Bilan de matière en régime permanent (partie 2/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - appliquer le bilan de matière en régime permanent sans réaction sur un nœud quelconque d’un schéma de procédé ; - réaliser le bilan de matière sur les schémas fondamentaux (mélangeur, séparateur, splitter, recycle) ; - interpréter les résultats d’un bilan dans un contexte professionnel camerounais (usine de traitement d’eau, unité de transformation du cacao, brasserie, unité de raffinage d’huile de palme) ; - identifier les erreurs fréquentes et appliquer les règles de sécurité et d’hygiène liées aux manipulations de fluides. **Prérequis** : maîtriser les notions de débit massique (kg s⁻¹), de débit volumique (m³ s⁻¹), de concentration (kg m⁻³ ou %), la loi de conservation de la masse, ainsi que la lecture de schémas de procédés simples (blocs, flèches, entrées/sorties). --- ## Introduction contextualisée Dans les industries camerounaises, le contrôle de la matière est essentiel pour garantir la qualité du produit, optimiser la consommation d’énergie et respecter les normes environnementales. Que ce soit dans une station de traitement d’eau potable à Yaoundé, une unité de torréfaction du cacao à Douala ou une brasserie artisanale à Bafoussam, les ingénieurs doivent vérifier que ce qui entre dans un équipement en sort exactement, sauf accumulation. Le bilan de matière en régime permanent sans réaction constitue l’outil de base pour ces vérifications. Ce chapitre montre comment l’appliquer d’abord sur un nœud (point de jonction de flux) puis sur les schémas fondamentaux que l’on retrouve dans pratiquement tous les procédés industriels. --- ## I. Leçon 4: Application du bilan en régime permanent sans réaction sur les nœuds ### 4.1 Définition d’un nœud et principe de conservation de la masse Un **nœud** est un point où deux ou plusieurs flux de matière se rejoignent ou se séparent sans accumulation ni réaction chimique. En régime permanent, la masse qui entre dans le nœud égale la masse qui en sort : > **Règle de base du nœud** : Σ ṁₑₙₜᵣée = Σ ṁₛₒᵣₜᵢₑ où ṁ représente le débit massique (kg s⁻¹). Cette équation vaut également pour chaque composant si l’on travaille en bilan de composants. ### 4.2 Méthode de bilan sur un nœud 1. **Identifier le nœud** sur le schéma (souvent représenté par un point ou une petite sphère). 2. **Lister tous les flux** entrant et sortant, en indiquant leur débit massique et, si nécessaire, leur composition (fractions massiques). 3. **Écrire l’équation de bilan** pour la masse totale et, le cas échéant, pour chaque composant. 4. **Résoudre** les inconnues (débit, composition) en utilisant les données connues. 5. **Vérifier** la cohérence (somme des fractions = 1, positivité des débits). ### 4.3 Exemple chiffré : mélange de deux flux dans une unité de clarification d’eau potable (Yaoundé) Une station traite de l’eau brute provenant d’un fleuve (flux A) et d’un réservoir de secours (flux B) avant filtration. - Flux A : ṁ_A = 12,0 kg s⁻¹, concentration en matières sospensées C_A = 0,025 kg kg⁻¹ (25 g kg⁻¹). - Flux B : ṁ_B = 8,0 kg s⁻¹, C_B = 0,010 kg kg⁻¹. - Le mélange (flux M) alimente le filtre. On cherche ṁ_M et