Généralités sur les fonctions numériques

# Généralités sur les fonctions numériques ## Introduction L'étude des fonctions numériques constitue l'un des piliers des mathématiques au lycée. En classe de Première C et E, ce chapitre vise à consolider et approfondir les notions acquises en Seconde, tout en introduisant des outils fondamentaux pour l'analyse : la notion d'application (injective, surjective, bijective), la composition, les opérations algébriques sur les fonctions, ainsi que l'étude de leurs propriétés géométriques (parité, symétries, périodicité). Ces concepts sont indispensables pour la résolution de problèmes concrets (modélisation, optimisation, phénomènes périodiques) et préparent l'étude de la dérivation et des limites en Terminale. --- ## I. Notions de fonction, application injective/surjective/bijective, composition des applications ### I.1. Notion de fonction et d'application > **Définition (fonction)** : Une fonction $f$ d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ est une relation qui, à chaque élément $x$ de $E$, associe **au plus un** élément $y$ de $F$. On note $f : E \to F$, $x \mapsto f(x)$. L'ensemble $E$ est l'ensemble de départ, $F$ l'ensemble d'arrivée. L'ensemble des $x \in E$ pour lesquels $f(x)$ est défini est le **domaine de définition** $D_f$. > **Définition (application)** : Une **application** est une fonction définie sur tout l'ensemble de départ $E$, c'est-à-dire que pour tout $x \in E$, $f(x)$ existe et est unique. On écrit $f : E \to F$. **Exemple** : La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ définie sur $\mathbb{R}$ n'est pas une application car elle n'est pas définie pour $x < 0$. En revanche, $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \sqrt{x}$ est une application. **Image et antécédent** : Pour $x \in D_f$, $f(x)$ est l'**image** de $x$ par $f$. Pour $y \in F$, tout $x$ tel que $f(x) = y$ est un **antécédent** de $y$. ### I.2. Application injective > **Définition (injectivité)** : Une application $f : E \to F$ est **injective** si tout élément de $F$ admet **au plus un** antécédent dans $E$. Autrement dit : > $$\forall (x_1, x_2) \in E^2, \quad f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$$ **Exemple** : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$ est injective. En effet, si $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$, alors $2x_1 = 2x_2$, donc $x_1 = x_2$. **Contre-exemple** : $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$ n'est pas injective car $g(2) = g(-2) = 4$ mais $2 \neq -2$. ### I.3. Application surjective > **Définition (surjectivité)** : Une application $f : E \to F$ est **surjective** si tout élément de $F$ admet **au moins un** antécédent dans $E$. Autrement dit : > $$\forall y \in F, \ \exists x \in E \ \text{tel que} \ f(x) = y$$ **Exemple** : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ est surjective car pour tout $y \in \mathbb{R}$, il existe $x = \sqrt[3]{y}$ tel que $f(x) = y$. **Contre-exemple** : $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$ n'est pas surjective car $-1$ n'a pas d'antécédent (un carré est toujours positif ou nul). ### I.4. Application bijective > **Définition (bijectivité)** : Une application $f : E \to F$ est **bijective** si elle est **à la fois injective et surjective**. Dans ce cas, tout élément de $F$ admet **exactement un** antécédent dans $E$. On dit que $f$ réalise une **bijection** de $E$ sur $F$. **Propriété fondamentale** : Si $f : E \to F$ est bijective, alors il existe une application unique $f^{-1} : F \to E$, appelée **application réciproque**, telle que : $$f^{-1} \circ f = \text{Id}_E \quad \text{et} \quad f \circ f^{-1} = \text{Id}_F$$ où $\text{Id}_E$ désigne l'application identité de $E$. **Exemple** : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 2$ est bijective. Sa réciproque est $f^{-1}(y) = \dfrac{y + 2}{3}$. **Démonstration** : Montrons que $f$ est injective : si $3x_1 - 2 = 3x_2 - 2$, alors $3x_1 = 3x_2$, donc $x_1 = x_2$. Montrons que $f$ est surjective : pour tout $y \in \mathbb{R}$, posons $x = \dfrac{y+2}{3} \in \mathbb{R}$ ; alors $f(x) = 3 \cdot \dfrac{y+2}{3} - 2 = y + 2 - 2 = y$. Donc $f$ est bijective. ### I.5. Composition des applications > **Définition (composition)** : Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications. La **composée** de $g$ par $f$, notée $g \circ f$, est l'application de $E$ vers $G$ définie par : > $$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) \quad \text{pour tout } x \in E$$ **Propriétés de la composition** : 1. **Associativité** : Pour $f : E \to F$, $g : F \to G$, $h : G \to H$, on a : $$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$$ 2. **Non-commutativité** : En général, $g \circ f \neq f \circ g$ (lorsque les deux sont définies). 3. **Composition et bijectivité** : Si $f$ et $g$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est bijective et $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. **Exemple** : Soient $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1$ et $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$. Alors : $$(g \circ f)(x) = g(x+1) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $$(f \circ g)(x) = f(x^2) = x^2 + 1$$ On constate que $g \circ f \neq f \circ g$. **Exemple résolu complet** : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 1$ et $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2 + 3$. 1. Calculons $g \circ f$ : $(g \circ f)(x) = g(2x-1) = (2x-1)^2 + 3 = 4x^2 - 4x + 1 + 3 = 4x^2 - 4x + 4$. 2. Calculons $f \circ g$ : $(f \circ g)(x) = f(x^2+3) = 2(x^2+3) - 1 = 2x^2 + 6 - 1 = 2x^2 + 5$. 3. $f$ est bijective car $f(x_1) = f(x_2) \implies 2x_1 - 1 = 2x_2 - 1 \implies x_1 = x_2$ (injective), et pour tout $y \in \mathbb{R}$, $x = \dfrac{y+1}{2}$ donne $f(x) = y$ (surjective). Sa réciproque est $f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{2}$. 4. $g$ n'est pas injective ($g(1) = g(-1) = 4$) et n'est pas surjective ($-1$ n'a pas d'antécédent). --- ## II. Opérations sur les fonctions : somme, produit, quotient ### II.1. Somme de deux fonctions > **Définition (somme)** : Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $D_f$ et $D_g$. La **somme** $f + g$ est la fonction définie sur $D_{f+g} = D_f \cap D_g$ par : > $$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$$ **Exemple** : $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$ et $g(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, +\infty[$. Alors $(f+g)(x) = x^2 + \sqrt{x}$ sur $D_{f+g} = [0, +\infty[$. ### II.2. Produit de deux fonctions > **Définition (produit)** : Le **produit** $f \cdot g$ est la fonction définie sur $D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$ par : > $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$ **Cas particulier (produit par un scalaire)** : Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $(\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x)$, avec $D_{\lambda