Chap8: Fonction exponentielle népérienne

# Chap8: Fonction exponentielle népérienne ## Présentation et propriétés ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques de Terminale : la fonction exponentielle népérienne. Cette fonction, notée \( \exp \) ou \( e^x \), est l'une des plus importantes en analyse. Elle apparaît dans de nombreux domaines, de la physique à la biologie en passant par l'économie, pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance. Dans cette leçon, nous allons découvrir sa définition, ses propriétés fondamentales, et apprendre à l'utiliser pour résoudre des problèmes. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien (\( \ln \)). Elle est définie sur l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \). * **Définition formelle** : * Pour tout réel \( x \), on définit \( y = e^x \) (ou \( y = \exp(x) \)) si et seulement si \( x = \ln(y) \) et \( y > 0 \). * C'est l'unique fonction \( f \) dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( f' = f \) et \( f(0) = 1 \). * **Notation** : On utilise indifféremment \( \exp(x) \) ou \( e^x \). La notation \( e^x \) est la plus courante et s'appelle "exponentielle de \( x \)". #### 2. Le nombre \( e \) (nombre d'Euler) Le nombre \( e \) est une constante mathématique fondamentale. Il est défini comme l'image de 1 par la fonction exponentielle. * \( e = \exp(1) \). * Sa valeur approximative est \( e \approx 2.71828 \). #### 3. Propriétés fondamentales * **Valeurs particulières** : * \( e^0 = 1 \) * \( e^1 = e \) * **Relation avec le logarithme népérien** : * Pour tout réel \( x \), \( \ln(e^x) = x \) * Pour tout réel \( x > 0 \), \( e^{\ln(x)} = x \) * **Signe de la fonction exponentielle** : * Pour tout réel \( x \), \( e^x > 0 \). La fonction exponentielle est toujours strictement positive. * **Variations** : * La fonction exponentielle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * Si \( x < y \), alors \( e^x < e^y \). * Si \( e^x = e^y \), alors \( x = y \). #### 4. Propriétés algébriques Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle sont similaires à celles des puissances. * **Produit** : Pour tous réels \( x \) et \( y \), \( e^{x+y} = e^x e^y \) * **Quotient** : Pour tous réels \( x \) et \( y \), \( e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \) * **Inverse** : Pour tout réel \( x \), \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \) * **Puissance** : Pour tout réel \( x \) et tout entier relatif \( n \), \( (e^x)^n = e^{nx} \) #### 5. Dérivée de la fonction exponentielle La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même, ce qui est une propriété unique et très importante. * Si \( f(x) = e^x \), alors \( f'(x) = e^x \). * **Dérivée de \( e^{u(x)} \)** : Si \( u \) est une fonction dérivable sur un intervalle \( I \), alors la fonction \( f(x) = e^{u(x)} \) est dérivable sur \( I \) et sa dérivée est \( f'(x) = u'(x)e^{u(x)} \). #### 6. Limites aux bornes et représentation graphique * **Limites** : * \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) * \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) * **Représentation graphique** : * La courbe de la fonction exponentielle passe par les points \( (0, 1) \) et \( (1, e) \). * L'axe des abscisses (la droite d'équation \( y=0 \)) est une asymptote horizontale à la courbe en \( -\infty \). * La courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses. * La courbe monte très rapidement lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle népérienne** : La fonction \( x \mapsto e^x \), inverse de la fonction logarithme népérien. C'est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0. * **Nombre d'Euler (e)** : La constante mathématique irrationnelle et transcendante