Bilan de matière en régime permanent (partie 1/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève pourra - expliquer le principe de conservation de la matière appliqué à un système ouvert ; - définir le titre massique d’un composant et l’utiliser pour exprimer la composition d’un mélange ; - établir un bilan de matière en régime permanent sans réaction chimique, en résolvant les équations de bilan global et par composant ; - interpréter les résultats dans un contexte professionnel camerounais (usine d’huile de palme, unité de traitement d’eau, unité de séchage de manioc, etc.). **Prérequis** : notions de masse, de volume, de densité, de débit volumique et massique ; distinction entre système ouvert, fermé et isolé ; connaissance des unités du Système international (kg, m³, s, kg · s⁻¹) ; capacité à manipuler des équations linéaires simples. --- ## Introduction contextualisée Au Cameroun, les industries de transformation agro‑alimentaire (huile de palme à Kribi, cacao à Douala, gari à Bafoussam) et de traitement de l’eau (stations de Yaoundé et de Garoua) reposent sur la maîtrise des flux de matière. Un bilan de matière permet de vérifier que ce qui entre dans une unité de traitement en sort sous forme de produits, de déchets ou d’émissions, sans perte ni création de matière. Cette compétence est indispensable pour le dimensionnement des équipements, le contrôle de la qualité, l’optimisation de la consommation d’énergie et le respect des normes environnementales (décret n° 2018/001 du MINEE sur les rejets liquides). --- ## I. Bilan de matière : principes ### Définition du bilan de matière Le bilan de matière s’appuie sur la **loi de conservation de la masse** : dans un système fermé, la masse totale ne varie pas ; dans un système ouvert, la variation de la masse du système égale la différence entre les flux entrants et sortants. > **>** *Loi de conservation de la masse* : \(\displaystyle \frac{d m_{sys}}{dt}= \sum \dot m_{ent} - \sum \dot m_{sort}\) - **Système ouvert** : échange de matière avec l’extérieur (ex. réacteur, colonne de distillation). - **Système fermé** : aucun échange de matière (ex. autoclave en chauffage). - **Régime permanent** : \(\displaystyle \frac{d m_{sys}}{dt}=0\) → la masse du système ne change pas avec le temps. ### Équation générale du bilan Pour un système à plusieurs entrées et sorties : \[ \sum_{k=1}^{N_{ent}} \dot m_{k}^{ent} \;-\; \sum_{l=1}^{N_{sort}} \dot m_{l}^{sort} \;=\; \frac{d m_{sys}}{dt} \] En régime permanent, le second membre s’annule : \[ \boxed{\displaystyle \sum \dot m_{ent}= \sum \dot m_{sort}} \] ### Débit massique et débit volumique - Débit massique : \(\dot m\) (kg · s⁻¹). - Débit volumique : \(Q\) (m³ · s⁻¹). - Relation : \(\displaystyle \dot m = \rho \, Q\) où \(\rho\) est la densité (kg · m⁻³). ### Exemple chiffré : unité de traitement d’eau potable à Yaoundé Une station prélève de l’eau brute du fleuve Sanaga à un débit volumique de \(Q_{ent}=0,25\; \text{m³·h}^{-1}\). La densité de l’eau est \(\rho =1000\; \text{kg·m}^{-3}\). \[ \dot m_{ent}= \rho Q_{ent}=1000 \times 0,25 = 250\; \text{kg·h}^{-1} \] Après traitement, l’eau potable est rejetée à un débit de \(Q_{sort}=0,23\; \text{m³·h}^{-1}\) et les boues sont évacuées à \(\dot m_{boues}=5\; \text{kg·h}^{-1}\). Vérifions le bilan : \[ \dot m_{sort}= \rho Q_{sort}=1000 \times 0,23 = 230\; \text{kg·h}^{-1} \] \[ \sum \dot m_{ent}=250\; \text{kg·h}^{-1} \qquad \sum \dot m_{sort}= \dot m_{sort}+ \dot m_{boues}=230+5=235\; \text{kg·h}^{-1} \] Il manque \(15\; \text{kg·h}^{-1}\) qui correspond à l’évaporation d’eau lors de la désinfection (vapeur d’eau). En ajoutant ce flux de vapeur \(\dot m_{vapeur}=15\; \text{kg·h}^{-1}\) le bilan est clos. > **>** *En régime permanent, la somme des débits massiques entrants égale celle des débits massiques sortants, y compris les pertes sous forme de vapeur ou de gaz.