f} = D_f$. ### II.3. Quotient de deux fonctions > **Définition (quotient)** : Le **quotient** $\dfrac{f}{g}$ est la fonction définie sur $D_{f/g} = D_f \cap D_g \setminus \{x \in D_g \mid g(x) = 0\}$ par : > $$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$ **Exemple** : $f(x) = x^2 - 1$ sur $\mathbb{R}$ et $g(x) = x - 2$ sur $\mathbb{R}$. Alors $\dfrac{f}{g}(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$ sur $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. ### II.4. Exemple résolu complet Soient $f(x) = \dfrac{1}{x}$ (définie sur $\mathbb{R}^*$) et $g(x) = x + 1$ (définie sur $\mathbb{R}$). 1. **Somme** : $(f + g)(x) = \dfrac{1}{x} + x + 1 = \dfrac{1 + x^2 + x}{x} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$. 2. **Produit** : $(f \cdot g)(x) = \dfrac{1}{x} \cdot (x+1) = \dfrac{x+1}{x} = 1 + \dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$. 3. **Quotient** : $\dfrac{f}{g}(x) = \dfrac{1/x}{x+1} = \dfrac{1}{x(x+1)}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}$. 4. **Quotient inverse** : $\dfrac{g}{f}(x) = \dfrac{x+1}{1/x} = x(x+1) = x^2 + x$, définie sur $\mathbb{R}^*$ (car $f(x) \neq 0$ pour tout $x \neq 0$). **Propriétés algébriques** : Pour $f, g, h$ fonctions et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ : - $(f + g) + h = f + (g + h)$ (associativité) - $f + g = g + f$ (commutativité) - $(f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h)$ (associativité) - $f \cdot g = g \cdot f$ (commutativité) - $f \cdot (g + h) = f \cdot g + f \cdot h$ (distributivité) --- ## III. Propriétés des fonctions : parité, éléments de symétrie, périodicité ### III.1. Fonction paire > **Définition (fonction paire)** : Une fonction $f$ définie sur un domaine $D_f$ **symétrique par rapport à 0** (c'est-à-dire $x \in D_f \iff -x \in D_f$) est **paire** si : > $$\forall x \in D_f, \quad f(-x) = f(x)$$ **Propriété géométrique** : La courbe représentative $C_f$ d'une fonction paire est **symétrique par rapport à l'axe des ordonnées** (axe $Oy$). **Exemple** : $f(x) = x^2$ est paire car $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. De même, $f(x) = \cos x$ est paire. ### III.2. Fonction impaire > **Définition (fonction impaire)** : Une fonction $f$ définie sur un domaine $D_f$ symétrique par rapport à 0 est **impaire** si : > $$\forall x \in D_f, \quad f(-x) = -f(x)$$ **Propriété géométrique** : La courbe représentative $C_f$ d'une fonction impaire est **symétrique par rapport à l'origine du repère** $O(0, 0)$. **Exemple** : $f(x) = x^3$ est impaire car $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. De même, $f(x) = \sin x$ est impaire. **Démonstration** : Pour $f(x) = x^3$, on a $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est impaire. ### III.3. Éléments de symétrie de la courbe > **Propriété (axe de symétrie vertical)** : La courbe $C_f$ admet la droite d'équation $x = a$ comme axe de symétrie si et seulement si : > $$\forall h \in \mathbb{R} \ \text{tel que} \ a + h \in D_f, \quad f(a + h) = f(a - h)$$ > **Propriété (centre de symétrie)** : La courbe $C_f$ admet le point $I(a, b)$ comme centre de symétrie si et seulement si : > $$\forall h \in \mathbb{R} \ \text{tel que} \ a + h \in D_f, \quad f(a + h) + f(a - h) = 2b$$ **Exemple** : Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Montrons que la droite $x = 2$ est axe de symétrie. Pour tout $h \in \mathbb{R}$ : $$f(2 + h) = (2 + h - 2)^2 + 1 = h^2 + 1$$ $$f(2 - h) = (2 - h - 2)^2 + 1 = (-h)^2 + 1 = h^2 + 1$$ Donc $f(2+h) = f(2-h)$ pour tout $h$, ce qui prouve que $x = 2$ est axe de symétrie. **Exemple (centre de symétrie)** : Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Montrons que $I(0, 0)$ est centre de symétrie. Pour tout $h$ : $$f(h) + f(-h) = (h^3 - 3h) + ((-h)^3 - 3(-h)) = h^3 - 3h - h^3 + 3h = 0 = 2 \times 0$$ Donc $I(0,0)$ est centre de symétrie (ce qui confirme que $f$ est impaire). ### III.4. Fonction périodique > **Définition (périodicité)** : Une fonction $f$ définie sur $D_f$ est **périodique** de période $T > 0$ (ou $T$-périodique) si : > $$\forall x \in D_f, \quad x + T \in D_f \quad \text{et} \quad f(x + T) = f(x)$$ > **Propriété** : Si $T$ est une période de $f$, alors tout multiple entier de $T$ (c'est-à-dire $kT$ avec $k \in \mathbb{Z}$) est aussi une période de $f$. La plus petite période positive, si elle existe, est appelée **période fondamentale**. **Propriété géométrique** : La courbe d'une fonction périodique de période $T$ est invariante par translation de vecteur $T \vec{i}$ (où $\vec{i}$ est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses). **Exemples fondamentaux** : - $f(x) = \sin x$ est $2\pi$-périodique : $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - $f(x) = \cos x$ est $2\pi$-périodique. - $f(x) = \tan x$ est $\pi$-périodique : $\tan(x + \pi) = \tan x$ pour tout $x \in D_f = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$. **Exemple résolu** : Soit $f(x) = \cos(2x)$. Montrons que $f$ est $\pi$-périodique. $$f(x + \pi) = \cos(2(x + \pi)) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x) = f(x)$$ Donc $\pi$ est une période. La période fondamentale est $\pi$ (car la période de $\cos$ est $2\pi$, et le facteur $2$ divise la période par $2$). **Propriété (combinaison de fonctions périodiques)** : Si $f$ est $T_1$-périodique et $g$ est $T_2$-périodique, alors $f + g$ et $f \cdot g$ sont périodiques de période $T = \text{PPCM}(T_1, T_2)$ (si ce PPCM existe). --- ## IV. Courbe d'une fonction et fonctions associées ### IV.1. Courbe représentative d'une fonction > **Définition (courbe représentative)** : Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, la **courbe représentative** (ou graphe) d'une fonction $f$ est l'ensemble des points $M(x, y)$ tels que $y = f(x)$ pour $x \in D_f$. On la note $C_f$. **Exemple** : Tracé de la parabole $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ sur $[-2, 4]$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x^2 - 2x + 1","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (x-1)^2","points":[[-2,9],[-1.5,6.25],[-1,4],[-0.5,2.25],[0,1],[0.5,0.25],[1,0],[1.5,0.25],[2,1],[2.5,2.25],[3,4],[3.5,6.25],[4,9]]}]} ``` ### IV.2. Fonction associée $x \mapsto f(x - a)$ : translation horizontale > **Propriété** : Soit $a \in \mathbb{R}$. La courbe de la fonction $g(x) = f(x - a)$ est obtenue à partir de $C_f$ par **translation de vecteur $a \vec{i}$** (vers la droite si $a > 0$, vers la gauche si $a < 0$). **Explication** : Le graphe de $g$ au point $x$ a la même ordonnée que celui de $f$ au point $x - a$. Ainsi, tout point $(x_0, f(x_0))$ de $C_f$ correspond au point $(x_0 + a, f(x_0))$ de $C_g$. **Exemple** : $f(x) = x^2$ et $g(x) = (x - 3)^2$. La courbe de $g$ est celle de $f$ décalée de 3 unités vers la droite. ```onbuch-plot {"title":"Translation horizontale : f(x)=x^2 et