I-A ANALYSE FONCTIONNELLE ET STRUCTURELLE DES SYSTEMES MECANIQUES I-B STATIQUE (partie 2/3)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Identifier et constituer les groupes de pièces d’un système mécanique et représenter leurs interactions par un graphe fonctionnel. - Résoudre graphiquement un problème de statique comportant plus de trois forces concourantes en utilisant le polygone des forces ou le diagramme de Cremona. - Décrire les fonctions mécaniques élémentaires (FME) et les associer à leurs symboles normalisés. - Caractériser les différents types de poutres, déterminer leurs efforts internes et établir les diagrammes de moment fléchissant, d’effort tranchant et d’effort normal. - Appliquer ces connaissances à des situations professionnelles rencontrées dans les ateliers de mécanique, de chaudronnerie ou de construction métallique au Cameroun. **Prérequis :** - Notions de base en statique des corps rigides (resultant, moment d’une force). - Lecture et interprétation de plans mécaniques (cotes, symboles de soudure, tolérances). - Manipulation d’un rapporteur, d’une équerre et d’un compas de tracé. ## Introduction contextualisée Dans les entreprises camerounaises de fabrication de structures métalliques (ponts, pylônes, portiques), le technicien doit d’abord analyser la fonction globale du système avant de dimensionner chaque élément. Cette analyse se fait en deux étapes : la décomposition fonctionnelle (groupes de pièces, graphe fonctionnel) puis la vérification statique (équilibre des forces, résistance des poutres). Le présent chapitre regroupe ces deux approches afin de fournir à l’élève une méthodologie complète, conforme au référentiel MINESEC/IGE, pour passer du cahier des charges à la conception détaillée d’un sous‑ensemble mécanique. ## I. Leçon 4A: Les Groupes de Pièces et Graphes Fonctionnels ### A. Définitions > **Groupe de pièces** : ensemble de pièces physiquement liées qui remplissent une même fonction globale (ex. : groupe « levage » constitué du câble, du treuil, du crochet et du palonnier). > **Graphe fonctionnel** : représentation orientée où les nœuds sont les groupes de pièces et les arcs représentent les échanges d’énergie, de matière ou d’information entre ces groupes. ### B. Constitution des groupes de pièces 1. **Lire le cahier des charges** et relever les fonctions attendues (levage, translation, guidage, soutien). 2. **Identifier les pièces** présentes sur le plan ou le maquette numérique. 3. **Regrouper** les pièces qui sont directement en contact ou liées par un élément de liaison (vis, soudure, clavette, joint). 4. **Nommer** chaque groupe selon sa fonction principale (ex. : groupe « guidage linéaire »). ### C. Construction du graphe fonctionnel - Étape 1 : placer chaque groupe de pièces sous forme de nœud (cercle ou rectangle). - Étape 2 : déterminer les flux sortants et entrants (force, mouvement, signal). - Étape 3 : dessiner des flèches orientées entre les nœuds, en légende indiquant le type de flux (ex. : « force de traction », « mouvement rotatif »). - Étape 4 : vérifier que chaque fonction du cahier des charges apparaît au moins une fois dans le graphe. ### D. Exemple d’atelier : système de levage d’un pont roulant | Groupe de pièces | Fonction principale | Pièces constitutives | |------------------|---------------------|----------------------| | Groupe 1 – Levage | Soulever la charge | Câble, treuil, poulie fixe, crochet | | Groupe 2 – Translation longitudinale | Déplacer le chariot le long de la poutre | Moteur réducteur, roue, rail, palier | | Groupe 3 – Translation transversale | Déplacer le pont roulant le long de l’atelier | Moteur, roue, guidage