égale à \( \exp(1) \), environ 2.718. * **Asymptote horizontale** : Droite vers laquelle une courbe s'approche indéfiniment lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \). * **Réciproque** : Pour deux fonctions \( f \) et \( g \), si \( f(g(x)) = x \) et \( g(f(x)) = x \), alors \( f \) et \( g \) sont réciproques l'une de l'autre. ### Exemples #### 1. Simplification d'expressions * Simplifier \( A = e^5 \cdot e^{-2} \) : \( A = e^{5+(-2)} = e^3 \) * Simplifier \( B = \frac{(e^x)^3}{e^{x+1}} \) : \( B = \frac{e^{3x}}{e^{x+1}} = e^{3x - (x+1)} = e^{2x-1} \) #### 2. Résolution d'équations * Résoudre \( e^x = 7 \) : \( e^x = 7 \) \( \ln(e^x) = \ln(7) \) \( x = \ln(7) \) * Résoudre \( e^{2x-1} = e^5 \) : \( e^{2x-1} = e^5 \) Puisque la fonction exponentielle est injective (strictement croissante), on a : \( 2x-1 = 5 \) \( 2x = 6 \) \( x = 3 \) #### 3. Calcul de dérivées * Soit \( f(x) = e^{5x} \). Calculer \( f'(x) \). Ici, \( u(x) = 5x \), donc \( u'(x) = 5 \). \( f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = 5e^{5x} \) * Soit \( g(x) = x \cdot e^x \). Calculer \( g'(x) \). C'est une dérivée de la forme \( (uv)' = u'v + uv' \) avec \( u(x) = x \) et \( v(x) = e^x \). \( u'(x) = 1 \) et \( v'(x) = e^x \). \( g'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x) \) ### Exercices 1. **Simplification** : Simplifiez les expressions suivantes : a) \( e^x \cdot e^{2x-3} \) b) \( \frac{e^{4x}}{e^{x+2}} \) c) \( (e^{-2x})^3 \) 2. **Résolution d'équations** : Résolvez les équations suivantes : a) \( e^x = \frac{1}{e} \) b) \( e^{x^2} = e^{3x-2} \) c) \( 2e^x - 5 = 0 \) 3. **Calcul de dérivées** : Calculez la dérivée des fonctions suivantes : a) \( f(x) = e^{-x} \) b) \( g(x) = e^{x^2+3x} \) c) \( h(x) = (x-1)e^x \) ### Devoir à la maison 1. **Vrai ou Faux** : Pour chaque affirmation, indiquez si elle est vraie ou fausse et justifiez votre réponse. a) \( e^{x^2} = (e^x)^2 \) b) \( e^x + e^y = e^{x+y} \) c) La fonction \( f(x) = e^{-x} \) est croissante sur \( \mathbb{R} \). 2. **Étude de signe** : Étudiez le signe de la fonction \( f(x) = (2-x)e^x \) sur \( \mathbb{R} \). 3. **Limites** : Calculez les limites suivantes : a) \( \lim_{x \to -\infty} (e^{2x} + x) \) b) \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} \) (Indice : utiliser le théorème des croissances comparées) ### Résumé La fonction exponentielle népérienne \( x \mapsto e^x \) est une fonction fondamentale en mathématiques, définie comme la réciproque du logarithme népérien. Elle possède des propriétés remarquables : * Elle est strictement positive sur \( \mathbb{R} \) et strictement croissante. * \( e^0 = 1 \) et \( e^1 = e \approx 2.718 \). * Ses propriétés algébriques sont similaires aux puissances : \( e^{x+y} = e^x e^y \), \( e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \), \( (e^x)^n = e^{nx} \). * Sa dérivée est elle-même : si \( f(x) = e^x \), alors \( f'(x) = e^x \). Plus généralement, la dérivée de \( e^{u(x)} \) est \( u'(x)e^{u(x)} \). * Ses limites sont \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \). Maîtriser la fonction exponentielle est crucial pour de nombreux concepts à venir en Terminale et au-delà. ## Limites ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux limites de la fonction exponentielle. Après avoir découvert les propriétés de cette fonction fondamentale, il est crucial de comprendre son comportement aux "bords" de son domaine de définition, c'est-à-dire vers \(+\infty\) et \(-\infty\). L'étude des limites nous permettra également de comparer la croissance de la fonction exponentielle avec d'autres fonctions (comme les fonctions puissances) et de lever certaines formes indéterminées. ### Concepts Clés #### Limites fondamentales de la fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée \(e^x\) ou \(exp(x)\), est définie sur \(]-\infty; +\infty[\). Ses limites aux bornes de cet intervalle sont les suivantes : * **Limite en \(+\infty\)** Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), la fonction exponentielle croît de manière extrêmement rapide et tend vers \(+\infty\). \[ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \] * **Limite en \(-\infty\)** Lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), la fonction exponentielle décroît et se rapproche de zéro sans jamais l'atteindre. L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en \(-\infty\). \[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \] * **Limite du taux d'accroissement en 0** Cette limite est essentielle et est liée à la dérivabilité de la fonction exponentielle en 0. Elle peut être vue comme la pente de la tangente à la courbe de \(e^x\) en \(x=0\). \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \] #### Croissances comparées Les croissances comparées permettent de déterminer la limite de quotients ou de produits de fonctions lorsque l'une ou l'autre tend vers l'infini. La fonction exponentielle a une croissance (ou une décroissance vers 0) beaucoup plus rapide que toute fonction puissance (polynôme). * **En \(+\infty\): l'exponentielle l'emporte sur les puissances** Pour tout entier naturel non nul \(n\), la fonction exponentielle tend vers \(+\infty\) beaucoup plus vite que toute fonction puissance \(x^n\). \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \] (cas particulier pour \(n=1\)) * **En \(-\infty\): l'exponentielle tend vers 0 plus vite que les puissances** Pour tout entier naturel non nul \(n\), la fonction exponentielle tend vers 0 beaucoup plus vite que le produit \(x^n\) ne diverge. \[ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} x e^x = 0 \] (cas particulier pour \(n=1\)) #### Stratégies pour lever les formes indéterminées Les formes indéterminées (FI) les plus courantes que vous rencontrerez avec la fonction exponentielle sont \( \frac{\infty}{\infty} \), \( 0 \times \infty \) et \( +\infty - \infty \). Voici quelques techniques pour les lever : * **Factorisation par le terme dominant** Mettre en facteur le terme qui a la croissance la plus rapide (souvent \(e^x\) ou une puissance élevée de \(x\)). *Exemple :* Pour calculer \( \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) \), factorisez \(e^x\) : \( e^x \left(1 - \frac{x^2}{e^x}\right) \). En utilisant les croissances comparées, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 \), donc la limite est \( +\infty(1-0) = +\infty \). * **Utilisation des croissances comparées** Réécrire l'expression pour faire apparaître une des formes de croissance comparée listées ci-dessus. Cela peut impliquer une manipulation algébrique. *Exemple :* Pour \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x} \), factorisez \(e^x\) au numérateur et au dénominateur : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x(1 + x/e^x)}{e^x(1 - x/e^x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + x/e^x}{1 - x/e^x} \). Sachant que \( \lim_{x \to +\infty} x/e^x = 0 \), la limite est \( \frac{1+0}{1-0} = 1 \). * **Changement de variable** Parfois, un changement de variable peut simplifier l'expression et la ramener à une limite de référence connue. *Exemple :* Pour \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \), posez \( u = 2x \). Quand \( x \to 0 \), \( u \to 0 \). L'expression devient \( \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u/2} = 2 \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 2 \times 1 = 2 \). ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle :** La fonction \(x \mapsto e^x\) qui est égale à sa dérivée (\(f'(x) = f(x)\)) et dont la valeur en 0 est 1 (\(f(0)=1\)). * **Limite :** La valeur vers laquelle tend une fonction quand la variable s'approche d'un certain point ou de l'infini. * **Forme indéterminée (FI) :** Une expression mathématique dont la limite ne peut pas être déterminée par simple substitution des limites des sous-expressions. Exemples : \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \), \( 0 \times \infty \), \( +\infty - \infty \). * **Croissance comparée :** Un théorème qui permet de comparer la vitesse de croissance (ou de décroissance vers 0) de fonctions différentes lorsque la variable tend vers l'infini. * **Asymptote horizontale :** Une droite horizontale \(y=L\) que la courbe d'une fonction approche lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\). ### Exemples Voici quelques exemples de calculs de limites utilisant les concepts vus précédemment. #### Exemple 1 Calculer \( \lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x) \) * **Analyse :** C'est une forme indéterminée de type \( +\infty - \infty \). * **Solution :** Factorisons par le terme dominant \(e^x\). \( \lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x) = \lim_{x \to +\infty} e^x \left( \frac{x^2}{e^x} - 1 \right) \) D'après les croissances comparées, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 \). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} e^x \left( \frac{x^2}{e^x} - 1 \right) = +\infty \times (0 - 1) = +\infty \times (-1) = -\infty \). #### Exemple 2 Calculer \( \lim_{x \to -\infty} (x^3 e^x + 5) \) * **Analyse :** En remplaçant directement, on obtient \( (-\infty)^3 \times 0 + 5 \), ce qui est une FI de type \( \infty \times 0 \) pour le premier terme. * **Solution :** Utilisons les croissances comparées pour le terme \(x^3 e^x\). D'après les croissances comparées, \( \lim_{x \to -\infty} x^3 e^x = 0 \). Donc, \( \lim_{x \to -\infty} (x^3 e^x + 5) = 0 + 5 = 5 \). #### Exemple 3 Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x} \) * **Analyse :** C'est une forme indéterminée de type \( \frac{\infty}{\infty} \). * **Solution :** Factorisons par \(e^x\) au numérateur et au dénominateur. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x(1 + x/e^x)}{e^x(1 - x/e^x)} \) \( = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + x/e^x}{1 - x/e^x} \) D'après les croissances comparées, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0 \). Donc, la limite est \( \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \). ### Exercices Calculez les limites suivantes : 1. \( \lim_{x \to +\infty} (e^x - 2x) \) 2. \( \lim_{x \to -\infty} (x^2 e^x - 7) \) 3. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3 + x} \) 4. \( \lim_{x \to -\infty} x e^{2x} \) 5. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \) ### Devoir Maison Calculez les limites suivantes : 1. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 3x^2}{2e^x + x} \) 2. \( \lim_{x \to -\infty} (x^4 e^x + e^x) \) 3. \( \lim_{x \to +\infty} (x - e^x) \) 4. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{x} \) 5. Soit la fonction \(f(x) = (x-1)e^x\). Calculez \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \). ### Résumé * Les limites fondamentales de la fonction exponentielle sont : * \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) * \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) * \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) * Les **croissances comparées** nous indiquent que la fonction exponentielle croît (en \(+\infty\)) ou décroît vers zéro (en \(-\infty\)) plus vite que toute fonction puissance. * \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \) * \( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \) * Pour lever