Limites et continuité d'une fonction numérique

# Limites et continuité d'une fonction numérique ## Introduction L'étude des limites et de la continuité constitue le socle de l'analyse mathématique. Elle permet de comprendre le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur particulière ou tend vers l'infini, et d'établir des propriétés fondamentales comme l'existence de solutions d'équations. Ce chapitre, au programme des séries C et E, prépare directement à l'étude de la dérivation et de l'intégration. --- ## I. Limites d'une fonction numérique ### I.1. Limite finie en un réel Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$, sauf éventuellement en $a$ lui-même. > **Définition (limite finie en un réel)** : On dit que $f(x)$ tend vers $\ell \in \mathbb{R}$ lorsque $x$ tend vers $a$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\eta > 0$ tel que pour tout $x$ vérifiant $0 < |x - a| < \eta$, on ait $|f(x) - \ell| < \varepsilon$. On note : > $$\lim_{x \to a} f(x) = \ell$$ **Interprétation graphique** : les valeurs de $f(x)$ se rapprochent arbitrairement près de $\ell$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ (sans nécessairement être égal à $a$). **Exemple** : Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$. Pour $x \neq 1$, on a $f(x) = x + 1$. Donc $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$, bien que $f(1)$ ne soit pas définie. ### I.2. Limite infinie en un réel > **Définition (limite infinie en un réel)** : On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $a$ si, pour tout $M > 0$, il existe $\eta > 0$ tel que $0 < |x - a| < \eta \Rightarrow f(x) > M$. On note $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$. De même, $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ si pour tout $M > 0$, il existe $\eta > 0$ tel que $0 < |x - a| < \eta \Rightarrow f(x) < -M$. **Exemple** : $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0} \dfrac{-1}{x^2} = -\infty$. ### I.3. Limites à gauche et à droite > **Définition (limites latérales)** : On appelle limite à gauche de $f$ en $a$ la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$. On la note $\lim_{x \to a^-} f(x)$. On appelle limite à droite de $f$ en $a$ la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$. On la note $\lim_{x \to a^+} f(x)$. > **Propriété (existence de la limite)** : La fonction $f$ admet une limite $\ell$ en $a$ si et seulement si elle admet une limite à gauche et une limite à droite en $a$, et que ces deux limites sont égales à $\ell$ : > $$\lim_{x \to a} f(x) = \ell \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \ell$$ **Exemple** : Soit $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ pour $x \neq 0$. Pour $x > 0$, $f(x) = 1$ donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$. Pour $x < 0$, $f(x) = -1$ donc $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Les limites latérales sont différentes, donc $\lim_{x \to 0} f(x)$ n'existe pas. ### I.4. Limites à l'infini > **Définition (limite finie à l'infini)** : On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A > 0$ tel que $x > A \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon$. On note $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$. La droite d'équation $y = \ell$ est alors une **asymptote horizontale** à la courbe de $f$ en $+\infty$. Définition analogue en $-\infty$. > **Définition (limite infinie à l'infini)** : On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $M > 0$, il existe $A > 0$ tel que $x > A \Rightarrow f(x) > M$. On note $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Définitions analogues pour $-\infty$. **Exemples** : - $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ - $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ ### I.5. Limites d'un quotient de fonctions > **Théorème (limite d'un quotient)** : Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \to a} g(x) = \ell'$ (où $a$ peut être un réel, $+\infty$ ou $-\infty$), avec $g(x) \neq 0$ au voisinage de $a$. > - Si $\ell' \neq 0$, alors $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\ell}{\ell'}$ > - Si $\ell' = 0$ et $\ell \neq 0$, alors $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ est infinie (le signe se détermine par la règle des signes) > - Si $\ell' = 0$ et $\ell = 0$, on est en présence d'une **forme indéterminée** $\dfrac{0}{0}$ : il faut lever l'indétermination (factorisation, quantité conjuguée, etc.) **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. On a une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On factorise : $$\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \quad \text{pour } x \neq 2$$ Donc $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$. **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 5x + 4}$. On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur : $$\dfrac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 5x + 4} = \dfrac{x^2\left(3 