Dérivation d'une fonction numérique

# Dérivation d'une fonction numérique ## Introduction La dérivation est l'un des outils fondamentaux de l'analyse mathématique. Introduite par Newton et Leibniz au XVIIe siècle, elle permet d'étudier le comportement local d'une fonction : sa vitesse de variation instantanée, sa pente en un point, ses variations et ses extrema. Dans ce chapitre, nous allons définir rigoureusement la notion de dérivée, établir les règles de calcul, puis utiliser cet outil pour l'étude complète des fonctions numériques. Ce chapitre constitue la pierre angulaire de l'analyse en classe de Première C et E, et prépare directement aux notions de limites et d'intégration qui seront abordées en Terminale. --- ## I. Dérivabilité en un réel ### I.1. Taux d'accroissement Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, et soit $a \in I$. Pour tout réel $h \neq 0$ tel que $a + h \in I$, on appelle **taux d'accroissement** (ou taux de variation) de $f$ entre $a$ et $a+h$ le quotient : $$ \tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ Ce quotient représente la pente de la sécante à la courbe $\mathcal{C}_f$ passant par les points $A(a, f(a))$ et $M(a+h, f(a+h))$. > **À RETENIR** — Taux d'accroissement > Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : > $$\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ > Il mesure la variation moyenne de $f$ sur l'intervalle d'extrémités $a$ et $a+h$. ### I.2. Nombre dérivé **Définition** : On dit que $f$ est **dérivable en $a$** si le taux d'accroissement $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$. Cette limite, lorsqu'elle existe, est appelée **nombre dérivé** de $f$ en $a$ et est notée $f'(a)$ : $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ > **À RETENIR** — Nombre dérivé > $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ existe et est finie. On note cette limite $f'(a)$. **Interprétation géométrique** : Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. **Exemple 1** : Soit $f(x) = x^2$. Calculons $f'(3)$. $$ \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h $$ Lorsque $h \to 0$, on a $6 + h \to 6$. Donc $f'(3) = 6$. **Exemple 2** : Soit $f(x) = \sqrt{x}$, définie sur $[0, +\infty[$. Étudions la dérivabilité en $a > 0$. $$ \frac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(\sqrt{a+h} - \sqrt{a})(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})} = \frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}} $$ Lorsque $h \to 0$, cette expression tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$. Donc $f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$ pour tout $a > 0$. **Exemple 3** : Soit $f(x) = |x|$. Étudions la dérivabilité en $0$. Pour $h > 0$ : $\frac{|h| - |0|}{h} = \frac{h}{h} = 1$. Pour $h < 0$ : $\frac{|h| - |0|}{h} = \frac{-h}{h} = -1$. Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$. ### I.3. Dérivabilité à gauche et à droite **Définition** : On dit que $f$ est **dérivable à droite** en $a$ si la limite suivante existe et est finie : $$ f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ On dit que $f$ est **dérivable à gauche** en $a$ si la limite suivante existe et est finie : $$ f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ > **À RETENIR** — Dérivabilité à gauche et à droite > $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$ et $f'_g(a) = f'_d(a)$. Dans ce cas, $f'(a) = f'_g(a) = f'_d(a)$. **Exemple 4** : Reprenons $f(x) = |x|$ en $a = 0$. On a $f'_d(0) = 1$ et $f'_g(0) = -1$. Comme $f'_d(0) \neq f'_g(0)$, $f$ n'est pas dérivable en $0$. **Exemple 5** : Soit $f(x) = x\sqrt{x}$ définie sur $[0, +\infty[$. En $a = 0$ : $$ \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{h\sqrt{h}}{h} = \sqrt{h} \xrightarrow[h \to 0^+]{} 0 $$ Donc $f'_d(0) = 0$. La fonction est