Représentation graphique des fonctions et suites numériques

# Fiche de cours : Représentation graphique des fonctions et suites numériques **Niveau :** Première C/E **Programme officiel MINESEC — Approche par compétences** ## Introduction Ce chapitre constitue un pilier de l'analyse mathématique en Première C/E. Il vise à doter l'élève d'outils complets pour l'étude qualitative et quantitative des fonctions réelles d'une variable réelle, ainsi que des suites numériques. La maîtrise des asymptotes permet de comprendre le comportement d'une fonction aux bornes de son domaine de définition. L'étude des fonctions homographiques et des polynômes de degré ≤ 3 fournit une base solide pour la modélisation de phénomènes variés. Enfin, les suites numériques, qu'elles soient définies par une formule explicite ou par récurrence, sont l'outil fondamental pour l'étude de processus discrets (croissance démographique, intérêts composés, amortissement, etc.). Ce chapitre développe des compétences transversales : modéliser, calculer, représenter, interpréter et communiquer. ## I. Asymptotes à la courbe d'une fonction ### I.1. Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (asymptote verticale) **Définition :** Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ une valeur réelle ou $\pm\infty$. La droite d'équation $x = a$ est une **asymptote verticale** à la courbe $\mathcal{C}_f$ si la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ (par valeurs inférieures ou supérieures) est infinie. > **À retenir :** La droite $x = a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$. On la rencontre généralement lorsque $f$ n'est pas définie en $a$ (dénominateur nul, logarithme, etc.). **Exemple :** Soit $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$. La fonction n'est pas définie en $x=3$. On calcule : $$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x+1}{x-3} = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 3^+} \frac{2x+1}{x-3} = +\infty$$ La droite $x=3$ est donc une asymptote verticale. ### I.2. Asymptote parallèle à l'axe des abscisses (asymptote horizontale) **Définition :** La droite d'équation $y = b$ (où $b$ est un réel) est une **asymptote horizontale** à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$) si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ (respectivement $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$). > **À retenir :** Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ (avec $b$ réel), alors la droite $y = b$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. De même en $-\infty$. **Exemple :** Pour $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$, on a : $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = 2$$ La droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$. ### I.3. Asymptote oblique **Définition :** La droite d'équation $y = ax + b$ (avec $a \neq 0$) est une **asymptote oblique** à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$) si : $$\lim_{x \to \pm\infty} \left[ f(x) - (ax + b) \right] = 0$$ **Méthode de détermination :** Pour trouver $a$ et $b$, on calcule : $$a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text{(si cette limite existe et est finie non nulle)}$$ $$b = \lim_{x \to \pm\infty} \left[ f(x) - ax \right] \quad \text{(si cette limite existe et est finie)}$$ > **À retenir :** La droite $y = ax + b$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ si et seulement si $\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - (ax+b) \right] = 0$. La position relative de la courbe par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de $f(x) - (ax+b)$. **Exemple détaillé :** Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x+1}$. 1. **Domaine de définition :** $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. 2. **Asymptote verticale :** $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$. Donc $x = -1$ est asymptote verticale. 