Systèmes d’équations à deux ou trois inconnues (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève sera capable de - résoudre un système linéaire à deux inconnues par les méthodes de substitution, d’égalité et de combinaison linéaire (méthode d’addition) ; - résoudre un système linéaire à trois inconnues par la méthode de Gauss (élimination) et interpréter géométriquement le résultat (point unique, droite d’intersection, plan ou vide) ; - déterminer l’équation cartésienne d’une droite dans le plan à partir de deux points ou d’un point et d’un vecteur directeur ; - calculer la distance d’un point à une droite en utilisant la formule du produit scalaire ou la forme normale de l’équation de la droite ; - interpréter les solutions d’un système comme l’intersection de droites ou de plans dans l’espace. **Prérequis** : - maîtrise du calcul littéral (développement, factorisation, simplification) ; - connaissance des équations du premier degré à une inconnue et de leurs propriétés ; - notions de vecteurs dans le plan et dans l’espace (addition, produit scalaire, norme) ; - capacité à représenter graphiquement une droite dans un repère cartésien. --- ## Introduction contextualisée Les systèmes d’équations apparaissent naturellement lorsqu’on modélise des situations où plusieurs grandeurs inconnues sont liées par des relations linéaires : équilibrage de forces en physique, détermination de coordonnées d’intersection de routes en géographie, résolution de problèmes de mélange en chimie, etc. Au niveau du Probatoire camerounais, il est essentiel de savoir passer d’une description verbale à un système algébrique, de le résoudre avec rigueur et d’interpréter le résultat géométriquement. Ce chapitre constitue la première partie du traitement des systèmes linéaires ; il pose les bases qui seront approfondies en seconde partie (systèmes non linéaires, méthodes matricielles avancées). --- ## I. Systèmes d’équations linéaires à deux inconnues ### Définition > Un **système linéaire à deux inconnues** est un ensemble de deux équations du premier degré sous la forme > $$ > \begin{cases} > a_1x+b_1y=c_1\\[2mm] > a_2x+b_2y=c_2 > \end{cases} > $$ > où $a_i,b_i,c_i\in\mathbb{R}$ et $(a_i,b_i)\neq(0,0)$ pour $i=1,2$. ### Méthodes de résolution #### 1. Substitution On isole une inconnue dans une équation puis on la remplace dans l’autre. #### 2. Égalité On exprime la même inconnue (souvent $y$) dans les deux équations et on égalise les deux expressions. #### 3. Combinaison linéaire (méthode d’addition) On multiplie chaque équation par un coefficient convenable afin que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés ; on ajoute alors les équations pour éliminer cette inconnue. ### Détermination du nombre de solutions Le déterminant du système $$ \Delta = a_1b_2-a_2b_1 $$ décide : - Si $\Delta\neq0$ → solution unique (les droites sont sécantes). - Si $\Delta=0$ et les deux équations sont proportionnelles, c’est‑à‑dire $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ (lorsque les dénominateurs sont non nuls) → infinité de solutions (droites confondues). - Si $\Delta=0$ et les coefficients sont proportionnels mais pas les constantes, c’est‑à‑dire $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq\dfrac{c_1}{c_2}$ → aucune solution (droites parallèles distinctes). ### Démonstration (cas $\Delta\neq0$) En multipliant la première équation par $b_2$ et la seconde par $b_1$ puis en soustrayant, on obtient $$ (a_1b_2-a_2b_1)x = c_1b_2-c_2b_1 \;\Longrightarrow\; x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{\Delta}. $$ De même, en éliminant $x$ on trouve $$ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{\Delta}. $$ Comme $\Delta\neq0$, ces expressions sont bien définies et donnent la solution unique. ### Exemple 1 (substitution) Résoudre $$ \begin{cases} 2x+3y=7\\[2mm] x- y=1 \end{cases} $$ 1. De la seconde équation : $x = y+1$. 