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{x^2}\right)} = \dfrac{3 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}}{1 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{x^2}}$$ Comme $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4}{x^2} = 0$, on obtient : $$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 5x + 4} = \dfrac{3}{1} = 3$$ ### I.6. Opérations sur les limites > **Théorème (somme et produit)** : Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des limites en $a$ (réel ou infini). On a le tableau suivant (où $\ell$ et $\ell'$ désignent des réels) : | Limite de $f$ | Limite de $g$ | Limite de $f + g$ | Limite de $f \times g$ | |---|---|---|---| | $\ell$ | $\ell'$ | $\ell + \ell'$ | $\ell \times \ell'$ | | $\ell$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ si $\ell > 0$, $-\infty$ si $\ell < 0$ | | $\ell$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ si $\ell > 0$, $+\infty$ si $\ell < 0$ | | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | | $+\infty$ | $-\infty$ | **FI** | $-\infty$ | | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | **Formes indéterminées (FI)** à connaître : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$. **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$. Forme indéterminée $+\infty - \infty$. On utilise la quantité conjuguée : $$\sqrt{x^2 + 1} - x = \dfrac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \dfrac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$$ Or $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) = +\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) = 0$. ### I.7. Comparaison de fonctions > **Théorème (théorème des gendarmes)** : Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions telles que $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ au voisinage de $a$ (réel ou infini). Si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$. > **Théorème (comparaison avec une fonction tendant vers l'infini)** : Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $a$ et si $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$. De même, si $f(x) \leq g(x)$ et $\lim_{x \to a} g(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$. **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$. Pour tout $x > 0$, on a $-1 \leq \sin x \leq 1$, donc $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$. Or $\lim_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$. Par le théorème des gendarmes : $$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$$ **Exemple résolu** : Montrer que $\lim_{x \to +\infty} (x + \sin x) = +\infty$. Pour tout $x$, on a $x + \sin x \geq x - 1$. Or $\lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty$. Par comparaison, $\lim_{x \to +\infty} (x + \sin x) = +\infty$. --- ## II. Continuité d'une fonction en un réel ### II.1. Définition de la continuité en un point > **Définition (continuité en un point)** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. On dit que $f$ est **continue en $a$** si : > $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ > Autrement dit, $f$ est continue en $a$ si les trois conditions suivantes sont réunies : > 1. $f$ est définie en $a$ ; > 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe ; > 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. **Interprétation graphique** : la courbe de $f$ ne présente pas de « trou » ni de « saut » au point d'abscisse $a$ ; on peut la tracer sans lever le crayon au voisinage de ce point. **Exemple** : La fonction $f(x) = x^2$ est continue en $a = 3$ car $\lim_{x \to 3} x^2 = 9 = f(3)$. **Contre-exemple** : La fonction $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$ n'est pas continue en $1$ car $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$, donc $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas. ### II.2. Continuité à gauche et à droite > **Définition (continuité latérale)** : On dit que $f$ est **continue à gauche** en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$. On dit que $f$ est **continue à droite** en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. > **Propriété** : $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à gauche et à droite en $a$. **Exemple** : Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 2 \\ 3x - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$. - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4 = f(2)$ : $f$ est continue à gauche en $2$. - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 4 = f(2)$ : $f$ est continue à droite en $2$. Donc $f$ est continue en $2$. ### II.3. Continuité sur un intervalle > **Définition (continuité sur un intervalle)** : On dit que $f$ est **continue sur un intervalle ouvert** $]a, b[$ si $f$ est continue en tout point de $]a, b[$. On dit que $f$ est **continue sur un intervalle fermé** $[a, b]$ si $f$ est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$. > **Propriétés (continuité des fonctions