Fonctions logarithmes népérien (suite)

# Fonctions logarithmes népérien (suite) ## Dérivée des fonction définies à l'aide de ln ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des fonctions logarithmes népérien en explorant comment calculer leurs dérivées. La capacité à dériver des fonctions impliquant le logarithme népérien est cruciale pour l'étude des variations de fonctions, la résolution de problèmes d'optimisation et bien d'autres applications en mathématiques et dans d'autres disciplines. Nous nous concentrerons sur les règles de dérivation spécifiques au logarithme et sur la manière de les appliquer en combinaison avec les règles de dérivation que vous connaissez déjà. ### Concepts Clés #### Rappel sur la Dérivée de \( \ln(x) \) La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est définie sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \). Sa dérivée est une des plus fondamentales à connaître : Pour tout \( x > 0 \): \[ (\ln(x))' = \frac{1}{x} \] #### Dérivée de la Fonction Composée \( \ln(u(x)) \) C'est la règle la plus importante de cette leçon. Lorsque le logarithme s'applique à une fonction \( u(x) \) (et non seulement à \( x \)), nous utilisons la règle de dérivation des fonctions composées. Soit \( u \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) telle que \( u(x) > 0 \) pour tout \( x \in I \). Alors la fonction \( f(x) = \ln(u(x)) \) est dérivable sur \( I \) et sa dérivée est donnée par : \[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \] **Conditions importantes :** * La fonction \( u \) doit être dérivable sur l'intervalle considéré. * Pour que \( \ln(u(x)) \) soit définie, \( u(x) \) doit être strictement positive (\( u(x) > 0 \)). #### Dérivée de la Fonction \( \ln(|u(x)|) \) Dans certains cas, la fonction \( u(x) \) peut prendre des valeurs négatives. Pour que \( \ln \) soit définie, on utilise alors la valeur absolue. Soit \( u \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) telle que \( u(x) \neq 0 \) pour tout \( x \in I \). Alors la fonction \( f(x) = \ln(|u(x)|) \) est dérivable sur \( I \) et sa dérivée est donnée par : \[ (\ln(|u(x)|))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \] Cette formule est remarquablement la même que pour \( \ln(u(x)) \), mais elle est applicable sur des intervalles où \( u(x) \) est soit toujours positive, soit toujours négative (mais jamais nulle). #### Combinaison avec d'Autres Règles de Dérivation N'oubliez pas que vous devrez souvent combiner ces règles avec d'autres déjà connues : * Dérivée d'une somme : \( (f+g)' = f' + g' \) * Dérivée d'un produit : \( (fg)' = f'g + fg' \) * Dérivée d'un quotient : \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \) * Dérivée d'une puissance : \( (x^n)' = nx^{n-1} \) ### Vocabulaire * **Fonction logarithme népérien (\( \ln \))** : Fonction réciproque de la fonction exponentielle, définie sur \( ]0; +\infty[ \). * **Dérivée** : Mesure du taux de variation d'une fonction. Elle représente la pente de la tangente à la courbe en un point. * **Ensemble de définition** : L'ensemble de toutes les valeurs pour lesquelles une fonction est définie. * **Fonction composée** : Fonction formée en appliquant une fonction à la valeur d'une autre fonction, par exemple \( f(g(x)) \). ### Exemples Voici quelques exemples pour illustrer l'application des règles de dérivation : #### Exemple 1 Soit \( f(x) = \ln(2x+3) \). 1. **Ensemble de définition :** On doit avoir \( 2x+3 > 0 \), donc \( 2x > -3 \), soit \( x > -\frac{3}{2} \). \( D_f = ]-\frac{3}{2}; +\infty[ \). 2. **Calcul de la dérivée :** On pose \( u(x) = 2x+3 \). Alors \( u'(x) = 2 \). En utilisant la formule \( (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \) : \[ f'(x) = \frac{2}{2x+3} \] #### Exemple 2 Soit \( g(x) = x \ln(x) \). 1. **Ensemble de définition :** On doit avoir \( x > 0 \). \( D_g = ]0; +\infty[ \). 2. **Calcul de la dérivée :** Il s'agit d'un produit de fonctions \( u(x) = x \) et \( v(x) = \ln(x) \). \( u'(x) = 1 \) et \( v'(x) = \frac{1}{x} \). En utilisant la formule \( (uv)' = u'v + uv' \) : \[ g'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \] #### Exemple 3 Soit \( h(x) = \ln(x^2+1) \). 1. **Ensemble de définition :** On doit avoir \( x^2+1 > 0 \). Comme \( x^2 \ge 0 \), \( x^2+1 \ge 1 \), ce qui est toujours vrai. \( D_h = \mathbb{R} \). 2. **Calcul de la dérivée :** On pose \( u(x) = x^2+1 \). Alors \( u'(x) = 2x \). \[ h'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \] #### Exemple 4 Soit \( k(x) = (\ln(x))^2 \). 