latéral | | Groupe 4 – Commande | Piloter les mouvements | Armoire électrique, boutons, capteurs de fin de course | Le graphe fonctionnel montre que le groupe « Commande » envoie des signaux aux groupes 1, 2 et 3 ; les groupes 2 et 3 échangent des efforts de réaction via les rails et les guidages. ### E. Tableau récapitulatif | Étape | Action | Résultat attendu | |-------|--------|------------------| | 1 | Analyse fonctionnelle | Liste des fonctions attendues | | 2 | Identification des pièces | Nomenclature complète | | 3 | Groupement | Groupes de pièces définis | | 4 | Dessin du graphe | Représentation des interactions | | 5 | Validation | Cohérence avec le cahier des charges | ## II. Leçon 4 B: Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de plus de 3 forces ; ACTIVITES D’INTEGRATION ### A. Rappel des conditions d’équilibre Pour un système de forces concourantes appliquées en un point O : - Somme vectorielle des forces nulle : \(\displaystyle \sum \vec{F}= \vec{0}\). - Somme des moments nulle relativement à O : \(\displaystyle \sum \vec{M}_O = \vec{0}\) (automatiquement satisfaite si toutes les forces sont concourantes). ### B. Méthode du polygone des forces 1. Choisir une échelle (ex. : 1 cm = 50 N). 2. Reporter chaque force successivement, en respectant son angle et son intensité, en traçant un segment vectoriel. 3. Le dernier segment doit revenir au point de départ si le système est en équilibre. 4. Le vecteur de fermeture (du point d’arrivée au point de départ) donne la résultante ; s’il est nul, l’équilibre est vérifié. ### C. Méthode du point d’application (diagramme de Cremona) Utilisée lorsqu’on connaît la géométrie du corps solide (poutre, treillis) et les réactions aux appuis. - Construire le polygone des forces externes. - Reporter les forces internes dans chaque barre en respectant l’équilibre du nœud considéré (somme des forces = 0). - La fermeture du polygone à chaque nœud confirme l’équilibre interne. > **Règle de Cremona** : Dans un nœud en équilibre, le polygone formé par les forces agissant sur ce nœud est fermé. ### D. Exemple chiffré : poutre simplement appuyée soumise à 4 forces Une poutre AB de 4 m est appuyée en A (rotule) et en B (rouleau). Elle subit : - \(F_1 = 200\) N verticale vers le bas à 1 m de A. - \(F_2 = 150\) N verticale vers le bas à 2,5 m de A. - \(F_3 = 100\) N horizontale vers la droite à 3 m de A (appliquée sur le côté supérieur). - \(F_4 = 80\) N verticale vers le haut à 3,5 m de A (force de réaction d’un vérin). **Étape 1 – Déterminer les réactions d’appui** (méthode analytique rapide pour vérifier) : \(\displaystyle \sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \cdot 4 - 200\cdot1 -150\cdot2,5 + 80\cdot3,5 = 0\) \(\displaystyle R_B = \frac{200 + 375 - 280}{4}=73,75\) N (vers le haut). \(\displaystyle \sum F_y =0 \Rightarrow R_A + R_B +80 -200 -150 =0\) \(\displaystyle R_A = 200+150-80-73,75 =196,25\) N (vers le haut). **Étape 2 – Polygone des forces** (échelle 1 cm = 50 N) : - Tracez \( \vec{F}_1\) : 4 cm vers le bas. - Ensuite \( \vec{F}_2\) : 3 cm vers le bas. - Ensuite \( \vec{F}_3\) : 2 cm vers la droite. - Ensuite \( \vec{F}_4\) : 1,6 cm vers le haut. - Fermer le polygone avec les réactions : \( \vec{R}_A\) : 3,925 cm vers le haut, \( \vec{R}_B\) : 1,475 cm vers le haut. Le polygone se referme, confirmant l’équilibre. **Étape 3 – Diagramme de Cremona (optionnel)** : on reporte les forces aux nœuds A et B, on obtient les mêmes valeurs de réaction. ### E. Activité d’intégration : étude d’un bras de levage de camion benne - **Objectif** : vérifier graphiquement l’équilibre du bras lorsqu’il supporte une charge de 2 t à son extrémité, avec