Sphères

# Sphères ## Introduction L'étude de la sphère constitue l'un des aboutissements de la géométrie analytique dans l'espace. Après avoir étudié le plan et la droite dans l'espace, nous abordons ici la sphère, surface fondamentale qui généralise le cercle à trois dimensions. Ce chapitre établit les équations cartésiennes des sphères, analyse la nature des ensembles définis par une équation du second degré particulière, puis étudie les intersections d'une sphère avec une droite et avec un plan. Ces notions sont essentielles pour la résolution de problèmes géométriques dans l'espace et trouvent des applications dans de nombreux domaines scientifiques. ## I. Équation cartésienne d'une sphère connaissant le centre et le rayon ### I.1. Définition et équation générale **Définition.** On appelle sphère de centre $O(a; b; c)$ et de rayon $R$ (avec $R > 0$) l'ensemble des points $M(x; y; z)$ de l'espace tels que $OM = R$. **Propriété fondamentale.** Un point $M(x; y; z)$ appartient à la sphère de centre $O(a; b; c)$ et de rayon $R$ si et seulement si : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$ Cette équation est appelée **équation cartésienne** de la sphère. > **À RETENIR** — Équation cartésienne d'une sphère : La sphère de centre $O(a; b; c)$ et de rayon $R$ a pour équation cartésienne : > $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$ > Réciproquement, toute équation de cette forme représente une sphère de centre $O(a; b; c)$ et de rayon $R$. **Démonstration.** Soit $M(x; y; z)$ un point de l'espace. Par définition de la distance dans un repère orthonormé : $$OM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2}$$ Le point $M$ appartient à la sphère de centre $O$ et de rayon $R$ si et seulement si $OM = R$, c'est-à-dire : $$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} = R$$ Comme $R > 0$, on élève au carré pour obtenir : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$ ### I.2. Exemples de détermination d'équation **Exemple 1.** Déterminons l'équation cartésienne de la sphère de centre $O(2; -1; 3)$ et de rayon $R = 5$. En appliquant la formule : $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$$ En développant : $$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 6z + 9 = 25$$ $$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + 14 = 25$$ $$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 11 = 0$$ **Exemple 2.** Déterminons l'équation de la sphère de diamètre $[AB]$ où $A(1; 2; -1)$ et $B(3; 0; 5)$. Le centre $O$ est le milieu de $[AB]$ : $$O\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{-1+5}{2}\right) = O(2; 1; 2)$$ Le rayon est : $$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(3-1)^2 + (0-2)^2 + (5+1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4 + 4 + 36}}{2} = \frac{\sqrt{44}}{2} = \sqrt{11}$$ L'équation est donc : $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 11$$ **Exemple 3.** Déterminons l'équation de la sphère passant par le point $M(1; 1; 1)$ et de centre $O(0; 0; 0)$. Le rayon est $R = OM = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$. L'équation est : $$x^2 + y^2 + z^2 = 3$$ ### I.3. Cas particuliers **Sphère centrée à l'origine.** Si le centre est $O(0; 0; 0)$, l'équation devient : $$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$$ **Sphère tangente à un plan de coordonnées.** Si la sphère de centre $O(a; b; c)$ est tangente au plan $(xOy)$ d'équation $z = 0$, alors $R = |c|$. > **À RETENIR** — Pour déterminer l'équation d'une sphère, il faut connaître son centre et son rayon. Le rayon peut être obtenu par : > - la distance du centre à un point de la sphère ; > - la moitié de la longueur d'un diamètre ; > - la distance du centre à un plan tangent (pour une sphère tangente à un plan). ## II. Nature et éléments caractéristiques de l'ensemble défini par $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ ### II.1. Mise sous forme canonique Considérons l'équation générale : $$x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$$ où $a$, $b$, $c$, $d$ sont des réels. **Méthode.