g(x)=(x-3)^2","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^2","points":[[-3,9],[-2.5,6.25],[-2,4],[-1.5,2.25],[-1,1],[-0.5,0.25],[0,0],[0.5,0.25],[1,1],[1.5,2.25],[2,4],[2.5,6.25],[3,9]]},{"label":"g(x) = (x-3)^2","points":[[0,9],[0.5,6.25],[1,4],[1.5,2.25],[2,1],[2.5,0.25],[3,0],[3.5,0.25],[4,1],[4.5,2.25],[5,4],[5.5,6.25],[6,9]]}]} ``` ### IV.3. Fonction associée $x \mapsto f(x - a) + b$ : translation complète > **Propriété** : Soient $a, b \in \mathbb{R}$. La courbe de la fonction $h(x) = f(x - a) + b$ est obtenue à partir de $C_f$ par **translation de vecteur $a\vec{i} + b\vec{j}$**. **Exemple** : $f(x) = x^2$ et $h(x) = (x - 2)^2 + 1$. La courbe de $h$ est la parabole $y = x^2$ décalée de 2 unités vers la droite et de 1 unité vers le haut. Le sommet de $h$ est en $(2, 1)$. ```onbuch-plot {"title":"Translation complète : h(x) = (x-2)^2 + 1","type":"line","series":[{"label":"h(x) = (x-2)^2 + 1","points":[[-1,10],[-0.5,7.25],[0,5],[0.5,3.25],[1,2],[1.5,1.25],[2,1],[2.5,1.25],[3,2],[3.5,3.25],[4,5],[4.5,7.25],[5,10]]}]} ``` ### IV.4. Fonction associée $x \mapsto -f(x)$ : symétrie par rapport à l'axe des abscisses > **Propriété** : La courbe de la fonction $g(x) = -f(x)$ est le **symétrique** de $C_f$ par rapport à l'**axe des abscisses** ($Ox$). **Exemple** : $f(x) = x^2 - 1$ et $g(x) = -x^2 + 1$. ```onbuch-plot {"title":"Symétrie par rapport à Ox : f(x)=x^2-1 et g(x)=-x^2+1","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^2 - 1","points":[[-3,8],[-2.5,5.25],[-2,3],[-1.5,1.25],[-1,0],[-0.5,-0.75],[0,-1],[0.5,-0.75],[1,0],[1.5,1.25],[2,3],[2.5,5.25],[3,8]]},{"label":"g(x) = -x^2 + 1","points":[[-3,-8],[-2.5,-5.25],[-2,-3],[-1.5,-1.25],[-1,0],[-0.5,0.75],[0,1],[0.5,0.75],[1,0],[1.5,-1.25],[2,-3],[2.5,-5.25],[3,-8]]}]} ``` ### IV.5. Fonction associée $x \mapsto f(-x)$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées > **Propriété** : La courbe de la fonction $g(x) = f(-x)$ est le **symétrique** de $C_f$ par rapport à l'**axe des ordonnées** ($Oy$). **Remarque** : Si $f$ est paire, alors $g = f$ (la courbe est déjà symétrique par rapport à $Oy$). **Exemple** : $f(x) = x^3 - x$ et $g(x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x$. ```onbuch-plot {"title":"Symétrie par rapport à Oy : f(x)=x^3-x et g(x)=-x^3+x","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^3 - x","points":[[-3,-24],[-2.5,-13.125],[-2,-6],[-1.5,-1.875],[-1,0],[-0.5,0.375],[0,0],[0.5,-0.375],[1,0],[1.5,1.875],[2,6],[2.5,13.125],[3,24]]},{"label":"g(x) = -x^3 + x","points":[[-3,24],[-2.5,13.125],[-2,6],[-1.5,1.875],[-1,0],[-0.5,-0.375],[0,0],[0.5,0.375],[1,0],[1.5,-1.875],[2,-6],[2.5,-13.125],[3,-24]]}]} ``` ### IV.6. Fonction associée $x \mapsto |f(x)|$ > **Définition (valeur absolue d'une fonction)** : La fonction $|f|$ est définie par : > $$|f|(x) = |f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{si } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{si } f(x) < 0 \end{cases}$$ > **Propriété géométrique** : La courbe de $|f|$ est obtenue à partir de $C_f$ en **conservant les parties où $f(x) \geq 0$** et en **remontant symétriquement par rapport à $Ox$** les parties où $f(x) < 0$. **Exemple** : $f(x) = x - 1$ et $|f|(x) = |x - 1|$. ```onbuch-plot {"title":"Valeur absolue : f(x)=x-1 et |f|(x)=|x-1|","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x - 1","points":[[-3,-4],[-2.5,-3.5],[-2,-3],[-1.5,-2.5],[-1,-2],[-0.5,-1.5],[0,-1],[0.5,-0.5],[1,0],[1.5,0.5],[2,1],[2.5,1.5],[3,2],[3.5,2.5],[4,3]]},{"label":"|f|(x) = |x-1|","points":[[-3,4],[-2.5,3.5],[-2,3],[-1.5,2.5],[-1,2],[-0.5,1.5],[0,1],[0.5,0.5],[1,0],[1.5,0.5],[2,1],[2.5,1.5],[3,2],[3.5,2.5],[4,3]]}]} ``` ### IV.7. Fonction