trouvez sa valeur moyenne et une valeur \( c \) dans l'intervalle telle que \( g(c) \) soit égale à cette valeur moyenne. ### Devoirs 1. **Valeur moyenne et point \( c \)**: Soit \( f(x) = x^2 - x \). Trouvez la valeur moyenne de \( f \) sur l'intervalle \( [0, 2] \) et déterminez toutes les valeurs de \( c \) dans cet intervalle telles que \( f(c) \) soit égale à cette valeur moyenne. 2. **Encadrement et valeur moyenne**: Soit \( f(x) = 4 - x^2 \). * Encadrez \( \int_0^2 f(x) dx \) en utilisant l'inégalité de la moyenne. * Calculez ensuite la valeur moyenne de \( f \) sur \( [0, 2] \). 3. **Problème contextualisé**: La vitesse d'un mobile (en m/s) est donnée par la fonction \( v(t) = 3t^2 + 2t \) pour \( t \in [0, 5] \) secondes. * Quelle est la vitesse moyenne du mobile sur cet intervalle de temps ? * À quel(s) instant(s) \( t \) le mobile atteint-il sa vitesse moyenne ? ### Résumé Nous avons vu que: * L'**inégalité de la moyenne** permet d'encadrer une intégrale définie \( \int_a^b f(x) dx \) entre \( m(b-a) \) et \( M(b-a) \), où \( m \) et \( M \) sont les bornes inférieure et supérieure de la fonction sur l'intervalle. * La **valeur moyenne** d'une fonction continue \( f \) sur \( [a, b] \) est \( \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \). Elle représente la hauteur d'un rectangle de même aire que celle sous la courbe. * Le **théorème de la moyenne** garantit qu'il existe au moins un point \( c \) dans l'intervalle \( [a, b] \) où la fonction \( f \) prend exactement cette valeur moyenne, c'est-à-dire \( f(c) = \mu \). Ces concepts sont cruciaux pour l'analyse des fonctions et ont de nombreuses applications pratiques en physique, en économie et en ingénierie. ## Méthode de calcul des intégrales ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques de Terminale ! Après avoir découvert ce qu'est une intégrale (l'aire sous une courbe), nous allons maintenant apprendre les méthodes concrètes pour les calculer. La capacité à calculer précisément des intégrales est fondamentale pour de nombreuses applications en sciences, en ingénierie et en économie. ### I. Rappel sur les Primitives #### A. Définition Une fonction \\( F \\) est appelée une **primitive** de la fonction \\( f \\) sur un intervalle \\( I \\) si et seulement si \\( F \\) est dérivable sur \\( I \\) et que pour tout \\( x \\) de \\( I \\), \\( F'(x) = f(x) \\). Si \\( F \\) est une primitive de \\( f \\), alors toutes les primitives de \\( f \\) sont de la forme \\( F(x) + C \\), où \\( C \\) est une constante réelle. #### B. Tableau des primitives usuelles Voici un tableau des primitives à connaître par cœur pour les fonctions courantes. Dans ce tableau, \\( k \\) et \\( n \\) sont des constantes réelles, et \\( C \\) est la constante d'intégration. * Fonction: \\( f(x) = k \\) ; Primitive: \\( F(x) = kx + C \\) * Fonction: \\( f(x) = x^n \\) (pour \\( n \\neq -1 \\)) ; Primitive: \\( F(x) = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \\) * Fonction: \\( f(x) = \\frac{1}{x} \\) ; Primitive: \\( F(x) = \\ln|x| + C \\) * Fonction: \\( f(x) = e^x \\) ; Primitive: \\( F(x) = e^x + C \\) * Fonction: \\( f(x) = \\cos(x) \\) ; Primitive: \\( F(x) = \\sin(x) + C \\) * Fonction: \\( f(x) = \\sin(x) \\) ; Primitive: \\( F(x) = -\\cos(x) + C \\) * Fonction: \\( f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{x}} \\) ; Primitive: \\( F(x) = 2\\sqrt{x} + C \\) ### II. Le Théorème Fondamental de l'Analyse #### A. Lien entre intégrale et primitive C'est le théorème le plus important pour le calcul des intégrales définies. Si \\( f \\) est une fonction continue sur un intervalle \\( [a, b] \\) et si \\( F \\) est une primitive quelconque