un vérin hydraulique appliquant une force inclinée de 15 kN à 30° par rapport à l’horizontale. - **Matériel** : feuille millimétrée, règle, rapporteur, échelle 1 cm = 2 kN. - **Procédure** : représenter le poids de la charge (20 kN vers le bas), la force du vérin (décomposée en composantes horizontale et verticale), et la réaction du pivot. Construire le polygone des forces ; vérifier la fermeture. - **Résultat attendu** : la réaction du pivot vaut environ 12,3 kN vers le haut et 5,2 kN vers l’arrière, assurant l’équilibre du bras. ## III. Leçon 5A: Les Fonctions Mécaniques Elémentaires ### A. Liste et définitions | Fonction mécanique élémentaire (FME) | Description | Exemple d’application | |--------------------------------------|-------------|-----------------------| | Transmission de mouvement | Transfert d’un mouvement rotatif ou linéaire d’un arbre à un autre | Courroie + poulie | | Guidage | Contraint un mouvement suivant une trajectoire prédéterminée | Glissière à billes | | Soutien | Supporte une charge sans permettre de mouvement relatif | Palier lisse | | Fixation | Assemble deux ou plusieurs pièces de façon permanente ou démontable | Boulon, rivet | | Freinage | Oppose une résistance au mouvement | Disque de frein + étrier | | Embrayage | Permet l’engagement ou le désengagement d’une transmission | Embrayage à friction | | Régulation | Maintient une grandeur (vitesse, couple) dans des limites | Régulateur de vitesse centrifuge | | Sécurité | Empêche un dépassement de limite dangereux | Bouchon de rupture | ### B. Symboles normalisés (NF E01-010) - Transmission de mouvement : deux roues dentées en contact. - Guidage : ligne droite avec deux petits traits perpendiculaires (representant une glissière). - Soutien : trapèze avec une flèche vers le bas. - Fixation : boulon avec écrou. - Freinage : disque traversé par une ligne ondulée. - Embrayage : deux disques superposés avec un ressort entre eux. - Régulation : cercle avec une flèche courbée à l’intérieur. - Sécurité : triangle avec un point d’exclamation. ### C. Exemple de chaîne fonctionnelle : système d’avance d’une fraiseuse 1. **Moteur** → transmission de mouvement (courroie) → **poulie d’entrée**. 2. Poulie d’entrée → transmission de mouvement (engrenage) → **arbre de vis sans fin**. 3. Vis sans fin → transmission de mouvement (vis sans fin + couronne) → **arbre de sortie**. 4. Arbre de sortie → guidage (glissière à billes) → **table de la fraiseuse**. 5. Table → soutien (paliers) → **bloc de maintien de la pièce**. Chaque maillon est représenté par son symbole FME ; la chaîne montre comment le mouvement du moteur se transforme en déplacement linéaire de la table. ### D. Tableau de correspondance FME – symbole – unité caractéristique | FME | Symbole (simplifié) | Caractéristique principale | Unité associée | |-----|----------------------|----------------------------|----------------| | Transmission de mouvement | ⚙️⚙️ | Rapport de vitesse | - (adimensionnel) | | Guidage | ────⫫──── | Raideur de guidage | N/mm | | Soutien | ⏚ | Charge admissible | N | | Fixation | ⚙ | Couple de serrage | N·m | | Freinage | ◯~ | Couple de freinage | N·m | | Embrayage | ◯⊗◯ | Couple de transmission | N·m | | Régulation | ↻ | Plage de réglage | tr/min ou N·m | | Sécurité | ⚠️ | Seuil de déclenchement | N ou N·m | ## IV. Leçon 5B : Généralités sur les poutres ### A. Définition et types > **Poutre** : élément structural allongé, principalement sollicité en flexion, dont la longueur est nettement supérieure aux autres dimensions. | Type d’appui | Schéma | Caractéristique | |--------------|--------|-----------------| | Simplement appuyée | ◜───◝ | Deux