Géométrie dans l'espace : orthogonalité et géométrie analytique

# Géométrie dans l'espace : orthogonalité et géométrie analytique ## Introduction La géométrie dans l'espace constitue une extension naturelle de la géométrie plane. Après avoir étudié les configurations planes, nous abordons désormais l'étude des objets à trois dimensions : points, droites, plans, et leurs relations d'orthogonalité. Ce chapitre développe deux aspects complémentaires : d'une part, l'étude géométrique des positions relatives et de l'orthogonalité dans l'espace ; d'autre part, l'outil analytique puissant qu'est le repère orthonormé de l'espace, permettant de traduire les problèmes géométriques en équations algébriques. Ces outils sont fondamentaux pour la résolution de problèmes de l'ingénieur, de l'architecte ou du physicien. --- ## I. Orthogonalité dans l'espace ### I.1. Rappels et définitions préliminaires Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires (situées dans un même plan) ou non coplanaires. Deux droites coplanaires sont soit sécantes, soit parallèles. Deux droites non coplanaires n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles. > **Définition (Droites orthogonales)** : Deux droites de l'espace sont dites **orthogonales** si leurs directions sont perpendiculaires, c'est-à-dire si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (leur produit scalaire est nul). On note $d_1 \perp d_2$. **Remarque importante** : Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes. Si deux droites orthogonales sont sécantes, on dit qu'elles sont **perpendiculaires**. **Exemple** : Dans un cube $ABCDEFGH$, la droite $(AB)$ et la droite $(FG)$ sont orthogonales (leurs directions sont perpendiculaires) mais ne sont pas sécantes. En revanche, $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires (orthogonales et sécantes en $B$). ### I.2. Droite et plan orthogonaux > **Définition (Droite orthogonale à un plan)** : Une droite $d$ est **orthogonale** à un plan $\mathcal{P}$ si elle est orthogonale à toutes les droites du plan $\mathcal{P}$. On note $d \perp \mathcal{P}$. **Théorème fondamental** : Une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $\mathcal{P}$. **Démonstration** : - **Condition nécessaire** : Si $d \perp \mathcal{P}$, alors par définition, $d$ est orthogonale à toute droite de $\mathcal{P}$, donc en particulier à deux droites sécantes de $\mathcal{P}$. - **Condition suffisante** : Supposons que $d$ soit orthogonale à deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ de $\mathcal{P}$, de vecteurs directeurs $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ (non colinéaires). Soit $\vec{v}$ un vecteur directeur de $d$. Par hypothèse, $\vec{v} \cdot \vec{u}_1 = 0$ et $\vec{v} \cdot \vec{u}_2 = 0$. Soit $\vec{w}$ un vecteur directeur quelconque d'une droite de $\mathcal{P}$. Comme $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ forment une base du plan vectoriel directeur de $\mathcal{P}$, il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\vec{w} = \alpha \vec{u}_1 + \beta \vec{u}_2$. Alors $\vec{v} \cdot \vec{w} = \alpha(\vec{v} \cdot \vec{u}_1) + \beta(\vec{v} \cdot \vec{u}_2) = 0$. Donc $d$ est orthogonale à toute droite de $\mathcal{P}$, c'est-à-dire $d \perp \mathcal{P}$. $\blacksquare$ **Propriétés** : 1. Si une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$, alors $d$ est orthogonale à toute droite contenue dans $\mathcal{P}$. 2. Par un point donné, il passe une unique droite orthogonale à un plan donné. 3. Par un point donné, il passe un unique plan orthogonal à une droite donnée. > **Propriété (Intersection d'une droite orthogonale à un plan)** : Si $d \perp \mathcal{P}$, alors $d$ coupe $\mathcal{P}$ en un unique point appelé le **pied** de la perpendiculaire. ### I.3. Plans orthogonaux > **Définition (Plans orthogonaux)** : Deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont dits **orthogonaux** si l'un contient une droite orthogonale à l'autre. On note $\mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_2$. **Théorème** : Deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. **Démonstration** : Soient $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ les vecteurs normaux respectifs de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. Le plan $\mathcal{P}_1$ contient une droite $d$ orthogonale à $\mathcal{P}_2$ si et seulement si le vecteur directeur de $d$ est colinéaire à $\vec{n}_2$. Or $d \subset \mathcal{P}_1$ signifie que $\vec{n}_2$ est orthogonal à $\vec{n}_1$ (car $\vec{n}_1$ est orthogonal à toute droite de $\mathcal{P}_1$). Donc $\mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$. $\blacksquare$ **Propriétés** : 1. Si deux plans sont orthogonaux, leur intersection (si elle existe) est une droite. 