de \\( f \\) sur cet intervalle, alors l'intégrale de \\( f \\) de \\( a \\) à \\( b \\) est donnée par : \\[ \\int_a^b f(x) \\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \\\] #### B. Conséquence pour le calcul Ce théorème nous indique qu'il suffit de trouver une primitive de la fonction à intégrer, puis d'évaluer cette primitive aux bornes de l'intégration pour obtenir la valeur de l'intégrale. ### III. Propriétés des Intégrales Soient \\( f \\) et \\( g \\) deux fonctions continues sur un intervalle \\( I \\), et \\( a, b, c \\) des réels de \\( I \\). #### A. Linéarité Les intégrales sont linéaires. Cela signifie que pour deux constantes réelles \\( k \\) et \\( l \\) : \\[ \\int_a^b (k \\\cdot f(x) + l \\\cdot g(x)) \\,dx = k \\int_a^b f(x) \\,dx + l \\int_a^b g(x) \\,dx \\\] #### B. Relation de Chasles Pour tout \\( c \\) entre \\( a \\) et \\( b \\) (ou non) : \\[ \\int_a^b f(x) \\,dx = \\int_a^c f(x) \\,dx + \\int_c^b f(x) \\,dx \\\] #### C. Intégrale d'une fonction positive Si \\( f(x) \\ge 0 \\) pour tout \\( x \\) sur \\( [a, b] \\) avec \\( a < b \\), alors : \\[ \\int_a^b f(x) \\,dx \\ge 0 \\\] Si \\( f(x) \\le 0 \\) pour tout \\( x \\) sur \\( [a, b] \\) avec \\( a < b \\), alors \\( \\int_a^b f(x) \\,dx \\le 0 \\). #### D. Comparaison Si pour tout \\( x \\) de \\( [a, b] \\) (avec \\( a < b \\)), nous avons \\( f(x) \\le g(x) \\), alors : \\[ \\int_a^b f(x) \\,dx \\le \\int_a^b g(x) \\,dx \\\] **Encadrement par la moyenne** : Si \\( m \\le f(x) \\le M \\) pour tout \\( x \\) dans \\( [a, b] \\) (avec \\( a < b \\)), alors : \\[ m(b-a) \\le \\int_a^b f(x) \\,dx \\le M(b-a) \\\] ### Vocabulaire * **Intégrale définie** : La valeur numérique représentant l'aire algébrique sous la courbe d'une fonction entre deux bornes. Notée \\( \\int_a^b f(x) \\,dx \\). * **Primitive** : Une fonction \\( F \\) dont la dérivée est la fonction \\( f \\). Il en existe une infinité (différent de par une constante). * **Bornes d'intégration** : Les valeurs \\( a \\) et \\( b \\) qui définissent l'intervalle sur lequel l'intégrale est calculée. * **Linéarité** : Propriété des intégrales qui permet de distribuer l'intégration sur une somme et de sortir une constante multiplicative. * **Relation de Chasles** : Propriété qui permet de décomposer une intégrale en une somme de plusieurs intégrales sur des intervalles adjacents. * **Théorème fondamental de l'analyse** : Le théorème clé qui relie le calcul des intégrales à la recherche de primitives. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul d'une intégrale simple Calculer \\( \\int_1^2 x^2 \\,dx \\). La primitive de \\( f(x) = x^2 \\) est \\( F(x) = \\frac{x^3}{3} \\). En appliquant le théorème fondamental : \\[ \\int_1^2 x^2 \\,dx = \\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_1^2 = \\frac{2^3}{3} - \\frac{1^3}{3} = \\frac{8}{3} - \\frac{1}{3} = \\frac{7}{3} \\\] #### Exemple 2 : Utilisation de la linéarité Calculer \\( \\int_0^1 (3x^2 - 2e^x) \\,dx \\). Nous utilisons la propriété de linéarité : \\[ \\int_0^1 (3x^2 - 2e^x) \\,dx = 3 \\int_0^1 x^2 \\,dx - 2 \\int_0^1 e^x \\,dx \\\] Les primitives sont \\( \\frac{x^3}{3} \\) pour \\( x^2 \\) et \\( e^x \\) pour \\( e^x \\). \\[ = 3 \\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_0^1 - 2 \\left[e^x\\right]_0^1 \\\] \\[ = 3 \\left(\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) - 2 (e^1 - e^0) \\\] \\[ = 3 \\left(\frac{1}{3}\right) - 2 (e - 1) \\\] \\[ = 1 - 2e + 2 = 3 - 2e \\\] #### Exemple 3 : Utilisation de la relation de Chasles Si \\( \\int_0^3 f(x) \\,dx = 5 \\) et \\( \\int_3^5 f(x) \\,dx = 2 \\), trouver \\( \\int_0^5 f(x) \\,dx \\). D'après la relation de Chasles : \\[ \\int_0^5 