dérivable à droite en $0$. ### I.4. Dérivabilité sur un intervalle **Définition** : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. - On dit que $f$ est **dérivable sur $I$** si $f$ est dérivable en tout point de $I$. - On dit que $f$ est **dérivable sur $[a, b]$** si $f$ est dérivable sur $]a, b[$, dérivable à droite en $a$ et dérivable à gauche en $b$. **Définition** : Si $f$ est dérivable sur $I$, la fonction qui à tout $x \in I$ associe $f'(x)$ s'appelle la **fonction dérivée** de $f$ et se note $f'$. > **À RETENIR** — Fonction dérivée > Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, la fonction $f' : x \mapsto f'(x)$ définie sur $I$ est appelée fonction dérivée de $f$. ### I.5. Dérivées des fonctions usuelles | Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Domaine de dérivabilité | |:---:|:---:|:---:| | $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ | | $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ | | $x^2$ | $2x$ | $\mathbb{R}$ | | $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ | | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ | | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0, +\infty[$ | | $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ | | $\tan x$ | $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ | $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ | **Démonstration pour $f(x) = \frac{1}{x}$** : Pour $a \neq 0$ et $h \neq 0$ tel que $a + h \neq 0$ : $$ \frac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{\frac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{a(a+h) \cdot h} = \frac{-1}{a(a+h)} $$ Lorsque $h \to 0$, on obtient $\frac{-1}{a^2}$. Donc $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ pour tout $x \neq 0$. **Démonstration pour $f(x) = \sin x$** : Pour tout $a \in \mathbb{R}$ : $$ \frac{\sin(a+h) - \sin a}{h} = \frac{2\cos\left(a + \frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \cos\left(a + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} $$ En utilisant $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, on obtient lorsque $h \to 0$ : $\cos(a) \cdot 1 = \cos a$. Donc $(\sin x)' = \cos x$. --- ## II. Opérations sur les fonctions dérivables ### II.1. Somme et produit par une constante **Théorème** : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k \in \mathbb{R}$ une constante. Alors : 1. $u + v$ est dérivable sur $I$ et $(u + v)' = u' + v'$ 2. $ku$ est dérivable sur $I$ et $(ku)' = ku'$ **Démonstration** : Pour tout $a \in I$ et $h \neq 0$ : $$ \frac{(u+v)(a+h) - (u+v)(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h} + \frac{v(a+h) - v(a)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} u'(a) + v'(a) $$ Le cas du produit par une constante se démontre de manière analogue. ### II.2. Produit de deux fonctions **Théorème** : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors $u \cdot v$ est dérivable sur $I$ et : $$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$ **Démonstration** : Pour tout $a \in I$ et $h \neq 0$ : $$ \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a+h) + u(a)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} $$ $$ = \frac{u(a+h) - u(a)}{h} \cdot v(a+h) + u(a) \cdot \frac{v(a+h) - v(a)}{h} $$ Lorsque $h \to 0$, le premier terme tend vers $u'(a) \cdot v(a)$ (car $v(a+h) \to v(a)$ par continuité) et le second vers $u(a) \cdot v'(a)$. D'où le résultat. > **À RETENIR** — Dérivée d'un produit > $$(uv)' = u'v + uv'$$ **Exemple 6** : Soit $f(x) = x^2 \sin x$. Avec $u(x) = x^2$ et $v(x) = \sin x$ : $$ f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x = 2x\sin x + x^2\cos x $$ ### II.3. Quotient de deux fonctions **Théorème** : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $v(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$. Alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ **Démonstration** : On commence par démontrer que $\frac{1}{v}$ est dérivable. Pour $a \in I$ et $h \neq 0$ : $$ \frac{\frac{1}{v(a+h)} - \frac{1}{v(a)}}{h} = \frac{v(a) - v(a+h)}{h \cdot v(a+h)v(a)} = -\frac{v(a+h) - v(a)}{h} \cdot \frac{1}{v(a+h)v(a)} $$ Lorsque $h \to 0$, cela tend vers $-v'(a) \cdot \frac{1}{v(a)^2} = -\frac{v'(a)}{v(a)^2}$. Puis, en appliquant la formule du produit à $u \cdot \frac{1}{v}$ : $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = u' \cdot \frac{1}{v} + u \cdot \left(-\frac{v'}{v^2}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ > **À RETENIR** — Dérivée d'un quotient > $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ **Exemple 7** : Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Avec $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = x-3$ : $$ f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2} $$ ### II.4. Composée d'une fonction affine par une fonction **Théorème** : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et soit $g(x) = f(ax + b)$ où $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \neq 0$. Alors $g$ est dérivable sur l'ensemble des $x$ tels que $ax + b \in I$, et : $$ g'(x) = a \cdot f'(ax + b) $$ **Démonstration** : Pour $x$ fixé et $h \neq 0$ : $$ \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \frac{f(a(x+h)+b) - f(ax+b)}{h} = \frac{f(ax+b + ah) - f(ax+b)}{h} $$ $$ = a \cdot \frac{f(ax+b + ah) - f(ax+b)}{ah} $$ Lorsque $h \to 0$, on a $ah \to 0$, donc $\frac{f(ax+b + ah) - f(ax+b)}{ah} \to f'(ax+b)$. D'où $g'(x) = a \cdot f'(ax+b)$. > **À RETENIR** — Dérivée d'une composée avec fonction affine > Si $g(x) = f(ax+b)$, alors $g'(x) = a \cdot f'(ax+b)$. **Exemple 8** : Soit $g(x) = \sqrt{3x - 1}$, définie sur $\left[\frac{1}{3}, +\infty\right[$. Ici $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 3$, $b = -1$. Pour $x > \frac{1}{3}$ : $$ g'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x-1}} = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}} $$ **Exemple 9** : Soit $g(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{4})$. Ici $f(x) = \sin x$, $a = 2$, $b = \frac{\pi}{4}$ : $$ g'(x) = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $$ ### II.5. Tableau récapitulatif des opérations | Opération | Dérivée | |:---:|:---:| | $(u + v)'$ | $u' + v'$ | | $(ku)'$ | $ku'$ | | $(uv)'$ | $u'v + uv'$ | | $\left(\frac{u}{v}\right)'$ | $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ | | $(f(ax+b))'$ | $a \cdot f'(ax+b)$ | **Exemple 10** : Calculons la dérivée de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Avec $u(x) = x^2 + 1$ et $v(x) = x^2 - 1$ : $$ f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - (x^2+1)(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2} $$ --- ## III. Sens de variation, tableau de variations, extrema ### III.1. Lien entre signe de la dérivée et variations **Théorème fondamental** : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 1. Si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est **croissante** sur $I$. 2. Si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est **décroissante** sur $I$. 3. Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est **constante** sur $I$. 4. Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$ (sauf éventuellement en des points isolés), alors $f$ est **strictement croissante** sur $I$. 5. Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$ (sauf éventuellement en des points isolés), alors $f$ est **strictement décroissante** sur $I$. > **À RETENIR** — Lien dérivée et monotonie > Le signe de $f'(x)$ sur un intervalle détermine le sens de variation de $f$ : > - $f' \geq 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ croissante sur $I$ > - $f' \leq 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ décroissante sur $I$ > - $f' = 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ constante sur $I$ **Démonstration** (idée) : Pour $x_1 < x_2$ dans $I$, le théorème des accroissements finis (admis en Première) garantit l'existence de $c \in ]x_1, x_2[$ tel que $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$. Le signe de $f(x_2) - f(x_1)$ est donc celui de $f'(c)$. ### III.2. Extrema d'une fonction **Définition** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a \in I$. - $f$ admet un **maximum local** en $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x \in J \cap I$. - $f$ admet un **minimum local** en $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in J \cap I$. - On parle de **maximum global** (ou absolu) sur $I$ si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x \in I$, et de **minimum global** si $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in I$. **Théorème** : Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $a \in I$, alors $f'(a) = 0$. > **À RETENIR** — Condition nécessaire d'extremum > Si $f$ admet un extremum local en $a$ et est dérivable en $a$, alors $f'(a) = 0$. La réciproque est fausse : $f'(a) = 0$ n'implique pas nécessairement un extremum (exemple : $f(x) = x^3$ en $0$). **Démonstration** : Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$. Pour $h > 0$ suffisamment petit, $f(a+h) \leq f(a)$, donc $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \leq 0$, d'où $f'_d(a) \leq 0$. Pour $h < 0$ suffisamment petit, $f(a+h) \leq f(a)$, donc $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ (car $h < 0$), d'où $f'_g(a) \geq 0$. Comme $f$ est dérivable, $f'_d(a) = f'_g(a) = f'(a)$, donc $f'(a) \leq 0$ et $f'(a) \geq 0$, ce qui donne $f'(a) = 0$. **Théorème réciproque (condition suffisante)** : Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ : - Si $f'$ passe de $+$ à $-$ en $a$, alors $f$ admet un **maximum local** en $a$. - Si $f'$ passe de $-$ à $+$ en $a$, alors $f$ admet un **minimum local** en $a$. ### III.3. Tableau de variations Le tableau de variations est un outil de synthèse qui regroupe : - Le domaine de définition - Le signe de $f'(x)$ - Le sens de variation de $f$ - Les valeurs particulières (extrema, limites aux bornes) **Exemple 11** : Étude complète de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$. **Étape 1** : Domaine de définition : $D_f = \mathbb{R}$. **Étape 2** : Calcul de la dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. **Étape 3** : Signe de $f'(x)$ : $f'(x) = 0 \iff x = -1$ ou $x = 1$. - Pour $x < -1$ : $x - 1 < 0$ et $x + 1 < 0$, donc $f'(x) > 0$. - Pour $-1 < x < 1$ : $x - 1 < 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f'(x) < 0$. - Pour $x > 1$ : $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f'(x) > 0$. **Étape 4** : Valeurs aux points critiques : $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ et $f(1) = 1 - 3 = -2$. **Étape 5** : Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $1$ | | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $2$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | $f$ admet un maximum local en $x = -1$ valant $2$, et un minimum local en $x = 1$ valant $-2$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x^3 - 3x","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^3 - 3x","points":[[-3,-18],[-2.8,-13.55],[-2.6,-9.78],[-2.4,-6.62],[-2.2,-4.05],[-2,-2],[-1.8,-0.43],[-1.6,0.70],[-1.4,1.46],[-1.2,1.87],[-1,2],[-0.8,1.89],[-0.6,1.58],[-0.4,1.14],[-0.2,0.59],[0,0],[0.2,-0.59],[0.4,-1.14],[0.6,-1.58],[0.8,-1.89],[1,-2],[1.2,-1.87],[1.4,-1.46],[1.6,-0.70],[1.8,0.43],[2,2],[2.2,4.05],[2.4,6.62],[2.6,9.78],[2.8,13.55],[3,18]]}]} ``` ### III.4. Méthode générale d'étude d'une fonction Pour étudier une fonction $f$, on suit les étapes suivantes : 1. **Déterminer le domaine de définition** $D_f$. 