1. **Ensemble de définition :** On doit avoir \( x > 0 \). \( D_k = ]0; +\infty[ \). 2. **Calcul de la dérivée :** Il s'agit d'une fonction de la forme \( u^n \) où \( u(x) = \ln(x) \) et \( n=2 \). On sait que \( (u^n)' = nu^{n-1}u' \). Ici, \( u'(x) = \frac{1}{x} \). \[ k'(x) = 2 (\ln(x))^{2-1} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \] ### Exercices Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant leur ensemble de définition : 1. \( f(x) = \ln(5x-4) \) 2. \( g(x) = x^2 \ln(x) \) 3. \( h(x) = \ln(x^2-3x+2) \) 4. \( i(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 5. \( j(x) = \ln(x^2+2x+1) \) 6. \( k(x) = \ln(\frac{1}{x}) \) ### Devoirs 1. Soit la fonction \( f(x) = x \ln(x) - x \). a. Déterminez l'ensemble de définition de \( f \). b. Calculez \( f'(x) \). c. Étudiez le signe de \( f'(x) \) et en déduire les variations de \( f \). 2. Soit la fonction \( g(x) = \frac{1+\ln(x)}{x} \). a. Déterminez l'ensemble de définition de \( g \). b. Calculez \( g'(x) \). c. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de \( g \) au point d'abscisse \( x=1 \). 3. Déterminez la dérivée de la fonction \( h(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \) sur son ensemble de définition. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu les règles essentielles pour dériver les fonctions impliquant le logarithme népérien. Les points clés à retenir sont : * La dérivée de la fonction \( \ln(x) \) est \( \frac{1}{x} \) pour tout \( x > 0 \). * La règle fondamentale pour les fonctions composées : si \( u(x) \) est une fonction dérivable et strictement positive, alors la dérivée de \( \ln(u(x)) \) est \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). * Cette même règle s'applique pour \( \ln(|u(x)|) \) tant que \( u(x) \neq 0 \). * Toujours commencer par déterminer l'ensemble de définition de la fonction avant de calculer sa dérivée. L'argument du logarithme doit toujours être strictement positif. * N'oubliez pas de combiner ces règles avec celles des produits, quotients et puissances lorsque nécessaire. La maîtrise de ces techniques est fondamentale pour l'analyse des fonctions en Terminale. ## Primitives des fonction u'/u ### Introduction Bienvenue à cette séance de cours consacrée à la suite de notre étude des fonctions logarithmes népériens. Aujourd'hui, nous allons aborder une technique fondamentale en calcul intégral : la recherche des primitives des fonctions qui se présentent sous la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). Cette forme est très courante et sa primitive est directement liée à la fonction logarithme népérien. La maîtrise de cette technique vous sera essentielle pour résoudre de nombreux problèmes en analyse. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Primitives * Une fonction \( F \) est une **primitive** d'une fonction \( f \) sur un intervalle \( I \) si \( F \) est dérivable sur \( I \) et \( F'(x) = f(x) \) pour tout \( x \in I \). * Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors l'ensemble de toutes les primitives de \( f \) est donné par \( F(x) + C \), où \( C \) est une constante réelle appelée **constante d'intégration**. * La recherche d'une primitive est l'opération inverse de la dérivation. #### La Fonction Logarithme Népérien (ln) * La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est la primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) sur l'intervalle \( ]0, +\infty[ \) qui s'annule en \( x=1 \). * Sa dérivée est : \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) pour tout \( x > 0 \). #### Primitives de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) ##### Théorème Fondamental Soit \( u \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) et qui ne s'annule pas sur cet intervalle (c'est-à-dire \( u(x) \neq 0 \) pour tout \( x \in I \)). Alors, les primitives de la fonction \( f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \) sur l'intervalle \( I \) sont données par : \[ \int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C \] Où \( C \) est une constante d'intégration. ##### Démonstration (aperçu) * Si \( u(x) > 0 \) sur \( I \), alors \( (\ln(u(x)))' = u'(x) \cdot \frac{1}{u(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)} \). * Si \( u(x) < 0 \) sur \( I \), alors \( |u(x)| = -u(x) \). Donc \( (\ln(-u(x)))' = (-u'(x)) \cdot \frac{1}{-u(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)} \). Dans les deux cas, la dérivée de \( \ln|u(x)| \) est bien \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). ##### Conditions d'Application Il