f(x) \\,dx = \\int_0^3 f(x) \\,dx + \\int_3^5 f(x) \\,dx = 5 + 2 = 7 \\\] ### Exercices Voici quelques exercices pour vous entraîner sur les concepts vus en classe. **Exercice 1 :** Trouver une primitive de \\( f(x) = 4x^3 - \\frac{1}{x^2} + \\cos(x) \\) sur l'intervalle \\( ]0, +\\infty[ \\). **Exercice 2 :** Calculer l'intégrale suivante : \\[ \\int_0^1 (x + e^x) \\,dx \\\] **Exercice 3 :** Calculer l'intégrale suivante : \\[ \\int_{-1}^1 (x^3 - x) \\,dx \\\] **Exercice 4 :** Soit \\( f(x) = x^2+1 \\). Sans calculer l'intégrale, expliquer pourquoi \\( \\int_0^2 f(x) \\,dx \\) est positive. (Aide : Réfléchissez au signe de la fonction \\( f \\) sur l'intervalle \\( [0, 2] \\)). ### Devoir Pour la prochaine fois, veuillez compléter les exercices suivants afin de solidifier votre compréhension. **Devoir 1 :** Calculer les intégrales définies suivantes : a) \\( \\int_1^3 (2x - 3) \\,dx \\) b) \\( \\int_0^{\\pi/2} \\sin(x) \\,dx \\) c) \\( \\int_1^e \\frac{1}{x} \\,dx \\) **Devoir 2 :** Soit la fonction \\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \\). a) Calculer \\( \\int_0^3 f(x) \\,dx \\). b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu (en termes d'aire algébrique). **Devoir 3 :** Déterminer la primitive \\( F \\) de la fonction \\( f(x) = \\frac{1}{2\\sqrt{x}} - e^{-x} \\) sur \\( ]0, +\\infty[ \\) qui s'annule en \\( x=1 \\). ### Résumé Pour conclure, le calcul des intégrales définies repose principalement sur la recherche d'une primitive de la fonction à intégrer. Le **Théorème Fondamental de l'Analyse**, \\( \\int_a^b f(x) \\,dx = F(b) - F(a) \\), est l'outil essentiel. N'oubliez pas les **propriétés de linéarité** et la **relation de Chasles** qui sont d'une grande aide pour simplifier les calculs complexes. La capacité à reconnaître les primitives usuelles est également cruciale pour gagner en efficacité. Avec de la pratique, vous maîtriserez rapidement ces méthodes de calcul ! ## Calcul d'aire - Calcul de volume ### Introduction Les intégrales sont des outils puissants en mathématiques qui nous permettent de calculer des grandeurs géométriques complexes, comme l'aire de régions délimitées par des courbes et le volume de solides de révolution. Dans ce chapitre, nous allons explorer comment utiliser l'intégrale définie pour résoudre ces problèmes pratiques. ### Concepts Clés #### L'intégrale définie et son interprétation graphique L'intégrale définie d'une fonction continue \(f\) sur un intervalle \([a, b]\) est notée \( \int_a^b f(x) \, dx \). Si \(f(x) \ge 0\) sur \([a, b]\), cette intégrale représente l'aire de la région située sous la courbe de \(f\), au-dessus de l'axe des abscisses, et entre les droites verticales \(x=a\) et \(x=b\). Le Théorème Fondamental du Calcul nous permet de calculer cette intégrale: \[ \int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \] Où \(F\) est une primitive de \(f\) (c'est-à-dire \(F'(x) = f(x)\)). #### Propriétés de l'intégrale définie * **Linéarité:** Pour des constantes \(k, l\) et des fonctions \(f, g\) continues: \[ \int_a^b (kf(x) + lg(x)) \, dx = k\int_a^b f(x) \, dx + l\int_a^b g(x) \, dx \] * **Relation de Chasles:** Pour \(a < c < b\): \[ \int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \] * **Bornes égales:** \( \int_a^a f(x) \, dx = 0 \) * **Inversion des bornes:** \( \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx \) * **Positivité:** Si \(f(x) \ge 0\) sur \([a, b]\), alors \( \int_a^b f(x) \, dx \ge 0 \). #### Calcul d'aire entre une courbe et l'axe des abscisses L'aire \(A\) de la région délimitée par la courbe \(y=f(x)\), l'axe des abscisses, et les droites \(x=a\) et \(x=b\) est donnée par: * Si \(f(x) \ge 0\) sur \([a, b]\): \[ A = \int_a^b f(x) \, dx \] (en unités d'aire U.A.) * Si \(f(x) \le 0\) sur \([a, b]\): \[ A = -\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b -f(x) \, dx \] (en U.A.) * Si \(f(x)\) change de signe sur \([a, b]\), il faut découper l'intervalle et sommer les valeurs absolues des intégrales: \[ A = \int_a^b |f(x)| \, dx \] L'unité d'aire (U.A.) est le produit des longueurs des vecteurs unitaires des axes. Si \(1 \text{cm}\) sur l'axe des abscisses et \(1 \text{cm}\) sur l'axe des ordonnées, alors \(1 \text{ U.A.