2. Si une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$, alors tout plan contenant $d$ est orthogonal à $\mathcal{P}$. 3. Deux plans orthogonaux ne sont jamais parallèles (sauf cas dégénéré). **Exemple** : Dans un cube, le plan $(ABCD)$ et le plan $(ABFE)$ sont orthogonaux car le plan $(ABFE)$ contient la droite $(AE)$ qui est orthogonale au plan $(ABCD)$. ### I.4. Théorème des trois perpendiculaires > **Théorème (des trois perpendiculaires)** : Soit $\mathcal{P}$ un plan, $A$ un point de $\mathcal{P}$, $d$ une droite de $\mathcal{P}$ passant par $A$, et $M$ un point de l'espace. Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$. Alors $MH \perp d$ si et seulement si $AH \perp d$. **Démonstration** : Le vecteur $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à $\mathcal{P}$, donc orthogonal à tout vecteur de $\mathcal{P}$, en particulier à $\overrightarrow{AH}$ et à tout vecteur directeur $\vec{u}$ de $d$. On a : $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HA}$$ Donc $\overrightarrow{MA} \cdot \vec{u} = \overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} + \overrightarrow{HA} \cdot \vec{u} = 0 + \overrightarrow{HA} \cdot \vec{u}$. Ainsi, $\overrightarrow{MA} \cdot \vec{u} = 0 \iff \overrightarrow{HA} \cdot \vec{u} = 0$, c'est-à-dire $MA \perp d \iff HA \perp d$. $\blacksquare$ --- ## II. Repères de l'espace et coordonnées ### II.1. Repère orthonormé de l'espace > **Définition (Repère orthonormé)** : Un **repère orthonormé** de l'espace est un quadruplet $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ où $O$ est un point (l'origine) et $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base orthonormée de l'espace vectoriel, c'est-à-dire : > $$\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = \|\vec{k}\| = 1 \quad \text{et} \quad \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{j} \cdot \vec{k} = 0$$ **Définition (Coordonnées d'un point)** : Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un unique triplet $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ tel que : $$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$ On dit que $(x, y, z)$ sont les **coordonnées** de $M$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On note $M(x, y, z)$. ### II.2. Coordonnées d'un vecteur > **Définition (Coordonnées d'un vecteur)** : Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace, il existe un unique triplet $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que : > $$\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$$ > On note $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ ou $\vec{u}(a, b, c)$. **Propriétés fondamentales** : 1. Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, alors : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$ 2. Si $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix}$, alors : $$\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} a + a' \\ b + b' \\ c + c' \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \lambda\vec{u}\begin{pmatrix} \lambda a \\ \lambda b \\ \lambda c \end{pmatrix}$$ 3. **Norme d'un vecteur** : $$\|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$ 4. **Produit scalaire** : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = aa' + bb' + cc'$$ 5. **Distance entre deux points** : $$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$ 6. **Colinéarité** : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{u} = \lambda\vec{v}$, c'est-à-dire : $$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \quad \text{(avec les précautions pour les coordonnées nulles)}$$ 7. **Orthogonalité** : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff aa' + bb' + cc' = 0$ **Exemple numérique** : Soient $A(1, 2, -1)$ et $B(3, -1, 2)$. Alors $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $AB = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$. ### II.3. Milieu et barycentre **Propriété** : Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$$ **Propriété (Barycentre)** : Le barycentre $G$ des points pondérés $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ avec $\alpha + \beta \neq 0$ a pour coordonnées : $$G\left(\frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}, \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}, \frac{\alpha z_A + \beta z_B}{\alpha + \beta}\right)$$ --- ## III. Représentations paramétriques et équations cartésiennes ### III.1. Représentation paramétrique d'une droite > **Définition (Représentation paramétrique d'une droite)** : Soit $d$ une droite passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ (avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$). Un point $M(x, y, z)$ appartient à $d$ si et seulement si il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que : > $$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$ > Ce système s'appelle la **représentation paramétrique** de la droite $d$. **Démonstration** : $M \in d \iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires $\iff \exists t \in \mathbb{R}, \overrightarrow{AM} = t\vec{u}$. En traduisant sur les coordonnées, on obtient le système. $\blacksquare$ **Exemple** : Soit $d$ la droite passant par $A(1, -2, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$. Sa représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$ ### III.2. Équation cartésienne d'une droite Dans l'espace, une droite ne peut pas être représentée par une seule équation cartésienne. Elle est l'intersection de deux plans, donc elle est définie par un système de deux équations cartésiennes de plans. > **Définition (Équations cartésiennes d'une droite)** : Une droite $d$ de l'espace peut être définie par un système de deux équations linéaires : > $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases}$$ > où les deux plans correspondants ne sont pas parallèles (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires). **Méthode pour passer de la représentation paramétrique aux équations cartésiennes** : On élimine le paramètre $t$ entre les trois équations. **Exemple** : Pour la droite $d$ précédente, on a $t = \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-3}{4}$. Donc : $$\begin{cases} \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} \\ \frac{x-1}{2} = \frac{z-3}{4} \end{cases} \iff \begin{cases} x - 1 = -2y - 4 \\ 2x - 2 = z - 3 \end{cases} \iff \begin{cases} x + 2y + 3 = 0 \\ 2x - z + 1 = 0 \end{cases}$$ ### III.3. Représentation paramétrique d'un plan > **Définition (Représentation paramétrique d'un plan)** : Soit $\mathcal{P}$ un plan passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix}$. Un point $M(x, y, z)$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si il existe $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ tels que : > $$\begin{cases} x = x_A + \lambda a + \mu a' \\ y = y_A + \lambda b + \mu b' \\ z = z_A + \lambda c + \mu c' \end{cases} \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$$ **Démonstration** : $M \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, c'est-à-dire $\exists (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \overrightarrow{AM} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v}$. $\blacksquare$ **Cas particulier (plan défini par trois points non alignés)** : Si $\mathcal{P}$ passe par $A$, $B$, $C$ non alignés, on prend $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$. **Exemple** : Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(1, 0, 2)$, $B(2, 1, 0)$ et $C(0, 1, 1)$. On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (sinon on aurait $\frac{1}{-1} = \frac{1}{1} = \frac{-2}{-1}$, ce qui est faux). La représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x = 1 + \lambda - \mu \\ y = \lambda + \mu \\ z = 2 - 2\lambda - \mu \end{cases} \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$$ ### III.4. Équation cartésienne d'un plan > **Définition (Équation cartésienne d'un plan)** : Un plan $\mathcal{P}$ admet une équation cartésienne de la forme : > $$ax + by + cz + d = 0$$ > où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est un **vecteur normal** au plan $\mathcal{P}$ (c'est-à-dire orthogonal à toute droite de $\mathcal{P}$). **Théorème** : Un vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de $\mathcal{P}$. **Démonstration** : Si $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$, alors $\vec{n}$ est orthogonal à toute droite de $\mathcal{P}$, donc à $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Réciproquement, si $\vec{n} \perp \vec{u}$ et $\vec{n} \perp \vec{v}$, alors pour tout vecteur $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ de $\mathcal{P}$, on a $\vec{n} \cdot \vec{w} = \alpha(\vec{n} \cdot \vec{u}) + \beta(\vec{n} \cdot \vec{v}) = 0$. Donc $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur de $\mathcal{P}$. $\blacksquare$ **Méthode pour trouver l'équation cartésienne d'un plan** : 1. On calcule un vecteur normal $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ (produit vectoriel des deux vecteurs directeurs). 2. On écrit $ax + by + cz + d = 0$ et on détermine $d$ en utilisant les coordonnées d'un point du plan. **Rappel (produit vectoriel)** : Si $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix}$, alors : $$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} bc' - cb' \\ ca' - ac' \\ ab' - ba' \end{pmatrix}$$ **Exemple** : Reprenons le plan $\mathcal{P}$ précédent avec $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Alors : $$\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \times (-1) - (-2) \times 1 \\ (-2) \times (-1) - 1 \times (-1) \\ 1 \times 1 - 1 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 2 \\ 2 + 1 \\ 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$ L'équation est donc $x + 3y + 2z + d = 0$. En utilisant $A(1, 0, 2)$ : $1 + 0 + 4 + d = 0 \Rightarrow d = -5$. Donc : $$\mathcal{P} : x + 3y + 2z - 5 = 0$$ ### III.5. Positions relatives de deux droites > **Théorème (Positions relatives de deux droites)** : Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites de l'espace, de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$. Alors : > - Si $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ sont colinéaires : $d_1$ et $d_2$ sont **parallèles** (distinctes ou confondues). > - Si $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ ne sont pas colinéaires : $d_1$ et $d_2$ sont soit **sécantes** (coplanaires et ayant un point commun), soit **non coplanaires**. **Méthode pratique** : 1. On vérifie si les vecteurs directeurs sont colinéaires. 2. Si oui, on vérifie si un point de $d_1$ appartient à $d_2$ (pour distinguer parallèles distinctes et confondues). 3. Si non, on cherche un éventuel point d'intersection en résolvant le système formé par les deux représentations paramétriques. **Exemple** : Soient $d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{cases}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 2 + 2s \\ y = 1 - 2s \\ z = 1 + 6s \end{cases}$. Les vecteurs directeurs sont $\vec{u}_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}_2\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 2\vec{u}_1$. Ils sont colinéaires, donc $d_1 \parallel d_2$. Vérifions si $A(1, 2, 0) \in d_1$ appartient à $d_2$ : on cherche $s$ tel que $1 = 2 + 2s$, $2 = 1 - 2s$, $0 = 1 + 6s$. De la première équation, $s = -\frac{1}{2}$. Alors $x = 2 + 2(-\frac{1}{2}) = 1$ ✓, $y = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 2$ ✓, $z = 1 + 6(-\frac{1}{2}) = 1 - 3 = -2 \neq 0$ ✗. Donc $A \notin d_2$. Les droites sont strictement parallèles. ### III.6. Positions relatives de deux plans > **Théorème (Positions relatives de deux plans)** : Soient $\mathcal{P}_1 : a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, de vecteurs normaux $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$. Alors : > - Si $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ sont colinéaires : $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont **parallèles** (distincts ou confondus). > - Si $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ ne sont pas colinéaires : $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont **sécants** selon une droite. **Démonstration** : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. S'ils ne sont pas parallèles, leur intersection est une droite (résultat admis en Première). $\blacksquare$ **Exemple** : $\mathcal{P}_1 : 2x - y + 3z - 1 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : -4x + 2y - 6z + 5 = 0$. Les vecteurs normaux sont $\vec{n}_1\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}_2\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} = -2\vec{n}_1$. Ils sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. Comme $d_1 = -1$ et $d_2 = 5$ ne sont pas proportionnels avec le même coefficient ($\frac{d_2}{d_1} = -5 \neq -2$), les plans sont strictement parallèles. ### III.7. Positions relatives d'une droite et d'un plan > **Théorème** : Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et $\mathcal{P}$ un plan de vecteur normal $\vec{n}$. Alors : > - Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ : $d$ est **parallèle** à $\mathcal{P}$ (soit $d \subset \mathcal{P}$, soit $d$ strictement parallèle à $\mathcal{P}$). > - Si $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ : $d$ et $\mathcal{P}$ sont **sécants** en un unique point. **Méthode pour trouver le point d'intersection** : On remplace les expressions paramétriques de $d$ dans l'équation de $\mathcal{P}$, on résout pour $t$, puis on calcule les coordonnées. **Exemple** : Soit $d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$ et $\mathcal{P} : x - y + 2z + 3 = 0$. $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. On a $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \times 1 + 2 \times (-1) + 1 \times 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \neq 0$. Donc $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants. Substituons : $(1 + t) - (2t) + 2(-1 + t) + 3 = 0 \Rightarrow 1 + t - 2t - 2 + 2t + 3 = 0 \Rightarrow t + 2 = 0 \Rightarrow t = -2$. Le point d'intersection est $I(1 + (-2), 2(-2), -1 + (-2)) = I(-1, -4, -3)$. --- ## IV. Projeté orthogonal et distances ### IV.1. Projeté orthogonal d'un point sur un plan > **Définition (Projeté orthogonal sur un plan)** : Soit $\mathcal{P}$ un plan et $M$ un point de l'espace. Le **projeté orthogonal** de $M$ sur $\mathcal{P}$ est l'unique point $H \in \mathcal{P}$ tel que $MH \perp \mathcal{P}$. **Méthode de calcul** : 1. On écrit l'équation de $\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0$. 2. La droite $\Delta$ passant par $M$ et orthogonale à $\mathcal{P}$ a pour vecteur directeur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$. 3. On écrit la représentation paramétrique de $\Delta$ et on trouve son intersection avec $\mathcal{P}$. **Exemple** : Soit $\mathcal{P} : x + 2y - z + 1 = 0$ et $M(2, -1, 3)$. La droite $\Delta$ passant par $M$ et de vecteur directeur $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ a pour équations : $$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$$ Substituons dans $\mathcal{P}$ : $(2 + t) + 2(-1 + 2t) - (3 - t) + 1 = 0 \Rightarrow 2 + t - 2 + 4t - 3 + t + 1 = 0 \Rightarrow 6t - 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$. Donc $H\left(2 + \frac{1}{3}, -1 + \frac{2}{3}, 3 - \frac{1}{3}\right) = H\left(\frac{7}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right)$. ### IV.2. Distance d'un point à un plan > **Définition (Distance d'un point à un plan)** : La **distance** du point $M$ au plan $\mathcal{P}$ est la distance $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$. On la note $d(M, \mathcal{P})$. > **Formule fondamentale** : Si $\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0$ et $M(x_M, y_M, z_M)$, alors : > $$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ **Démonstration** : Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$. On a $\overrightarrow{MH} = \lambda\vec{n}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$. Comme $H \in \mathcal{P}$, on a $a(x_M + \lambda a) + b(y_M + \lambda b) + c(z_M + \lambda c) + d = 0$, donc $ax_M + by_M + cz_M + d + \lambda(a^2 + b^2 + c^2) = 0$, d'où $\lambda = -\frac{ax_M + by_M + cz_M + d}{a^2 + b^2 + c^2}$. Alors $MH = |\lambda| \cdot \|\vec{n}\| = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. $\blacksquare$ **Exemple** : Distance de $M(1, -2, 3)$ au plan $\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 4 = 0$ : $$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) - (-2) + 2(3) - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|2 + 2 + 6 - 4|}{3} = \frac{6}{3} = 2$$ ### IV.3. Projeté orthogonal d'un point sur une droite > **Définition (Projeté orthogonal sur une droite)** : Soit $d$ une droite et $M$ un point de l'espace. Le **projeté orthogonal** de $M$ sur $d$ est l'unique point $H \in d$ tel que $MH \perp d$. **Méthode de calcul** : 1. On écrit la représentation paramétrique de $d$ : $H(t) = A + t\vec{u}$. 