est crucial que la fonction \( u(x) \) ne s'annule pas sur l'intervalle \( I \) d'étude, car le logarithme n'est défini que pour des valeurs strictement positives, et le dénominateur ne peut pas être nul. ### Vocabulaire * **Primitive :** Fonction dont la dérivée est la fonction donnée. * **Fonction logarithme népérien (ln) :** Fonction réciproque de la fonction exponentielle, définie sur \( ]0, +\infty[ \). * **Dérivée :** Taux de variation instantané d'une fonction. * **Constante d'intégration :** Constante réelle \( C \) ajoutée à une primitive pour représenter l'ensemble de toutes les primitives. * **Domaine de définition :** Ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie. ### Exemples #### Exemple 1 Trouver les primitives de la fonction \( f(x) = \frac{2x}{x^2+1} \) sur \( \mathbb{R} \). **Solution :** Posons \( u(x) = x^2+1 \). Alors \( u'(x) = 2x \). On remarque que \( x^2+1 \) est toujours strictement positif sur \( \mathbb{R} \) (il ne s'annule jamais). La fonction \( f(x) \) est de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). Donc, les primitives de \( f(x) \) sont : \[ F(x) = \ln|x^2+1| + C \] Comme \( x^2+1 > 0 \), on peut écrire : \[ F(x) = \ln(x^2+1) + C \] #### Exemple 2 Trouver les primitives de la fonction \( g(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \) sur l'intervalle \( ]0, \pi[ \). **Solution :** Posons \( u(x) = \sin x \). Alors \( u'(x) = \cos x \). Sur l'intervalle \( ]0, \pi[ \), la fonction \( \sin x \) est strictement positive (elle ne s'annule pas). La fonction \( g(x) \) est de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). Donc, les primitives de \( g(x) \) sont : \[ G(x) = \ln|\sin x| + C \] Comme \( \sin x > 0 \) sur \( ]0, \pi[ \), on a : \[ G(x) = \ln(\sin x) + C \] #### Exemple 3 Trouver les primitives de la fonction \( h(x) = \frac{x}{x^2-4} \) sur \( ]2, +\infty[ \). **Solution :** Posons \( u(x) = x^2-4 \). Alors \( u'(x) = 2x \). La fonction \( h(x) \) n'est pas directement de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \), mais on peut la modifier : \[ h(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2-4} \] Sur l'intervalle \( ]2, +\infty[ \), \( x^2-4 \) est strictement positif (car \( x > 2 \Rightarrow x^2 > 4 \)). Les primitives de \( \frac{2x}{x^2-4} \) sont \( \ln(x^2-4) + C' \). Donc, les primitives de \( h(x) \) sont : \[ H(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2-4) + C \] ### Exercices Déterminez une primitive pour chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle donné : 1. \( f(x) = \frac{3x^2}{x^3+5} \) sur \( ]-\sqrt[3]{5}, +\infty[ \) 2. \( g(x) = \frac{e^x}{e^x+1} \) sur \( \mathbb{R} \) 3. \( h(x) = \frac{1}{x \ln x} \) sur \( ]1, +\infty[ \) 4. \( k(x) = \frac{2x+1}{x^2+x+1} \) sur \( \mathbb{R} \) ### Devoir 1. Trouver les primitives de la fonction \( f(x) = \frac{x^2+1}{x^3+3x} \) sur \( ]0, +\infty[ \). 2. Déterminer la primitive \( F \) de la fonction \( g(x) = \frac{2x}{x^2+1} \) qui vérifie \( F(0) = 5 \). 3. Soit la fonction \( f(x) = \frac{x-1}{x^2-2x+5} \). a. Déterminer son domaine de définition. b. Trouver une primitive de \( f \) sur son domaine de définition. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré une règle essentielle pour le calcul des primitives : la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). Nous avons appris que si \( u \) est une fonction dérivable qui ne s'annule pas sur un intervalle \( I \), alors les primitives de \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) sont données par : \[ \int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C \] Il est crucial de toujours vérifier que la fonction \( u(x) \) est non nulle sur l'intervalle d'étude. La capacité à reconnaître cette forme vous permettra de simplifier de nombreux calculs de primitives et d'intégrales définies. Continuez à pratiquer pour maîtriser cette technique importante ! ## Etude de quelques fonctions faisant intervenir ln ### Introduction Bienvenue à cette nouvelle leçon de mathématiques. Dans le chapitre précédent, nous avons découvert les fonctions logarithmes népériens et leurs propriétés fondamentales. Aujourd'hui, nous allons approfondir notre compréhension en étudiant des fonctions plus complexes qui incluent le logarithme népérien. Nous allons revoir ensemble comment déterminer leur domaine de définition, calculer leurs limites, trouver leurs dérivées et analyser leurs variations pour tracer leurs courbes représentatives. Préparez-vous à appliquer toutes les connaissances acquises ! ### Concepts clés #### Domaine