les **formes indéterminées**, les principales stratégies sont la **factorisation par le terme dominant**, la réécriture de l'expression pour faire apparaître une croissance comparée ou un **changement de variable**. ## Dérivée; Primitives ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension de la fonction exponentielle népérienne en explorant deux concepts fondamentaux du calcul différentiel et intégral : la dérivation et la recherche de primitives. Ces opérations sont essentielles pour analyser le comportement des fonctions exponentielles, qui apparaissent fréquemment en sciences, en économie et en ingénierie. ### Concepts Clés #### I. Dérivée de la fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée \(e^x\), possède une propriété unique et remarquable en ce qui concerne sa dérivée. ##### 1. Cas de base: \(f(x) = e^x\) La dérivée de la fonction exponentielle \(x \mapsto e^x\) est elle-même. C'est l'une des raisons pour lesquelles cette fonction est si importante. Soit \(f(x) = e^x\), alors sa dérivée est : \[ f'(x) = e^x \] ##### 2. Cas général: \(f(x) = e^{u(x)}\) Lorsque la fonction exponentielle est composée avec une autre fonction \(u(x)\) (c'est-à-dire \(e^{u(x)}\)), sa dérivée se calcule à l'aide de la règle de dérivation des fonctions composées. Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Si \(f(x) = e^{u(x)}\), alors sa dérivée est : \[ f'(x) = u'(x)e^{u(x)} \] Ceci signifie que pour dériver \(e^{u(x)}\), vous devez d'abord dériver la puissance \(u(x)\) (ce qui donne \(u'(x)\)) et multiplier ce résultat par la fonction exponentielle elle-même, \(e^{u(x)}\). #### II. Primitives de la fonction exponentielle La recherche de primitives est l'opération inverse de la dérivation. Trouver une primitive d'une fonction \(f(x)\) revient à trouver une fonction \(F(x)\) telle que \(F'(x) = f(x)\). ##### 1. Cas de base: Primitive de \(e^x\) La primitive la plus simple de \(e^x\) est \(e^x\) elle-même, à une constante près. Une primitive de \(f(x) = e^x\) est : \[ F(x) = e^x + C \] où \(C\) est une constante réelle arbitraire. ##### 2. Cas général: Primitive de \(u'(x)e^{u(x)}\) Pour trouver la primitive d'une fonction de la forme \(u'(x)e^{u(x)}\), nous utilisons la règle de dérivation des fonctions composées à l'envers. Si \(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\), alors une primitive de \(f(x) = u'(x)e^{u(x)}\) est : \[ F(x) = e^{u(x)} + C \] Pour appliquer cette formule, il faut souvent "reconnaître" la forme \(u'(x)e^{u(x)}\) dans la fonction donnée. Parfois, il est nécessaire d'ajuster une constante multiplicative. ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle népérienne:** La fonction \(x \mapsto e^x\), où \(e\) est la constante de Néper (environ 2.71828). Elle est sa propre dérivée. * **Dérivée:** Le taux de variation instantané d'une fonction. Elle représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction en un point donné. * **Primitive (ou fonction primitive):** Une fonction \(F\) dont la dérivée est la fonction donnée \(f\). C'est l'opération inverse de la dérivation. On parle souvent de "l'ensemble des primitives" car il y a une infinité de primitives pour une fonction donnée (elles diffèrent par une constante). ### Exemples #### Exemples de Dérivées 1. **Dériver \(f(x) = e^{3x}\)** Ici, \(u(x) = 3x\), donc \(u'(x) = 3\). Alors, \(f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = 3e^{3x}\). 2. **Dériver \(f(x) = e^{-x^2+1}\)** Ici, \(u(x) = -x^2+1\), donc \(u'(x) = -2x\). Alors, \(f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = -2xe^{-x^2+1}\). 