2. Substitution dans la première : $2(y+1)+3y=7$ → $2y+2+3y=7$ → $5y=5$ → $y=1$. 3. Alors $x = 1+1 = 2$. Solution : $(x,y)=(2,1)$. ### Exemple 2 (combinaison linéaire, cas délicat) Résoudre $$ \begin{cases} 4x-6y=8\\[2mm] 6x-9y=12 \end{cases} $$ On remarque que la seconde équation est $1,5$ fois la première : en fait, les deux droites sont confondues. Vérifions avec le déterminant : $\Delta = 4(-9)-6(-6)= -36+36=0$. Comme $\dfrac{8}{4}=2$ et $\dfrac{12}{6}=2$, les rapports des constantes sont égaux → infinité de solutions. On peut exprimer $y$ en fonction de $x$ : de la première équation, $4x-6y=8$ → $6y=4x-8$ → $y=\frac{2x-4}{3}$. Ainsi l’ensemble des solutions est $\{(x,\frac{2x-4}{3})\mid x\in\mathbb{R}\}$. --- ## II. Systèmes d’équations linéaires à trois inconnues ### Définition > Un **système linéaire à trois inconnues** s’écrit > $$ > \begin{cases} > a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\[2mm] > a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\[2mm] > a_3x+b_3y+c_3z=d_3 > \end{cases} > $$ > avec des coefficients réels, pas tous nuls dans chaque équation. ### Méthode de Gauss (élimination) On transforme le système sous forme échelonnée en utilisant les opérations élémentaires : 1. échange de deux équations ; 2. multiplication d’une équation par un scalaire non nul ; 3. ajout d’un multiple d’une équation à une autre. On obtient alors une forme triangulaire supérieure : $$ \begin{cases} \alpha_1x+\beta_1y+\gamma_1z=\delta_1\\[2mm] 0x+\beta_2y+\gamma_2z=\delta_2\\[2mm] 0x+0y+\gamma_3z=\delta_3 \end{cases} $$ et on résout par substitution arrière. ### Analyse des solutions via le rang Soit $A$ la matrice des coefficients et $B$ la matrice augmentée $[A|d]$. - Si $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)=3$ → solution unique. - Si $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)<3$ → infinité de solutions (l’ensemble des solutions est un espace affine de dimension $3-\operatorname{rang}(A)$). - Si $\operatorname{rang}(A)<\operatorname{rang}(B)$ → système incompatible (aucune solution). ### Démonstration (cas rang=3) Lorsque le déterminant de $A$ est non nul, $A$ est inversible et le système admet la solution unique $X=A^{-1}d$. Le déterminant non nul implique que les trois équations sont linéairement indépendantes, donc les trois plans se coupent en un seul point. ### Exemple 1 (méthode de Gauss, solution unique) Résoudre $$ \begin{cases} x+2y-z=4\\[2mm] 2x- y+3z=1\\[2mm] - x+ y+2z=3 \end{cases} $$ **Étape 1** : écrire la matrice augmentée $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&4\\ 2&-1&3&1\\ -1&1&2&3 \end{array}\right]. $$ **Étape 2** : éliminer $x$ des lignes 2 et 3. - $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $[0,-5,5\mid -7]$. - $L_3\leftarrow L_3+L_1$ : $[0,3,1\mid 7]$. Matrice : $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&4\\ 0&-5&5&-7\\ 0&3&1&7 \end{array}\right]. $$ **Étape 3** : éliminer $y$ de la ligne 3 en utilisant la ligne 2. - $L_3\leftarrow L_3+\frac{3}{5}L_2$ : $[0,0,4\mid \frac{14}{5}]$. Matrice triangulaire : $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&4\\ 0&-5&5&-7\\ 0&0&4&\frac{14}{5} \end{array}\right]. $$ **Étape 4** : substitution arrière. - $4z=\frac{14}{5}\Rightarrow z=\frac{7}{10}$. - $-5y+5z=-7\Rightarrow -5y+5\cdot\frac{7}{10}=-7\Rightarrow -5y+\frac{7}{2}=-7\Rightarrow -5y=-\frac{21}{2}\Rightarrow y=\frac{21}{10}=2.1$. - $x+2y-z=4\Rightarrow x+2\cdot\frac{21}{10}-\frac{7}{10}=4\Rightarrow x+\frac{42}{10}-\frac{7}{10}=4\Rightarrow x+\frac{35}{10}=4\Rightarrow x=4-\frac{7}{2}= \frac{1}{2}=0.5$. Solution : $\displaystyle\left(\frac12,\;\frac{21}{10},\;\frac{7}{10}\right)$. ### Exemple 2 (système avec infinité de solutions) Résoudre $$ \begin{cases} x+y+z=3\\[2mm] 2x+2y+2z=6\\[2mm] - x- y- z=-3 \end{cases} $$ Observation : la deuxième équation est $2\times$ la première ; la