de définition Le logarithme népérien, noté `ln(x)`, n'est défini que pour des valeurs de `x` strictement positives. Autrement dit, `x > 0`. Lorsque nous travaillons avec une fonction de la forme `f(x) = ln(u(x))`, il est impératif que l'expression `u(x)` soit strictement positive. Le domaine de définition de `f` sera donc l'ensemble des `x` pour lesquels `u(x) > 0`. * **Règle :** Pour que `ln(u(x))` soit défini, il faut que `u(x) > 0`. #### Limites Les limites jouent un rôle crucial dans l'étude des fonctions, notamment pour comprendre leur comportement aux bornes de leur domaine de définition. * **Limites fondamentales du logarithme népérien :** * `\[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \]` * `\[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \]` * **Croissances comparées :** Le logarithme népérien croît plus lentement que toute puissance positive de `x` à l'infini et tend vers `0` plus rapidement que toute puissance positive de `x` en `0`. C'est très important pour lever des formes indéterminées. * `\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad \text{pour tout } n > 0 \]` * `\[ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \quad \text{pour tout } n > 0 \]` #### Dérivation Le calcul de la dérivée est essentiel pour étudier les variations d'une fonction. * **Dérivée de `ln(x)` :** Pour `x > 0`, la dérivée de `ln(x)` est `\( (\ln(x))' = \frac{1}{x} \)`. * **Dérivée de `ln(u(x))` :** Si `u(x)` est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors la dérivée de `ln(u(x))` est `\( (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \)`. Cette formule est fondamentale pour dériver des fonctions composées. #### Etude des variations Une fois la dérivée calculée, nous pouvons en déduire le sens de variation de la fonction. * **Méthode :** 1. Calculer `f'(x)` sur le domaine de définition. 2. Etudier le signe de `f'(x)`. 3. Si `f'(x) > 0`, alors `f` est strictement croissante. 4. Si `f'(x) < 0`, alors `f` est strictement décroissante. 5. Si `f'(x) = 0`, la fonction admet un extremum local (maximum ou minimum) ou un point d'inflexion. 6. Dresser le tableau de variation en y incluant les limites aux bornes. #### Courbe représentative Les informations obtenues (domaine, limites, variations) nous permettent de tracer une représentation graphique fidèle de la fonction. N'oubliez pas de chercher les asymptotes (verticales, horizontales ou obliques). ### Vocabulaire * **Logarithme népérien :** La fonction `ln` est la primitive de `\( x \mapsto \frac{1}{x} \)` qui s'annule en `1`. * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie. * **Dérivée :** Mesure le taux de variation d'une fonction ; son signe indique le sens de variation de la fonction. * **Variations :** Description de l'évolution d'une fonction (croissante, décroissante). * **Asymptote verticale :** Droite verticale vers laquelle la courbe d'une fonction tend lorsque `x` approche une certaine valeur. ### Exemples #### Exemple 1 : Etude de `f(x) = x - ln(x)` 1. **Domaine de définition :** `ln(x)` est défini pour `x > 0`. Donc `\( D_f = ]0; +\infty[ \)`. 2. **Limites :** * `\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - \ln(x)) = 0 - (-\infty) = +\infty \]` (Asymptote verticale d'équation `x = 0`). * `\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x)) = \lim_{x \to +\infty} x \left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) \]` D'après les croissances comparées, `\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \)`. Donc, `\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \cdot (1 - 0) = +\infty \]` 3. **Dérivée :** `\( f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \)`. 4. **Variations :** * Le dénominateur `x` est positif sur `\( D_f \)`. Le signe de `f'(x)` dépend donc du numérateur `x-1`. * `x-1 = 0 \implies x = 1` * `x-1 < 0 \implies x < 1` * `x-1 > 0 \implies x > 1` * Si `x \in ]0; 1[`, `f'(x) < 0`, donc `f` est décroissante. * Si `x \in ]1; +\infty[`, `f'(x) > 0`, donc `f` est croissante. * `f` admet un minimum local en `x = 1`. `\( f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \)`. 5. **Tableau de variation :** | x | 0 | 1 | +∞ | |-------|-------|-----------------------|-------| | f'(x) | | - | + | | f(x) | `+∞` | `\searrow` `1` | `\nearrow` `+∞` | #### Exemple 2 : Etude de `g(x) = ln(x^2 + 1)` 1. **Domaine de définition :** L'expression `x^2 + 1` est toujours strictement positive pour tout `x \in \mathbb{R}`. Donc `\( D_g = \mathbb{R} \)`. 