} = 1 \text{ cm}^2\). #### Calcul d'aire entre deux courbes L'aire \(A\) de la région délimitée par les courbes \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\) entre \(x=a\) et \(x=b\) est donnée par: * Si \(f(x) \ge g(x)\) sur \([a, b]\): \[ A = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx \] (en U.A.) * Dans le cas général (quand la position relative des courbes peut changer): \[ A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx \] (en U.A.) #### Calcul de volume de solides de révolution Pour une fonction \(f\) continue et positive sur \([a, b]\), le volume \(V\) du solide obtenu en faisant tourner la région située sous la courbe \(y=f(x)\) autour de l'axe des abscisses est donné par: \[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \] (en unités de volume) Si la région est délimitée par deux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) telles que \(0 \le g(x) \le f(x)\) sur \([a,b]\), le volume de révolution autour de l'axe des abscisses est: \[ V = \pi \int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) \, dx \] (en unités de volume) ### Vocabulaire * **Intégrale définie:** Une intégrale avec des bornes supérieure et inférieure, représentant une valeur numérique (souvent une aire ou un volume). * **Primitive:** Une fonction \(F\) dont la dérivée est la fonction donnée \(f\) (i.e., \(F'=f\)). * **Fonction continue:** Une fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon. * **Unité d'aire (U.A.):** L'unité dans laquelle l'aire est exprimée, souvent déterminée par les unités des axes du repère. * **Solide de révolution:** Un solide formé en faisant tourner une région plane autour d'une droite (l'axe de révolution). * **Axe de révolution:** La droite autour de laquelle une région plane est tournée pour former un solide de révolution. * **Aire sous la courbe:** La surface comprise entre la courbe d'une fonction, l'axe des abscisses et deux droites verticales. ### Exemples #### Exemple 1: Aire sous une courbe positive Calculez l'aire de la région sous la courbe de \(f(x) = x^2\) de \(x=0\) à \(x=2\). Solution: La fonction \(f(x) = x^2\) est positive sur \([0, 2]\). L'aire est donnée par: \[ A = \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \] U.A. #### Exemple 2: Aire sous une courbe négative Calculez l'aire de la région sous la courbe de \(f(x) = x^2 - 4\) de \(x=0\) à \(x=2\). Solution: Sur l'intervalle \([0, 2]\), \(f(x) = x^2 - 4 \le 0\). L'aire est donnée par: \[ A = -\int_0^2 (x^2 - 4) \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_0^2 = -\left( \left( \frac{2^3}{3} - 4(2) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 4(0) \right) \right) \] \[ A = -\left( \left( \frac{8}{3} - 8 \right) - 0 \right) = -\left( \frac{8 - 24}{3} \right) = -\left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} \] U.A. #### Exemple 3: Aire entre deux courbes Calculez l'aire de la région délimitée par \(f(x) = x\) et \(g(x) = x^2\) de \(x=0\) à \(x=1\). Solution: Sur l'intervalle \([0, 1]\), \(x \ge x^2\). L'aire est donnée par: \[ A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \] U.A. #### Exemple 4: Volume de révolution Calculez