troisième est $-1\times$ la première. Donc les trois équations sont linéairement dépendantes. Matrice augmentée : $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 2&2&2&6\\ -1&-1&-1&-3 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\right] $$ Rang de $A$ = 1, rang de $[A|d]$ = 1 (<3). On prend $y$ et $z$ comme paramètres libres : posons $y=s$, $z=t$. Alors $x=3-s-t$. Ensemble des solutions : $\{(3-s-t,\;s,\;t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}$ (un plan dans $\mathbb{R}^3$). ### Exemple 3 (système incompatible) Résoudre $$ \begin{cases} x+y+z=1\\[2mm] x+y+z=2\\[2mm] 2x+2y+2z=5 \end{cases} $$ Les deux premières équations donnent $1=2$, contradiction immédiate → aucun solution. Formellement, rang de $A$ = 1 (toutes les lignes sont proportionnelles à $(1,1,1)$) tandis que rang de $[A|d]$ = 2 (la dernière ligne n’est pas une combinaison des premières). Donc système incompatible. --- ## III. Droites et distance d’un point à une droite ### Équation cartésienne d’une droite dans le plan > Une droite passant par le point $P_0(x_0,y_0)$ et ayant un vecteur directeur $\vec{v}=(a,b)$ avec $(a,b)\neq(0,0)$ s’écrit sous forme paramétrique : > $$ > \begin{cases} > x = x_0 + a t\\ > y = y_0 + b t > \end{cases} > \qquad t\in\mathbb{R}. > $$ > Si $a\neq0$ et $b\neq0$, on peut éliminer le paramètre pour obtenir > $$ > \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}. > $$ > En éliminant le paramètre de la forme paramétrique, on obtient l’équation réduite > $$ > bx-ay = bx_0-ay_0, > $$ > qui reste valable même lorsque l’une des composantes est nulle (dans ce cas elle décrit une droite verticale $x=x_0$ si $a=0$, ou une droite horizontale $y=y_0$ si $b=0$). > Une forme générale est $Ax+By+C=0$ avec $(A,B)\neq(0,0)$. ### Distance d’un point à une droite Soit la droite $d$ : $Ax+By+C=0$ et le point $P(x_p,y_p)$. La distance perpendiculaire de $P$ à $d$ est > $$ > \boxed{\displaystyle \operatorname{d}(P,d)=\frac{|Ax_p+By_p+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}. > $$ **Démonstration** : le vecteur normal à la droite est $\vec{n}=(A,B)$. La projection du vecteur $\vec{P_0P}$ (où $P_0$ est un point quelconque de la droite) sur $\vec{n}$ donne la longueur du segment perpendiculaire. La formule ci-dessus résulte du calcul de cette projection. ### Exemple 1 (équation d’une droite par deux points) Trouver l’équation de la droite passant par $A(1,2)$ et $B(4,5)$. Vecteur directeur $\vec{AB}=(3,3)$. On peut prendre $\vec{v}=(1,1)$ après simplification. Forme point‑direction : $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}$ → $x-1=y-2$ → $x-y+1=0$. Vérification : pour $B$, $4-5+1=0$ ✔. ### Exemple 2 (distance point‑droite) Calculer la distance du point $P(3,-1)$ à la droite $d : 2x-3y+6=0$. Application de la formule : $$ \operatorname{d}(P,d)=\frac{|2\cdot3+(-3)\cdot(-1)+6|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}} =\frac{|6+3+6|}{\sqrt{4+9}} =\frac{15}{\sqrt{13}} =\frac{15\sqrt{13}}{13}. $$ ### Exemple 3 (droite parallèle à une donnée) Écrire l’équation de la droite parallèle à $d : 4x-5y+10=0$ et passant par $Q(-2,3)$. Une droite parallèle a même vecteur normal, donc même coefficients $A,B$ : $4x-5y+C=0$. On impose le passage par $Q$ : $4(-2)-5(3)+C=0$ → $-8-15+C=0$ → $C=23$. Équation recherchée : $4x-5y+23=0$. --- ## Synthèse du chapitre - **Système à deux inconnues** : résolution par substitution, égalité ou combinaison linéaire ; nombre de solutions déterminé par le déterminant $\Delta=a_1b_2-a_2b_1$. - **Système à trois inconnues** : méthode de Gauss (élimination) ; analyse des solutions via les rangs de $A$ et de la matrice augmentée. - **Droite dans le plan** : forme réduite $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}$ (si $a,b\neq0$) ou forme générale $Ax+By+C=0$. - **Distance point‑droite** : $\displaystyle