2. **Limites :** * `\[ \lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1) = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]` * `\[ \lim_{x \to -\infty} (x^2 + 1) = +\infty \implies \lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty \]` 3. **Dérivée :** Utilisons la formule `\( (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \)` avec `\( u(x) = x^2 + 1 \)` et `\( u'(x) = 2x \)`. Donc, `\[ g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \]` 4. **Variations :** * Le dénominateur `x^2 + 1` est toujours positif. Le signe de `g'(x)` dépend donc du numérateur `2x`. * Si `x < 0`, `2x < 0`, donc `g'(x) < 0` et `g` est décroissante. * Si `x > 0`, `2x > 0`, donc `g'(x) > 0` et `g` est croissante. * `g` admet un minimum local en `x = 0`. `\( g(0) = \ln(0^2 + 1) = \ln(1) = 0 \)`. 5. **Tableau de variation :** | x | -∞ | 0 | +∞ | |-------|-------|-----------------------|-------| | g'(x) | | - | + | | g(x) | `+∞` | `\searrow` `0` | `\nearrow` `+∞` | ### Exercices #### Exercice 1 Soit la fonction `f` définie par `\( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \)`. 1. Déterminer le domaine de définition de `f`. 2. Calculer les limites de `f` aux bornes de son domaine. 3. Calculer la dérivée `f'(x)` et étudier son signe. 4. Dresser le tableau de variation de `f`. #### Exercice 2 Soit la fonction `g` définie par `\( g(x) = \ln(3x-2) \)`. 1. Déterminer le domaine de définition de `g`. 2. Calculer les limites de `g` aux bornes de son domaine. 3. Calculer la dérivée `g'(x)`. 4. Dresser le tableau de variation de `g`. ### Devoir #### Devoir 1 Soit la fonction `h` définie par `\( h(x) = x^2 \ln(x) \)`. 1. Déterminer le domaine de définition de `h`. 2. Calculer les limites de `h` aux bornes de son domaine. 3. Calculer la dérivée `h'(x)` et en déduire le sens de variation de `h`. 4. Dresser le tableau de variation de `h`. 5. Esquisser la courbe représentative de `h`. #### Devoir 2 Soit la fonction `k` définie par `\( k(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \)`. 1. Déterminer le domaine de définition de `k`. 2. Calculer les limites de `k` aux bornes de son domaine. 3. Calculer la dérivée `k'(x)` et en déduire le sens de variation de `k`. 4. Dresser le tableau de variation de `k`. ### Résumé Pour étudier une fonction faisant intervenir le logarithme népérien `ln(u(x))`, rappelez-vous les étapes clés : * **Domaine de définition :** Assurez-vous que `u(x) > 0`. * **Limites :** Utilisez les limites fondamentales de `ln` et les croissances comparées pour lever les formes indéterminées. * **Dérivation :** Appliquez la formule `\( (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \)`. * **Variations :** Déduisez le sens de variation de la fonction à partir du signe de sa dérivée. * **Tableau de variation :** Synthétisez toutes ces informations pour visualiser le comportement de la fonction. La maîtrise de ces étapes vous permettra d'analyser et de comprendre le comportement de nombreuses fonctions logarithmiques. Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences ! ## Primitives des fonction u'/u # Primitives des fonctions de type u'/u\n\n## Introduction\nBienvenue à cette leçon sur les primitives des fonctions ! Nous allons aujourd'hui approfondir notre compréhension des primitives en nous concentrant sur une forme particulière de fonctions, très courante en terminale : celles de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). Comprendre comment trouver leurs primitives est essentiel pour la résolution de nombreux problèmes d'analyse.\n\n## Concepts Clés\n\n### Rappel sur les Primitives\nUne fonction \( F \) est une primitive d'une fonction \( f \) sur un intervalle \( I \) si \( F \) est dérivable sur \( I \) et si, pour tout \( x \) dans \( I \), nous avons \( F'(x) = f(x) \).\n* **Notation :** On dit que \( F(x) = \int f(x) dx \).\n* **Infinité de Primitives :** Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors toute fonction \( G(x) = F(x) + C \) (où \( C \) est une constante réelle) est aussi une primitive de \( f \). On parle de la famille des primitives.\n\n### La Fonction Logarithme Népérien et sa Dérivée\nNous avons étudié la fonction logarithme népérien, notée \( \ln \). Rappelons sa dérivée :\n* Pour \( x > 0 \), la dérivée de \( \ln(x) \) est \( \frac{1}{x} \).\n* Plus généralement, pour \( x \ne 0 \), la dérivée de \( \ln(|x|) \) est \( \frac{1}{x} \). Cette propriété est cruciale pour les primitives.\n\n### Primitives des Fonctions de Type \( \frac{u'(x)}{u(x)} \)\nLe théorème fondamental de cette leçon est le suivant :\n* **Théorème :** Soit \( u \) une fonction dérivable et qui ne s'annule pas sur un intervalle \( I \). Alors, une primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{u'(x)}{u(x)} \) sur \( I \) est la fonction \( x \mapsto \ln|u(x)| \).