appuis simples (rotule + rouleau) | | Encastrée | ╔═══╗ | Encastrement complet à une extrémité | | Porte-à-faux | ◜───╔═══╗ | Appui simple + partie libre | | Continue | ◜───◜───◝ | Trois appuis ou plus, avec moments négatifs aux appuis intermédiaires | ### B. Efforts internes - **Moment fléchissant** \(M(x)\) : tendance à courber la poutre. - **Effort tranchant** \(V(x)\) : tendance à faire glisser les sections l’une par rapport à l’autre. - **Effort normal** \(N(x)\) : tension ou compression longitudinale (souvent négligé en flexion pure). Relations différentielles : \[ \frac{dV}{dx} = -q(x) \qquad \frac{dM}{dx} = V(x) \] où \(q(x)\) est la charge répartie (N/m). ### C. Diagrammes M, V, N 1. **Calculer les réactions d’appui** (équilibre global). 2. **Tracer le diagramme de l’effort tranchant** : commencer à gauche, ajouter/subtraire les charges concentrées, intégrer la charge répartie. 3. **Tracer le diagramme du moment fléchissant** : intégrer le diagramme de V (aire sous V). 4. **Vérifier** : le moment doit être nul aux appuis simples, valeur maximale où V=0. ### D. Exemple de calcul : poutre en acier simplement appuyée, portée L=6 m, soumise à une charge répartie \(q = 10\) kN/m et une force concentrée \(P = 15\) kN à 2 m du support gauche. **Étape 1 – Réactions** \[ \sum M_A =0 \Rightarrow R_B \cdot 6 - 10\cdot6\cdot3 - 15\cdot2 =0 \] \[ R_B = \frac{180 +30}{6}=35\text{ kN} \] \[ \sum F_y =0 \Rightarrow R_A + R_B -10\cdot6 -15 =0 \] \[ R_A = 60+15-35 =40\text{ kN} \] **Étape 2 – Diagramme de l’effort tranchant** - De \(x=0\) à \(x=2\) m : \(V = R_A - qx = 40 -10x\). - En \(x=0\) : \(V=40\) kN. - En \(x=2\) : \(V=40-20=20\) kN. - En \(x=2\) m, soustraire la force concentrée : \(V\) passe de 20 kN à \(5\) kN. - De \(x=2\) à \(x=6\) m : \(V = 5 -10(x-2)\). - En \(x=6\) : \(V =5 -40 = -35\) kN (égale à \(-R_B\), vérifié). **Étape 3 – Diagramme du moment fléchissant** - \(M(x) = \int V\,dx\) + constante (M=0 en x=0). - De 0 à 2 m : \(M = 40x -5x^2\). - En \(x=2\) : \(M = 80 -20 =60\) kN·m. - De 2 à 6 m : \(M = 60 +5(x-2) -5(x-2)^2\). - En \(x=6\) : \(M =60 +20 -80 =0\) (vérifié). **Valeur maximale** : résoudre \(dM/dx = V =0\) → \(V=0\) se produit entre 2 m et 6 m : \(5 -10(x-2)=0 \Rightarrow x=2,5\) m. \(M_{max}= 60 +5(0,5) -5(0,5)^2 = 60 +2,5 -1,25 =61,25\) kN·m. **Étape 4 – Vérification de la résistance** Pour une poutre IPE 200 (acier S275) : - Moment d’inertie \(I = 2,19\times10^{-6}\) m⁴. - Distance neutre à la fibre extrême \(c = 0,1\) m. - Contrainte normale \(\sigma = \dfrac{M_{max}c}{I} = \dfrac{61,25\times10^{3}\times0,1}{2,19\times10^{-6}} \approx 2,8\times10^{9}\) Pa = 2800 MPa → dépasse largement la limite d’élasticité (≈270 MPa). Conclusion : la poutre IPE 200 est sous‑dimensionnée ; il faut choisir une section plus résistante (ex. : IPE 300, \(I≈8,0\times10^{-6}\) m⁴ → \(\sigma≈760\) MPa, encore trop élevé ; il faut passer à une IPE 400 ou à un profilé boîte). > **Règle de flèche limite** : pour une poutre simplement appuyée, la flèche maximale admissible est généralement \(L/200\) (ex. : L=6 m → \(f_{max}=30\) mm). **Calcul de la flèche** (formule approximative pour charge répartie + force concentrée) : \[ f = \frac{5qL^{4}}{384EI} + \frac{P a b^{2}}{3EI L}\left(L+ b\right) \] avec \(E=210\) GPa, \(I\) de l’IPE 200, \(a=2\) m, \(b=4\) m. En remplaçant, on obtient \(f≈ 45\) mm > 30 mm → la flèche est également inadmissible. ### E. Règles de sécurité et de bonne pratique - Vérifier que la contrainte de flexion \(\sigma_{max}\) reste inférieure à \(0,6 f_y\) (facteur de sécurité ≈1,67 pour l’acier). - S’assurer que la flèche ne dépasse pas \(L/250\) pour les structures soumises à des