3. **Asymptote oblique :** On effectue la division euclidienne de $x^2 + 2x - 1$ par $x+1$ : $$x^2 + 2x - 1 = (x+1)(x+1) - 2$$ Donc $f(x) = x + 1 - \dfrac{2}{x+1}$. On vérifie : $\lim_{x \to \pm\infty} \left[ f(x) - (x+1) \right] = \lim_{x \to \pm\infty} \left( -\dfrac{2}{x+1} \right) = 0$. La droite $y = x + 1$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$. 4. **Position relative :** $f(x) - (x+1) = -\dfrac{2}{x+1}$. - Si $x > -1$, alors $x+1 > 0$, donc $f(x) - (x+1) < 0$ : la courbe est **en dessous** de l'asymptote. - Si $x < -1$, alors $x+1 < 0$, donc $f(x) - (x+1) > 0$ : la courbe est **au-dessus** de l'asymptote. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (x^2 + 2x - 1)/(x+1) et asymptote y = x+1","type":"line","series":[{"label":"f(x)","points":[[-10,-12.33],[-9,-10.25],[-8,-8.14],[-7,-6],[-6,-3.8],[-5,-1.5],[-4,1],[-3,4],[-2,9],[-1.5,15.5],[-0.5,-5.5],[0,-1],[1,1],[2,2.33],[3,3.5],[4,4.6],[5,5.67],[6,6.71],[7,7.75],[8,8.78],[9,9.8],[10,10.82]]},{"label":"Asymptote y = x+1","points":[[-10,-9],[-8,-7],[-6,-5],[-4,-3],[-2,-1],[0,1],[2,3],[4,5],[6,7],[8,9],[10,11]]}]} ``` ## II. Étude et représentation graphique des fonctions homographiques et polynômes de degré ≤ 3 ### II.1. Fonctions homographiques **Définition :** Une fonction homographique est une fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$, où $a, b, c, d$ sont des réels avec $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$ (condition pour que $f$ ne soit pas constante). **Domaine de définition :** $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac{d}{c} \right\}$. **Propriétés fondamentales :** - La courbe représentative d'une fonction homographique est une **hyperbole**. - Elle admet deux asymptotes : - **Verticale :** $x = -\dfrac{d}{c}$ (valeur qui annule le dénominateur). - **Horizontale :** $y = \dfrac{a}{c}$ (limite en $\pm\infty$). - Le centre de symétrie de l'hyperbole est le point d'intersection des asymptotes : $S\left( -\dfrac{d}{c} ; \dfrac{a}{c} \right)$. > **À retenir :** Pour $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$, la courbe est une hyperbole de centre $S\left( -\dfrac{d}{c} ; \dfrac{a}{c} \right)$, avec asymptotes $x = -\dfrac{d}{c}$ et $y = \dfrac{a}{c}$. **Étude complète d'un exemple :** Soit $f(x) = \dfrac{3x-2}{x+1}$. 1. **Domaine :** $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. 2. **Dérivée :** $f'(x) = \dfrac{3(x+1) - (3x-2)(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{3x+3-3x+2}{(x+1)^2} = \dfrac{5}{(x+1)^2}$. Puisque $5 > 0$ et $(x+1)^2 > 0$ pour $x \neq -1$, on a $f'(x) > 0$ sur chaque intervalle du domaine. $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; -1[$ et sur $]-1; +\infty[$. 3. **Limites :** - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$ ; $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$. - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ ; $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$. 4. **Tableau de variation :** | $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | | $+$ | $\Vert $ | $+$ | | | $f(x)$ | $3$ | $\nearrow$ | $\Vert $ | $\nearrow$ | $3$ | | | | | $+\infty \Vert -\infty$ | | | 5. **Représentation graphique :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (3x-2)/(x+1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (3x-2)/(x+1)","points":[[-10,3.56],[-8,3.71],[-6,4],[-4,4.67],[-3,5.5],[-2,8],[-1.5,13],[-0.5,-7],[-0.2,-4.25],[0,-2],[1,0.5],[2,1.33],[3,1.75],[4,2],[5,2.17],[6,2.29],[7,2.38],[8,2.44],[9,2.5],[10,2.55]]},{"label":"Asymptote y=3","points":[[-10,3],[-5,3],[0,3],[5,3],[10,3]]},{"label":"Asymptote x=-1","points":[[-1,-10],[-1,-5],[-1,0],[-1,5],[-1,10]]}]} ``` ### II.2. Fonctions polynômes de degré ≤ 3 **Définition :** Une fonction polynôme de degré $n$ (où $n \leq 3$) est une fonction $P$ définie par $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, avec $a_n \neq 0$. **Cas particuliers :** - **Degré 0 :** $P(x) = a_0$ (fonction constante). - **Degré 1 :** $P(x) = ax + b$ (fonction affine, droite). - **Degré 2 :** $P(x) = ax^2 + bx + c$ (parabole). - **Degré 3 :** $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (cubique). #### II.2.1. Fonction