\n* **Formule générale :**\[ \int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C \]\n* **Conditions d'application :** Il est impératif que la fonction \( u(x) \) ne s'annule jamais sur l'intervalle d'étude pour que la fonction \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) soit définie et que sa primitive \( \ln|u(x)| \) soit également définie. La valeur absolue est essentielle pour étendre la validité aux cas où \( u(x) \) est négative.\n\n### Méthode pour trouver une primitive de type \( \frac{u'(x)}{u(x)} \)\n1. **Identifier \( u(x) \) :** Le dénominateur de la fraction est généralement votre fonction \( u(x) \).\n2. **Calculer \( u'(x) \) :** Dérivez la fonction \( u(x) \) que vous avez identifiée.\n3. **Comparer :** Comparez \( u'(x) \) avec le numérateur de la fonction à intégrer.\n4. **Ajuster (si nécessaire) :** Si le numérateur n'est pas exactement \( u'(x) \), mais un multiple constant de celui-ci (par exemple, \( k \cdot u'(x) \)), vous pouvez réécrire la fonction comme \( k \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} \) et la constante \( k \) sortira de l'intégrale.\n5. **Appliquer la formule :** La primitive sera \( k \cdot \ln|u(x)| + C \).\n\n## Vocabulaire\n* **Primitive :** Fonction dont la dérivée est la fonction donnée.\n* **Fonction dérivable :** Fonction pour laquelle la dérivée existe en tout point de son domaine.\n* **Logarithme népérien (\( \ln \)) :** La fonction réciproque de la fonction exponentielle, définie pour les nombres strictement positifs.\n* **Intervalle :** Un ensemble de nombres réels compris entre deux valeurs.\n* **Constante d'intégration (\( C \)) :** Une constante arbitraire ajoutée à une primitive, reflétant le fait qu'une fonction a une infinité de primitives.\n\n## Exemples\n\n### Exemple 1\nTrouver une primitive de \( f(x) = \frac{2x}{x^2+1} \).\n* Posons \( u(x) = x^2+1 \).\n* Alors \( u'(x) = 2x \).\n* La fonction est de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). De plus, \( x^2+1 > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), donc la valeur absolue n'est pas strictement nécessaire.\n* Une primitive est \( F(x) = \ln(x^2+1) + C \).\n\n### Exemple 2\nTrouver une primitive de \( f(x) = \frac{1}{x} \) sur \( ]0, +\infty[ \).\n* Posons \( u(x) = x \).\n* Alors \( u'(x) = 1 \).\n* La fonction est de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \).\n* Une primitive est \( F(x) = \ln|x| + C \). Puisque nous sommes sur \( ]0, +\infty[ \), \( |x|=x \), donc \( F(x) = \ln(x) + C \).\n\n### Exemple 3\nTrouver une primitive de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) sur un intervalle où \( \sin(x) \ne 0 \) (par exemple, \( ]0, \pi[ \)).\n* Posons \( u(x) = \sin(x) \).\n* Alors \( u'(x) = \cos(x) \).\n* La fonction est de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \).\n* Une primitive est \( F(x) = \ln|\sin(x)| + C \).\n\n### Exemple 4\nTrouver une primitive de \( f(x) = \frac{x}{x^2-4} \) sur \( ]2, +\infty[ \).\n* Posons \( u(x) = x^2-4 \).\n* Alors \( u'(x) = 2x \).\n* Le numérateur de \( f(x) \) est \( x \), pas \( 2x \). Cependant, nous pouvons réécrire \( f(x) \) comme \( \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2-4} \).\n* Une primitive est \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2-4| + C \). Sur l'intervalle \( ]2, +\infty[ \), \( x^2-4 > 0 \), donc \( F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2-4) + C \).\n\n## Exercices\nTrouvez une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle spécifié ou sur le plus grand ensemble de définition possible.\n\n1. \( f(x) = \frac{3x^2}{x^3+1} \) sur \( ]-1, +\infty[ \)\n2. \( g(x) = \frac{e^x}{e^x+5} \) sur \( \mathbb{R} \)\n3. \( h(x) = \frac{x-1}{x^2-2x+5} \) sur \( \mathbb{R} \)\n4. \( k(x) = \frac{1}{2x+3} \) sur \( ]-\frac{3}{2}, +\infty[ \)\n\n## Devoirs\n\n1. Déterminer une primitive de \( f(x) = \frac{2x+2}{x^2+2x-3} \) sur l'intervalle \( ]1, +\infty[ \).\n2. Déterminer une primitive de \( g(x) = \frac{\sin(2x)}{1-\cos(2x)} \) sur un intervalle où la fonction est définie et \( 1-\cos(2x) \ne 0 \).\n3. Trouver la primitive de \( h(x) = \frac{e^{-x}}{2-e^{-x}} \) qui s'annule en \( x=0 \).\n4. Montrez que \( \int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C \) sur un intervalle où \( \cos(x) \ne 0 \).