d(P,d)=\frac{|Ax_p+By_p+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$. > **À retenir** : > - $\Delta\neq0$ ⇒ solution unique pour un système 2×2. > - Si $\Delta=0$ et les deux équations sont proportionnelles, c’est‑à‑dire $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ (lorsque les dénominateurs sont non nuls) ⇒ infinité de solutions (droites confondues). > - Si $\Delta=0$ et les coefficients sont proportionnels mais pas les constantes, c’est‑à‑dire $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq\dfrac{c_1}{c_2}$ ⇒ aucune solution (droites parallèles distinctes). > - Pour un système 3×3, $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A|d])=3$ ⇒ solution unique. > - La distance d’un point à une droite s’obtient par la formule du quotient du produit scalaire absolu par la norme du vecteur normal. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Système linéaire | Ensemble d’équations du premier degré dont les inconnues apparaissent uniquement au premier degré. | | Déterminant (2×2) | $\Delta = a_1b_2-a_2b_1$ ; détermine le nombre de solutions d’un système à deux inconnues. | | Méthode de Gauss | Suite d’opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice augmentée pour obtenir une forme échelonnée. | | Rang d’une matrice | Nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes. | | Vecteur directeur | Vecteur non nul parallèle à une droite ; donne sa direction. | | Vecteur normal | Vecteur orthogonal à une droite ; pour $Ax+By+C=0$, $\vec{n}=(A,B)$. | | Distance point‑droite | Longueur du segment perpendiculaire reliant un point à une droite. | | Solution unique | Un seul couple (ou triplet) satisfait toutes les équations du système. | | Solution infinie | Une infinité de couples (ou triplets) satisfont le système ; correspond à une droite ou un plan d’intersection. | | Système incompatible | Aucun couple (ou triplet) ne satisfait toutes les équations ; les droites/plans sont parallèles distincts. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (système 2×2, substitution) Résoudre : $$ \begin{cases} 3x-4y=5\\[2mm] 2x+y=7 \end{cases} $$ **Corrigé** 1. De la seconde équation : $y=7-2x$. 2. Substitution dans la première : $3x-4(7-2x)=5$ → $3x-28+8x=5$ → $11x=33$ → $x=3$. 3. Alors $y=7-2\cdot3=1$. Solution : $(x,y)=(3,1)$. --- ### Exercice 2 (système 2×2, combinaison linéaire, cas parallèle) Résoudre : $$ \begin{cases} 5x+10y=20\\[2mm] x+2y=5 \end{cases} $$ **Corrigé** On remarque que la première équation est $5\times$ la seconde du côté gauche : $5(x+2y)=5x+10y$, mais le second membre donnerait $5\cdot5=25\neq20$. Donc les droites sont parallèles distinctes → aucune solution. Vérification par déterminant : $\Delta =5\cdot2-1\cdot10=10-10=0$. Comme $\dfrac{5}{1}=\dfrac{10}{2}=5$ alors que $\dfrac{20}{5}=4\neq5$, le système est incompatible. --- ### Exercice 3 (système 3×3, méthode de Gauss, solution unique) Résoudre : $$ \begin{cases} x-y+z=2\\[2mm] 2x+y-3z=-1\\[2mm] - x+2y+z=3 \end{cases} $$ **Corrigé** Matrice augmentée : $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&2\\ 2&1&-3&-1\\ -1&2&1&3 \end{array}\right]. $$ - $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $[0,3,-5\mid -5]$. - $L_3\leftarrow L_3+L_1$ : $[0,1,2\mid 5]$. Matrice : $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&2\\ 0&3&-5&-5\\ 0&1&2&5 \end{array}\right]. $$ - $L_3\leftarrow L_3-\frac13 L_2$ : $[0,0,\frac{11}{3}\mid \frac{20}{3}]$. Maintenant : $$ \frac{11}{3}z=\frac{20}{3}\;\Longrightarrow\;z=\frac{20}{11}. $$ - De $L_2$ : $3y-5z=-5$ → $3y=5z-5=5\cdot\frac{20}{11}-5=\frac{100}{11}-\frac{55}{11}=\frac{45}{11}$ → $y=\frac{15}{11}$. - De $L_1$ : $x-y+z=2$ → $x=2+y-z=2+\frac{15}{11}-\frac{20}{11}=2-\frac{5}{11}=\frac{22}{11}-\frac{5}{11}=\frac{17}{11}$. Solution : $\displaystyle\left(\frac{17}{11},\;\frac{15}{11},\;\frac{20}{11}\right)$. --- ### Exercice 4 (droite et distance) Trouver la distance du point $P(-1,4)$ à la droite $d$ passant par $A(2,-3)$ et $B(5,0)$. **Corrigé** 1. Vecteur directeur $\vec{AB}=(3,3)$ → on peut prendre $\vec{v}=(1,1)$. 