Bilan de matière en régime permanent (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - réaliser un bilan de matière en régime permanent pour une colonne de distillation ou d’absorption, en tenant compte des entrées, sorties, reflux et éventuels sidestreams ; - établir le bilan de matière d’un réacteur chimique (batch, continu, à lit fixe ou fluidisé) en intégrant la consommation ou la production des espèces réagissantes, les pertes éventuelles et les récurrences de flux ; - utiliser les équations de bilan pour déterminer des inconnues (débit de reflux, taux de conversion, besoin en matière première) à partir de données d’exploitation ou de cahier des charges ; - interpréter les résultats du bilan afin de vérifier la cohérence d’un procédé et proposer des ajustements conformes aux normes de sécurité et d’hygiène en vigueur au Cameroun (arrêté n° 2005/015 du MINTP relatif à la prévention des risques chimiques). **Prérequis** : - maîtrise du bilan de matière global en régime permanent (notions de débit massique, molaire, composition) ; - connaissance des unités du Système International (kg s⁻¹, mol s⁻¹, % masse, % mole) ; - notions de base sur les opérations de séparation (distillation, absorption) et sur les types de réacteurs (batch, continu, CSTR, PFR) ; - capacité à manipuler des équations algébriques simples et à réaliser des conversions d’unités. --- ## Introduction contextualisée Dans les industries agro‑alimentaires, pétrolières et minières du Cameroun, les colonnes de distillation (ex. : séparation du pétrole brut en fractions légères) et les réacteurs chimiques (ex. : production d’acide sulfurique par le procédé du contact) sont omniprésents. Le contrôle de la qualité et de la rentabilité de ces unités repose sur un bilan de matière précis en régime permanent. Une erreur de calcul peut entraîner un sur‑ou sous‑dosage de réactifs, une perte de produit, voire des situations dangereuses (dépressurisation, émission de gaz toxiques). Ce chapitre fournit donc les outils méthodologiques indispensables pour analyser, dimensionner et optimiser ces équipements tout en respectant les exigences du MINESEC/IGE et les normes de sécurité nationales. --- ## I. Leçon 6 : Bilan quantitatif des colonnes ### 1. Principes généraux d’une colonne en régime permanent Une colonne de séparation (distillation, absorption, extraction) fonctionne en régime permanent lorsque les débits d’entrée, de sortie et les flux internes (reflux, sidestream, boil‑up) ne varient pas dans le temps. Le bilan de matière s’applique à chaque étage ou à la colonne considérée comme un volume de contrôle global. > **Règle de base** : Pour toute espèce *i*, la somme des débits massiques entrants égale la somme des débits massiques sortants : > \[ > \sum \dot m_{i,\text{ent}} = \sum \dot m_{i,\text{sort}} > \] > où \(\dot m\) représente le débit massique (kg h⁻¹). ### 2. Bilan global de la colonne Considérons une colonne d’alimentation *F* (kg h⁻¹) de composition \(z_F\) (fraction massique du composé plus volatil), un distillat *D* (kg h⁻¹) de composition \(x_D\), un résidu *B* (kg h⁻¹) de composition \(x_B\) et un reflux *R* (kg h⁻¹) retourné à la colonne. Le bilan global s’écrit : \[ F = D + B + R_{\text{perte}} \] Dans la plupart des colonnes, le reflux est entièrement réintroduit, donc \(R_{\text{perte}} = 0\) et l’équation se réduit à : \[ F = D + B \] Le bilan du composé plus volatil donne : \[ F\,z_F = D\,x_D + B\,x_B \] Ces deux équations permettent de résoudre deux inconnues (souvent *D* et *B* ou *D* et *R*). ### 3. Bilan par étage (méthode de McCabe‑Thiele simplifiée) Pour une colonne à *N* étages théoriques, le bilan de l’étage *j* (en supposant un équilibre de vapeur‑liquide idéal) s’écrit : \[ L_{j-1} + V_{j+1} = L_j + V_j \] où *L* est le débit liquide descendant et *V* le débit vapeur montant. En régime permanent, les débits *L* et *V* sont constants le long de la colonne lorsqu’on néglige les pertes de charge. > **À retenir** : Dans une colonne à reflux total, \(L = V = R\) (reflux) et le bilan d’étage se réduit à \(L_{j-1}=L_j\) et \(V_{j+1}=V_j\). ### 4. Exemple chiffré : colonne de distillation d’éthanol‑eau **Données** : - Alimentation \(F = 1000\) kg h⁻¹, contenant 40 % masse d’éthanol (\(z_F = 0,40\)). - Distillat souhaité \(x_D = 0,95\) (95 % masse d’éthanol). - Résidu accepté \(x_B = 0,05\) (5 % masse d’éthanol). - Reflux \(R = 1,5\) fois le débit de distillat (rapport de reflux \(R/D = 1,5\)). **Étape 1 – Bilan global** : \[ F = D + B \quad\Rightarrow\quad 1000 = D + B \] **Étape 2 – Bilan de l’éthanol** : \[ 1000 \times 0,40 = D \times 0,95 + B \times 0,05 \] \[ 400 = 0,95D + 0,05B \] **Étape 3 – Substitution** : \(B = 1000 - D\) \[ 400 = 0,95D + 0,05(1000 - D) = 0,95D + 50 - 0,05D \] \[ 400 = 0,90D + 50 \;\Rightarrow\; 0,90D = 350 \;\Rightarrow\; D = 388,9\; \text{kg h⁻¹} \] \[ B = 1000 - 388,9 = 611,1\; \text{kg h⁻¹} \] **Étape 4 – Reflux** : \[ R = 1,5 \times D = 1,5 \times 388,9 = 583,3\; \text{kg h⁻¹} \] **Vérification** : Entrée totale = \(F + R = 1000 + 583,3 = 1583,3\) kg h⁻¹ Sortie totale = \(D + B + R = 388,9 + 611,1 + 583,3 = 1583,3\) kg h⁻¹ → bilan clos. > **À retenir** : Le rapport de reflux influence directement la taille de la colonne (nombre d’étages théoriques) mais n’apparaît pas dans le bilan global de matière. ### 5. Considérations de sécurité et d’hygiène - Vérifier l’étanchéité des brides et des joints avant mise en service (norme NF EN 13445). - Surveiller la température du réchauffeur (reboiler) pour éviter la décomposition thermique de l’éthanol (point d’éclair ≈ 13 °C). - Installer un détecteur de vapeurs d’alcool au niveau du condenseur afin de prévenir les risques d’explosion (seuil LIE ≈ 3,3 % v/v). --- ## II. Leçon 7 : Bilan quantitatif des réacteurs ### 1. Types de réacteurs et hypothèses de bilan | Type de réacteur | Hypothèse de mélange | Équation de bilan de matière (espèce *i*) | |------------------|----------------------|-------------------------------------------| | Batch (discontinu) | Uniforme dans le volume | \(\displaystyle \frac{dN_i}{dt} = r_i V\) | | CSTR (continu, parfaitement mélangé) | Uniforme, sortie = contenu | \(\displaystyle F_{i,in} - F_{i,out} + r_i V = 0\) | | PFR (plug flow) | Aucun