3. **Dériver \(f(x) = (2x+1)e^x\)** Ceci est un produit de fonctions \((u imes v)' = u'v + uv'\). Soit \(u(x) = 2x+1\) et \(v(x) = e^x\). Alors \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = e^x\). \(f'(x) = 2 imes e^x + (2x+1) imes e^x = e^x(2 + 2x + 1) = e^x(2x+3)\). #### Exemples de Primitives 1. **Trouver une primitive de \(f(x) = 5e^{5x-2}\)** Nous cherchons une forme \(u'(x)e^{u(x)}\). Posons \(u(x) = 5x-2\). Alors \(u'(x) = 5\). Nous avons exactement la forme \(u'(x)e^{u(x)}\). Donc, \(F(x) = e^{5x-2} + C\). 2. **Trouver une primitive de \(f(x) = xe^{x^2}\)** Nous cherchons une forme \(u'(x)e^{u(x)}\). Posons \(u(x) = x^2\). Alors \(u'(x) = 2x\). Notre fonction est \(xe^{x^2}\), qui n'est pas tout à fait \(2xe^{x^2}\). Il manque un facteur 2. Nous pouvons écrire \(f(x) = rac{1}{2} (2xe^{x^2})\). Ainsi, \(F(x) = rac{1}{2}e^{x^2} + C\). 3. **Trouver une primitive de \(f(x) = rac{e^{1/x}}{x^2}\)** Nous cherchons une forme \(u'(x)e^{u(x)}\). Posons \(u(x) = rac{1}{x}\). Alors \(u'(x) = -rac{1}{x^2}\). Notre fonction est \(f(x) = rac{1}{x^2} e^{1/x}\), qui est \(-u'(x)e^{u(x)}\). Donc, \(f(x) = - (-rac{1}{x^2} e^{1/x})\). Ainsi, \(F(x) = -e^{1/x} + C\). ### Exercices **Partie A: Dérivation** Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. \(f(x) = e^{2x+7}\) 2. \(f(x) = e^{-4x}\) 3. \(f(x) = e^{x^3-x}\) 4. \(f(x) = x^2e^x\) 5. \(f(x) = rac{e^x}{x+1}\) 6. \(f(x) = (e^x+1)^3\) **Partie B: Primitives** Déterminez une primitive de chacune des fonctions suivantes : 1. \(f(x) = 3e^{3x}\) 2. \(f(x) = e^{-x}\) 3. \(f(x) = 2xe^{x^2+5}\) 4. \(f(x) = (2x+2)e^{x^2+2x}\) 5. \(f(x) = rac{1}{x^2}e^{1/x}\) 6. \(f(x) = e^{ax}\) (où \(a\) est une constante non nulle) ### Devoirs 1. **Fonction et Tangente :** Soit la fonction \(f(x) = (x-1)e^x\). Calculez sa dérivée \(f'(x)\). Déterminez l'équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(x=0\). 2. **Variations de fonction :** Étudiez les variations de la fonction \(g(x) = (x^2+1)e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\). 3. **Primitive avec condition :** Trouvez la primitive \(F\) de la fonction \(f(x) = 3xe^{x^2}\) qui vérifie \(F(0) = 1\). 4. **Intégrale définie (introduction) :** Calculez la valeur exacte de l'intégrale \[ I = \int_0^1 (e^{2x} - e^x) dx \] *(Indice : Rappelez-vous que \(\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\) où \(F\) est une primitive de \(f\).)* ### Résumé Nous avons exploré les règles de dérivation et de calcul de primitives pour la fonction exponentielle népérienne. Les points essentiels à retenir sont : * **Dérivée de \(e^x\):** \((e^x)' = e^x\) * **Dérivée de \(e^{u(x)}\):** \((e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}\) * **Primitive de \(e^x\):** \(e^x + C\) * **Primitive de \(u'(x)e^{u(x)}\):** \(e^{u(x)} + C\) Ces formules sont des outils puissants qui seront fréquemment utilisés dans l'étude des fonctions, la résolution d'équations différentielles et le calcul d'aires. ## Étude de quelques fonctions définies à l’aide de exp ### Introduction Bienvenue à cette leçon dédiée à l'étude des fonctions qui intègrent la fonction exponentielle népérienne, notée \( \exp(x) \) ou \( e^x \). Après avoir revisité les propriétés fondamentales de cette fonction essentielle, nous allons explorer comment analyser des fonctions plus complexes où \( e^x \) est combinée avec d'autres expressions. Notre objectif est de maîtriser les techniques de calcul de limites, de dérivées et d'établir les tableaux de variations pour ces fonctions, afin de pouvoir tracer leurs courbes représentatives. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur la fonction exponentielle népérienne La fonction exponentielle est la seule fonction \( f \) dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( f' = f \) et \( f(0) = 1 \). * **Domaine de définition:** \( \mathbb{R} \) * **Ensemble image:** \( \mathbb{R}_+^* \) (tous les réels strictement positifs) * **Dérivée:** Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( (e^x)' = e^x \) * **Propriétés algébriques:** Pour tous \( x, y \in \mathbb{R} \) et tout entier \( n \in \mathbb{Z} \): * \( e^{x+y} = e^x e^y \) * \( e^{x-y} = rac{e^x}{e^y} \) * \( (e^x)^n = e^{nx} \) * \( e^0 = 1 \) * \( e^x > 0 \) * **Limites fondamentales:** * \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) * \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) #### 2. Étude de fonctions du type \( f(x) = e^{u(x)} \) Lorsque la fonction exponentielle est composée avec une autre fonction \( u(x) \), l'étude de \( f(x) = e^{u(x)} \) suit des règles spécifiques. ##### Domaine de définition Le domaine de définition de \( f(x) = e^{u(x)} \) est le même que celui de \( u(x) \). ##### Dérivée Si \( u \) est une fonction dérivable, alors \( f(x) = e^{u(x)} \) est dérivable et sa dérivée est donnée par: \[ f'(x) = u'(x)e^{u(x)} \] ##### Limites Les limites de \( f(x) = e^{u(x)} \) dépendent des limites de \( u(x) \): * Si \( \lim_{x \to a} u(x) = L \), alors \( \lim_{x \to a} e^{u(x)} = e^L \) * Si \( \lim_{x \to a} u(x) = +\infty \), alors \( \lim_{x \to a} e^{u(x)} = +\infty \) * Si \( \lim_{x \to a} u(x) = -\infty \), alors \( \lim_{x \to a} e^{u(x)} = 0 \) #### 3. Étude de fonctions du type \( f(x) = P(x)e^{ax+b} \) Ces fonctions sont le produit d'un polynôme \( P(x) \) et d'une fonction exponentielle. ##### Domaine de définition Le domaine est \( \mathbb{R} \) puisque le polynôme et l'exponentielle sont définis sur \( \mathbb{R} \). ##### Dérivée La dérivée d'un produit \( (uv)' = u'v + uv' \) est appliquée. Soit \( u(x) = P(x) \) et \( v(x) = e^{ax+b} \). Alors \( u'(x) = P'(x) \) et \( v'(x) = a e^{ax+b} \). Donc, \( f'(x) = P'(x)e^{ax+b} + P(x)ae^{ax+b} = (P'(x) + aP(x))e^{ax+b} \). ##### Limites et croissances comparées Pour ces fonctions, les **croissances comparées** sont cruciales, notamment aux infinis. La fonction exponentielle "l'emporte" sur toute fonction puissance en \( +\infty \), et "s'annule plus vite" que toute fonction puissance en \( -\infty \). * **En \( +\infty \):** Si \( a > 0 \), alors \( \lim_{x \to +\infty} P(x)e^{ax+b} = +\infty \) (ou \( -\infty \) si \( P(x) \) tend vers \( -\infty \)). L'exponentielle domine. * **En \( -\infty \):** Si \( a > 0 \), on peut réécrire \( P(x)e^{ax+b} \) pour utiliser les formes de croissances comparées: * Pour tout entier \( n \) strictement positif, \( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \) * Plus généralement, \( \lim_{x \to +\infty} rac{e^x}{x^n} = +\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} rac{\ln(x)}{x^n} = 0 \) Ces formes sont souvent utilisées par changement de variable pour adapter les limites à \( x \to -\infty \) ou à d'autres expressions. #### 4. Asymptotes * **Asymptote horizontale:** Si \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L \) (un réel), alors la droite \( y = L \) est une asymptote horizontale à la courbe de \( f \) en \( \pm\infty \). * **Asymptote verticale:** Si \( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) (pour \( a \) réel), alors la droite \( x = a \) est une asymptote verticale. ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle népérienne:** La fonction \( x \mapsto e^x \), inverse de la fonction logarithme népérien. * **Dérivée:** Le taux de variation instantané d'une fonction. * **Limite:** La valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable s'approche d'un certain point ou de l'infini. * **Croissances comparées:** Règles permettant de déterminer la limite d'un quotient ou d'un produit de fonctions (polynômes, exponentielles, logarithmes) lorsque les variables tendent vers l'infini. * **Asymptote:** Une droite dont la