** On utilise la forme canonique pour chaque variable : $$x^2 + ax = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}$$ $$y^2 + by = \left(y + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}$$ $$z^2 + cz = \left(z + \frac{c}{2}\right)^2 - \frac{c^2}{4}$$ En substituant dans l'équation : $$\left(x + \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4} + \left(y + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + \left(z + \frac{c}{2}\right)^2 - \frac{c^2}{4} + d = 0$$ $$\left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{b}{2}\right)^2 + \left(z + \frac{c}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d$$ Posons $\Omega\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}; -\frac{c}{2}\right)$ et $S = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d$. L'équation devient : $$(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2 = S$$ ### II.2. Discussion selon la valeur de $S$ > **À RETENIR** — **Théorème de classification.** L'ensemble des points $M(x; y; z)$ vérifiant $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ est : > - si $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d > 0$ : une **sphère** de centre $\Omega\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}; -\frac{c}{2}\right)$ et de rayon $R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d}$ ; > - si $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d = 0$ : le **point** $\Omega\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}; -\frac{c}{2}\right)$ (sphère de rayon nul) ; > - si $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d < 0$ : l'**ensemble vide** (aucun point de l'espace ne vérifie l'équation). **Démonstration.** On a établi que l'équation équivaut à : $$(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2 = S$$ où $S = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d$. - Si $S > 0$ : la somme de trois carrés est égale à un nombre strictement positif. L'ensemble est la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{S}$. - Si $S = 0$ : la somme de trois carrés est nulle, ce qui impose $x = x_\Omega$, $y = y_\Omega$, $z = z_\Omega$. L'ensemble se réduit au point $\Omega$. - Si $S < 0$ : une somme de carrés ne peut être négative. L'ensemble est vide. ### II.3. Exemples détaillés **Exemple 1.** Étudions l'ensemble $E_1$ défini par : $$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z + 5 = 0$$ On identifie : $a = -4$, $b = 6$, $c = -2$, $d = 5$. Forme canonique : $$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + (z - 1)^2 - 1 + 5 = 0$$ $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 9$$ On a $S = 9 > 0$. L'ensemble $E_1$ est la sphère de centre $\Omega(2; -3; 1)$ et de rayon $R = 3$. **Exemple 2.** Étudions l'ensemble $E_2$ défini par : $$x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 6z + 14 = 0$$ On identifie : $a = 2$, $b = -4$, $c = 6$, $d = 14$. Forme canonique : $$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z + 3)^2 - 9 + 14 = 0$$ $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 0$$ On a $S = 0$. L'ensemble $E_2$ se réduit au point $\Omega(-1; 2; -3)$. **Exemple 3.** Étudions l'ensemble $E_3$ défini par : $$x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 1 = 0$$ Forme canonique : $$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + z^2 + 1 = 0$$ $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4$$ On a $S = 4 > 0$. L'ensemble $E_3$ est la sphère de centre $\Omega(1; -2; 0)$ et de rayon $R = 2$. **Exemple 4.** Étudions l'ensemble $E_4$ défini par : $$x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 4z + 10 = 0$$ Forme canonique : $$(x + 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 + 10 = 0$$ $$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = -4$$ On a $S = -4 < 0$. L'ensemble $E_4$ est vide. > **À RETENIR** — **Méthode pratique.** Pour étudier l'ensemble défini par $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ : > 1. Mettre sous forme canonique (regrouper les termes en $x$, en $y$, en $z$) ; > 2. Calculer $S = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d$ ; > 3. Conclure selon le signe de $S$. ## III. Intersection d'une sphère et d'une droite de l'espace ### III.1. Position relative d'une droite et d'une sphère Soit $\mathcal{S}$ une sphère de centre $O(a; b; c)$ et de rayon $R$, et soit $\mathcal{D}$ une droite de l'espace. **Théorème.** Soit $H$ le projeté orthogonal du centre $O$ de la sphère sur la droite $\mathcal{D}$, et soit $d = OH$ la distance du centre à la droite. Trois cas se présentent : - Si $d > R$ : la droite $\mathcal{D}$ ne coupe pas la sphère (aucun point commun) ; - Si $d = R$ : la droite $\mathcal{D}$ est tangente à la sphère en $H$ (un seul point commun) ; - Si $d < R$ : la droite $\mathcal{D}$ coupe la sphère en deux points distincts. **Démonstration.