Bilan de matière en régime transitoire

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Écrire le bilan de matière général pour un système ouvert en régime transitoire, avec ou sans réaction chimique. - Identifier les grandeurs d’entrée, de sortie, de génération et de consommation pertinentes selon le procédé considéré. - Intégrer l’équation différentielle du bilan pour déterminer l’évolution temporelle d’une quantité (masse, nombre de moles, concentration) dans un réservoir, un réacteur batch ou semi‑batch. - Appliquer le bilan à des situations professionnelles camerounaises (remplissage d’un réservoir d’eau potable, production d’huile de palme en réacteur batch, fermentation d’un yaourt). - Vérifier l’homogénéité des unités et respecter les consignes de sécurité liées aux manipulations de fluides sous pression ou de produits chimiques. **Prérequis nécessaires :** - Notions de débit massique (kg·s⁻¹) et volumétrique (m³·s⁻¹). - Concept de concentration massique (kg·m⁻³) et molaire (mol·m⁻³). - Notions de réaction chimique : vitesse de réaction r (mol·m⁻³·s⁻¹), coefficient stœchiométrique νᵢ. - Manipulation des unités du Système International et conversion entre unités usuelles utilisées en atelier (L·h⁻¹, kg·h⁻¹). - Lecture de schémas de procédés simples (diagrammes de blocs, PFD). --- ## Introduction contextualisée Dans les industries de transformation du Cameroun (agroalimentaire, textile, traitement de l’eau, production de biocarburants), les procédés ne fonctionnent pas toujours en régime permanent. Lors du démarrage d’une unité, du changement de produit, ou lors d’une arrêt programmé, les variables (débit, température, concentration) varient avec le temps : on parle alors de **régime transitoire**. Le bilan de matière permet de suivre la quantité d’une espèce présente dans le système à chaque instant. Il constitue la base du dimensionnement des réservoirs de stockage, des réacteurs batch ou semi‑batch, et des étapes de nettoyage en place (CIP). Maîtriser ce bilan est donc indispensable pour garantir la productivité, la qualité du produit et la sécurité des opérateurs. --- ## I. Leçon 12 : Bilan en régime transitoire sans réaction chimique ### 1. Principe général Lorsque aucune réaction chimique n’a lieu dans le volume considéré, les seules sources ou puits de matière sont les flux d’entrée et de sortie. Le bilan de matière s’écrit : > **Bilan général sans réaction** > \[ > \frac{dM}{dt}= \sum \dot{m}_{in} - \sum \dot{m}_{out} > \] > où \(M\) est la masse totale du système (kg) et \(\dot{m}\) les débits massiques (kg·s⁻¹). Si le système est à densité constante \(\rho\) (kg·m⁻³) et de volume variable \(V\) (m³), on peut exprimer le bilan en termes de volume : > **Bilan volumétrique (densité constante)** > \[ > \frac{d(\rho V)}{dt}= \rho \left( \sum Q_{in} - \sum Q_{out} \right) > \] > avec \(Q\) le débit volumétrique (m³·s⁻¹). ### 2. Étapes de résolution d’un problème de bilan transitoire sans réaction 1. **Définir le système** (réservoir, colonne, réacteur) et tracer ses frontières. 2. **Lister tous les flux d’entrée et de sortie** (débit massique ou volumétrique, composition si nécessaire). 3. **Écrire l’équation différentielle** du bilan en utilisant la forme appropriée (masse ou volume). 4. **Intégrer** l’équation entre les conditions initiales et le temps souhaité. 5. **Interpréter le résultat** (volume atteint, temps de remplissage, concentration finale). 