2. Équation de la droite sous forme réduite : $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+3}{1}$ → $x-2=y+3$ → $x-y-5=0$. Ainsi $A=1,\;B=-1,\;C=-5$. 3. Distance : $$ d(P,d)=\frac{|1\cdot(-1)+(-1)\cdot4-5|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} =\frac{|-1-4-5|}{\sqrt{2}} =\frac{10}{\sqrt{2}} =5\sqrt{2}. $$ --- ### Exercice 5 (système 3×3, rang < 3, infinité de solutions) Résoudre : $$ \begin{cases} x+2y-z=4\\[2mm] 2x+4y-2z=8\\[2mm] - x-2y+z=-4 \end{cases} $$ **Corrigé** On remarque que la deuxième équation est $2\times$ la première et la troisième est $-1\times$ la première. Donc les trois équations sont linéairement dépendantes. Matrice augmentée après réduction : $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&4\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\right]. $$ Rang de $A$ = 1, rang de $[A|d]$ = 1 (<3). On prend $y=s$, $z=t$ comme paramètres libres. Alors $x=4-2s+t$. Ensemble des solutions : $\{(4-2s+t,\;s,\;t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}$ (un plan). --- ### Exercice 6 (droite parallèle à une donnée) Écrire l’équation de la droite parallèle à $3x-4y+7=0$ et passant par le point $M(-2,5)$. **Corrigé** Une droite parallèle conserve les mêmes coefficients $A,B$ : $3x-4y+C=0$. On impose le passage par $M$ : $3(-2)-4(5)+C=0$ → $-6-20+C=0$ → $C=26$. Équation recherchée : $3x-4y+26=0$. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier de vérifier le déterminant avant de conclure à une solution unique** - *Piège* : résoudre un système 2×2 en obtenant une valeur pour $x$ et $y$ sans vérifier $\Delta$. Si $\Delta=0$, la solution trouvée peut être fausse ou le système peut avoir infinité ou aucune solution. - *Astuce* : toujours calculer $\Delta=a_1b_2-a_2b_1$ en premier ; si $\Delta=0$, examiner les rapports des constantes. 2. **Confondre les opérations de ligne lors de la méthode de Gauss** - *Piège* : ajouter un multiple d’une ligne à une autre en oubliant de changer le second membre, ce qui fausse l’équation augmentée. - *Astuce* : noter explicitement chaque opération (ex. $L_2\leftarrow L_2-3L_1$) et appliquer le même facteur aux coefficients et au terme constant. 3. **Utiliser la mauvaise formule pour la distance point‑droite** - *Piège* : mettre le signe absolu uniquement sur le numérateur ou oublier la racine au dénominateur. - *Astuce* : rappeler que la distance est $\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ; vérifier la dimension (le résultat doit être positif). 4. **Ne pas réduire le vecteur directeur lorsqu’on cherche l’équation d’une droite** - *Piège* : prendre $\vec{v}=(a,b)$ tel quel et écrire $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}$ alors que $a$ ou $b$ est nul, conduisant à une division par zéro. - *Astuce* : si une composante est nulle, utiliser la forme adaptée (droite verticale $x=x_0$ ou horizontale $y=y_0$). 5. **Interpréter mal un système avec $\Delta=0$ et des rapports égaux** - *Piège* : croire qu’il n’y a pas de solution alors qu’il y en a une infinité (droites confondues). - *Astuce* : quand $\Delta=0$, vérifier si les deux équations sont proportionnelles, c’est‑à‑dire $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ (lorsque les dénominateurs sont non nuls). Si oui, les droites sont confondues ; sinon, elles sont parallèles distinctes et le système n’a pas de solution. 6. **Oublier de vérifier la compatibilité d’un système 3×3 en comparant les rangs** - *Piège* : conclure à une solution unique après avoir obtenu une forme triangulaire sans vérifier qu’aucune ligne n’est devenue $[0\;0\;0\;|\;k]$ avec $k\neq0$. - *Astuce* : après réduction, si une ligne du type $[0\;0\;0\;|\;k]$ apparaît avec $k\neq0$, le système est incompatible. --- *Fin du cours.*