polynôme de degré 2 : $P(x) = ax^2 + bx + c$ **Propriétés :** - La courbe est une **parabole** de sommet $S\left( -\dfrac{b}{2a} ; P\left( -\dfrac{b}{2a} \right) \right)$. - Si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut (minimum en $S$). - Si $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas (maximum en $S$). - L'axe de symétrie est la droite $x = -\dfrac{b}{2a}$. > **À retenir :** Pour $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, le sommet de la parabole est $S\left( -\dfrac{b}{2a} ; P\left( -\dfrac{b}{2a} \right) \right)$ et l'axe de symétrie est $x = -\dfrac{b}{2a}$. **Exemple :** $P(x) = -2x^2 + 4x + 1$. - $a = -2 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas. - $x_S = -\dfrac{4}{2(-2)} = 1$ ; $P(1) = -2 + 4 + 1 = 3$. Sommet $S(1; 3)$. - Racines : $\Delta = 16 - 4(-2)(1) = 24 > 0$. $x_1 = \dfrac{-4 - \sqrt{24}}{-4} = \dfrac{-4 - 2\sqrt{6}}{-4} = 1 + \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 2.22$ ; $x_2 = 1 - \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx -0.22$. ```onbuch-plot {"title":"Parabole P(x) = -2x^2 + 4x + 1","type":"line","series":[{"label":"P(x) = -2x^2 + 4x + 1","points":[[-2,-15],[-1.5,-12.5],[-1,-5],[-0.5,-1.5],[0,1],[0.5,2.5],[1,3],[1.5,2.5],[2,1],[2.5,-1.5],[3,-5],[3.5,-9.5],[4,-15],[4.5,-21.5],[5,-29]]}]} ``` #### II.2.2. Fonction polynôme de degré 3 : $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ **Propriétés :** - La courbe est une **cubique**. - Elle admet éventuellement un ou deux extrémums locaux (maximum et/ou minimum local). - Les limites en $\pm\infty$ dépendent du signe de $a$ : - Si $a > 0$ : $\lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty$. - Si $a < 0$ : $\lim_{x \to -\infty} P(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} P(x) = -\infty$. - Le point d'inflexion (s'il existe) est donné par $P''(x) = 0$. **Étude complète d'un exemple :** Soit $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. 1. **Domaine :** $\mathcal{D}_P = \mathbb{R}$. 2. **Dérivée :** $P'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. $P'(x) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 2$. - Sur $]-\infty; 0[$, $P'(x) > 0$ (car $3x < 0$ et $x-2 < 0$, produit positif). - Sur $]0; 2[$, $P'(x) < 0$. - Sur $]2; +\infty[$, $P'(x) > 0$. 3. **Valeurs remarquables :** $P(0) = 2$ ; $P(2) = 8 - 12 + 2 = -2$. 4. **Tableau de variation :** | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $2$ | | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $P'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $P(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $2$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | 5. **Extrémums :** Maximum local $M(0; 2)$ ; Minimum local $m(2; -2)$. 6. **Racines :** $P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$, donc $x=1$ est une racine. En factorisant : $P(x) = (x-1)(x^2 - 2x - 2)$. Les racines de $x^2 - 2x - 2 = 0$ sont $x = 1 \pm \sqrt{3}$. Donc $P(x) = (x-1)(x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de P(x) = x^3 - 3x^2 + 2","type":"line","series":[{"label":"P(x) = x^3 - 3x^2 + 2","points":[[-2,-18],[-1.5,-8.13],[-1,-2],[-0.5,1.13],[0,2],[0.5,1.38],[1,0],[1.5,-1.38],[2,-2],[2.5,-1.13],[3,2],[3.5,8.13],[4,18],[4.5,32.38],[5,52]]}]} ``` ## III. Généralités sur les suites numériques ### III.1. Définition et modes de génération **Définition :** Une **suite numérique** est une fonction $u$ définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. On note $u_n$ l'image de l'entier $n$, et on note la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$. **Modes de définition :** 1. **Suite définie par une formule explicite :** $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ (ou une partie). On peut alors calculer directement n'importe quel terme. *Exemple :* $u_n = n^2 + 1$. Alors $u_0 = 1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 5$, $u_{10} = 101$. 