\n\n## Résumé\nDans cette leçon, nous avons exploré la méthode pour trouver les primitives des fonctions de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)} \). La formule clé à retenir est :\[ \int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C \]\nN'oubliez pas les points importants :\n* Identifier correctement \( u(x) \) et \( u'(x) \).\n* Tenir compte de la valeur absolue \( |u(x)| \) pour que la primitive soit définie sur des intervalles où \( u(x) \) pourrait être négatif.\n* S'assurer que \( u(x) \) ne s'annule pas sur l'intervalle d'étude.\n* Les constantes multiplicatives peuvent être ajustées en dehors de l'intégrale. Ces techniques sont fondamentales pour la suite de votre parcours en analyse mathématique. ## Etude de quelques fonctions faisant intervenir ln ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des fonctions logarithmes népériens en étudiant des fonctions plus complexes qui les intègrent. Nous nous concentrerons sur les étapes clés de l'analyse fonctionnelle : la détermination du domaine de définition, le calcul des limites, la dérivation, l'établissement du tableau de variations et l'esquisse des courbes représentatives. Une attention particulière sera portée aux techniques spécifiques nécessaires lorsque \( \ln x \) est combiné à d'autres expressions algébriques. ### Concepts Clés #### Rappel sur la fonction logarithme népérien (ln) * **Définition et Domaine :** La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est la réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur \( ]0; +\infty[ \). * **Dérivée :** Pour \( x > 0 \), la dérivée de \( \ln x \) est \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \). * **Propriétés algébriques :** Pour \( a, b > 0 \) et \( n \in \mathbb{Z} \) : * \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \) * \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b \) * \( \ln(a^n) = n \ln a \) * \( \ln(e) = 1 \) et \( \ln(1) = 0 \) * **Limites Fondamentales :** * \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \) * \( \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \) * **Croissances Comparées :** Ces limites sont cruciales pour lever les formes indéterminées. * \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \) pour tout \( n > 0 \). (La puissance l'emporte sur \( \ln x \)) * \( \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \) pour tout \( n > 0 \). (La puissance l'emporte sur \( \ln x \)) * \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \) pour tout \( n > 0 \). #### Étude de fonctions impliquant ln Pour étudier une fonction \( f(x) \) faisant intervenir \( \ln x \), nous suivons les étapes habituelles : 1. **Détermination du Domaine de Définition \( D_f \) :** * L'argument du logarithme doit toujours être strictement positif. Si \( \ln(u(x)) \) est présent, alors \( u(x) > 0 \). * Les dénominateurs ne doivent pas être nuls. 2. **Calcul des Limites aux Bornes de \( D_f \) :** * Utiliser les limites fondamentales de \( \ln x \). * Appliquer les règles de calcul des limites. * Penser aux croissances comparées si des formes indéterminées \( \infty/\infty \) ou \( 0 \times \infty \) apparaissent. 3. **Calcul de la Dérivée \( f'(x) \) :** * Utiliser la formule \( (\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \). * Appliquer les règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne) selon la structure de \( f(x) \). 4. **Étude du Signe de \( f'(x) \) et Tableau de Variations :** * Le signe de la dérivée indique si la fonction est croissante ou décroissante. * Le tableau de variations résume le comportement de la fonction et met en évidence les extremums locaux. 5. **Construction de la Courbe Représentative (si demandé) :** * Identifier les asymptotes (verticales, horizontales, obliques). * Placer les points remarquables (extremums, points d'inflexion si \( f''(x) \) est étudié). ### Vocabulaire * **Logarithme népérien :** Fonction réciproque de l'exponentielle, notée \( \ln \). * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. * **Dérivée :** Fonction qui donne le taux de variation instantané d'une autre fonction. * **Limite :** Valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable s'approche d'un point donné ou de l'infini. * **Asymptote :** Droite vers laquelle la courbe d'une fonction s'approche indéfiniment. * **Croissance comparée :** Méthode pour comparer la vitesse à laquelle différentes fonctions tendent vers l'infini ou zéro. * **Tableau de variations :** Tableau récapitulatif du sens de variation d'une fonction et de ses limites. ### Exemples #### Exemple 1 : Étude de \( f(x) = x \ln x \) 1. **Domaine de définition :** \( D_f = ]0; +\infty[ \) car \( x > 0 \). 