6. **Vérifier l’homogénéité des unités** et la plausibilité physique. ### 3. Exemple professionnel : remplissage d’un réservoir d’eau potable à Yaoundé Un réservoir cylindrique de diamètre 2 m est initialement vide. On l’alimente avec une pompe débitant \(Q_{in}=0,015\; \text{m}^3\text{s}^{-1}\) (≈ 54 m³·h⁻¹). Aucun débit de sortie n’est ouvert pendant le remplissage. On veut connaître le temps nécessaire pour atteindre un niveau d’eau de 1,5 m (hauteur du liquide). - Volume cible : \(V = \frac{\pi D^2}{4} h = \frac{\pi (2)^2}{4} \times 1,5 = 4,71\; \text{m}^3\). - Bilan volumétrique (densité constante) : \(\displaystyle \frac{dV}{dt}= Q_{in}\). - Intégration : \(V(t)= Q_{in} t\) (puisque \(V(0)=0\)). - Temps de remplissage : \(t = V / Q_{in}= 4,71 / 0,015 = 314\; \text{s}\) ≈ 5 min 14 s. > **Résultat** : il faut environ 5 min 15 s pour remplir le réservoir jusqu’à 1,5 m. ### 4. Tableau récapitulatif des grandeurs utilisées | Grandeur | Symbole | Unité SI | Remarque | |----------|---------|----------|----------| | Masse totale | \(M\) | kg | \(M = \rho V\) si \(\rho\) constant | | Débit massique | \(\dot{m}\) | kg·s⁻¹ | Entrée : “in”, sortie : “out” | | Débit volumétrique | \(Q\) | m³·s⁻¹ | Utile pour liquides incompressibles | | Densité | \(\rho\) | kg·m⁻³ | Constante pour eau à 20 °C | | Volume | \(V\) | m³ | Fonction du temps si réservoir en remplissage | --- ## II. INTEGRATION ACTIVITIES **Objectif de l’activité** : mettre en pratique le bilan transitoire sans réaction sur un dispositif de laboratoire disponible dans les lycées techniques camerounais (ex. : colonne de remplissage d’un bêcher avec un débitmètre). ### 1. Matériel - Bêcher gradué de 1 L. - Pompe péristaltique avec débit réglable (0–20 mL·min⁻¹). - Chronomètre. - Thermomètre (pour vérifier constance de densité). ### 2. Procédure 1. Remplir le bêcher d’eau à température ambiante (≈ 20 °C) et noter le volume initial \(V_0\). 2. Régler la pompe à un débit connu \(Q\) (ex. : 10 mL·min⁻¹ = 1,67·10⁻⁷ m³·s⁻¹). 3. Démarrer la pompe et le chronomètre simultanément. 4. Noter le volume lu toutes les 30 s jusqu’à atteindre 800 mL. 5. Tracer \(V(t)\) et déterminer expérimentalement la pente (débit mesuré). ### 3. Analyse attendue - La pente du graphe doit être égale au débit réglé, confirmant l’équation \(\frac{dV}{dt}=Q\). - Toute déviation provient des pertes de charge dans le tuyau ou de la variation de température (modification de \(\rho\)). - Discussion sur les précautions de sécurité : éviter les débordements, vérifier l’étanchéité des raccords, porter des lunettes de protection. > **Règle de sécurité** : toujours placer un récipient de récupération sous la sortie de la pompe en cas de dépassement du volume prévu. --- ## III. Leçon 13 : Bilan en régime transitoire avec réaction chimique ### 1. Bilan de matière d’une espèce i Lorsque une réaction chimique se produit, l’espèce i peut être générée ou consommée. Le bilan général devient : > **Bilan avec réaction** > \[ > \frac{dN_i}{dt}= \sum \dot{n}_{i,in} - \sum \dot{n}_{i,out} + V \, \nu_i \, r > \] > où \(N_i\) est le nombre de moles de l’espèce i (mol), \(\dot{n}_{i,in/out}\) les débits molaires d’entrée/sortie (mol·s⁻¹), \(V\) le volume du réacteur (m³), \(\nu_i\) le coefficient stœchiométrique (négatif pour les réactifs, positif pour les produits) et \(r\) la vitesse de réaction (mol·m⁻³·s⁻¹). Si on travaille en concentration \(C_i = N_i/V\) (mol·m⁻³) et que le volume varie, on obtient : > **Bilan en concentration (volume variable)** > \[ > V \frac{dC_i}{dt}= \sum Q_{in} C_{i,in} - \sum Q_{out} C_{i,out} + V \, \nu_i \, r - C_i \frac{dV}{dt} > \] ### 2. Cas particulier : réacteur batch (volume constant, aucun flux d’entrée/sortie) Pour un réacteur batch fermé, \(\dot{n}_{in}= \dot{n}_{out}=0\) et \(V\) constant. L’équation se réduit à : > **Réacteur batch** > \[ > \frac{dC_i}{dt}= \nu_i \, r > \] ### 3. Cas particulier : réacteur semi‑batch (alimentation continue, aucun débit de sortie) On considère l’ajout d’un réacteur A à vitesse volumétrique constante \(Q_A\) tandis que le produit P reste dans le réacteur. Le bilan de A donne : > **Semi‑batch – réactif A** > \[ > V \frac{dC_A}{dt}= Q_A C_{A,in} + V \, \nu_A \, r - C_A \frac{dV}{dt} > \] > (si le volume varie du fait de l’ajout, le terme \(-C_A dV/dt\) doit être conservé; sinon, pour volume constant, il disparaît.) ### 4. Exemple professionnel : production d’huile de palme par esterification en réacteur batch à Douala Dans une unité de transformation agro‑industrielle, on esterifie l’acide gras libre (AGL) présent dans l’huile de palme brute avec du méthanol pour obtenir du biodiesel. La réaction est : \[ \text{AGL} + \text{MeOH} \rightleftharpoons \text{Ester} + \text{H}_2\text{O} \] On travaille en batch, volume constant \(V = 2\; \text{m}^3\). Au départ, \(C_{AGL,0}= 150\; \text{mol·m}^{-3}\), \(C_{MeOH,0}= 300\; \text{mol·m}^{-3}\). La vitesse de réaction suit une loi d’ordre deux : \[ r = k \, C_{AGL} \, C_{MeOH}, \qquad k = 2,0 \times 10^{-4}\; \text{m}^3\text{·mol}^{-1}\text{·s}^{-1} \] On veut connaître la concentration d’AGL après 2 h (7200 s). **Équations** (puisque \(\nu_{AGL} = -1\)) : \[ \frac{dC_{AGL}}{dt}= - r = -k \, C_{AGL} \, C_{MeOH} \] \[ \frac{dC_{MeOH}}{dt}= - r = -k \, C_{AGL} \, C_{MeOH} \] Comme les deux réactifs sont consommés dans un rapport 1:1, on définit la variable d’avancement \(x\) telle que : \[ C_{AGL}= C_{AGL,0} - x,\qquad C_{MeOH}= C_{MeOH,0} - x \] Alors : \[ \frac{dx}{dt}= k \, (C_{AGL,0} - x)(C_{MeOH,0} - x) \] Intégrer séparablement : \[ \int_{0}^{x} \frac{dx}{(C_{AGL,0} - x)(C_{MeOH,0} - x)} = k \int_{0}^{t} dt \] Avec les valeurs numériques : \[ C_{AGL,0}=150,\; C_{MeOH,0}=300\; \text{mol·m}^{-3} \] L’intégrale se résout par fractions simples : \[ \frac{1}{C_{MeOH,0}-C_{AGL,0}} \ln\!\left(\frac{C_{MeOH,0} - x}{C_{AGL,0} - x}\right) = k t \] Puisque \(C_{MeOH,0}-C_{AGL,0}=150\; \text{mol·m}^{-3}\), on obtient : \[ \ln\!\left(\frac{300 - x}{150 - x}\right) = 150 \, k \, t \] Insérons \(k = 2,0 \times 10^{-4}\) et \(t =7200\) s : \[ 150 \, k \, t = 150 \times 2,0 \times 10^{-4} \times 7200 = 216 \] Donc : \[ \ln\!\left(\frac{300 - x}{150 - x}\right) = 216 \] Comme le membre de droite est très élevé, le rapport \(\frac{300 - x}{150 - x}\) doit être énorme, ce qui implique que \(x\) approche presque la limite du réactif limitant (AGL). On résout approximativement en supposant \(150 - x \ll 150\) : \[ \frac{300 - x}{150 - x} \approx e^{216} \gg 1 \Rightarrow 150 - x \approx \frac{300 - x}{e^{216}} \approx 0 \] Ainsi \(x \approx 150\; \text{mol·m}^{-3}\) (presque totalité de l’AGL consommée). La concentration résiduelle d’AGL : \[ C_{AGL}= C_{AGL,0} - x \approx 150 - 150 = 0\; \text{mol·m}^{-3} \] En pratique, on considère une petite quantité résiduelle de l’ordre de 1 % : \[ C_{AGL} \approx 1,5\; \text{mol·m}^{-3} \] > **Conclusion** : après 2 h de réaction à température constante, l’AGL est pratiquement totalement converti, ce qui correspond à un rendement d’estérification > 98 %. ### 5. Tableau récapitulatif des formes du bilan transitoire avec réaction | Type de réacteur | Volume | Flux d’entrée/sortie | Équation du bilan (espèce i) | |------------------|--------|----------------------|------------------------------| | Batch | Constant | Aucun | \(\displaystyle \frac{dC_i}{dt}= \nu_i r\) | | Semi‑batch (alimentation seule) | Variable ou constant | \(Q_{in}\) seulement | \(\displaystyle V\frac{dC_i}{dt}= Q_{in}C_{i,in} + V \nu_i r - C_i\frac{dV}{dt}\) | | Continu (CSTR) | Constant | \(Q_{in}=Q_{out}=Q\) | \(\displaystyle V\frac{dC_i}{dt}= Q(C_{i,in}-C_i) + V \nu_i r\) | | Plug‑flow batch (tubulaire) | Variable le long de z | Aucun flux radial | \(\displaystyle \frac{\partial C_i}{\partial t}+ u\frac{\partial C_i}{\partial z}= \nu_i r\) (au-delà du scope) | --- ## Synthèse du chapitre - **Bilan de matière général** : \(\displaystyle \frac{dM}{dt}= \sum \dot{m}_{in} - \sum \dot{m}_{out} + \text{génération} - \text{consommation}\). - **Sans réaction** : génération = consommation = 0 → seule différence des flux d’entrée/sortie compte. - **Avec réaction** : ajouter le terme \(V \nu_i r\) (et, si le volume varie, le terme \(-C_i dV/dt\) apparaît dans l’équation écrite en concentration). - **Étapes de résolution** : définir le système, lister les flux, écrire l’équation différentielle, intégrer, interpréter, vérifier unités. - **Applications typiques au Cameroun** : remplissage de réservoirs d’eau, réacteurs batch d’estérification d’huile de palme, semi‑batch d’ajout de réactif dans une unité de traitement des eaux. - **Sécurité** : contrôler les débits, éviter les surpressions, porter EPI, prévoir des récipients de récupération. --- ## Glossaire - **Débit massique** (\(\dot{m}\)) : quantité de masse traversée par unité de temps (kg·s⁻¹). - **Débit volumétrique** (\(Q\)) : volume traversé par unité de temps (m³·s⁻¹). - **Réacteur batch** : récipient fermé où les réactifs sont chargés initialement, aucun flux d’entrée/sortie pendant la réaction. - **Réacteur semi‑batch** : récipient où l’on ajoute ou retire un ou plusieurs fluides pendant la réaction, tandis que d’autres espèces restent en phase fermée. - **Vitesse de réaction** (\(r\)) : quantité de matière formée ou consommée par unité de volume et de temps (mol·m⁻³·s⁻¹). - **Coefficient stœchiométrique** (\(\nu_i\)) : nombre entier relatif indiquant combien de moles de l’espèce i sont produites (positif) ou consommées (négatif) lors d’une réaction élémentaire. - **Volume variable** : situation où le volume du système change avec le temps (ex. : remplissage ou vidange d’un réservoir). - **Équation différentielle de bilan** : expression qui relie la dérivée temporelle d’une quantité extensive (masse, nombre de moles) aux flux et aux termes de génération/consommation. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Remplissage d’un réservoir de traitement d’eau (sans réaction) Un réservoir cylindrique de diamètre 1,5 m est initialement à moitié rempli d’eau (hauteur initiale 0,75 m). On l’alimente avec un débit constant \(Q_{in}=0,008\; \text{m}^3\text{s}^{-1}\) et on ouvre simultanément une vanne de sortie réglée à \(Q_{out}=0,003\; \text{m}^3\text{s}^{-1}\). **Question** : Quel temps faut-il pour que le réservoir atteigne une hauteur d’eau de 1,2 m ? **Corrigé** - Section du réservoir : \(A = \frac{\pi D^2}{4}= \frac{\pi (1,5)^2}{4}=1,767\; \text{m}^2\). - Volume initial : \(V_0 = A \times 0,75 = 1,325\; \text{m}^3\). - Volume cible : \(V_c = A \times 1,2 = 2,120\; \text{m}^3\). - Volume à gagner : \(\Delta V = V_c - V_0 = 0,795\; \text{m}^3\). - Débit net d’entrée : \(Q_{net}= Q_{in} - Q_{out}=0,008-0,003=0,005\; \text{m}^3\text{s}^{-1}\). - Temps nécessaire : \(t = \Delta V / Q_{net}=0,795 / 0,005 = 159\; \text{s}\) ≈ 2 min 39 s. > **Réponse** : environ 2 min 40 s. ### Exercice 2 – Réacteur batch d’estérification (avec réaction) Dans un réacteur batch de volume 1 m³, on introduit de l’acide acétique (A) et de l’éthanol (E) pour produire de l’acétate d’éthyle (AE) et de l’eau selon : \[ \text{A} + \text{E} \rightleftharpoons \text{AE} + \text{H}_2\text{O} \] Les concentrations initiales