2. **Suite définie par récurrence :** $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est une fonction, et $u_0$ (ou $u_1$) est donné. Chaque terme est calculé à partir du précédent. *Exemple :* $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Alors $u_1 = 3$, $u_2 = 7$, $u_3 = 15$. > **À retenir :** Une suite peut être définie par une formule explicite $u_n = f(n)$ ou par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ avec une condition initiale. Dans le second cas, on ne peut pas calculer directement un terme sans avoir calculé tous les précédents. **Représentation graphique d'une suite :** - Pour une suite définie par $u_n = f(n)$, on place les points de coordonnées $(n; u_n)$ dans un repère. - Pour une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, on peut utiliser la **toile d'araignée** : on trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$, puis on construit les points $(u_0; u_1)$, $(u_1; u_1)$, $(u_1; u_2)$, $(u_2; u_2)$, etc. **Exemple de représentation graphique de $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ :** ```onbuch-plot {"title":"Suite u_n = n/(n+1)","type":"line","series":[{"label":"u_n = n/(n+1)","points":[[0,0],[1,0.5],[2,0.667],[3,0.75],[4,0.8],[5,0.833],[6,0.857],[7,0.875],[8,0.889],[9,0.9],[10,0.909],[11,0.917],[12,0.923],[13,0.929],[14,0.933],[15,0.938],[16,0.941],[17,0.944],[18,0.947],[19,0.95],[20,0.952]]}]} ``` ### III.2. Sens de variation d'une suite **Définitions :** - Une suite $(u_n)$ est **croissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geq u_n$. - Une suite $(u_n)$ est **décroissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leq u_n$. - Une suite est **constante** si pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n$. - Une suite est **monotone** si elle est croissante ou décroissante. **Méthodes pour étudier le sens de variation :** 1. **Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ :** si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$, la suite est croissante. 2. **Si $u_n > 0$ pour tout $n$, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 :** si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$, la suite est croissante. 3. **Si $u_n = f(n)$ avec $f$ dérivable :** étudier les variations de $f$ sur $[0; +\infty[$. **Exemple :** Soit $u_n = \dfrac{2n+1}{n+2}$. $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+2} - \dfrac{2n+1}{n+2} = \dfrac{2n+3}{n+3} - \dfrac{2n+1}{n+2}$$ $$= \dfrac{(2n+3)(n+2) - (2n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{2n^2 + 4n + 3n + 6 - (2n^2 + 6n + n + 3)}{(n+3)(n+2)}$$ $$= \dfrac{2n^2 + 7n + 6 - 2n^2 - 7n - 3}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{3}{(n+3)(n+2)} > 0$$ La suite $(u_n)$ est strictement croissante. ### III.3. Suites majorées, minorées, bornées **Définitions :** - Une suite $(u_n)$ est **majorée** s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n$, $u_n \leq M$. $M$ est appelé un majorant. - Une suite $(u_n)$ est **minorée** s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n$, $u_n \geq m$. $m$ est appelé un minorant. - Une suite est **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée. > **À retenir :** Une suite $(u_n)$ est bornée si et seulement s'il existe un réel $K > 0$ tel que $|u_n| \leq K$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **Exemple :** La suite $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$ pour $n \geq 1$ est bornée car $|\sin(n)| \leq 1$, donc $|u_n| \leq \dfrac{1}{n} \leq 1$. Elle est majorée par 1 et minorée par $-1$. ## IV. Suites arithmétiques et géométriques ### IV.1. Suites arithmétiques **Définition :** Une suite $(u_n)$ est **arithmétique** s'il existe un réel $r$ (appelé **raison**) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = u_n + r$$ > **À retenir :** Une suite arithmétique est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$. La différence entre deux termes consécutifs est constante : $u_{n+1} - u_n = r$. **Terme général :** Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_n = u_0 + nr$$ Plus généralement, pour tous entiers $p$ et $n$ : $$u_n = u_p + (n-p)r$$ **Relation entre deux termes :** Pour $p < n$, on a $u_n - u_p = (n-p)r$. **Somme