le volume du solide obtenu en faisant tourner la région sous la courbe \(y = \sqrt{x}\) de \(x=0\) à \(x=4\) autour de l'axe des abscisses. Solution: La fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) est positive sur \([0, 4]\). Le volume est donné par: \[ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 \] \[ V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi \] unités de volume. ### Exercices 1. Calculez la valeur de l'intégrale définie \( \int_1^3 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 2. Déterminez l'aire de la région bornée par la courbe \(y = e^x\), l'axe des abscisses, la droite \(x=0\) et la droite \(x=1\). 3. Calculez l'aire de la région bornée par la courbe \(y = x^3\), l'axe des abscisses, la droite \(x=-1\) et la droite \(x=1\). (Attention au signe de \(x^3\)). 4. Trouvez l'aire de la région délimitée par les courbes \(y = x^2\) et \(y = x+2\). (Indice: commencez par trouver les points d'intersection des deux courbes). 5. Calculez le volume du solide obtenu en faisant tourner la région sous la courbe \(y = \frac{1}{x}\) de \(x=1\) à \(x=2\) autour de l'axe des abscisses. ### Devoirs 1. Considérez la fonction \(f(x) = x^2 - 5x + 6\). a. Trouvez les racines de \(f(x)\). b. Calculez l'aire de la région bornée par la courbe de \(f(x)\) et l'axe des abscisses. 2. Calculez l'aire de la région délimitée par les courbes \(y = \sin(x)\) et \(y = \cos(x)\) sur l'intervalle \([0, \frac{\pi}{2}]\). 3. Un réservoir est obtenu en faisant tourner la courbe \(y = x^{2/3}\) de \(x=0\) à \(x=8\) autour de l'axe des abscisses. Calculez le volume de ce réservoir. 4. On considère la région \(R\) délimitée par \(y = x^2 + 1\), \(y = 0\), \(x = 0\) et \(x = 1\). Trouvez le volume du solide généré en faisant tourner \(R\) autour de l'axe des abscisses. ### Résumé Les intégrales définies sont essentielles pour le calcul d'aires et de volumes. Nous avons appris que: * L'aire sous une courbe \(f(x)\) et au-dessus de l'axe des abscisses sur \([a, b]\) est \( \int_a^b |f(x)| \, dx \). * L'aire entre deux courbes \(f(x)\) et \(g(x)\) sur \([a, b]\) est \( \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx \). * Le volume d'un solide de révolution obtenu en tournant la région sous \(f(x)\) (positive) autour de l'axe des abscisses est \( \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \). Il est crucial de savoir trouver les primitives des fonctions et d'être attentif aux signes des fonctions pour calculer correctement les aires. La compréhension de l'interprétation géométrique de l'intégrale vous aidera à résoudre une multitude de problèmes en physique et en ingénierie. ## Valeurs approchées d'une intégrale: méthode des rectangles ### Introduction Dans le chapitre précédent, nous avons appris à calculer des intégrales en utilisant les primitives des fonctions. Cependant, il n'est pas toujours simple, voire impossible, de trouver une primitive pour toutes les fonctions. Dans de telles situations, ou lorsque nous avons besoin d'estimer rapidement une aire sous une courbe, nous pouvons recourir à des méthodes d'approximation. Cette leçon vous présentera une technique fondamentale pour estimer la valeur d'une intégrale : la méthode des rectangles. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur l'intégrale et l'aire sous une courbe Si \( f \) est une fonction continue et positive sur un intervalle \( [a, b] \), l'intégrale définie \( \int_a^b f(x) dx \) représente l'aire de la région délimitée par la courbe de \( f \), l'axe des abscisses et les droites verticales \( x=a \) et \( x=b \). #### 2. Principe de l'approximation par les rectangles L'idée est d'approximer l'aire sous la courbe par la somme des aires de plusieurs rectangles. Pour cela, nous allons subdiviser l'intervalle d'intégration \( [a, b] \) en \( n \) sous-intervalles de même largeur. Chaque sous-intervalle servira de base à un rectangle dont la hauteur sera déterminée par la valeur de la fonction en un point spécifique de ce sous-intervalle. * **Largeur des sous-intervalles (pas):** L'intervalle \( [a, b] \) est divisé en \( n \) sous-intervalles de largeur \( h = \frac{b-a}{n} \). * **Points de subdivision:** Les points qui délimitent ces sous-intervalles sont notés \( x_k = a + k \cdot h \) pour \( k = 0, 1, \dots, n \). ##### a. Méthode des rectangles à gauche Dans cette méthode, sur chaque sous-intervalle \( [x_k, x_{k+1}] \), la hauteur du rectangle est donnée par la valeur de la fonction au point le plus à gauche de l'intervalle, c'est-à-dire \( f(x_k) \). * **Formule:** \[ L_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right) \] * **Interprétation graphique:** Si la fonction \( f \) est croissante sur l'intervalle, l'approximation \( L_n \) sous-estimera l'aire réelle. Si \( f \) est décroissante, elle la surestimera. ##### b. Méthode des rectangles à droite Dans cette méthode, sur chaque sous-intervalle \( [x_k, x_{k+1}] \), la hauteur du rectangle est donnée par la valeur de la fonction au point le plus à droite de l'intervalle, c'est-à-dire \( f(x_{k+1}) \). * **Formule:** \[ R_n = h \sum_{k=1}^{n} f(x_k) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right) \] * **Interprétation graphique:** Si la fonction \( f \) est croissante, l'approximation \( R_n \) surestimera l'aire réelle. Si \( f \) est décroissante, elle la sous-estimera. ##### c. Méthode des rectangles au milieu (point milieu) Cette méthode utilise la valeur de la fonction au milieu de chaque sous-intervalle pour déterminer la hauteur du rectangle. Soit \( m_k = \frac{x_k + x_{k+1}}{2} = a + \left(k + \frac{1}{2}\right)h \) le point milieu de l'intervalle \( [x_k, x_{k+1}] \). * **Formule:** \[ M_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(m_k) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + \left(k + \frac{1}{2}\right)\frac{b-a}{n}\right) \] * **Précision:** La méthode du point milieu est généralement plus précise que les méthodes à gauche ou à droite pour un même nombre de rectangles \( n \). #### 3. Précision de l'approximation Plus le nombre de rectangles \( n \) est grand, plus la somme des aires des rectangles se rapproche de l'aire réelle sous la courbe. En d'autres termes, plus \( n \) augmente, plus l'approximation devient précise. On a la propriété que: \[ \lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} M_n = \int_a^b f(x) dx \] ### Vocabulaire * **Intégrale:** Une somme continue qui représente l'aire sous une courbe entre deux bornes spécifiées. * **Approximation:** Une estimation d'une valeur qui n'est pas exacte mais qui s'en approche. On cherche à minimiser l'erreur entre l'approximation et la valeur réelle. * **Rectangle:** Figure géométrique simple utilisée comme unité de base pour estimer de petites sections de l'aire sous la courbe. * **Borne inférieure:** La limite de début de l'intervalle d'intégration (représentée par \( a \)). * **Borne supérieure:** La limite de fin de l'intervalle d'intégration (représentée par \( b \)). * **Pas (ou largeur des sous-intervalles):** La largeur de chaque rectangle, calculée par \( h = \frac{b-a}{n} \). * **Subdivision:** Le processus de découpage de l'intervalle d'intégration en plusieurs sous-intervalles de même largeur. ### Exemples #### Exemple 1: Approximation de \( \int_0^2 x^2 dx \) Soit la fonction \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \( [0, 2] \). Nous allons approximer \( \int_0^2 x^2 dx \) en utilisant \( n=4 \) rectangles. 