2. **Calculer la dérivée** $f'(x)$. 3. **Étudier le signe de $f'(x)$** sur $D_f$ (factorisation, tableau de signes). 4. **Construire le tableau de variations** en indiquant les limites aux bornes et les valeurs aux points où $f'$ s'annule. 5. **Identifier les extrema** locaux et globaux. 6. **Tracer la courbe représentative** si nécessaire. **Exemple 12** : Étude complète de $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$. **Étape 1** : $D_f = \mathbb{R}$ (le dénominateur $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$). **Étape 2** : Dérivée avec la formule du quotient ($u = x$, $v = x^2 + 1$) : $$ f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2} $$ **Étape 3** : Signe de $f'(x)$ : le dénominateur est toujours positif, donc le signe est celui de $(1-x)(1+x)$. - Pour $x < -1$ : $1 - x > 0$ et $1 + x < 0$, donc $f'(x) < 0$. - Pour $-1 < x < 1$ : $1 - x > 0$ et $1 + x > 0$, donc $f'(x) > 0$. - Pour $x > 1$ : $1 - x < 0$ et $1 + x > 0$, donc $f'(x) < 0$. **Étape 4** : Valeurs : $f(-1) = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$ et $f(1) = \frac{1}{2}$. Limites : $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = 0$. **Étape 5** : Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $1$ | | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f(x)$ | $0$ | $\searrow$ | $-\frac{1}{2}$ | $\nearrow$ | $\frac{1}{2}$ | $\searrow$ | $0$ | $f$ admet un minimum global en $x = -1$ valant $-\frac{1}{2}$ et un maximum global en $x = 1$ valant $\frac{1}{2}$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x/(x^2+1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x/(x^2+1)","points":[[-5,-0.19],[-4.5,-0.21],[-4,-0.24],[-3.5,-0.26],[-3,-0.3],[-2.5,-0.34],[-2,-0.4],[-1.5,-0.46],[-1.2,-0.49],[-1,-0.5],[-0.8,-0.49],[-0.6,-0.44],[-0.4,-0.34],[-0.2,-0.19],[0,0],[0.2,0.19],[0.4,0.34],[0.6,0.44],[0.8,0.49],[1,0.5],[1.2,0.49],[1.5,0.46],[2,0.4],[2.5,0.34],[3,0.3],[3.5,0.26],[4,0.24],[4.5,0.21],[5,0.19]]}]} ``` ### III.5. Extrema sur un intervalle fermé **Théorème** : Si $f$ est continue sur un intervalle fermé borné $[a, b]$, alors $f$ admet un maximum et un minimum globaux sur $[a, b]$. **Méthode** : Pour trouver les extrema de $f$ sur $[a, b]$ : 1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$ dans $]a, b[$. 2. Calculer $f$ en ces points critiques et en $a$ et $b$. 3. Le plus grand de ces nombres est le maximum global, le plus petit est le minimum global. **Exemple 13** : Trouver les extrema de $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $[0, 3]$. $f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$. Donc $f'(x) = 0 \iff x = 2 \in ]0, 3[$. $f(0) = 3$, $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$, $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$. Le maximum global sur $[0, 3]$ est $3$ (atteint en $x = 0$) et le minimum global est $-1$ (atteint en $x = 2$). --- ## IV. Approximation affine, tangente et demi-tangentes ### IV.1. Tangente à une courbe **Définition** : Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. La **tangente** à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a, f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$. **Équation de la tangente** : La tangente $T_a$ au point d'abscisse $a$ a pour équation : $$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$ > **À RETENIR** — Équation de la tangente > La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation : > $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ **Exemple 14** : Soit $f(x) = x^2$. En $a = 3$, on a $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$. L'équation de la tangente est : $$ y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9 $$ **Exemple 15** : Soit $f(x) = \sqrt{x}$. En $a = 4$, on a $f(4) = 2$ et $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$. L'équation de la tangente est : $$ y = \frac{1}{4}(x - 4) + 2 = \frac{x}{4} - 1 + 2 = \frac{x}{4} + 1 $$ ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = sqrt(x) et sa tangente en x=4","type":"line","series":[{"label":"f(x) = sqrt(x)","points":[[0,0],[0.25,0.5],[0.5,0.71],[0.75,0.87],[1,1],[1.25,1.12],[1.5,1.22],[1.75,1.32],[2,1.41],[2.25,1.5],[2.5,1.58],[2.75,1.66],[3,1.73],[3.25,1.8],[3.5,1.87],[3.75,1.94],[4,2],[4.25,2.06],[4.5,2.12],[4.75,2.18],[5,2.24],[5.25,2.29],[5.5,2.35],[5.75,2.4],[6,2.45],[6.25,2.5],[6.5,2.55],[6.75,2.6],[7,2.65],[7.25,2.69],[7.5,2.74],[7.75,2.78],[8,2.83]]},{"label":"Tangente y = x/4 + 1","points":[[0,1],[0.5,1.13],[1,1.25],[1.5,1.38],[2,1.5],[2.5,1.63],[3,1.75],[3.5,1.88],[4,2],[4.5,2.13],[5,2.25],[5.5,2.38],[6,2.5],[6.5,2.63],[7,2.75],[7.5,2.88],[8,3]]}]} ``` ### IV.2. Approximation affine **Théorème** : Si $f$ est dérivable en $a$, alors pour $h$ proche de $0$ : $$ f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h $$ Cette approximation est d'autant meilleure que $h$ est petit. On dit que $f(a) + f'(a) \cdot h$ est l'**approximation affine** (ou approximation linéaire) de $f(a+h)$ au voisinage de $a$. > **À RETENIR** — Approximation affine > Pour $h$ proche de $0$ : > $$f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h$$ **Justification** : Par définition de la dérivée, $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \approx f'(a)$ pour $h$ proche de $0$. En multipliant par $h$ et en réorganisant, on obtient l'approximation affine. **Exemple 16** : Calculer une valeur approchée de $\sqrt{4,02}$. Soit $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 4$, $h = 0,02$. On a $f(4) = 2$ et $f'(4) = \frac{1}{4}$. $$ \sqrt{4,02} = f(4 + 0,02) \approx f(4) + f'(4) \times 0,02 = 2 + \frac{1}{4} \times 0,02 = 2 + 0,005 = 2,005 $$ La valeur exacte est $\sqrt{4,02} \approx 2,00499...$, donc l'approximation est excellente. **Exemple 17** : Calculer une valeur approchée de $\sin(0,1)$. Soit $f(x) = \sin x$, $a = 0$, $h = 0,1$. On a $f(0) = 0$ et $f'(0) = \cos 0 = 1$. $$ \sin(0,1) \approx 0 + 1 \times 0,1 = 0,1 $$ La valeur exacte est $\sin(0,1) \approx 0,09983...$, l'approximation est très bonne. ### IV.3. Demi-tangentes et point anguleux **Définition** : Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $a$. - Si $f$ est dérivable à droite en $a$, la **demi-tangente à droite** au point $A(a, f(a))$ est la demi-droite d'équation $y = f'_d(a)(x - a) + f(a)$ pour $x \geq a$. - Si $f$ est dérivable à gauche en $a$, la **demi-tangente à gauche** au point $A(a, f(a))$ est la demi-droite d'équation $y = f'_g(a)(x - a) + f(a)$ pour $x \leq a$. **Définition** : On dit que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un **point anguleux** (ou point de rebroussement) en $A(a, f(a))$ si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$ mais que $f'_g(a) \neq f'_d(a)$. > **À RETENIR** — Point anguleux > Si $f'_g(a) \neq f'_d(a)$, la courbe présente un point anguleux en $A(a, f(a))$ : les deux demi-tangentes sont distinctes et forment un angle. **Exemple 18** : Soit $f(x) = |x|$. En $a = 0$, on a $f'_d(0) = 1$ et $f'_g(0) = -1$. La courbe admet un point anguleux en $O(0, 0)$. - Demi-tangente à droite : $y = x$ pour $x \geq 0$. - Demi-tangente à gauche : $y = -x$ pour $x \leq 0$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = |x| avec point anguleux en O","type":"line","series":[{"label":"f(x) = |x|","points":[[-5,5],[-4.5,4.5],[-4,4],[-3.5,3.5],[-3,3],[-2.5,2.5],[-2,2],[-1.5,1.5],[-1,1],[-0.5,0.5],[0,0],[0.5,0.5],[1,1],[1.5,1.5],[2,2],[2.5,2.5],[3,3],[3.5,3.5],[4,4],[4.5,4.5],[5,5]]}]} ``` **Exemple 19** : Soit $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$. Étudions la dérivabilité en $0$. $$ \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{h^{2/3}}{h} = h^{-1/3} = \frac{1}{h^{1/3}} $$ Lorsque $h \to 0^+$, $\frac{1}{h^{1/3}} \to +\infty$. Lorsque $h \to 0^-$, $\frac{1}{h^{1/3}} \to -\infty$. Les limites sont infinies, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ (ni à gauche ni à droite au sens fini). La courbe admet une tangente verticale en $O(0,0)$. ### IV.4. Cas où la dérivée est infinie **Définition** : Si $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = +\infty$ (ou $-\infty$), on dit que la courbe admet une **tangente verticale** au point $A(a, f(a))$. **Exemple 20** : Soit $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 0$. $$ \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} \xrightarrow[h \to 0^+]{} +\infty $$ La courbe admet une tangente verticale à l'origine. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = sqrt(x) avec tangente verticale en O","type":"line","series":[{"label":"f(x) = sqrt(x)","points":[[0,0],[0.1,0.32],[0.2,0.45],[0.3,0.55],[0.4,0.63],[0.5,0.71],[0.6,0.77],[0.7,0.84],[0.8,0.89],[0.9,0.95],[1,1],[1.2,1.1],[1.4,1.18],[1.6,1.26],[1.8,1.34],[2,1.41],[2.2,1.48],[2.4,1.55],[2.6,1.61],[2.8,1.67],[3,1.73],[3.2,1.79],[3.4,1.84],[3.6,1.9],[3.8,1.95],[4,2],[4.2,2.05],[4.4,2.1],[4.6,2.14],[4.8,2.19],[5,2.24]]}]} ``` ### IV.5. Application : méthode de Newton pour les approximations L'approximation affine est à la base de la méthode de Newton pour trouver des valeurs approchées de racines d'équations. L'idée est de remplacer localement la courbe par sa tangente. **Exemple 21** : Trouver une valeur approchée de $\sqrt{5}$. Soit $f(x) = x^2 - 5$. On cherche $x > 0$ tel que $f(x) = 0$. On sait que $\sqrt{5} \approx 2,236$. Prenons $a = 2$ comme point de départ. $f(2) = 4 - 5 = -1$ et $f'(x) = 2x$, donc $f'(2) = 4$. L'équation de la tangente en $a = 2$ est : $y = 4(x - 2) - 1 = 4x - 9$. L'intersection avec l'axe des abscisses : $4x - 9 = 0 \iff x = \frac{9}{4} = 2,25$. On itère avec $a = 2,25$ : $f(2,25) = 5,0625 - 5 = 0,0625$ et $f'(2,25) = 4,5$. Tangente : $y = 4,5(x - 2,25) + 0,0625$. Intersection avec l'axe : $4,5(x - 2,25) + 0,0625 = 0 \iff x = 2,25 - \frac{0,0625}{4,5} = 2,25 - 0,0139 = 2,2361$. La valeur exacte est $\sqrt{5} \approx 2,23607$, donc l'approximation est déjà excellente après deux itérations. --- ## V. Synthèse et exemples complets ### V.1. Exemple complet : étude de $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ **Étape 1** : Domaine de définition : $D_f = \mathbb{R}$ car $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$. **Étape 2** : Dérivée : $$ f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2} $$ **Étape 3** : Signe de $f'(x)$ : le dénominateur est toujours positif, donc $f'(x)$ a le signe de $4x$, c'est-à-dire de $x$. - $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ - $f'(x) = 0$ pour $x = 0$ - $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ **Étape 4** : Valeurs et limites : $f(0) = \frac{-1}{1} = -1$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$. **Étape 5** : Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $1$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $1$ | $f$ admet un minimum global en $x = 0$ valant $-1$. La droite $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et $-\infty$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (x^2-1)/(x^2+1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (x^2-1)/(x^2+1)","points":[[-5,0.92],[-4.5,0.9],[-4,0.88],[-3.5,0.85],[-3,0.8],[-2.5,0.72],[-2,0.6],[-1.5,0.38],[-1,0],[-0.8,-0.22],[-0.6,-0.47],[-0.4,-0.72],[-0.2,-0.92],[0,-1],[0.2,-0.92],[0.4,-0.72],[0.6,-0.47],[0.8,-0.22],[1,0],[1.5,0.38],[2,0.6],[2.5,0.72],[3,0.8],[3.5,0.85],[4,0.88],[4.5,0.9],[5,0.92]]}]} ``` ### V.2. Exemple complet : étude de $f(x) = x + \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ **Étape 1** : $D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$. **Étape 2** : Dérivée : $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$. **Étape 3** : Signe de $f'(x)$ : $x^2 > 0$ sur $D_f$, donc le signe est celui de $(x-1)(x+1)$. - Sur $]-\infty, -1[$ : $x - 1 < 0$ et $x + 1 < 0$, donc $f'(x) > 0$. - Sur $]-1, 0[$ : $x - 1 < 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f'(x) < 0$. - Sur $]0, 1[$ : $x - 1 < 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f'(x) < 0$. - Sur $]1, +\infty[$ : $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f'(x) > 0$. **Étape 4** : Valeurs : $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$ et $f(1) = 1 + 1 = 2$. Limites : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$. **Étape 5** : Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $\Vert $ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $-2$ | $\searrow$ | $-\infty \Vert +\infty$ | $\searrow$ | $2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | $f$ admet un maximum local en $x = -1$ valant $-2$ et un minimum local en $x = 1$ valant $2$. La droite $x = 0$ est asymptote verticale, et la droite $y = x$ est asymptote oblique en $+\infty$ et $-\infty$ (car $f(x) - x = \frac{1}{x} \to 0$). ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x + 1/x","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x + 1/x","points":[[-5,-5.2],[-4.5,-4.72],[-4,-4.25],[-3.5,-3.79],[-3,-3.33],[-2.5,-2.9],[-2,-2.5],[-1.5,-2.17],[-1.2,-2.03],[-1,-2],[-0.8,-2.05],[-0.6,-2.27],[-0.4,-2.9],[-0.2,-5.2],[-0.1,-10.1],[0.1,10.1],[0.2,5.2],[0.4,2.9],[0.6,2.27],[0.8,2.05],[1,2],[1.2,2.03],[1.5,2.17],[2,2.5],[2.5,2.9],[3,3.33],[3.5,3.79],[4,4.25],[4.5,4.72],[5,5.2]]}]} ``` ### V.3. Problème concret : optimisation **Exemple 22** : Un agriculteur dispose de 400 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire adossé à une rivière (le côté longeant la rivière n'a pas besoin de clôture). Quelles dimensions donnent une aire maximale ? Soit $x$ la largeur de l'enclos (perpendiculaire à la rivière) et $y$ la longueur (parallèle à la rivière). La contrainte est $2x + y = 400$, donc $y = 400 - 2x$. L'aire est $A(x) = x \cdot y = x(400 - 2x) = 400x - 2x^2$, avec $0 \leq x \leq 200$. $A'(x) = 400 - 4x$. $A'(x) = 0 \iff x = 100$. $A'(x) > 0$ pour $x < 100$ et $A'(x) < 0$ pour $x > 100$. Donc $A$ admet un maximum en $x = 100$. $A(100) = 400 \times 100 - 2 \times 100^2 = 40000 - 20000 = 20000$ m². Les dimensions optimales sont $x = 100$ m et $y = 400 - 200 = 200$ m. L'aire maximale est $20000$ m². --- ## Conclusion La dérivation est un outil puissant et polyvalent de l'analyse mathématique. Dans ce chapitre, nous avons établi les fondements théoriques : taux d'accroissement, nombre dérivé, dérivabilité à gauche et à droite, et dérivabilité sur un intervalle. Nous avons ensuite développé les règles opératoires — somme, produit, quotient, composition avec une fonction affine — qui permettent de dériver efficacement toute fonction construite à partir des fonctions usuelles. Enfin, nous avons exploité le lien fondamental entre le signe de la dérivée et le sens de variation pour construire des tableaux de variations complets, identifier les extrema, et résoudre des problèmes d'optimisation concrets. L'approximation affine et la notion de tangente — y compris les cas particuliers des demi-tangentes et des points anguleux — complètent ce panorama en donnant une interprétation géométrique et numérique de la dérivée. Ces notions seront approfondies en Terminale avec l'étude des limites, la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires, et l'introduction de l'intégration, où la dérivation jouera le rôle de concept inverse. La maîtrise de la dérivation est donc indispensable pour la poursuite d'études scientifiques.