C_M. **Bilan de masse totale** : ṁ_M = ṁ_A + ṁ_B = 12,0 + 8,0 = **20,0 kg s⁻¹** **Bilan de la matière sospensée** : ṁ_A·C_A + ṁ_B·C_B = ṁ_M·C_M (12,0 × 0,025) + (8,0 × 0,010) = 20,0 × C_M 0,300 + 0,080 = 20,0 C_M → 0,380 = 20,0 C_M C_M = 0,019 kg kg⁻¹ = **19 g kg⁻¹** Le mélange contient donc 19 g kg⁻¹ de matières sospensées, valeur compatible avec les spécifications du filtre (≤ 20 g kg⁻¹). > **Point clé** : Le bilan sur un nœud ne nécessite aucune connaissance de la réaction ; il repose uniquement sur la conservation de la masse. ### 4.4 Tableau récapitulatif des variables | Variable | Symbole | Unité | Remarque | |----------|---------|-------|----------| | Débit massique entrant | ṁₑₙₜᵣée | kg s⁻¹ | Somme de tous les flux entrants | | Débit massique sortant | ṁₛₒᵣₜᵢₑ | kg s⁻¹ | Somme de tous les flux sortants | | Fraction massique d’un composant i | wᵢ | kg kg⁻¹ (ou %) | Σ wᵢ = 1 | | Débit massique du composant i | ṁᵢ = ṁ·wᵢ | kg s⁻¹ | Utilisé pour le bilan de composants | --- ## II. INTEGRATION ACTIVITIES ### Activité 1 – Étude de cas : unité de filtration d’eau dans une station de traitement (Yaoundé) **Objectif** : Vérifier le bilan de matière sur le nœud qui sépare le débit de lavage du filtre et le débit de rejet. **Données** : - Débit d’alimentation du filtre : 15,0 kg s⁻¹, turbidité 5 NTU. - Débit de lavage (retour) : 3,0 kg s⁻¹, turbidité 50 NTU. - Débit de rejet (boue) : mesuré à 1,5 kg s⁻¹. **Travail** : Calculer le débit de produit filtré et sa turbidité supposée linéaire avec la concentration de particules. **Résultat attendu** : ṁ_produit = 15,0 + 3,0 − 1,5 = 16,5 kg s⁻¹ ; turbidité ≈ (15·5 + 3·50 − 1,5·50)/16,5 ≈ 9,1 NTU. ### Activité 2 – Simulation d’un répartiteur de flux dans une usine de transformation du cacao (Douala) **Objectif** : Appliquer le bilan sur un nœud de répartition qui divise le flux de fèves broyées entre deux lignes de torréfaction. **Données** : - Flux entrant : ṁ_entrée = 25,0 kg s⁻¹, taux d’humidité 7 %. - Ligne 1 reçoit 60 % du flux, ligne 2 le reste. **Travail** : Déterminer les débits sortant de chaque ligne et vérifier que la somme des fractions vaut 1. **Résultat** : ṁ₁ = 0,60 × 25,0 = 15,0 kg s⁻¹ ; ṁ₂ = 10,0 kg s⁻¹. ### Activité 3 – Travail dirigé : bilan de matière sur un réseau de tuyauterie d’une brasserie (Bafoussam) **Objectif** : Réaliser le bilan sur plusieurs nœuds successifs (mélange de malt, ajout d’eau, séparation du moût). **Consigne** : Partir d’un schéma fourni (voir annexe du manuel) comportant trois nœuds : 1. Mélange malt‑eau (node 1) 2. Séparation du moût et du drêche (node 2) 3. Refroidissement du moût (node 3) **Livrable** : Tableau récapitulatif des débits et compositions à chaque nœud, avec vérification de la fermeture du bilan (écart < 1 %). > **Règle de sécurité** : Lors de la manipulation de fluides chauds (moût > 78 °C), porter des gants résistants à la chaleur et un écran facial. --- ## III. Leçon 5: Application du bilan en régime permanent sans réaction sur les schémas fondamentaux ### 5.1 Schéma de mélange simple (Mixer) Un mélangeur possède deux entrées (flux 1 et 2) et une sortie (flux 3). En régime permanent : > **Équation du mélangeur** : ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂ ; w₃,ᵢ = (ṁ₁·w₁,ᵢ + ṁ₂·w₂,ᵢ) / ṁ₃ ### 5.2 Schéma de séparation (séparateur de phases, décanteur) Un séparateur possède une entrée et deux sorties (phase légère L et phase lourde H). Aucun génération ni consommation de matière : > **Équation du séparateur** : ṁₑₙₜᵣée = ṁ_L + ṁ_H ; wₑₙₜᵣée,ᵢ = (ṁ_L·w_L,ᵢ + ṁ_H·w_H,ᵢ) / (ṁ_L + ṁ_H) ### 5.3 Schéma de dérivation (splitter) et de récurrence (recycle) - **Splitter** : une entrée, deux sorties proportionnelles à un facteur de split α (0 < α < 1). ṁ₁ = α·ṁₑₙₜᵣée ; ṁ₂ = (1‑α)·ṁₑₙₜᵣée ; les fractions massiques sont identiques à l’entrée. - **Recycle** : une partie du flux de sortie est renvoyée à l’entrée. Le bilan global s’écrit : ṁₑₙₜᵣée,net = ṁₑₙₜᵣée,frais + ṁ_recycle ; ṁ_sortie = ṁₑₙₜᵣée,net (si aucune accumulation). ### 5.4 Exemple complet : schéma de procédé de production d’huile de palme raffinée (Kribi) Le procédé comporte : 1. **Mélangeur** (huile brute + solvant hexane) 2. **Séparateur** (récupération de l’huile‑solvant, séparation du résidu) 3. **Splitter** (partie de l’huile‑solvant vers la distillation, partie vers le recycle) 4. **Distillateur** (non traité ici, considéré comme unité de séparation supplémentaire) **Données d’entrée** : - Huile brute : ṁ_hb = 40,0 kg s⁻¹, teneur en huile réelle w_hb = 0,60 (60 %). - Hexane frais : ṁ_hex,f = 15,0 kg s⁻¹, w_hex = 1,0 (pur). **Étape 1 – Mélangeur** : ṁ_mix = 40,0 + 15,0 = 55,0 kg s⁻¹ w_huile,mix = (40,0·0,60 + 15,0·0) / 55,0 = 24,0 / 55,0 = 0,436 → 43,6 % d’huile réelle dans le mélange. **Étape 2 – Séparateur** (on suppose que l’hexane entraîne toute l’huile soluble, le résidu contient les impuretés) : - Phase huile‑hexane (L) : ṁ_L = 0,90 · ṁ_mix = 49,5 kg s⁻¹ (hypothèse de récupération 90 % du mélange) - Phase résidu (H) : ṁ_H = ṁ_mix – ṁ_L = 5,5 kg s⁻¹ Bilan huile réelle dans L : ṁ_huile,L = ṁ_mix·w_huile,mix = 55,0·0,436 = 24,0 kg s⁻¹ (toute l’huile réelle va dans L, donc w_huile,L = 24,0/49,5 = 0,485 → 48,5 %). Hexane dans L : ṁ_hex,L = ṁ_L – ṁ_huile,L = 49,5 – 24,0 = 25,5 kg s⁻¹. **Étape 3 – Splitter (α = 0,7 vers distillation)** : ṁ_dist = 0,7·ṁ_L = 34,65 kg s⁻¹ ; w_huile,dist = w_huile,L = 0,485 ṁ_recycle = 0,3·ṁ_L = 14,85 kg s⁻¹ ; même composition. **Étape 4 – Bilan global avec recycle** : Entrée nette = huile brute + hexane frais + recycle ṁ_entrée,net = 40,0 + 15,0 + 14,85 = 69,85 kg s⁻¹ Sortie (distillat + résidu) = ṁ_dist + ṁ_H = 34,65 + 5,5 = 40,15 kg s⁻¹ Le reste (≈ 29,7 kg s⁻¹) correspond approximativement à l’hexane présent dans le distillat et le recycle, qui pourra être récupéré après distillation. > **Point de contrôle** : La somme des débits massiques à chaque nœud doit être nulle (entrée − sortie = 0). Toute divergence indique une fuite, une accumulation ou une erreur de mesure. ### 5.5 Tableau de synthèse des bilans pour chaque type de schéma | Schéma | Équation de masse totale | Équation de composant i | Remarque pratique | |--------|--------------------------|--------------------------|-------------------| | Mélangeur | ṁ_out = Σ ṁ_in | w_out,ᵢ = (Σ ṁ_in·w_in,ᵢ) / ṁ_out | Utilisé pour préparer des solutions ou des mélanges de matières premières. | | Séparateur | ṁ_in = ṁ_L + ṁ_H | w_in,ᵢ = (ṁ_L·w_L,ᵢ + ṁ_H·w_H,ᵢ) / ṁ_in | Décanteur, centrifuge, séparateur de phases liquide‑gaz. | | Splitter | ṁ₁ = α·ṁ_in ; ṁ₂ = (1‑α)·ṁ_in | w₁,ᵢ = w₂,ᵢ = w_in,ᵢ | Répartition de flux vers unités parallèles. | | Recycle | ṁ_in,net = ṁ_in,frais + ṁ_recycle | Même composition que l’entrée si le recycle est total | Réduit la consommation de solvant ou de réactif. | --- ## Synthèse du chapitre - **Bilan de matière en régime permanent** : Σ ṁₑₙₜᵣée = Σ ṁₛₒᵣₜᵢₑ (masse totale) et, pour chaque composant, Σ ṁₑₙₜᵣée·w = Σ ṁₛₒᵣₜᵢₑ·w. - **Nœud** : point de jonction où s’applique directement l’équation ci‑dessus. - **Méthode de résolution** : lister les flux, écrire les équations, résoudre les inconnues, vérifier la fermeture. - **Schémas fondamentaux** : mélangeur, séparateur, splitter, recycle ; chaque schéma possède des équations de bilan spécifiques (voir tableau). - **Application professionnelle** : traitement d’eau, transformation du cacao, brassage, raffinage d’huile de palme – secteurs clés de l’industrie camerounaise. - **Sécurité** : porter EPI adaptés (gants, lunettes, masque) selon la nature du fluide (chaud, toxique, inflammable). - **Erreurs fréquentes** : omission d’un flux de purge, confusion entre débit volumique et massique, utilisation de fractions volumiques au lieu de massiques, négligence du recycle dans le bilan global. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Débit massique (ṁ) | Quantité de masse traversée par une surface par unité de temps (kg s⁻¹). | | Débit volumique (Q) | Volume traversé par unité de temps (m³ s⁻¹). | | Fraction massique (wᵢ) | Masse du composant i divisée par la masse totale du mélange (kg kg⁻¹ ou %). | | Nœud | Point de jonction de flux où aucune accumulation ni réaction n’a lieu. | | Régime permanent | État où les variables (débit, composition, température…) ne varient pas avec le temps. | | Mélangeur (Mixer) | Équipement qui combine deux ou plusieurs flux en une seule sortie. | | Séparateur | Équipement qui divise un flux en deux ou plusieurs fractions selon une propriété (densité, volatilité, etc.). | | Splitter | dispositif qui divise un flux en deux sorties proportionnelles à un facteur α. | | Recycle | partie d’un flux de sortie renvoyée à l’entrée d’un procédé pour améliorer le rendement. | | Boue (résidu) | phase lourde séparée contenant les impuretés ou les solides non récupérables. | | Écart de bilan | différence entre Σ ṁₑₙₜᵣée et Σ ṁₛₒᵣₜᵢₑ ; doit être proche de zéro en régime permanent. | | EPI | Équipement de Protection Individuelle (gants, lunettes, masque, etc.). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Station de traitement d’eau (Douala) Une unité de pré‑chloration reçoit deux flux d’eau brute : - Flux A : ṁ_A = 18,0 kg s⁻¹, concentration en chlore libre C_A = 0,2 mg L⁻¹. - Flux B : ṁ_B = 12,0 kg s⁻¹, C_B = 0,5 mg L⁻¹. Le mélange est envoyé à un réservoir de contact. **Calculer** le débit du mélange et sa concentration en chlore libre. **Corrigé** Débit mélange : ṁ_M = 18,0 + 12,0 = **30,0 kg s⁻¹** Concentration : C_M = (ṁ_A·C_A + ṁ_B·C_B) / ṁ_M = (18,0·0,2 + 12,0·0,5) / 30,0 = (3,6 + 6,0) / 30,0 = 9,6 / 30,0 = **0,32 mg L⁻¹** ### Exercice 2 – Usine