** Pour tout point $M$ de la droite $\mathcal{D}$, on a $OM^2 = OH^2 + HM^2$ (théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$). Un point $M$ de $\mathcal{D}$ appartient à la sphère si et seulement si $OM = R$, soit $OH^2 + HM^2 = R^2$, c'est-à-dire $HM^2 = R^2 - d^2$. - Si $d > R$ : $R^2 - d^2 < 0$, aucune solution pour $HM^2$ ; - Si $d = R$ : $HM^2 = 0$, donc $M = H$ ; - Si $d < R$ : $HM = \sqrt{R^2 - d^2}$, deux points symétriques par rapport à $H$. ### III.2. Méthode analytique de résolution **Méthode générale.** Pour déterminer l'intersection d'une sphère $\mathcal{S}$ d'équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ et d'une droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_A; y_A; z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(u_1; u_2; u_3)$ : 1. Écrire une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ : $$\begin{cases} x = x_A + tu_1 \\ y = y_A + tu_2 \\ z = z_A + tu_3 \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$ 2. Substituer ces expressions dans l'équation de la sphère ; 3. Résoudre l'équation du second degré en $t$ obtenue ; 4. Discuter selon le discriminant $\Delta$ : - $\Delta < 0$ : pas d'intersection ; - $\Delta = 0$ : une solution, la droite est tangente ; - $\Delta > 0$ : deux solutions, la droite coupe la sphère en deux points. > **À RETENIR** — L'intersection d'une sphère et d'une droite se détermine en substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation de la sphère. On obtient une équation du second degré en $t$ dont le discriminant permet de conclure. ### III.3. Exemple entièrement résolu **Énoncé.** Soit la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(1; 0; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1; 1; -1)$. **1. Déterminer le centre et le rayon de $\mathcal{S}$.** Mise sous forme canonique : $$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 - 11 = 0$$ $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25$$ Le centre est $O(1; -2; 3)$ et le rayon $R = 5$. **2. Déterminer l'intersection de $\mathcal{S}$ et $\mathcal{D}$.** Représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ : $$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 2 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$ Substituons dans l'équation de la sphère : $$(1 + t - 1)^2 + (t + 2)^2 + (2 - t - 3)^2 = 25$$ $$t^2 + (t + 2)^2 + (-t - 1)^2 = 25$$ $$t^2 + t^2 + 4t + 4 + t^2 + 2t + 1 = 25$$ $$3t^2 + 6t + 5 = 25$$ $$3t^2 + 6t - 20 = 0$$ Calculons le discriminant : $$\Delta = 36 - 4 \times 3 \times (-20) = 36 + 240 = 276 = 4 \times 69$$ $$\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{69}$$ Les solutions sont : $$t_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{69}}{6} = \frac{-3 + \sqrt{69}}{3}$$ $$t_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{69}}{6} = \frac{-3 - \sqrt{69}}{3}$$ Les points d'intersection sont : $$M_1\left(1 + \frac{-3 + \sqrt{69}}{3}; \frac{-3 + \sqrt{69}}{3}; 2 - \frac{-3 + \sqrt{69}}{3}\right)$$ $$M_1\left(\frac{\sqrt{69}}{3}; \frac{-3 + \sqrt{69}}{3}; \frac{9 - \sqrt{69}}{3}\right)$$ $$M_2\left(1 + \frac{-3 - \sqrt{69}}{3}; \frac{-3 - \sqrt{69}}{3}; 2 - \frac{-3 - \sqrt{69}}{3}\right)$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{69}}{3}; \frac{-3 - \sqrt{69}}{3}; \frac{9 + \sqrt{69}}{3}\right)$$ La droite $\mathcal{D}$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ en deux points distincts. ### III.4. Cas de la tangence **Exemple.** Soit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $O(0; 0; 0)$ et de rayon $R = 2$, et la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(2; 0; 0)$ de vecteur directeur $\vec{u}(0; 1; 1)$. Représentation paramétrique : $$\begin{cases} x = 2 \\ y = t \\ z = t \end{cases}$$ Substituons dans $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ : $$4 + t^2 + t^2 = 4$$ $$2t^2 = 0$$ $$t = 0$$ Le discriminant est nul. La droite est tangente à la sphère au point $H(2; 0; 0)$. **Vérification géométrique.