Chap2: Fonctions numériques d’une variable réelle

# Chap2: Fonctions numériques d’une variable réelle ## Fonction continue sur un intervalle ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer une propriété fondamentale des fonctions numériques : la continuité. Intuitivement, une fonction est continue si sa courbe représentative peut être tracée sans lever le crayon. Nous formaliserons cette notion, étudierons ses propriétés et découvrirons l'un des théorèmes les plus importants en analyse : le Théorème des Valeurs Intermédiaires. ### Concepts Clés #### 1. Continuité en un point Une fonction \( f \) est dite continue en un point \( a \) de son ensemble de définition si et seulement si la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( a \) est égale à \( f(a) \). Définition: \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \] Graphiquement, cela signifie qu'il n'y a ni "saut", ni "trou", ni "asymptote verticale" à l'abscisse \( a \) sur la courbe de la fonction. #### 2. Continuité sur un intervalle ##### 2.1. Continuité sur un intervalle ouvert \( ]a, b[ \) Une fonction \( f \) est continue sur un intervalle ouvert \( ]a, b[ \) si elle est continue en tout point de cet intervalle. ##### 2.2. Continuité sur un intervalle fermé \( [a, b] \) Une fonction \( f \) est continue sur un intervalle fermé \( [a, b] \) si : * Elle est continue sur l'intervalle ouvert \( ]a, b[ \). * Elle est continue à droite en \( a \), c'est-à-dire \( \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \). * Elle est continue à gauche en \( b \), c'est-à-dire \( \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) \). #### 3. Opérations sur les fonctions continues Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( I \) et \( k \) un réel. Alors : * **Somme/Différence:** Les fonctions \( f+g \) et \( f-g \) sont continues sur \( I \). * **Produit:** La fonction \( f \cdot g \) est continue sur \( I \). La fonction \( k \cdot f \) est continue sur \( I \). * **Quotient:** La fonction \( \frac{f}{g} \) est continue sur \( I \) pour tous les \( x \) de \( I \) tels que \( g(x) \neq 0 \). * **Composition:** Si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur \( J \) tel que \( f(I) \subset J \), alors \( g \circ f \) est continue sur \( I \). #### 4. Fonctions usuelles continues Les fonctions suivantes sont continues sur leur ensemble de définition : * Les fonctions polynômes. * Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes). * Les fonctions racine carrée \( (x \mapsto \sqrt{x}) \). * Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente). * La fonction exponentielle \( (x \mapsto e^x) \). * La fonction logarithme népérien \( (x \mapsto \ln(x)) \). #### 5. Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ##### 5.1. Énoncé du TVI Si \( f \) est une fonction continue sur un intervalle \( [a, b] \), alors pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \) (c'est-à-dire \( f(a) \le k \le f(b) \) ou \( f(b) \le k \le f(a) \)), il existe au moins un réel \( c \) dans l'intervalle \( [a, b] \) tel que \( f(c) = k \). Graphiquement, si on trace la courbe d'une fonction continue entre deux points, on passe par toutes les valeurs intermédiaires entre les ordonnées de ces deux points. ##### 5.2. Corollaire du TVI (cas de la bijection) Si \( f \) est une fonction continue *et strictement monotone* sur un intervalle \( [a, b] \), alors pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), l'équation \( f(x) = k \) admet une **unique** solution \( c \) dans l'intervalle \( [a, b] \). Ce corollaire est fondamental pour montrer l'existence et l'unicité de solutions à des équations de type \( f(x) = k \), en particulier \( f(x) = 0 \) (recherche de racines). ### Vocabulaire * **Fonction continue :** Une fonction dont la courbe représentative peut être tracée sans lever le crayon sur son intervalle de définition. * **Continuité en un point :** La limite de la fonction en ce point est égale à la valeur de la fonction en ce point. * **Intervalle de continuité :** Un intervalle sur lequel une fonction est continue en chacun de ses points. * **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :** Théorème qui garantit qu'une fonction continue prend toutes les valeurs entre deux points donnés. * **Strictement monotone :** Une fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur un intervalle. ### Exemples #### Exemple 1 : Vérifier la continuité en un point Soit la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x \le 1 \\ 2x & \text{si } x > 1 \end{cases} \] La fonction \( f \) est-elle continue en \( x=1 \)? 