2. **Limites :** * En \( 0^+ \) : \( \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \) (par croissance comparée). * En \( +\infty \) : \( \lim_{x \to +\infty} x \ln x = (+\infty) \times (+\infty) = +\infty \). 3. **Dérivée :** \( f'(x) = (1) \ln x + x (\frac{1}{x}) = \ln x + 1 \). 4. **Variations :** \( f'(x) = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} = \frac{1}{e} \). * Si \( x \in ]0; \frac{1}{e}[ \), \( \ln x < -1 \implies f'(x) < 0 \), donc \( f \) est décroissante. * Si \( x \in ]\frac{1}{e}; +\infty[ \), \( \ln x > -1 \implies f'(x) > 0 \), donc \( f \) est croissante. * Minimum local en \( x = \frac{1}{e} \), de valeur \( f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e} \). #### Exemple 2 : Étude de \( g(x) = \frac{\ln x}{x} \) 1. **Domaine de définition :** \( D_g = ]0; +\infty[ \). 2. **Limites :** * En \( 0^+ \) : \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty \). * En \( +\infty \) : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \) (par croissance comparée). 3. **Dérivée :** \( g'(x) = \frac{(\frac{1}{x})x - \ln x (1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \). 4. **Variations :** \( g'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e \). * Si \( x \in ]0; e[ \), \( \ln x < 1 \implies 1 - \ln x > 0 \implies g'(x) > 0 \), donc \( g \) est croissante. * Si \( x \in ]e; +\infty[ \), \( \ln x > 1 \implies 1 - \ln x < 0 \implies g'(x) < 0 \), donc \( g \) est décroissante. * Maximum local en \( x = e \), de valeur \( g(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \). #### Exemple 3 : Étude de \( h(x) = x^2 - \ln x \) 1. **Domaine de définition :** \( D_h = ]0; +\infty[ \). 2. **Limites :** * En \( 0^+ \) : \( \lim_{x \to 0^+} (x^2 - \ln x) = 0 - (-\infty) = +\infty \). * En \( +\infty \) : \( \lim_{x \to +\infty} (x^2 - \ln x) \). Forme indéterminée \( +\infty - +\infty \). Factorisons \( x^2 \) : \( \lim_{x \to +\infty} x^2(1 - \frac{\ln x}{x^2}) \). Par croissance comparée, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0 \). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty (1 - 0) = +\infty \). 3. **Dérivée :** \( h'(x) = 2x - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 1}{x} \). 4. **Variations :** \( h'(x) = 0 \iff 2x^2 - 1 = 0 \iff x^2 = \frac{1}{2} \iff x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) (car \( x > 0 \)). * Si \( x \in ]0; \frac{1}{\sqrt{2}}[ \), \( 2x^2 - 1 < 0 \implies h'(x) < 0 \), donc \( h \) est décroissante. * Si \( x \in ]\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty[ \), \( 2x^2 - 1 > 0 \implies h'(x) > 0 \), donc \( h \) est croissante. * Minimum local en \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \). ### Exercices #### Exercice 1 Soit la fonction \( f(x) = (x+1)\ln(x+1) \). 1. Déterminer son domaine de définition. 2. Calculer les limites aux bornes de son domaine. 3. Calculer sa dérivée \( f'(x) \). #### Exercice 2 Étudier la fonction \( g(x) = x - \ln x \). 1. Déterminer le domaine de définition. 2. Calculer les limites aux bornes de son domaine. 3. Calculer la dérivée \( g'(x) \). 4. Établir le tableau de variations de \( g \). #### Exercice 3 Déterminer les variations de la fonction \( h(x) = \ln(x^2+1) \). ### Devoir #### Devoir 1 On considère la fonction \( f \) définie sur \( ]0; +\infty[ \) par \( f(x) = \frac{1 + \ln x}{x} \). 1. Déterminer les limites de \( f(x) \) aux bornes de son domaine de définition. 2. Montrer que pour tout \( x \in ]0; +\infty[ \), \( f'(x) = \frac{-\ln x}{x^2} \). 3. En déduire le tableau de variations de \( f \). 4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de \( f \) au point d'abscisse \( x=1 \). #### Devoir 2 On considère la fonction \( g \) définie sur \( ]0; +\infty[ \) par \( g(x) = x \ln x - x \). 1. Déterminer le domaine de définition de \( g \). 2. Calculer \( g'(x) \). 3. En déduire une primitive de la fonction \( \ln x \) sur \( ]0; +\infty[ \). ### Résumé Pour étudier une fonction impliquant le logarithme népérien, il est essentiel de maîtriser : * Le **domaine de définition** (l'argument de \( \ln \) doit être \( >0 \)). * Les **limites fondamentales** et les **croissances comparées** pour les bornes et les formes indéterminées. * La **formule de dérivation** \( (\ln u)' = \frac{u'}{u} \) et les règles de dérivation générales. * L'**analyse du signe de la dérivée** pour établir le tableau de variations. Ces étapes permettent de comprendre le comportement global de la fonction et de dessiner son allure.