** Le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal{D}$ est $H(2; 0; 0)$ et $OH = 2 = R$. La droite est bien tangente. ### III.5. Représentation graphique ```onbuch-svg <svg width="400" height="300" viewBox="0 0 400 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <ellipse cx="200" cy="150" rx="120" ry="80" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/> <ellipse cx="200" cy="150" rx="120" ry="30" fill="none" stroke="blue" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/> <line x1="80" y1="150" x2="320" y2="150" stroke="blue" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/> <circle cx="200" cy="150" r="3" fill="red"/> <text x="205" y="145" font-size="12" fill="red">O</text> <line x1="200" y1="150" x2="280" y2="80" stroke="green" stroke-width="2"/> <circle cx="280" cy="80" r="3" fill="green"/> <text x="285" y="75" font-size="12" fill="green">M₁</text> <line x1="200" y1="150" x2="120" y2="220" stroke="green" stroke-width="2"/> <circle cx="120" cy="220" r="3" fill="green"/> <text x="125" y="235" font-size="12" fill="green">M₂</text> <line x1="100" y1="250" x2="300" y2="50" stroke="orange" stroke-width="2"/> <text x="305" y="45" font-size="12" fill="orange">(D)</text> <text x="10" y="20" font-size="14" fill="black">Intersection sphère-droite : 2 points</text> </svg> ``` ## IV. Intersection d'une sphère et d'un plan de l'espace ### IV.1. Position relative d'un plan et d'une sphère Soit $\mathcal{S}$ une sphère de centre $O(a; b; c)$ et de rayon $R$, et soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace. **Théorème.** Soit $H$ le projeté orthogonal du centre $O$ sur le plan $\mathcal{P}$, et soit $d = OH$ la distance du centre au plan. Trois cas se présentent : - Si $d > R$ : le plan $\mathcal{P}$ ne coupe pas la sphère (aucun point commun) ; - Si $d = R$ : le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère en $H$ (un seul point commun) ; - Si $d < R$ : le plan $\mathcal{P}$ coupe la sphère suivant un **cercle** contenu dans le plan $\mathcal{P}$, de centre $H$ et de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. **Démonstration.** Pour tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$, on a $OM^2 = OH^2 + HM^2$ (théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$). Un point $M$ de $\mathcal{P}$ appartient à la sphère si et seulement si $OM = R$, soit $OH^2 + HM^2 = R^2$, c'est-à-dire $HM^2 = R^2 - d^2$. - Si $d > R$ : $R^2 - d^2 < 0$, aucune solution ; - Si $d = R$ : $HM^2 = 0$, donc $M = H$ ; - Si $d < R$ : $HM = \sqrt{R^2 - d^2}$, l'ensemble des points $M$ du plan situés à une distance $\sqrt{R^2 - d^2}$ de $H$ est le cercle de centre $H$ et de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. > **À RETENIR** — **Intersection sphère-plan.** L'intersection d'une sphère et d'un plan est : > - vide si la distance du centre au plan est supérieure au rayon ; > - un point (plan tangent) si la distance du centre au plan est égale au rayon ; > - un cercle si la distance du centre au plan est inférieure au rayon. Ce cercle a pour centre le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan et pour rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. ### IV.2. Méthode analytique de résolution **Méthode générale.** Pour déterminer l'intersection d'une sphère $\mathcal{S}$ d'équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ et d'un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ux + vy + wz + h = 0$ : 1. Calculer la distance du centre $O$ au plan : $$d = \frac{|ua + vb + wc + h|}{\sqrt{u^2 + v^2 + w^2}}$$ 2. Comparer $d$ et $R$ pour déterminer la nature de l'intersection ; 3. Si $d < R$, déterminer le centre $H$ du cercle d'intersection (projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal{P}$) et le rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. ### IV.3. Exemple entièrement résolu **Énoncé.** Soit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $O(1; 2; -1)$ et de rayon $R = 4$, et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 3 = 0$. **1. Déterminer la distance de $O$ à $\mathcal{P}$.** $$d = \frac{|2 \times 1 - 1 \times 2 + 2 \times (-1) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 - 2 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-5|}{3} = \frac{5}{3}$$ **2. Comparer $d$ et $R$.** $d = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 < 4 = R$. Le plan coupe la sphère suivant un cercle. **3. Déterminer le centre $H$ du cercle d'intersection.