1. **Calcul de \( f(1) \) :** \( f(1) = 1^2 + 1 = 2 \). 2. **Calcul des limites unilatérales :** * \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 1^2+1 = 2 \). * \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2(1) = 2 \). Comme \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2 \), la fonction \( f \) est continue en \( x=1 \). #### Exemple 2 : Application du TVI Montrer que l'équation \( x^3 + x - 1 = 0 \) admet au moins une solution dans l'intervalle \( [0, 1] \). Soit \( f(x) = x^3 + x - 1 \). 1. **Continuité :** \( f \) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \( \mathbb{R} \), et par conséquent sur l'intervalle \( [0, 1] \). 2. **Calcul des images aux bornes :** * \( f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1 \). * \( f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1 \). Comme \( f(0) = -1 \) et \( f(1) = 1 \), et que \( 0 \) est compris entre \( -1 \) et \( 1 \), d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins un réel \( c \in [0, 1] \) tel que \( f(c) = 0 \). L'équation admet donc au moins une solution dans \( [0, 1] \). #### Exemple 3 : Application du Corollaire du TVI Montrer que l'équation \( e^x - x - 2 = 0 \) admet une unique solution dans \( \mathbb{R} \). Soit \( f(x) = e^x - x - 2 \). 1. **Continuité :** \( f \) est la somme de fonctions continues (exponentielle, affine), donc \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \). 2. **Dérivée et monotonie :** \( f'(x) = e^x - 1 \). * Si \( x < 0 \), \( e^x < 1 \), donc \( f'(x) < 0 \) (\( f \) est strictement décroissante). * Si \( x > 0 \), \( e^x > 1 \), donc \( f'(x) > 0 \) (\( f \) est strictement croissante). * La fonction n'est pas strictement monotone sur \( \mathbb{R} \). Il faut étudier la fonction sur des intervalles où elle est strictement monotone. Reprenons l'exemple avec une fonction qui est strictement monotone sur un intervalle plus simple. Par exemple, montrer que \( x^3 + 2x - 5 = 0 \) admet une unique solution sur \( \mathbb{R} \). Soit \( g(x) = x^3 + 2x - 5 \). 1. **Continuité :** \( g \) est une fonction polynôme, donc continue sur \( \mathbb{R} \). 2. **Monotonie :** \( g'(x) = 3x^2 + 2 \). Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( 3x^2 \ge 0 \), donc \( 3x^2 + 2 > 0 \). Ainsi, \( g'(x) > 0 \) sur \( \mathbb{R} \), ce qui signifie que \( g \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). 3. **Limites aux bornes :** * \( \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty \). * \( \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty \). Comme \( g \) est continue et strictement croissante sur \( \mathbb{R} \) et que \( 0 \) est compris entre \( -\infty \) et \( +\infty \), d'après le corollaire du TVI, l'équation \( g(x) = 0 \) admet une unique solution sur \( \mathbb{R} \). ### Exercices 1. Déterminer si la fonction \( f \) définie par \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & \text{si } x \neq 2 \\ 4 & \text{si } x = 2 \end{cases} \) est continue en \( x=2 \). 2. Soit la fonction \( g(x) = \begin{cases} ax^2+3 & \text{si } x < 1 \\ 2x+a & \text{si } x \ge 1 \end{cases} \). Déterminer la valeur de \( a \) pour que \( g \) soit continue en \( x=1 \). 3. Montrer que l'équation \( \cos(x) = x \) admet au moins une solution dans l'intervalle \( [0, \frac{\pi}{2}] \). ### Devoirs 1. La fonction \( h(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases} \) est-elle continue en \( x=0 \)? Justifier votre réponse. 2. Soit \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \). a. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet trois solutions réelles distinctes. b. Donner un encadrement d'amplitude 0,1 pour chacune de ces solutions. 3. Démontrer que si \( f \) est une fonction continue sur \( [a, b] \) telle que \( f(a) \cdot f(b) < 0 \), alors l'équation \( f(x) = 0 \) admet au moins une solution dans \( ]a, b[ \). ### Résumé Ce chapitre nous a introduit à la notion fondamentale de continuité des fonctions. Nous avons appris qu'une fonction est continue en un point si sa limite en ce point est égale à sa valeur, et continue sur un intervalle si elle l'est en chacun de ses points. Les opérations usuelles préservent la continuité, et les fonctions de référence sont continues sur leur domaine. Enfin, le Théorème des Valeurs Intermédiaires et son corollaire sont des outils puissants pour prouver l'existence (et parfois l'unicité) de solutions à des équations, en particulier quand la fonction est strictement monotone. La continuité est une propriété essentielle en analyse pour comprendre le comportement global des fonctions. ## Fonction continue et strictement monotone ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer deux propriétés fondamentales des fonctions numériques : la continuité et la monotonie. Comprendre ces concepts est essentiel pour analyser le comportement des fonctions, notamment pour résoudre des équations et comprendre l'existence de solutions. Nous verrons comment la combinaison de ces deux propriétés mène à des théorèmes puissants, comme le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), et permet de définir les fonctions réciproques. ### Concepts Clés #### I. Fonction Continue Une fonction est dite continue si sa courbe représentative peut être tracée sans lever le crayon. Intuitivement, il n'y a pas de "sauts", de "trous" ou de "cassures". ##### A. Définition intuitive Une fonction \( f \) est continue sur un intervalle si, pour tout point de cet intervalle, la courbe de \( f \) ne présente aucune interruption. ##### B. Définition formelle * **Continuité en un point :** Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si et seulement si \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). * **Continuité sur un intervalle :** Une fonction \( f \) est continue sur un intervalle \( I \) si elle est continue en tout point de \( I \). ##### C. Propriétés des fonctions continues Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions continues sur un intervalle \( I \) et \( k \) est un réel, alors les fonctions suivantes sont continues sur \( I \) (sous réserve de la non-annulation du dénominateur pour le quotient) : * \( f + g \) * \( kf \) * \( fg \) * \( \frac{f}{g} \) * La composée \( g \circ f \) est continue si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur l'image de \( I \) par \( f \). Les fonctions usuelles (polynômes, racines carrées, exponentielles, logarithmes, trigonométriques) sont continues sur leur domaine de définition. #### II. Fonction Strictement Monotone Une fonction est strictement monotone sur un intervalle si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur cet intervalle. ##### A. Fonction strictement croissante Une fonction \( f \) est strictement croissante sur un intervalle \( I \) si pour tous \( x_1, x_2 \in I \) avec \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) < f(x_2) \). ##### B. Fonction strictement décroissante Une fonction \( f \) est strictement décroissante sur un intervalle \( I \) si pour tous \( x_1, x_2 \in I \) avec \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) > f(x_2) \). ##### C. Détermination de la monotonie La monotonie d'une fonction peut souvent être étudiée à l'aide du signe de sa dérivée : * Si \( f'(x) > 0 \) sur un intervalle \( I \), alors \( f \) est strictement croissante sur \( I \). * Si \( f'(x) < 0 \) sur un intervalle \( I \), alors \( f \) est strictement décroissante sur \( I \). #### III. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Ce théorème est un outil puissant pour démontrer l'existence de solutions à des équations de la forme \( f(x) = k \). ##### A. Énoncé du TVI Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a, b] \). Pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \) (c'est-à-dire \( f(a) \le k \le f(b) \) ou \( f(b) \le k \le f(a) \)), il existe au moins un réel \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = k \). Graphiquement, si une fonction est continue entre deux points, elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre les ordonnées de ces deux points. ##### B. Corollaire du TVI (cas de la monotonie stricte) Si \( f \) est une fonction **continue** et **strictement monotone** sur un intervalle \( [a, b] \), alors pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), l'équation \( f(x) = k \) admet une **unique** solution \( c \) dans l'intervalle \( [a, b] \). Ce corollaire est fondamental car il garantit à la fois l'existence et l'unicité d'une solution. Si l'intervalle est ouvert, par exemple \( ]a, b[ \), il faut considérer les limites aux bornes. #### IV. Bijection et Fonction Réciproque La combinaison de la continuité et de la monotonie stricte permet de définir la notion de bijection et de fonction réciproque. ##### A. Définition d'une bijection Une fonction \( f \) est une bijection d'un ensemble \( A \) vers un ensemble \( B \) si pour tout élément \( y \) de \( B \), il existe un et un seul élément \( x \) de \( A \) tel que \( f(x) = y \). ##### B. Théorème de la bijection Si \( f \) est une fonction **continue** et **strictement monotone** sur un intervalle \( I \), alors \( f \) réalise une bijection de \( I \) vers \( J = f(I) \) (l'image de \( I \) par \( f \)). ##### C. Fonction réciproque \( f^{-1} \) Sous ces conditions (\( f \) continue et strictement monotone sur \( I \)), \( f \) admet une fonction réciproque, notée \( f^{-1} \), définie de \( J = f(I) \) vers \( I \), telle que : * Pour tout \( x \in I \), \( f^{-1}(f(x)) = x \) * Pour tout \( y \in J \), \( f(f^{-1}(y)) = y \) ##### D. Propriétés de la fonction réciproque * La fonction \( f^{-1} \) a le même sens de variation que \( f \). * La fonction \( f^{-1} \) est continue sur \( J \). * La courbe représentative de \( f^{-1} \) est la symétrique de celle de \( f \) par rapport à la droite d'équation \( y=x \). ### Vocabulaire * **Fonction continue :** Fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon. * **Fonction strictement monotone :** Fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur un intervalle donné. * **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :** Théorème affirmant qu'une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires entre deux points donnés. * **Bijection :** Fonction qui associe chaque élément de son ensemble de départ à un unique élément de son ensemble d'arrivée, et vice-versa. * **Fonction réciproque :** Fonction qui "annule" l'effet d'une autre fonction (une bijection). Notée \( f^{-1} \). ### Exemples #### Exemple 1 : Application du corollaire du TVI Soit la fonction \( f(x) = x^3 + x - 1 \). 1. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution sur \( [0, 1] \). **Solution :** * **Continuité :** \( f \) est une fonction polynomiale, donc elle est continue sur \( \mathbb{R} \), et par conséquent sur \( [0, 1] \). * **Monotonie :** Calculons la dérivée : \( f'(x) = 3x^2 + 1 \). Pour tout \( x \in [0, 1] \), \( x^2 \ge 0 \), donc \( 3x^2 \ge 0 \), et \( 3x^2 + 1 > 0 \). Ainsi, \( f'(x) > 0 \) sur \( [0, 1] \), ce qui signifie que \( f \) est strictement croissante sur \( [0, 1] \). * **Valeurs aux bornes :** \( f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1 \) \( f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1 \) Le réel \( k = 0 \) est bien compris entre \( f(0) = -1 \) et \( f(1) = 1 \). Conclusion : Puisque \( f \) est continue et strictement croissante sur \( [0, 1] \) et que \( 0 \in [f(0), f(1)] \), d'après le corollaire du TVI, l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution dans \( [0, 1] \). #### Exemple 2 : Fonction réciproque Soit la fonction \( f(x) = e^x \) définie sur \( \mathbb{R} \). 1. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque. 2. Déterminer cette fonction réciproque. **Solution :** * **Continuité :** La fonction exponentielle \( f(x) = e^x \) est continue sur \( \mathbb{R} \). * **Monotonie :** La dérivée est \( f'(x) = e^x \). Puisque \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * **Image de l'intervalle :** \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \). Donc \( f \) réalise une bijection de \( \mathbb{R} \) vers \( ]0, +\infty[ \). Conclusion : \( f \) est continue et strictement monotone sur \( \mathbb{R} \), elle admet donc une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur \( ]0, +\infty[ \). Pour trouver \( f^{-1}(y) \) : Soit \( y = f(x) \), c'est-à-dire \( y = e^x \). Pour isoler \( x \), on applique la fonction logarithme népérien des deux côtés : \( \ln(y) = \ln(e^x) \) \( \ln(y) = x \) Donc, la fonction réciproque est \( f^{-1}(y) = \ln(y) \), ou en utilisant la variable \( x \) : \( f^{-1}(x) = \ln(x) \). ### Exercices 1. Soit la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) sur \( [-2, 2] \). a. Étudier les variations de \( f \) sur cet intervalle. b. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet au moins trois solutions sur \( [-2, 2] \). c. Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution sur \( [0, 1] \). 2. Soit \( g(x) = \sqrt{x} \) pour \( x \ge 0 \). a. Montrer que \( g \) est continue et strictement monotone sur son domaine de définition. b. Déterminer sa fonction réciproque et son domaine de définition. 3. On considère la fonction \( h(x) = \frac{1}{x-1} \) sur \( ]1, +\infty[ \). a. Étudier la continuité et la monotonie de \( h \) sur cet intervalle. b. Montrer que \( h \) réalise une bijection de \( ]1, +\infty[ \) vers un intervalle \( J \) que l'on précisera. c. Déterminer l'expression de \( h^{-1}(x) \). ### Devoir 1. Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^5 + 2x + 1 \). a. Démontrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) sur \( \mathbb{R} \). b. Donner un encadrement de \( \alpha \) d'amplitude \( 10^{-2} \). 2. On considère la fonction \( g(x) = x^2 + 2x \) sur l'intervalle \( I = [-1, +\infty[ \). a. Montrer que \( g \) est continue et strictement monotone sur \( I \). b. Préciser l'ensemble \( J = g(I) \). c. La fonction \( g \) réalise-t-elle une bijection de \( I \) sur \( J \) ? Justifier. d. Déterminer l'expression de la fonction réciproque \( g^{-1} \) pour tout \( x \in J \). 3. Soit la fonction \( k(x) = \cos(x) \) sur \( [0, \pi] \). a. Montrer que \( k \) est continue et strictement monotone sur \( [0, \pi] \). b. Quel est l'intervalle \( J = k([0, \pi]) \) ? c. Démontrer que \( k \) réalise une bijection de \( [0, \pi] \) vers \( J \). d. Comment appelle-t-on la fonction réciproque de \( \cos \) sur cet intervalle ? ### Résumé Nous avons exploré les concepts de fonctions continues et strictement monotones, qui sont fondamentaux en analyse. Une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon, tandis qu'une fonction strictement monotone est soit toujours strictement croissante, soit toujours strictement décroissante. Le **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)** garantit qu'une fonction continue prend toutes les valeurs entre \( f(a) \) et \( f(b) \). Son **corollaire**, essentiel, précise que si une fonction est à la fois continue et strictement monotone sur un intervalle, alors l'équation \( f(x) = k \) admet une **unique** solution pour toute valeur \( k \) dans l'image de cet intervalle. Ce corollaire est la clé pour prouver l'existence et l'unicité de solutions. Enfin, la propriété d'être continue et strictement monotone est précisément ce qui permet à une fonction d'être une **bijection** et d'admettre une **fonction réciproque**. La fonction réciproque \( f^{-1} \) partage les propriétés de continuité et de sens de variation avec \( f \), et sa courbe est symétrique à celle de \( f \) par rapport à la droite \( y=x \). Ces concepts sont indispensables pour la résolution d'équations, l'étude des fonctions et la compréhension de nombreuses applications en mathématiques et dans d'autres sciences.