1. **Calcul du pas \( h \):** \( a=0, b=2, n=4 \). Donc \( h = \frac{2-0}{4} = 0.5 \). 2. **Points de subdivision:** \( x_0=0, x_1=0.5, x_2=1, x_3=1.5, x_4=2 \). * **Méthode des rectangles à gauche (\( L_4 \)):** \( L_4 = h \times (f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)) \) \( L_4 = 0.5 \times (f(0) + f(0.5) + f(1) + f(1.5)) \) \( L_4 = 0.5 \times (0^2 + (0.5)^2 + 1^2 + (1.5)^2) \) \( L_4 = 0.5 \times (0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 0.5 \times 3.5 = 1.75 \) * **Méthode des rectangles à droite (\( R_4 \)):** \( R_4 = h \times (f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4)) \) \( R_4 = 0.5 \times (f(0.5) + f(1) + f(1.5) + f(2)) \) \( R_4 = 0.5 \times ((0.5)^2 + 1^2 + (1.5)^2 + 2^2) \) \( R_4 = 0.5 \times (0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 0.5 \times 7.5 = 3.75 \) * **Méthode des rectangles au milieu (\( M_4 \)):** Points milieux: \( m_0=0.25, m_1=0.75, m_2=1.25, m_3=1.75 \). \( M_4 = h \times (f(m_0) + f(m_1) + f(m_2) + f(m_3)) \) \( M_4 = 0.5 \times (f(0.25) + f(0.75) + f(1.25) + f(1.75)) \) \( M_4 = 0.5 \times ((0.25)^2 + (0.75)^2 + (1.25)^2 + (1.75)^2) \) \( M_4 = 0.5 \times (0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 0.5 \times 5.25 = 2.625 \) * **Comparaison avec la valeur exacte:** La valeur exacte de l'intégrale est \( \int_0^2 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.666... \). On observe que \( L_4 = 1.75 \), \( M_4 = 2.625 \) et \( R_4 = 3.75 \). La méthode du point milieu a donné l'approximation la plus proche de la valeur exacte dans cet exemple. ### Exercices 1. Soit la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) sur l'intervalle \( [1, 3] \). * Calculez les approximations \( L_2 \), \( R_2 \) et \( M_2 \) de \( \int_1^3 \frac{1}{x} dx \) en utilisant \( n=2 \) rectangles. * Comparez vos résultats avec la valeur exacte de l'intégrale, qui est \( \ln(3) \approx 1.0986 \). 2. Estimez \( \int_0^\pi \sin(x) dx \) en utilisant la méthode des rectangles à gauche avec \( n=3 \) rectangles. ### Devoirs 1. Soit la fonction \( g(x) = e^{-x^2} \) sur l'intervalle \( [0, 1] \). * Expliquez pourquoi le calcul exact de \( \int_0^1 e^{-x^2} dx \) est difficile (ou impossible avec les méthodes de calcul de primitives vues au lycée). * Utilisez la méthode des rectangles à droite avec \( n=4 \) pour estimer cette intégrale. * Utilisez la méthode des rectangles au milieu avec \( n=4 \) pour estimer cette intégrale. 2. Considérez une fonction \( h \) qui est décroissante sur l'intervalle \( [a, b] \). * Sans faire de calcul, comment se positionnent les approximations \( L_n \) et \( R_n \) par rapport à la valeur exacte de l'intégrale \( \int_a^b h(x) dx \) ? * Justifiez votre réponse par un croquis graphique. ### Résumé * L'intégration est une opération essentielle pour calculer des aires sous des courbes. * Lorsque les primitives sont difficiles ou impossibles à trouver, ou pour une estimation rapide, les méthodes d'approximation sont très utiles. * La **méthode des rectangles** est une technique simple mais efficace pour estimer la valeur d'une intégrale. Elle consiste à diviser l'intervalle d'intégration en sous-intervalles et à approcher l'aire sous la courbe par la somme des aires de rectangles. * Il existe trois variantes principales : la méthode des **rectangles à gauche**, la méthode des **rectangles à droite** et la méthode des **rectangles au milieu**. * La **précision** de l'approximation augmente à mesure que le nombre de rectangles \( n \) utilisé augmente. La méthode du point milieu est souvent la plus précise pour un \( n \) donné.