usuelles)** : > - Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$. > - La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$. > - La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$. > - Les fonctions trigonométriques $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$. > - La somme, le produit, le quotient (lorsque le dénominateur ne s'annule pas) et la composée de fonctions continues sont continus. **Exemple** : La fonction $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ est continue sur $]-\infty, 3[$ et sur $]3, +\infty[$ car c'est un quotient de polynômes dont le dénominateur ne s'annule pas sur ces intervalles. ### II.4. Lien entre continuité et limite > **Propriété fondamentale** : Si $f$ est continue en $a$, alors pour toute suite $(u_n)$ convergeant vers $a$, la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(a)$ : > $$\lim_{n \to +\infty} u_n = a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(a)$$ > **Propriété (composition des limites)** : Si $\lim_{x \to a} g(x) = b$ et si $f$ est continue en $b$, alors : > $$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(b)$$ **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}}$. On pose $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$. On a $\lim_{x \to 0} g(x) = \dfrac{1}{2}$. La fonction $f(t) = \sqrt{t}$ est continue en $\dfrac{1}{2}$ (car $\dfrac{1}{2} > 0$). Donc : $$\lim_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ --- ## III. Propriétés des fonctions continues sur un intervalle ### III.1. Signe constant > **Théorème (signe constant)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et ne s'annulant pas sur $I$. Alors $f$ garde un signe constant sur $I$ : soit $f(x) > 0$ pour tout $x \in I$, soit $f(x) < 0$ pour tout $x \in I$. **Démonstration** : Supposons par l'absurde qu'il existe $x_1, x_2 \in I$ tels que $f(x_1) > 0$ et $f(x_2) < 0$. Comme $f$ est continue sur $[x_1, x_2]$ (ou $[x_2, x_1]$), le théorème des valeurs intermédiaires (admis) implique l'existence d'un $c$ entre $x_1$ et $x_2$ tel que $f(c) = 0$, ce qui contredit l'hypothèse. Donc $f$ ne change pas de signe sur $I$. **Application** : Pour étudier le signe d'une fonction continue, il suffit de déterminer ses racines et de tester le signe sur chaque intervalle délimité par ces racines. **Exemple** : Soit $f(x) = x^2 - 3x + 2$ continue sur $\mathbb{R}$. Les racines sont $x = 1$ et $x = 2$. On teste : $f(0) = 2 > 0$, $f(1,5) = -0,25 < 0$, $f(3) = 2 > 0$. Donc $f(x) > 0$ sur $]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]1, 2[$. ### III.2. Théorème des valeurs intermédiaires (admis) > **Théorème (valeurs intermédiaires)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$. **Interprétation graphique** : la courbe de $f$ passe par toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$. > **Corollaire (existence d'une solution)** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \cdot f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$. **Exemple résolu** : Montrer que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet au moins une solution dans $]0, 1[$. Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. $f$ est continue sur $[0, 1]$ (fonction polynôme). On calcule : - $f(0) = 1 > 0$ - $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$ Comme $f(0) \cdot f(1) = -1 < 0$, par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]0, 1[$. **Exemple résolu** : Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet une solution dans $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$. Soit $f(x) = \cos x - x$. $f$ est continue sur $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$. On a : - $f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$ - $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} = 0 - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2} < 0$ Donc $f(0) \cdot f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < 0$, et par le corollaire, il existe $c \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $f(c) = 0$, c'est-à-dire $\cos c = c$. ### III.3. Unicité de la solution > **Théorème (unicité)** : Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, alors la solution de l'équation $f(x) = k$ (lorsqu'elle existe) est unique. **Exemple résolu** : Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. On a $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$, donc il existe au moins une solution dans $]0, 1[$. Pour l'unicité, montrons que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour $x_1 < x_2$ : $$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^3 - x_1^3) + (x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 1)$$ Or $x_2 - x_1 > 0$ et $x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 1 > 0$ (car $x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 \geq 0$ pour tous réels). Donc $f(x_2) - f(x_1) > 0$, ce qui prouve que $f$ est strictement croissante. La solution est donc unique. ### III.4. Prolongement par continuité > **Définition (prolongement par continuité)** : Soit $f$ une fonction définie sur $I \setminus \{a\}$ (où $a \notin I$ ou $f$ n'est pas définie en $a$). Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ existe et est finie, alors la fonction $\tilde{f}$ définie par : > $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ \ell & \text{si } x = a \end{cases}$$ > est appelée le **prolongement par continuité** de $f$ en $a$. La fonction $\tilde{f}$ est continue en $a$. **Exemple résolu** : Prolonger par continuité la fonction $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ en $0$. $f$ est définie sur $\mathbb{R}^*$. On sait que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ (limite classique). Le prolongement par continuité est : $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ $\tilde{f}$ est continue sur $\mathbb{R}$. **Exemple résolu** : Prolonger par continuité la fonction $g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ en $2$. Pour $x \neq 2$, $g(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$. Donc $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$. Le prolongement par continuité est : $$\tilde{g}(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\ 4 & \text{si } x = 2 \end{cases}$$ $\tilde{g}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\tilde{g}(x) = x + 2$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. ### III.5. Illustration graphique : fonction continue et théorème des valeurs intermédiaires ```onbuch-plot {"title":"Fonction f(x) = x^3 - 3x + 1 sur [-2, 2]","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^3 - 3x + 1","points":[[-2,-1],[-1.9,-0.159],[-1.8,0.568],[-1.7,1.187],[-1.6,1.704],[-1.5,2.125],[-1.4,2.456],[-1.3,2.703],[-1.2,2.872],[-1.1,2.969],[-1,3],[-0.9,2.971],[-0.8,2.888],[-0.7,2.757],[-0.6,2.584],[-0.5,2.375],[-0.4,2.136],[-0.3,1.873],[-0.2,1.592],[-0.1,1.299],[0,1],[0.1,0.701],[0.2,0.408],[0.3,0.127],[0.4,-0.136],[0.5,-0.375],[0.6,-0.584],[0.7,-0.757],[0.8,-0.888],[0.9,-0.971],[1,-1],[1.1,-0.969],[1.2,-0.872],[1.3,-0.703],[1.4,-0.456],[1.5,-0.125],[1.6,0.296],[1.7,0.813],[1.8,1.432],[1.9,2.159],[2,3]]}]} ``` La courbe ci-dessus illustre la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$. On observe que $f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = -1 < 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, la courbe coupe l'axe des abscisses au moins une fois entre $0$ et $1$. En réalité, on peut vérifier que $f$ possède trois racines réelles : une dans $]-2, -1[$, une dans $]0, 1[$ et une dans $]1, 2[$. ### III.6. Exemple complet : étude d'une fonction homographique Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. **1. Limites aux bornes du domaine de définition** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)} = \dfrac{2}{1} = 2$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ (même calcul) - $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ : le numérateur tend vers $3 > 0$, le dénominateur tend vers $0$ par valeurs négatives (car $x - 1 < 0$ quand $x < 1$). Donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. - $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ : le numérateur tend vers $3 > 0$, le dénominateur tend vers $0$ par valeurs positives. Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. **2. Asymptotes** - La droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$. - La droite $x = 1$ est asymptote verticale. **3. Continuité** $f$ est continue sur $]-\infty, 1[$ et sur $]1, +\infty[$ car c'est un quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur ces intervalles. $f$ n'est pas définie en $1$, donc elle n'est pas continue en $1$. **4. Tracé de la courbe** ```onbuch-plot {"title":"Fonction homographique f(x) = (2x+1)/(x-1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (2x+1)/(x-1)","points":[[-10,1.727],[-9,1.7],[-8,1.667],[-7,1.625],[-6,1.571],[-5,1.5],[-4,1.4],[-3,1.25],[-2,1],[-1,0.5],[0,-1],[0.5,-4],[0.8,-13],[0.9,-28],[1.1,32],[1.2,17],[1.5,8],[2,5],[3,3.5],[4,3],[5,2.75],[6,2.6],[7,2.5],[8,2.429],[9,2.375],[10,2.333]]}]} ``` **5. Prolongement par continuité ?** $f$ n'admet pas de limite finie en $1$ (les limites latérales sont infinies), donc $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $1$. --- ## Conclusion L'étude des limites et de la continuité fournit des outils essentiels pour l'analyse des fonctions numériques. La maîtrise du calcul des limites (notamment la levée des formes indéterminées), la compréhension de la continuité et l'application du théorème des valeurs intermédiaires permettent de résoudre des problèmes concrets comme la localisation de racines d'équations. Ces notions constituent les fondations sur lesquelles reposent la dérivation, l'étude des variations et l'intégration, qui seront abordées dans les chapitres suivants. La capacité à prolonger une fonction par continuité et à exploiter les propriétés des fonctions continues sur un intervalle est indispensable pour la résolution de problèmes en série C et E.