mélange axial | \(\displaystyle \frac{dF_i}{dV} = r_i\) | | Lit fixe (catalyseur) | Mélange radial, flux axial piston | Même équation que PFR, avec \(r_i\) incluant l’efficacité du catalyseur | où \(N_i\) est la quantité de matière (mol), \(F_i\) le débit molaire (mol s⁻¹), \(r_i\) la vitesse de réaction nette (mol m⁻³ s⁻¹) et \(V\) le volume du réacteur (m³). > **À retenir** : En régime permanent, le terme d’accumulation \(\frac{dN_i}{dt}\) ou \(\frac{dF_i}{dV}\) vaut zéro pour les réacteurs continus (CSTR, PFR). ### 2. Bilan de matière global pour un réacteur continu Pour un réacteur à entrée *F* (kg h⁻¹) et sortie *P* (kg h⁻¹), avec génération ou consommation *G* (kg h⁻¹) de l’espèce considérée : \[ \sum \dot m_{i,\text{in}} + \sum G_i = \sum \dot m_{i,\text{out}} \] La génération *G* est liée à la stœchiométrie : \[ G_i = \nu_i \, r \, V \, M_i \] où \(\nu_i\) est le coefficient stœchiométrique (négatif pour les réactifs, positif pour les produits), \(r\) la vitesse de réaction globale (mol m⁻³ s⁻¹), \(V\) le volume (m³) et \(M_i\) la masse molaire (kg mol⁻¹). ### 3. Exemple chiffré : réacteur CSTR de production d’acide nitrique (procédé d’oxydation de l’ammoniac) **Réaction globale** : \[ \text{NH}_3 + 2\text{O}_2 \rightarrow \text{HNO}_3 + \text{H}_2\text{O} \] **Données d’exploitation** : - Débit d’ammoniac alimentaire \(F_{NH3,in} = 500\) kg h⁻¹ (pureté 100 %). - Débit d’oxygène alimentaire \(F_{O2,in} = 1200\) kg h⁻¹ (pureté 100 %). - Conversion de l’ammoniac souhaitée \(X_{NH3} = 0,90\) (90 %). - Volume du réacteur \(V = 150\) m³. - Masse molaire : \(M_{NH3}=17\) g mol⁻¹, \(M_{O2}=32\) g mol⁻¹, \(M_{HNO3}=63\) g mol⁻¹, \(M_{H2O}=18\) g mol⁻¹. **Étape 1 – Conversion en débits molaires** : \[ \dot n_{NH3,in}= \frac{500\; \text{kg h⁻¹}}{0,017\; \text{kg mol⁻¹}} = 29\,412\; \text{mol h⁻¹} \] \[ \dot n_{O2,in}= \frac{1200}{0,032}= 37\,500\; \text{mol h⁻¹} \] **Étape 2 – Débit de réaction** (en supposant que l’ammoniac est le réactif limitant) : \[ r = \frac{X_{NH3}\,\dot n_{NH3,in}}{V}= \frac{0,90 \times 29\,412}{150}= 176,5\; \text{mol m⁻³ h⁻¹} \] Convertir en mol m⁻³ s⁻¹ : \(r = 176,5 / 3600 = 0,0490\; \text{mol m⁻³ s⁻¹}\). **Étape 3 – Génération de HNO₃** : \(\nu_{HNO3}=+1\) \[ G_{HNO3}= \nu_{HNO3}\, r \, V \, M_{HNO3}= 1 \times 0,0490 \times 150 \times 0,063 = 0,463\; \text{kg s⁻¹} \] Convertir en kg h⁻¹ : \(0,463 \times 3600 = 1667\; \text{kg h⁻¹}\). **Étape 4 – Bilan global de l’ammoniac** : \[ \dot n_{NH3,out}= \dot n_{NH3,in} (1-X)= 29\,412 \times 0,10 = 2\,941\; \text{mol h⁻¹} \] \[ \dot m_{NH3,out}= 2\,941 \times 0,017 = 50,0\; \text{kg h⁻¹} \] **Étape 5 – Vérification du bilan d’oxygène** : Consommation théorique d’O₂ = \(2 \times \dot n_{NH3,in} X = 2 \times 29\,412 \times 0,90 = 52\,942\; \text{mol h⁻¹}\) \[ \dot m_{O2,cons}= 52\,942 \times 0,032 = 1\,694\; \text{kg h⁻¹} \] Débit d’O₂ en sortie : \[ \dot m_{O2,out}= F_{O2,in} - \dot m_{O2,cons}= 1200 - 1694 = -494\; \text{kg h⁻¹} \] Le résultat négatif indique que l’oxygène est en déficit ; il faut augmenter l’alimentation d’O₂ à au moins 1694 kg h⁻¹ pour atteindre la conversion souhaitée. > **À