* --- ## II. Notion de titres ### Définition du titre massique Le **titre massique** (ou fraction massique) d’un composant \(i\) dans un mélange est : \[ w_i = \frac{m_i}{m_{tot}} \qquad \left[ \text{adimensionnel} \right] \] où \(m_i\) est la masse du composant \(i\) et \(m_{tot}\) la masse totale du mélange. La somme des titres vaut 1 : \(\displaystyle \sum_i w_i =1\). > **>** *Titre massique* : rapport de la masse d’un composant à la masse totale du mélange. ### Relation avec le titre volumique Si l’on connaît les densités \(\rho_i\) de chaque composant, le titre volumique \(\phi_i\) (fraction de volume) se relie au titre massique par : \[ w_i = \frac{\rho_i \, \phi_i}{\displaystyle\sum_j \rho_j \, \phi_j} \] ### Tableau récapitulatif de titres usuels dans les procédés camerounais | Produit / procédé | Composant suivi | Titre typique (massique) | Unité | |----------------------------|----------------|--------------------------|-------| | Huile de palme brute | Triglycérides | 0,70 – 0,78 | – | | Huile de palme raffinée | Triglycérides | 0,99 – 1,00 | – | | Beurre de cacao | Beurre | 0,45 – 0,55 | – | | Poudre de lait écrémé | Protéines | 0,35 – 0,40 | – | | Eau traitée (Yaoundé) | Solides dissous| 0,0005 – 0,0010 | – | ### Exemple : mélange de deux flux d’huile de palme Flux A : 800 kg·h⁻¹ d’huile brute (titre en triglycérides \(w_{TG}^{A}=0,73\)). Flux B : 200 kg·h⁻¹ d’huile raffinée (\(w_{TG}^{B}=0,99\)). Titre du mélange : \[ w_{TG}^{mix}= \frac{ \dot m_A w_{TG}^{A} + \dot m_B w_{TG}^{B} }{ \dot m_A + \dot m_B } = \frac{800\times0,73 + 200\times0,99}{1000} = \frac{584 + 198}{1000}=0,782 \] Le mélange contient donc 78,2 % de triglycérides en masse. > **>** *Le titre d’un mélange est la moyenne pondérée des titres des flux entrants, pondérée par leurs débits massiques.* --- ## III. Bilan en régime permanent sans réaction chimique ### Méthodologie de résolution (pas à pas) 1. **Définir le système** : tracer les frontières, identifier entrées et sorties. 2. **Lister les grandeurs connues** : débits, titres, compositions. 3. **Écrire le bilan global** : \(\sum \dot m_{ent}= \sum \dot m_{sort}\). 4. **Écrire les bilans par composant** (pour chaque espèce \(i\)) : \(\sum \dot m_{ent} w_i^{ent}= \sum \dot m_{sort} w_i^{sort}\). 5. **Résoudre le système linéaire** (souvent 2‑3 équations). 6. **Vérifier la cohérence** (somme des titres = 1, positivité des débits). > **>** *En l’absence de réaction, le nombre d’équations indépendantes égaux au nombre de composants plus un (bilan global).* ### Exemple complet : unité de séchage du manioc (production de gari) à Douala **Données** - Entrée de manioc humide : \(\dot m_{manioc,ent}=1200\; \text{kg·h}^{-1}\) avec titre en eau \(w_{eau}^{ent}=0,80\) (donc titre en matière sèche \(w_{MS}^{ent}=0,20\)). - Sortie de gari sec : \(\dot m_{gari,sort}=?\) avec titre en eau \(w_{eau}^{sort}=0,10\). - Sortie de vapeur d’eau évacuée : \(\dot m_{vapeur,sort}=?