** Le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal{P}$ est obtenu en écrivant que $\overrightarrow{OH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(2; -1; 2)$ du plan. Soit $H(x_H; y_H; z_H)$. On a $\overrightarrow{OH} = \lambda \vec{n}$, donc : $$\begin{cases} x_H - 1 = 2\lambda \\ y_H - 2 = -\lambda \\ z_H + 1 = 2\lambda \end{cases}$$ D'où : $$\begin{cases} x_H = 1 + 2\lambda \\ y_H = 2 - \lambda \\ z_H = -1 + 2\lambda \end{cases}$$ Comme $H \in \mathcal{P}$, on substitue : $$2(1 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + 2(-1 + 2\lambda) - 3 = 0$$ $$2 + 4\lambda - 2 + \lambda - 2 + 4\lambda - 3 = 0$$ $$9\lambda - 5 = 0$$ $$\lambda = \frac{5}{9}$$ Donc : $$H\left(1 + \frac{10}{9}; 2 - \frac{5}{9}; -1 + \frac{10}{9}\right) = H\left(\frac{19}{9}; \frac{13}{9}; \frac{1}{9}\right)$$ **4. Déterminer le rayon du cercle d'intersection.** $$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{16 - \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{144 - 25}{9}} = \sqrt{\frac{119}{9}} = \frac{\sqrt{119}}{3}$$ **5. Équation du cercle d'intersection.** Le cercle d'intersection est l'ensemble des points $M(x; y; z)$ vérifiant : $$\begin{cases} 2x - y + 2z - 3 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 16 \end{cases}$$ ou encore : $$\begin{cases} 2x - y + 2z - 3 = 0 \\ \left(x - \frac{19}{9}\right)^2 + \left(y - \frac{13}{9}\right)^2 + \left(z - \frac{1}{9}\right)^2 = \frac{119}{9} \end{cases}$$ ### IV.4. Cas du plan tangent **Définition.** Un plan $\mathcal{P}$ est tangent à une sphère $\mathcal{S}$ de centre $O$ en un point $H$ si $\mathcal{P}$ passe par $H$ et est perpendiculaire au rayon $[OH]$. **Propriété.** Le plan tangent en $H$ à la sphère de centre $O$ a pour équation : $$(x_H - a)(x - x_H) + (y_H - b)(y - y_H) + (z_H - c)(z - z_H) = 0$$ où $O(a; b; c)$ est le centre de la sphère. **Démonstration.** Le plan tangent en $H$ est le plan passant par $H$ et orthogonal au vecteur $\overrightarrow{OH}(x_H - a; y_H - b; z_H - c)$. Un point $M(x; y; z)$ appartient à ce plan si et seulement si $\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{OH} = 0$, d'où la formule. **Exemple.** Déterminons le plan tangent à la sphère de centre $O(1; 0; 2)$ et de rayon $R = 3$ au point $H(1; 3; 2)$. Vérifions d'abord que $H$ appartient à la sphère : $OH = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = 3 = R$. C'est bien le cas. Le plan tangent a pour équation : $$(1 - 1)(x - 1) + (3 - 0)(y - 3) + (2 - 2)(z - 2) = 0$$ $$3(y - 3) = 0$$ $$y = 3$$ Le plan tangent est le plan d'équation $y = 3$. ### IV.5. Représentation graphique ```onbuch-svg <svg width="400" height="300" viewBox="0 0 400 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <ellipse cx="200" cy="150" rx="130" ry="90" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/> <ellipse cx="200" cy="150" rx="130" ry="35" fill="none" stroke="blue" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/> <circle cx="200" cy="150" r="3" fill="red"/> <text x="205" y="145" font-size="12" fill="red">O</text> <ellipse cx="200" cy="150" rx="70" ry="25" fill="none" stroke="green" stroke-width="2"/> <circle cx="200" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="205" y="165" font-size="12" fill="green">H</text> <line x1="200" y1="150" x2="270" y2="150" stroke="green" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,3"/> <text x="230" y="145" font-size="10" fill="green">r</text> <line x1="200" y1="150" x2="200" y2="60" stroke="red" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,3"/> <text x="205" y="105" font-size="10" fill="red">d</text> <rect x="30" y="180" width="340" height="80" fill="none" stroke="purple" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/> <text x="310" y="270" font-size="12" fill="purple">Plan (P)</text> <text x="10" y="20" font-size="14" fill="black">Intersection sphère-plan : cercle de centre H</text> </svg> ``` ### IV.6. Exemple de plan tangent **Énoncé.** Soit la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$. Déterminer les plans tangents à $\mathcal{S}$ parallèles au plan $xOy$. **1. Centre et rayon de $\mathcal{S}$.** $$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 + 5 = 0$$ $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9$$ Centre $O(1; -2; 3)$, rayon $R = 3$. **2. Plans parallèles à $xOy$.** Ces plans ont pour équation $z = k$ où $k \in \mathbb{R}$. **3. Condition de tangence.