des termes consécutifs :** Pour $n \geq 0$ : $$S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$$ Plus généralement, la somme des termes de $u_p$ à $u_n$ (avec $p \leq n$) est : $$S = \dfrac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2}$$ > **À retenir :** La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme : $S_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$. **Démonstration :** $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$. En écrivant la somme en sens inverse : $S_n = u_n + u_{n-1} + \dots + u_0$. En additionnant les deux expressions : $$2S_n = (u_0 + u_n) + (u_1 + u_{n-1}) + \dots + (u_n + u_0)$$ Or $u_1 + u_{n-1} = (u_0 + r) + (u_n - r) = u_0 + u_n$. De même pour chaque paire. Il y a $(n+1)$ paires, donc $2S_n = (n+1)(u_0 + u_n)$, d'où $S_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$. **Exemple numérique :** Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r = 3$ et $u_0 = 2$. - $u_n = 2 + 3n$. - $u_{10} = 2 + 30 = 32$. - $S_{10} = u_0 + u_1 + \dots + u_{10} = \dfrac{11(2 + 32)}{2} = \dfrac{11 \times 34}{2} = 187$. ### IV.2. Suites géométriques **Définition :** Une suite $(u_n)$ est **géométrique** s'il existe un réel $q$ (appelé **raison**) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$ > **À retenir :** Une suite géométrique est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Le rapport entre deux termes consécutifs est constant : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (si $u_n \neq 0$). **Terme général :** Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_n = u_0 \cdot q^n$$ Plus généralement, pour tous entiers $p$ et $n$ : $$u_n = u_p \cdot q^{n-p}$$ **Relation entre deux termes :** Pour $p < n$, on a $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$. **Somme des termes consécutifs :** Pour $n \geq 0$ et $q \neq 1$ : $$S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ Pour $q = 1$, $S_n = (n+1)u_0$. > **À retenir :** La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ est $S_n = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. **Démonstration :** $S_n = u_0 + u_0 q + u_0 q^2 + \dots + u_0 q^n$. On multiplie par $q$ : $qS_n = u_0 q + u_0 q^2 + \dots + u_0 q^n + u_0 q^{n+1}$. En soustrayant : $S_n - qS_n = u_0 - u_0 q^{n+1}$, donc $S_n(1-q) = u_0(1 - q^{n+1})$, d'où $S_n = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. **Exemple numérique :** Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q = 2$ et $u_0 = 3$. - $u_n = 3 \cdot 2^n$. - $u_5 = 3 \times 32 = 96$. - $S_5 = u_0 + u_1 + \dots + u_5 = 3 \cdot \dfrac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3 \cdot \dfrac{1 - 64}{-1} = 3 \times 63 = 189$. ### IV.3. Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques **Suite arithmétique de raison $r$ :** - Si $r > 0$, la suite est strictement croissante. - Si $r < 0$, la suite est strictement décroissante. - Si $r = 0$, la suite est constante. **Suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0 > 0$ :** - Si $q > 1$, la suite est strictement croissante. - Si $0 < q < 1$, la suite est strictement décroissante. - Si $q = 1$, la suite est constante. - Si $q < 0$, la suite n'est pas monotone (elle alterne de signe). ## V. Résolution de problèmes concrets avec les suites ### V.1. Problème d'intérêts composés **Énoncé :** Un capital de 500 000 FCFA est placé à intérêts composés au taux annuel de 4%. On note $C_n$ le capital disponible après $n$ années. 1. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ? 2. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$. 3. Quel sera le capital après 10 ans ? 4. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ? **Solution :** 1. Chaque année, le capital augmente de 4%, donc $C_{n+1} = C_n + 0.04 C_n = 1.04 C_n$. La suite $(C_n)$ est **géométrique** de raison $q = 1.04$ et de premier terme $C_0 = 500000$. 2. $C_n = C_0 \cdot q^n = 500000 \times (1.04)^n$. 