retenir** : Dans un CSTR, le débit de sortie d’un réactif égale son débit d’entrée diminué de la quantité consommée par la réaction ; le bilan doit être clos pour chaque espèce avant de valider les conditions d’exploitation. ### 4. Considérations de sécurité et d’hygiène - Surveillance continue de la température et de la pression (risque de décomposition exothermique de l’HNO₃ au-delà de 150 °C). - Installation d’un système de neutralisation des gaz résiduels (NOₓ) conformément à l’arrêté n° 2012/008 du MINEPDED relatif aux émissions atmosphériques. - Port obligatoire d’équipements de protection individuelle (gants résistants aux acides, lunettes de protection) lors des opérations de chargement/déchargement du réactif ammoniacal. --- ## Synthèse du chapitre - **Bilan de matière en régime permanent** : entrée = sortie + génération – consommation. - **Colonne** : deux équations globales (masse totale et composé clé) permettent de déterminer les débits de distillat, résidu et reflux. Le bilan d’étage montre la constance des débits liquide et vapeur en l’absence de pertes. - **Réacteur** : selon le type (batch, CSTR, PFR, lit fixe), l’équation de bilan intègre le terme de réaction \(r_i V\). En régime permanent, le terme d’accumulation disparaît pour les continus. - **Méthodologie** : convertir les débits massiques en molaires, appliquer la stœchiométrie, résoudre le système d’équations linéaires, vérifier la fermeture du bilan pour chaque espèce. - **Sécurité** : contrôler température, pression, étanchéité, détecter les fuites de vapeurs toxiques ou inflammables, respecter les arrêtés camerounais sur les risques chimiques et les émissions. > **À retenir** : Un bilan de matière correctement clos est la première étape de tout dimensionnement ou d’optimisation d’un procédé industriel. --- ## Glossaire - **Débit massique** (\(\dot m\)) : quantité de masse traversée par une section par unité de temps (kg h⁻¹). - **Débit molaire** (\(\dot n\)) : quantité de substance traversée par une section par unité de temps (mol s⁻¹). - **Reflux (R)** : partie du distillat condensée renvoyée à la colonne pour améliorer la séparation. - **Sidestream** : flux intermédiaire prélevé ou ajouté à un étage intermédiaire d’une colonne. - **Conversion (X)** : fraction du réactif d’entrée qui a réagit (sans unité). - **Vitesse de réaction (r)** : quantité de matière formée ou consommée par unité de volume et de temps (mol m⁻³ s⁻¹). - **CSTR** : réacteur à agitation parfaite, contenu uniforme, sortie identique au milieu. - **PFR** : réacteur à écoulement piston, pas de mélange axial, composition variable le long de l’axe. - **Stœchiométrie** : relation quantitative entre réactifs et produits dans une réaction chimique équilibrée. - **Équilibre vapeur‑liquide** : condition où les phases vapeur et liquide d’un mélange ont des compositions liées par un coefficient de partage (K‑value). - **Génération (G)** : terme du bilan représentant la production d’une espèce par réaction (kg h⁻¹). - **Consommation** : terme du bilan représentant la disparition d’une espèce par réaction (kg