2. On écrit la condition $MH \perp d$, c'est-à-dire $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$. 3. On résout l'équation en $t$ et on calcule $H$. **Exemple** : Soit $d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ et $M(0, 1, 4)$. On a $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $H(t)(1 + t, 2 - t, 3 + 2t)$. Alors $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} 1 + t \\ 1 - t \\ -1 + 2t \end{pmatrix}$. Condition : $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = (1+t)(1) + (1-t)(-1) + (-1+2t)(2) = 1 + t - 1 + t - 2 + 4t = 6t - 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$. Donc $H\left(1 + \frac{1}{3}, 2 - \frac{1}{3}, 3 + \frac{2}{3}\right) = H\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{11}{3}\right)$. ### IV.4. Distance d'un point à une droite > **Définition (Distance d'un point à une droite)** : La **distance** du point $M$ à la droite $d$ est la distance $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$. On la note $d(M, d)$. **Formule pratique** : Si $A \in d$ et $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, alors : $$d(M, d) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$$ **Démonstration** : Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $d$. L'aire du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ est $\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|$. Cette aire est aussi égale à $\|\vec{u}\| \times MH$ (base $\times$ hauteur). Donc $MH = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$. $\blacksquare$ **Exemple** : Reprenons $d$ et $M$ de l'exemple précédent. $A(1, 2, 3)$ et $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Alors : $$\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} = \begin{pmatrix} (-1)(2) - (1)(-1) \\ (1)(1) - (-1)(2) \\ (-1)(-1) - (-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 1 \\ 1 + 2 \\ 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\| = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \quad \text{et} \quad \|\vec{u}\| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ $$d(M, d) = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{14}{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}}$$ ### IV.5. Distance entre deux droites > **Définition (Distance entre deux droites)** : La **distance** entre deux droites $d_1$ et $d_2$ est la plus petite distance entre un point de $d_1$ et un point de $d_2$. Si les droites sont sécantes, cette distance est nulle. Si elles sont parallèles, c'est la distance d'un point de l'une à l'autre. **Cas de deux droites non coplanaires** : Soient $d_1$ passant par $A_1$ avec vecteur directeur $\vec{u}_1$, et $d_2$ passant par $A_2$ avec vecteur directeur $\vec{u}_2$. La distance est : $$d(d_1, d_2) = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \cdot (\vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2)|}{\|\vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2\|}$$ **Exemple** : $d_1 : \begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ (axe $Ox$) et $d_2 : \begin{cases} x = 1 \\ y = s \\ z = 1 \end{cases}$. On a $A_1(0,0,0)$, $\vec{u}_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $A_2(1,0,1)$, $\vec{u}_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Alors $\overrightarrow{A_1A_2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Donc : $$d(d_1, d_2) = \frac{|1 \times 0 + 0 \times 0 + 1 \times 1|}{1} = 1$$ --- ## Conclusion La géométrie dans l'espace, avec ses notions d'orthogonalité et son outil analytique, constitue un chapitre central du programme de Première C et E. Les concepts de droites et plans orthogonaux, de repères orthonormés, de représentations paramétriques et d'équations cartésiennes, ainsi que les techniques de calcul de distances, fournissent des outils puissants pour modéliser et résoudre des problèmes concrets en trois dimensions. Ces compétences seront approfondies en Terminale avec l'étude des produits scalaires et vectoriels plus avancés, et trouveront des applications directes en physique (mécanique, optique), en géographie (coordonnées GPS) et en ingénierie (CAO, architecture). La maîtrise de ces méthodes analytiques permet de remplacer avantageusement les raisonnements purement géométriques parfois complexes par des calculs algébriques systématiques et fiables.