distance à une courbe tend vers zéro lorsque la courbe s'éloigne à l'infini. * **Tableau de variations:** Un tableau qui résume le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction. ### Exemples #### Exemple 1: Étude de \( f(x) = e^{-x^2+1} \) * **Domaine:** \( \mathbb{R} \). * **Dérivée:** Soit \( u(x) = -x^2+1 \), alors \( u'(x) = -2x \). Donc \( f'(x) = -2xe^{-x^2+1} \). Le signe de \( f'(x) \) dépend du signe de \( -2x \) car \( e^{-x^2+1} > 0 \). * Si \( x < 0 \), \( -2x > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \), \( f \) est croissante. * Si \( x > 0 \), \( -2x < 0 \), donc \( f'(x) < 0 \), \( f \) est décroissante. * **Limites:** * \( \lim_{x \to +\infty} (-x^2+1) = -\infty \), donc \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2+1} = 0 \). * \( \lim_{x \to -\infty} (-x^2+1) = -\infty \), donc \( \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2+1} = 0 \). La droite \( y=0 \) (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale en \( +\infty \) et en \( -\infty \). * **Extremum:** La fonction admet un maximum en \( x=0 \), \( f(0) = e^{-0^2+1} = e^1 = e \). #### Exemple 2: Étude de \( g(x) = (x-1)e^x \) * **Domaine:** \( \mathbb{R} \). * **Dérivée:** Soit \( u(x) = x-1 \) et \( v(x) = e^x \). \( u'(x) = 1 \) et \( v'(x) = e^x \). \( g'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = e^x(1 + x - 1) = xe^x \). Le signe de \( g'(x) \) dépend du signe de \( x \) car \( e^x > 0 \). * Si \( x < 0 \), \( g'(x) < 0 \), \( g \) est décroissante. * Si \( x > 0 \), \( g'(x) > 0 \), \( g \) est croissante. * **Limites:** * \( \lim_{x \to +\infty} (x-1)e^x = +\infty \cdot +\infty = +\infty \). * \( \lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x \). C'est une forme indéterminée de type \( -\infty \cdot 0 \). On utilise les croissances comparées: \( \lim_{x \to -\infty} xe^x = 0 \) et \( \lim_{x \to -\infty} -e^x = 0 \). Donc \( \lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x = 0 \). La droite \( y=0 \) est une asymptote horizontale en \( -\infty \). * **Extremum:** La fonction admet un minimum en \( x=0 \), \( g(0) = (0-1)e^0 = -1 \cdot 1 = -1 \). ### Exercices 1. Calculez la dérivée des fonctions suivantes : a. \( f(x) = e^{3x^2-5x} \) b. \( g(x) = (2x+3)e^{-x} \) c. \( h(x) = rac{e^x}{x^2+1} \) 2. Déterminez les limites en \( +\infty \) et en \( -\infty \) des fonctions de l'exercice 1. 3. Étudiez les variations de la fonction \( k(x) = x^2 e^{-x} \). ### Devoirs 1. On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = (x^2+x+1)e^{-x} \). a. Calculez \( f'(x) \) et étudiez son signe. b. Déterminez les limites de \( f \) en \( +\infty \) et en \( -\infty \). c. Dressez le tableau de variations de \( f \). d. Tracez l'allure de la courbe représentative de \( f \). 2. Soit \( g(x) = rac{e^x-1}{e^x+1} \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). a. Montrez que \( g \) est impaire. b. Calculez \( g'(x) \) et déduisez-en les variations de \( g \). c. Déterminez les limites de \( g \) en \( +\infty \) et en \( -\infty \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons approfondi l'étude des fonctions impliquant l'exponentielle. Nous avons revu les propriétés fondamentales de \( e^x \) et appris à appliquer les règles de dérivation pour des fonctions composées du type \( e^{u(x)} \) (avec \( f'(x) = u'(x)e^{u(x)} \)) et des fonctions produits du type \( P(x)e^{ax+b} \). L'importance des **croissances comparées** pour le calcul des limites, notamment en \( -\infty \), a été soulignée. La détermination du domaine de définition, le calcul des dérivées, l'étude des limites et des asymptotes sont les étapes clés pour dresser le tableau de variations et tracer la courbe représentative de ces fonctions complexes.