sont \(C_{A,0}=200\; \text{mol·m}^{-3}\) et \(C_{E,0}=250\; \text{mol·m}^{-3}\). La vitesse de réaction est d’ordre deux : \(r = k C_A C_E\) avec \(k=1,5\times10^{-4}\; \text{m}^3\text{·mol}^{-1}\text{·s}^{-1}\). **Question** : Déterminer la concentration d’acide acétique après 1 h (3600 s). **Corrigé** Comme les deux réactifs sont consommés dans un rapport 1:1, on pose \(x\) la quantité d’acide acétique réagie (mol·m⁻³). Alors : \[ C_A = C_{A,0} - x,\qquad C_E = C_{E,0} - x \] Le bilan de A donne : \[ \frac{dx}{dt}= k (C_{A,0} - x)(C_{E,0} - x) \] Intégrer de 0 à x et de 0 à t : \[ \int_{0}^{x}\frac{dx}{(C_{A,0} - x)(C_{E,0} - x)} = k t \] En utilisant la décomposition en fractions simples : \[ \frac{1}{C_{E,0}-C_{A,0}} \ln\!\left(\frac{C_{E,0} - x}{C_{A,0} - x}\right) = k t \] Ici \(C_{E,0}-C_{A,0}=50\; \text{mol·m}^{-3}\). Donc : \[ \ln\!\left(\frac{250 - x}{200 - x}\right) = 50 \, k \, t \] Calcul du membre de droite : \[ 50 \, k \, t = 50 \times 1,5 \times 10^{-4} \times 3600 = 27 \] Ainsi : \[ \ln\!\left(\frac{250 - x}{200 - x}\right) = 27 \] Exponentier : \[ \frac{250 - x}{200 - x} = e^{27} \approx 5,3 \times 10^{11} \] Comme le rapport est extrêmement élevé, le dénominateur doit être très petit : \[ 200 - x \approx \frac{250 - x}{e^{27}} \approx 0 \;\Rightarrow\; x \approx 200\; \text{mol·m}^{-3} \] L’acide acétique est donc presque totalement consommé. La concentration résiduelle (on prend 0,5 % de la quantité initiale comme approximation pratique) : \[ C_A \approx 0,005 \times 200 = 1\; \text{mol·m}^{-3} \] > **Réponse** : après 1 h, \(C_A \approx 1\; \text{mol·m}^{-3}\) (presque totalité convertie). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |------------------|-------------|--------------------------------------| | Oublier le terme \(-C_i \, dV/dt\) lorsqu’on travaille en concentration avec volume variable | Résultat sous‑estimé ou surestimé de la concentration | Toujours écrire le bilan complet sous forme \(V dC_i/dt = … - C_i dV/dt\) avant de simplifier. | | Confondre débit massique et débit volumétrique lorsqu’on utilise la densité | Erreur de facteur \(\rho\) dans les calculs de temps de remplissage | Vérifier l’unité : si on travaille avec \(Q\) (m³·s⁻¹), multiplier par \(\rho\) pour obtenir \(\dot{m}\) (kg·s⁻¹) lorsqu’on a besoin de masse. | | Négliger la variation de densité avec la température (ex. : eau chauffée) | Inexactitude importante dans les bilans de volume | Dans les procédés où ΔT > 10 °C, introduire \(\rho(T)\) ou travailler en masse plutôt qu’en volume. | | Utiliser une loi de vitesse inadaptée (ordre mauvais) dans un réacteur batch | Temps de réaction complètement faux | Toujours vérifier expérimentalement l’ordre de réaction avant d’appliquer une loi de vitesse intégrée. | | Ne pas purger les lignes avant un démarrage | Risque de surpression ou de contamination | Effectuer une purge à l’azote ou à l’eau douce selon le fluide, vérifier l’étanchéité des raccords. | | Oublier de porter des lunettes de protection lors de la manipulation de réactifs corrosifs (acide, base) | Brûlures oculaires | Le port de lunettes de sécurité est obligatoire dans toute manipulation de produits chimiques. | | Débrancher une pompe sans fermer les vannes d’alimentation | Déversement soudain, inondation de la zone de travail | Fermer toujours les vannes amont et aval avant d’intervenir sur une pompe ou un débitmètre. | | Utiliser un récipient non adapté à la pression (ex. : bouteille en verre pour un gaz sous pression) | Risque d’explosion | Vérifier la classe de pression du récipient ; utiliser des récipients certifiés pour le service prévu. | --- *Fin du cours.*