de transformation du cacao (Yaoundé) Un séparateur de coques reçoit un flux de fèves broyées de ṁ_entrée = 50,0 kg s⁻¹ contenant 12 % de coques (masse). Les coques sont retirées dans la sortie lourde (H) et le reste (nibs) sort en légère (L). On mesure ṁ_H = 6,0 kg s⁻¹. **Déterminer** la teneur en coques du nibs (flux L) et vérifier la fermeture du bilan des coques. **Corrigé** Bilan total : ṁ_L = ṁ_entrée – ṁ_H = 50,0 – 6,0 = **44,0 kg s⁻¹** Masse de coques entrant : m_coques,entrée = 0,12 × 50,0 = 6,0 kg s⁻¹ Toutes les coques sont supposées aller dans H (hypothèse de séparation parfaite) → m_coques,H = 6,0 kg s⁻¹ → w_coques,H = 6,0/6,0 = 1,0 (100 %). Coques dans L : m_coques,L = m_coques,entrée – m_coques,H = 6,0 – 6,0 = 0 → w_coques,L = 0/44,0 = **0 %** (nibs exempt de coques). Fermeture : Σ ṁₑₙₜᵣée = 50,0 kg s⁻¹ ; Σ ṁₛₒᵣₜᵢₑ = 6,0 + 44,0 = 50,0 kg s⁻¹ → bilan clos. ### Exercice 3 – Brasserie artisanale (Bafoussam) Un mélangeur prépare le moût en combinant : - Eau de chauffage : ṁ_eau = 200,0 kg s⁻¹, température 78 °C (on ne considère pas l’énergie ici). - Malt concassé : ṁ_malt = 30,0 kg s⁻¹, contenant 8 % de sucres extractibles (masse). Après mélange, le moût est envoyé à la cuve de fermentation. **Calculer** le débit du moût et sa teneur en sucres extractibles. **Corrigé** Débit moût : ṁ_moût = 200,0 + 30,0 = **230,0 kg s⁻¹** Masse de sucres entrant : m_sucres = 0,08 × 30,0 = 2,4 kg s⁻¹ Teneur en sucres du moût : w_sucres = 2,4 / 230,0 = 0,01043 → **1,04 %** (masse). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier un flux de purge ou de vidange dans le bilan | Sous‑estimation du débit sortant, apparition d’un « manque » de matière | Toujours vérifier le schéma de tuyauterie pour repérer les éventuelles dérivations de purge, même si elles semblent négligeables. | | 2 | Confondre débit volumique et massique (utiliser Q au lieu de ṁ) | Erreurs de conversion importantes, surtout avec des fluides de densité variable (ex. solutions concentrées) | Convertir systématiquement Q en ṁ grâce à ṁ = ρ·Q, en utilisant la densité mesurée à la température de procédé. | | 3 | Utiliser des fractions volumiques au lieu de massiques pour le bilan de composants | Résultat incohérent lorsque les densités des composants diffèrent fortement | Privilégier les fractions massiques (wᵢ) ; si seules des données volumiques sont disponibles, les convertir en masse avant le bilan. | | 4 | Négliger le flux de recycle dans le bilan global | Sur‑consommation apparente de réactif ou de solvant, mauvaise évaluation des rendements | Inclure toujours le recycle comme une entrée supplémentaire ; faire un bilan « avec recycle » puis un bilan « net » si nécessaire. | | 5 | Ne pas contrôler la fermeture du bilan (écart > 1 %) | Détection tardive de fuites, de pertes ou d’erreurs de mesure | Après chaque calcul, calculer l’écart = |Σ ṁₑₙₜᵣée − Σ ṁₛₒᵣₜᵢₑ| / Σ ṁₑₙₜᵣée ; si > 1 %, revoir les données et les hypothèses. | | 6 | Manipuler des fluides chauds sans EPI adapté | Risques de brûlures, de projections | Porter des gants résistants à la chaleur, un écran facial et une tenue de travail à manches longues lorsqu’on travaille au‑dessus de 60 °C. | --- *Fin du cours.*