h⁻¹). --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 : Colonne d’absorption d’acide sulfhydrique (H₂S) dans une solution d’amine **Données** : - Débit de gaz d’entrée \(F_G = 800\) Nm³ h⁻¹ contenant 2 % v/v H₂S. - Débit d’amine liquide d’entrée \(F_L = 1200\) kg h⁻¹, initialement exempt de H₂S. - Le gaz sortant contient 0,1 % v/v H₂S. - L’amine réagit avec H₂S selon : H₂S + RNH₂ → RNH₃⁺ + HS⁻ (1 mol H₂S consomme 1 mol amine). - Masse molaire H₂S = 34 g mol⁻¹, amine = 61 g mol⁻¹. **Demande** : Déterminer le débit de H₂S absorbé (kg h⁻¹) et le débit d’amine consommée (kg h⁻¹). **Corrigé** : 1. Conversion du débit gaz en mol h⁻¹ (conditions normales : 1 Nm³ = 44,64 mol). \[ \dot n_{G,in}=800 \times 44,64 = 35\,712\; \text{mol h⁻¹} \] H₂S entrant : \(0,02 \times 35\,712 = 714,2\; \text{mol h⁻¹}\). H₂S sortant : \(0,001 \times 35\,712 = 35,7\; \text{mol h⁻¹}\). H₂S absorbé = \(714,2 - 35,7 = 678,5\; \text{mol h⁻¹}\). En masse : \(678,5 \times 0,034 = 23,1\; \text{kg h⁻¹}\). 2. Stœchiométrie 1 : 1 → moles d’amine consommées = 678,5 mol h⁻¹. Masse d’amine consommée = \(678,5 \times 0,061 = 41,4\; \text{kg h⁻¹}\). 3. Vérification du bilan liquide : entrée d’amine 1200 kg h⁻¹ – consommation 41,4 kg h⁻¹ = 1158,6 kg h⁻¹ d’amine sortant (inchangé en H₂S). **Réponse** : H₂S absorbé = **23,1 kg h⁻¹** ; amine consommée = **41,4 kg h⁻¹**. --- ### Exercice 2 : Réacteur batch d’estérification (acide acétique + éthanol → acétate d’éthyle + eau) **Données** : - Volume du réacteur \(V = 2,0\) m³. - Concentration initiale d’acide acétique \(C_{Ac,0}= 2,0\) mol L⁻¹. - Concentration initiale d’éthanol \(C_{EtOH,0}= 3,0\) mol L⁻¹. - Constante de vitesse d’ordre deux : \(k = 0,05\) L mol⁻¹ min⁻¹ (vitesse = \(k C_{Ac} C_{EtOH}\)). - Temps de réaction souhaité \(t = 180\) min. **Demande** : Calculer la concentration d’acétate d’éthyle formée à la fin du batch (supposer que l’eau ne participe pas à la vitesse). **Corrigé** : Écrire les bilans différentiels (batch, volume constant) : \[ \frac{dC_{Ac}}{dt}= -k C_{Ac} C_{EtOH} \] \[ \frac{dC_{EtOH}}{dt}= -k C_{Ac} C_{EtOH} \] Comme les deux réactifs sont consommés dans un rapport 1 : 1, on définit \(x\) = quantité d’acide acétique réagie (mol L⁻¹). Alors : \[ C_{Ac}= C_{Ac,0} - x,\qquad C_{EtOH}= C_{EtOH,0} - x \] Le bilan devient : \[ \frac{dx}{dt}= k (C_{Ac,0} - x)(C_{EtOH,0} - x) \] Intégrer de \(t=0\) à \(t\) et de \(x=0\) à \(x(t)\) : \[ \int_{0}^{x}\frac{dx}{(C_{Ac,0} - x)(C_{EtOH,0} - x)} = k \int_{0}^{t} dt \] La fraction se décompose en fractions simples : \[ \frac{1}{(C_{Ac,0} - x)(C_{EtOH,0} - x)}= \frac{1}{C_{EtOH,0}-C_{Ac,0}}\left[\frac{1}{C_{Ac,0}-x}-\frac{1}{C_{EtOH,0}-x}\right] \] Avec \(C_{Ac,0}=2,0\) et \(C_{EtOH,0}=3,0\) mol L⁻¹, la différence est \(1,0\) mol L⁻¹. Ainsi : \[ \int_{0}^{x}\left[\frac{1}{2,0 - x}-\frac{1}{3,0 - x}\right]dx = k t \] Intégrale : \[ \big[-\ln|2,0 - x| + \ln|3,0 - x|\big]_{0}^{x}= k t \] \[ \ln\frac{3,0 - x}{2,0 - x} - \ln\frac{3,0}{2,0}= k t \] \[ \ln\frac{(3,0 - x) \cdot 2,0}{(2,0 - x) \cdot 3,0}= k t \] Insérer les valeurs : \(k = 0,05\) L mol⁻¹ min⁻¹, \(t = 180\) min → \(kt = 0,05 \times 180 = 9,0\). \[ \ln\frac{2(3,0 - x)}{3(2,0 - x)} = 9,0 \] Exponentier : \[ \frac{2(3,0 - x)}{3(2,0 - x)} = e^{9,0} \approx 8103,1 \] Résoudre pour \(x\) : \[ 2(3,0 - x) = 8103,1 \times 3(2,0 - x) \] \[ 6,0 - 2x = 24309,3 (2,0 - x) = 48618,6 - 24309,3 x \] Regrouper les termes en \(x\) : \[ -2x + 24309,3 x = 48618,6 - 6,0 \] \[ 24307,3 x = 48612,6 \] \[ x = \frac{48612,6}{24307,3} \approx 2,00\; \text{mol L⁻¹} \] Comme la concentration initiale d’acide acétique était de 2,0 mol L⁻¹, la réaction est pratiquement complète (conversion ≈ 100 %). La concentration d’acétate d’éthyle formée égale \(x\) (stœchiométrie 1 : 1) : **2,0 mol L⁻¹**, soit en masse : \[ M_{acétate d’éthyle}= 88,1\; \text{g mol⁻¹} \Rightarrow 2,0 \times 0,0881 = 0,176\; \text{kg L⁻¹}= 176\; \text{kg m⁻³} \] Dans le réacteur de 2,0 m³, la masse totale d’acétate d’éthyle produite est \(176 \times 2,0 = 352\; \text{kg}\). **Réponse** : Concentration d’acétate d’éthyle à la fin du batch = **2,0 mol L⁻¹** (≈ 176 kg m⁻³), masse totale produite ≈ **352 kg**. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les débits volumétriques en débits massiques (ou molaires) avant d’appliquer le bilan. | Bilan erroné, sur‑ ou sous‑estimation des débits de sortie. | Toujours vérifier l’unité de chaque donnée ; utiliser la densité ou la masse molaire appropriée. | | 2 | Supposer que le reflux est nul dans une colonne à reflux partiel, ce qui entraîne un sous‑dimensionnement du nombre d’étages. | Colonne incapable d’atteindre la pureté requise, reprise de chargement coûteuse. | Calculer le rapport de reflux réel (R/D) à partir du cahier des charges et l’intégrer dans le bilan d’étage. | | 3 | Négliger la génération ou la consommation d’une espèce dans le bilan d’un réacteur (ex. : oublier la production d’eau dans une réaction d’estérification). | Bilan non clos, mauvaise estimation de la conversion et de la charge thermique. | Écrire systématiquement l’équation de réaction stœchiométrique et ajouter le terme \( \nu_i r V \) pour chaque espèce. | | 4 | Utiliser une température de fonctionnement supérieure à la limite de décomposition du produit (ex. : chauffage excessif d’un réacide nitrique). | Dégradation du produit, libération de gaz toxiques (NO₂), risque d’incendie. | Consulter les fiches de données de sécurité (FDS) et respecter la température maximale autorisée (souvent indiquée dans le procédé). | | 5 | Ne pas purger les lignes de gaz avant le démarrage d’une colonne d’absorption, provoquant une accumulation de H₂S dans l’atelier. | Risque d’inhalation de gaz toxique, dépassement des seuils d’exposition professionnelle (OEL). | Effectuer une purge à l’air sec ou à l’azote selon les procédures de mise en service, puis vérifier avec un détecteur de H₂S. | | 6 | Omettre de vérifier l’étanchéité des brides après un arrêt de maintenance, entraînant des fuites de vapeurs d’ammoniac. | Exposition du personnel à un gaz irritant et corrosif, risque de brûlure respiratoire. | Appliquer le test à la bulle ou au détecteur de fuite avant chaque remise en service ; consigner le résultat dans le carnet de maintenance. | --- *Fin du cours.*