** La distance de $O$ au plan $z = k$ est $d = |3 - k|$. Pour la tangence, on doit avoir $d = R = 3$ : $$|3 - k| = 3$$ $$3 - k = 3 \quad \text{ou} \quad 3 - k = -3$$ $$k = 0 \quad \text{ou} \quad k = 6$$ Les plans tangents sont $z = 0$ et $z = 6$. ## V. Synthèse et applications ### V.1. Tableau récapitulatif des intersections > **À RETENIR** — **Tableau de synthèse.** > > | Intersection | Condition | Résultat | > |---|---|---| > | Sphère et droite | $d > R$ | Ensemble vide | > | Sphère et droite | $d = R$ | Un point (tangence) | > | Sphère et droite | $d < R$ | Deux points | > | Sphère et plan | $d > R$ | Ensemble vide | > | Sphère et plan | $d = R$ | Un point (plan tangent) | > | Sphère et plan | $d < R$ | Un cercle de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ | > > où $d$ est la distance du centre de la sphère à la droite ou au plan. ### V.2. Problème de synthèse **Énoncé.** On considère la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 1 = 0$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y + z - 1 = 0$. **1. Déterminer le centre et le rayon de $\mathcal{S}$.** $$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + z^2 - 1 = 0$$ $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 6$$ Centre $O(1; -2; 0)$, rayon $R = \sqrt{6}$. **2. Étudier l'intersection de $\mathcal{S}$ et $\mathcal{P}$.** Distance de $O$ à $\mathcal{P}$ : $$d = \frac{|1 + (-2) + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Comparons : $d^2 = \frac{4}{3}$ et $R^2 = 6$. On a $d < R$ car $\frac{4}{3} < 6$. Le plan coupe la sphère suivant un cercle. Rayon du cercle : $$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{6 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{14}{3}}$$ **3. Déterminer le centre $H$ du cercle d'intersection.** Le vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(1; 1; 1)$. Le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal{P}$ vérifie $\overrightarrow{OH} = \lambda \vec{n}$ : $$\begin{cases} x_H = 1 + \lambda \\ y_H = -2 + \lambda \\ z_H = \lambda \end{cases}$$ Comme $H \in \mathcal{P}$ : $$(1 + \lambda) + (-2 + \lambda) + \lambda - 1 = 0$$ $$3\lambda - 2 = 0$$ $$\lambda = \frac{2}{3}$$ Donc : $$H\left(\frac{5}{3}; -\frac{4}{3}; \frac{2}{3}\right)$$ **4. Vérification.** La distance $OH$ doit être égale à $d$ : $$OH = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ C'est bien la distance calculée précédemment. ### V.3. Application : sphère circonscrite à un tétraèdre **Énoncé.** Déterminer l'équation de la sphère passant par les quatre points $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$ et $D(1; 1; 1)$. **Résolution.** L'équation générale d'une sphère est : $$x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$$ En écrivant que $A$, $B$, $C$, $D$ appartiennent à la sphère : Pour $A(1; 0; 0)$ : $1 + a + d = 0$, donc $a + d = -1$. Pour $B(0; 1; 0)$ : $1 + b + d = 0$, donc $b + d = -1$. Pour $C(0; 0; 1)$ : $1 + c + d = 0$, donc $c + d = -1$. Pour $D(1; 1; 1)$ : $3 + a + b + c + d = 0$. Des trois premières équations, on déduit $a = b = c = -1 - d$. En substituant dans la quatrième : $$3 + 3(-1 - d) + d = 0$$ $$3 - 3 - 3d + d = 0$$ $$-2d = 0$$ $$d = 0$$ D'où $a = b = c = -1$. L'équation de la sphère est : $$x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z = 0$$ Le centre est $O\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$ et le rayon $R = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. ## Conclusion L'étude des sphères en géométrie analytique de l'espace nous a permis d'établir des résultats fondamentaux. L'équation cartésienne $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ caractérise complètement une sphère à partir de son centre et de son rayon. La forme générale $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ se ramène, par la mise sous forme canonique, à l'un des trois cas : sphère, point ou ensemble vide. Les intersections avec une droite ou un plan obéissent à des critères simples fondés sur la distance du centre à l'élément considéré : deux points, un point de tangence, un cercle ou l'ensemble vide. Ces outils permettent de résoudre de nombreux problèmes géométriques dans l'espace, notamment la détermination de sphères circonscrites, de plans tangents et de sections planes de sphères. La maîtrise de ces techniques est indispensable pour aborder l'étude des surfaces de l'espace et leurs applications en sciences physiques et en ingénierie.