3. $C_{10} = 500000 \times (1.04)^{10}$. Calculons : $(1.04)^{10} \approx 1.480244$. Donc $C_{10} \approx 500000 \times 1.480244 = 740122$ FCFA. 4. On cherche $n$ tel que $C_n \geq 2C_0$, c'est-à-dire $500000 \times (1.04)^n \geq 1000000$, soit $(1.04)^n \geq 2$. En prenant le logarithme : $n \ln(1.04) \geq \ln(2)$, donc $n \geq \dfrac{\ln(2)}{\ln(1.04)} \approx \dfrac{0.6931}{0.0392} \approx 17.67$. Il faut donc attendre **18 ans** pour que le capital double. ### V.2. Problème de production industrielle **Énoncé :** Une usine produit 2000 pièces la première année. Chaque année, la production augmente de 150 pièces par rapport à l'année précédente. On note $P_n$ la production de la $n$-ième année (avec $P_1 = 2000$). 1. Quelle est la nature de la suite $(P_n)$ ? 2. Exprimer $P_n$ en fonction de $n$. 3. Quelle sera la production la 10ème année ? 4. Quelle est la production totale sur les 10 premières années ? **Solution :** 1. $P_{n+1} = P_n + 150$. La suite $(P_n)$ est **arithmétique** de raison $r = 150$ et de premier terme $P_1 = 2000$. 2. $P_n = P_1 + (n-1)r = 2000 + 150(n-1) = 150n + 1850$. 3. $P_{10} = 2000 + 150 \times 9 = 2000 + 1350 = 3350$ pièces. 4. La production totale sur les 10 premières années est $S = P_1 + P_2 + \dots + P_{10} = \dfrac{10(P_1 + P_{10})}{2} = \dfrac{10(2000 + 3350)}{2} = 5 \times 5350 = 26750$ pièces. ### V.3. Problème de dépréciation (amortissement) **Énoncé :** Une machine coûte 2 000 000 FCFA. Sa valeur diminue de 12% chaque année. On note $V_n$ la valeur de la machine après $n$ années. 1. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$. Quelle est la nature de la suite ? 2. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$. 3. Quelle est la valeur de la machine après 5 ans ? 4. Au bout de combien d'années la valeur sera-t-elle inférieure à 500 000 FCFA ? **Solution :** 1. La valeur diminue de 12%, donc $V_{n+1} = V_n - 0.12 V_n = 0.88 V_n$. La suite $(V_n)$ est **géométrique** de raison $q = 0.88$ et de premier terme $V_0 = 2000000$. 2. $V_n = 2000000 \times (0.88)^n$. 3. $V_5 = 2000000 \times (0.88)^5$. Calculons : $(0.88)^5 \approx 0.52773$. Donc $V_5 \approx 2000000 \times 0.52773 = 1055460$ FCFA. 4. On cherche $n$ tel que $2000000 \times (0.88)^n < 500000$, soit $(0.88)^n < 0.25$. En prenant le logarithme : $n \ln(0.88) < \ln(0.25)$. Comme $\ln(0.88) < 0$, on a $n > \dfrac{\ln(0.25)}{\ln(0.88)} \approx \dfrac{-1.3863}{-0.1278} \approx 10.85$. Il faut donc attendre **11 ans**. ### V.4. Problème de population **Énoncé :** La population d'une ville est de 50 000 habitants en 2020. Elle augmente de 3% par an. On note $P_n$ la population en l'année $2020 + n$. 1. Exprimer $P_n$ en fonction de $n$. 2. Quelle sera la population en 2035 ? 3. En supposant que la croissance reste constante, en quelle année la population dépassera-t-elle 100 000 habitants ? **Solution :** 1. $P_n = 50000 \times (1.03)^n$. 2. En 2035, $n = 15$. $P_{15} = 50000 \times (1.03)^{15} \approx 50000 \times 1.55797 = 77898$ habitants. 3. On cherche $n$ tel que $50000 \times (1.03)^n > 100000$, soit $(1.03)^n > 2$. $n > \dfrac{\ln(2)}{\ln(1.03)} \approx \dfrac{0.6931}{0.02956} \approx 23.45$. Donc $n = 24$, c'est-à-dire en **2044**. ## Conclusion Ce chapitre a permis d'établir les outils fondamentaux de l'analyse en Première C/E. L'étude des asymptotes (verticales, horizontales, obliques) fournit une description précise du comportement d'une fonction aux bornes de son domaine. Les fonctions homographiques et les polynômes de degré ≤ 3, dont l'étude systématique (domaine, dérivée, variations, limites, représentation graphique) a été menée, constituent une base essentielle pour la modélisation. Enfin, les suites numériques — qu'elles soient définies par une formule explicite ou par récurrence — et plus particulièrement les suites arithmétiques et géométriques, avec leurs formules de terme général et de somme, permettent de résoudre de nombreux problèmes concrets issus de la finance, de la démographie ou de l'industrie. La maîtrise conjointe de ces notions est indispensable pour aborder sereinement les chapitres ultérieurs : limites de suites, continuité, dérivation approfondie et calcul intégral en Terminale C/E.