\) (eau pure, \(w_{eau}=1\)). **Bilan global** \[ \dot m_{manioc,ent}= \dot m_{gari,sort}+ \dot m_{vapeur,sort} \tag{1} \] **Bilan eau** \[ \dot m_{manioc,ent}\, w_{eau}^{ent}= \dot m_{gari,sort}\, w_{eau}^{sort}+ \dot m_{vapeur,sort}\times 1 \tag{2} \] **Substitution des valeurs connues** \[ 1200 = \dot m_{gari,sort}+ \dot m_{vapeur,sort} \] \[ 1200 \times 0,80 = \dot m_{gari,sort}\times 0,10 + \dot m_{vapeur,sort} \] \[ 960 = 0,10\,\dot m_{gari,sort}+ \dot m_{vapeur,sort} \] Résolvons : De (1) : \(\dot m_{vapeur,sort}=1200- \dot m_{gari,sort}\). Insérons dans (2) : \[ 960 = 0,10\,\dot m_{gari,sort}+ (1200- \dot m_{gari,sort}) \] \[ 960 = 0,10\,\dot m_{gari,sort}+1200- \dot m_{gari,sort} \] \[ 960 = 1200 -0,90\,\dot m_{gari,sort} \] \[ 0,90\,\dot m_{gari,sort}=1200-960=240 \] \[ \dot m_{gari,sort}= \frac{240}{0,90}=266,7\; \text{kg·h}^{-1} \] Ensuite : \[ \dot m_{vapeur,sort}=1200-266,7=933,3\; \text{kg·h}^{-1} \] **Vérification** - Masse sèche entrée : \(1200\times0,20=240\; \text{kg·h}^{-1}\). - Masse sèche sortie gari : \(266,7\times(1-0,10)=266,7\times0,90=240\; \text{kg·h}^{-1}\). OK. > **>** *Dans un séchage sans réaction, le bilan d’eau permet de déterminer le débit de vapeur évacuée dès que les titres d’entrée et de sortie sont connus.* ### Tableau de bilan du séchage du manioc | Flux | Débit (kg·h⁻¹) | Titre eau | Titre matière sèche | |---------------------|----------------|-----------|---------------------| | Manioc humide (entrée) | 1200,0 | 0,80 | 0,20 | | Gari sec (sortie) | 266,7 | 0,10 | 0,90 | | Vapeur d’eau (sortie) | 933,3 | 1,00 | 0,00 | | **Total** | **2400,0** (entrée = sortie) | — | — | --- ## Synthèse du chapitre - **Principe de base** : conservation de la masse → \(\sum \dot m_{ent}= \sum \dot m_{sort}\) en régime permanent. - **Titre massique** : \(w_i=m_i/m_{tot}\); permet d’exprimer la composition d’un mélange. - **Bilan sans réaction** : écrire un bilan global et autant de bilans par composant que d’espèces présentes ; résoudre le système linéaire. - **Méthodologie** : définir le système, lister les données connues, établir les équations, résoudre, vérifier. - **Applications camerounaises** : traitement d’eau (Yaoundé), unité d’huile de palme (Kribi), séchage du manioc (Douai), extraction de beurre de cacao. - **Sécurité / hygiène** : respecter les débits calculés pour éviter surcharge ou sous‑alimentation des équipements ; contrôler les émissions de vapeur et de particules selon les normes du MINEE. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |---------------------------|-----------------------------------------------------------------------------| | Bilan de matière | Épplication de la loi de conservation de la masse à un système ouvert ou fermé. | | Régime permanent | État où les grandeurs extensives (masse, énergie) ne varient pas avec le temps (\(\frac{d}{dt}=0\)). | | Titre massique (wᵢ) | Rapport de la masse d’un composant \(i\) à la masse totale du mélange. | | Débit massique (\(\dot m\))| Masse traversée par unité de temps (kg·s⁻¹). | | Débit volumique (Q) | Volume traversé par unité de temps (m³·s⁻¹). | | Densité (\(\rho\)) | Masse par unité de volume (kg·m⁻³). | | Système ouvert | Échange de matière avec l’extérieur (flux entrants/sortants non nuls). | | Vapeur d’eau | Phase gazeuse de l’H₂O, souvent produit d’évaporation ou de séchage. | | Matière sèche (MS) | Fraction du solide non volatil d’un produit (ex. fibres, protéines, lipides). | | Évaporation | Passage de l’état liquide à l’état vapeur, entraînant une perte de masse d’eau. | | Équation de bilan global | \(\sum \dot m_{ent}= \sum \dot m_{sort}\) (régime permanent). | | Bilan par composant | \(\sum \dot m_{ent} w_i^{ent}= \sum \dot m_{sort} w_i^{sort}\). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Unité de clarification d’huile de palme Une unité de clarification reçoit 1500 kg·h⁻¹ d’huile brute contenant 0,72 % (masse) de phosphore sous forme de phospholipides. Après clarification, l’huile raffinée contient 0,02 % de phosphore et le résidu (boues) contient 1,20 % de phosphore. Déterminer les débits massiques de l’huile raffinée et des boues. **Corrigé** Soit \(\dot m_{R}\) le débit de l’huile raffinée et \(\dot m_{B}\) celui des boues. Bilan global : \[ 1500 = \dot m_{R} + \dot m_{B} \tag{1} \] Bilan phosphore : \[ 1500 \times 0,0072 = \dot m_{R}\times 0,0002 + \dot m_{B}\times 0,0120 \tag{2} \] De (1) : \(\dot m_{B}=1500-\dot m_{R}\). Substituons dans (2) : \[ 10,8 = 0,0002\dot m_{R}+0,0120(1500-\dot m_{R}) \] \[ 10,8 = 0,0002\dot m_{R}+18 -0,0120\dot m_{R} \] \[ 10,8 = 18 -0,0118\dot m_{R} \] \[ 0,0118\dot m_{R}=18-10,8=7,2 \] \[ \dot m_{R}= \frac{7,2}{0,0118}=610,2\; \text{kg·h}^{-1} \] \[ \dot m_{B}=1500-610,2=889,8\; \text{kg·h}^{-1} \] **Réponse** : huile raffinée ≈ 610 kg·h⁻¹, boues ≈ 890 kg·h⁻¹. --- ### Exercice 2 – Mélange de deux solutions d’engrais azoté Un agriculteur prépare un engrais en mélangeant deux solutions : - Solution A : 800 L·h⁻¹, densité 1,20 kg·L⁻¹, titre en azote (N) 15 % (masse). - Solution B : 400 L·h⁻¹, densité 1,05 kg·L⁻¹, titre en azote 8 % (masse). Calculer le débit massique du mélange et son titre en azote. **Corrigé** Débit massique A : \(\dot m_A = 800 \times 1,20 = 960\; \text{kg·h}^{-1}\). Débit massique B : \(\dot m_B = 400 \times 1,05 = 420\; \text{kg·h}^{-1}\). Débit massique total : \(\dot m_{mix}=960+420=1380\; \text{kg·h}^{-1}\). Titre azote du mélange : \[ w_N^{mix}= \frac{ \dot m_A w_N^{A} + \dot m_B w_N^{B} }{ \dot m_{mix} } = \frac{960\times0,15 + 420\times0,08}{1380} = \frac{144 + 33,6}{1380}= \frac{177,6}{1380}=0,1287 \] Soit 12,9 % de N en masse. **Réponse** : débit massique = 1380 kg·h⁻¹, titre N ≈ 12,9 % (masse). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les débits volumiques en débit massique (omettre \(\rho\)) | Bilan de masse faux, sur‑ ou sous‑estimation des équipements | Toujours vérifier l’unité : si on travaille en m³·h⁻¹, multiplier par la densité (kg·m⁻³) avant d’insérer dans les équations. | | 2 | Utiliser le titre volumique au lieu du titre massique dans le bilan par composant | Erreur de composition, surtout quand les densités des composants diffèrent fortement | Préciser si le titre donné est massique ou volumique ; convertir si nécessaire avec \(w_i = \frac{\rho_i \phi_i}{\sum \rho_j \phi_j}\). | | 3 | Négliger les flux de vapeur ou de gaz dans le bilan d’eau | Bilan d’eau non clos, leading to under‑estimation of evaporation losses | Identifier tous les changements de phase (évaporation, condensation) et les inclure comme flux séparés. | | 4 | Supposer que le titre d’un mélange est la moyenne simple des titres des flux | Titre incorrect quand les débits diffèrent | Utiliser la moyenne pondérée par les débits massiques (voir formule du titre du mélange). | | 5 | Ne pas vérifier que la somme des titres vaut 1 après calcul | Incohérence pouvant masquer une erreur de saisie | Après chaque résolution, faire \(\sum w_i\) ; si ≠ 1, reprendre les équations. | | 6 | Utiliser des unités incohérentes (ex. kg·h⁻¹ avec m³·s⁻¹) dans la même équation | Résultat dimensionnellement incorrect | Homogénéiser toutes les unités avant de résoudre (convertir tout en kg·s⁻¹ ou kg·h⁻¹ selon préférence). | **Règles de sécurité spécifiques** : - Dans les unités de séchage ou d’évaporation, surveiller la température et la pression pour éviter les surpressions pouvant entraîner des ruptures de tuyaux. - Lors du traitement d’huile de palme, porter des gants résistants aux hydrocarbures et des lunettes de protection contre les éclaboussures. - Dans les stations d’eau, vérifier régulièrement le débit des filtres à sable pour éviter le colmatage qui provoquerait une augmentation de la pression de service. --- *Fin du cours.*