associée $x \mapsto f(|x|)$ > **Définition** : La fonction $g(x) = f(|x|)$ est définie par : > $$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \geq 0 \\ f(-x) & \text{si } x < 0 \end{cases}$$ > **Propriété** : La fonction $g(x) = f(|x|)$ est **toujours paire** (car $g(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = g(x)$). Sa courbe est obtenue en **conservant la partie de $C_f$ pour $x \geq 0$** et en la **reflétant par rapport à $Oy$** pour $x < 0$. **Exemple** : $f(x) = x^2 - 2x$ et $g(x) = f(|x|) = |x|^2 - 2|x| = x^2 - 2|x|$. ```onbuch-plot {"title":"Fonction f(|x|) : g(x) = x^2 - 2|x|","type":"line","series":[{"label":"g(x) = x^2 - 2|x|","points":[[-4,8],[-3.5,5.25],[-3,3],[-2.5,1.25],[-2,0],[-1.5,-0.75],[-1,-1],[-0.5,-0.75],[0,0],[0.5,-0.75],[1,-1],[1.5,-0.75],[2,0],[2.5,1.25],[3,3],[3.5,5.25],[4,8]]}]} ``` ### IV.8. Tableau récapitulatif des fonctions associées | Fonction associée | Transformation géométrique de $C_f$ | |---|---| | $x \mapsto f(x) + b$ | Translation verticale de vecteur $b\vec{j}$ | | $x \mapsto f(x - a)$ | Translation horizontale de vecteur $a\vec{i}$ | | $x \mapsto f(x - a) + b$ | Translation de vecteur $a\vec{i} + b\vec{j}$ | | $x \mapsto -f(x)$ | Symétrie par rapport à $Ox$ | | $x \mapsto f(-x)$ | Symétrie par rapport à $Oy$ | | $x \mapsto \vert f(x)\vert $ | Partie négative reflétée au-dessus de $Ox$ | | $x \mapsto f(\vert x\vert )$ | Partie pour $x<0$ remplacée par le symétrique de la partie $x>0$ | ### IV.9. Exemple résolu complet : étude d'une fonction homographique Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$. 1. **Domaine de définition** : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. 2. **Forme canonique** : $f(x) = \dfrac{2(x-1) + 3}{x-1} = 2 + \dfrac{3}{x-1}$. 3. **Fonctions associées** : $f$ est obtenue à partir de $h(x) = \dfrac{3}{x}$ par translation de vecteur $\vec{i} + 2\vec{j}$ (décalage de 1 vers la droite et de 2 vers le haut). 4. **Éléments de symétrie** : La courbe admet le point $I(1, 2)$ comme centre de symétrie. Vérifions : pour tout $h \neq 0$, $$f(1+h) + f(1-h) = \left(2 + \frac{3}{h}\right) + \left(2 + \frac{3}{-h}\right) = 2 + \frac{3}{h} + 2 - \frac{3}{h} = 4 = 2 \times 2$$ Donc $I(1,2)$ est bien centre de symétrie. 5. **Tracé** : ```onbuch-plot {"title":"Fonction homographique f(x) = (2x+1)/(x-1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = 2 + 3/(x-1)","points":[[-5,1.5],[-4,1.4],[-3,1.25],[-2,1],[-1,0.5],[-0.5,0],[-0.1,-0.727],[-0.01,-2.97],[0.5,-4],[0.9,-28],[1.1,32],[1.5,8],[2,5],[3,3.5],[4,3],[5,2.75],[6,2.6],[7,2.5],[8,2.429],[9,2.375],[10,2.333]]}]} ``` --- ## Conclusion Ce chapitre a permis de poser les fondements essentiels de l'analyse en Première C et E. La maîtrise des notions d'injectivité, de surjectivité et de bijectivité est cruciale pour comprendre la notion de fonction réciproque, qui sera approfondie en Terminale (fonctions logarithmes et exponentielles). Les opérations sur les fonctions et l'étude de leurs propriétés géométriques (parité, symétries, périodicité) fournissent des outils puissants pour l'étude qualitative des fonctions sans calcul systématique. Enfin, la compréhension des fonctions associées permet de tracer rapidement des courbes complexes à partir de courbes de référence, compétence indispensable pour la résolution graphique d'équations et d'inéquations. Ces acquis seront mobilisés dans les chapitres suivants : limites, dérivation, et étude complète de fonctions.