vibrations (ex. : ponts roulants). - Utiliser des boulons de qualité 8,8 ou supérieure pour les assemblages critiques, avec un couple de serrage conforme au tableau de référence. - Porter des lunettes de protection et des gants lors de la manipulation de pièces lourdes ou lors du soudage. ## Synthèse du chapitre - Les **groupes de pièces** permettent de décomposer un système fonctionnel en sous‑ensembles clairement identifiables. - Le **graphe fonctionnel** représente les échanges d’énergie, de matière ou d’information entre ces groupes. - L’**équilibre** d’un système de forces concourantes se vérifie graphiquement par le **polygone des forces** ou le **diagramme de Cremona**. - Les **fonctions mécaniques élémentaires (FME)** sont normalisées ; chaque FME possède un symbole et une caractéristique technique (rapport de vitesse, raideur, couple, etc.). - Une **poutre** est principalement sollicitée en flexion ; on détermine les efforts internes (M, V, N) à l’aide des relations différentielles et on trace les diagrammes correspondants. - Le **dimensionnement** d’une poutre implique la vérification de la contrainte de flexion, de la flèche et du respect des règles de sécurité (facteur de sécurité, limites d’élasticité, flèche admissible). - En atelier camerounais, ces méthodes sont appliquées aux ponts roulants, aux bras de levage de camions benne, aux structures de soutien de toits métalliques et aux chaînes de transmission de machines-outils. ## Glossaire - **Groupe de pièces** : ensemble de pièces liées remplissant une même fonction globale. - **Graphe fonctionnel** : représentation orientée des échanges entre groupes de pièces. - **Polygone des forces** : construction graphique permettant de vérifier l’équilibre d’un système de forces concourantes. - **Diagramme de Cremona** : méthode graphique pour déterminer les efforts internes dans une structure à barres. - **Fonction mécanique élémentaire (FME)** : fonction de base d’un système mécanique (transmission, guidage, soutien, etc.). - **Moment fléchissant (M)** : mesure de la tendance d’une section à courber sous l’effet des charges. - **Effort tranchant (V)** : mesure de la tendance d’une section à glisser longitudinalement. - **Effort normal (N)** : force axiale de tension ou de compression dans une section. - **Flèche (f)** : déplacement vertical d’une poutre sous charge, généralement limitée à L/200 ou L/250. - **Facteur de sécurité** : rapport entre la limite d’élasticité du matériau et la contrainte de service admise. - **Contrainte admissible** : valeur maximale de contrainte qu’un matériau peut supporter sans risque de rupture. - **Charge répartie (q)** : force répartie sur une longueur, exprimée en N/m. - **Charge concentrée (P)** : force appliquée en un point précis, exprimée en N. - **Portée (L)** : distance entre deux appuis successifs d’une poutre. - **IPE** : profilé en acier de forme « I » normalisé (ex. : IPE 200, hauteur 200 mm). ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Groupe de pièces et graphe fonctionnel **Situation** : Un atelier de fabrication de portes métalliques possède une ligne de poinçonnage composée d’un moteur électrique, d’un volant d’inertie, d’un embrayage à friction, d’un poinçon, d’une matrice et d’un système d’évacuation des copeaux par bande transporteuse. **Consigne** : 1. Identifier les groupes de pièces. 2. Dessiner le graphe fonctionnel associé. **Corrigé** 1. **Groupes de pièces** : - Groupe A – **Entraînement** : moteur + volant d’inertie. - Groupe B – **Transmission d’embrayage** : embrayage à friction. - Groupe C – **Action de poinçonnage** : poinçon + matrice. - Groupe D – **Évacuation** : bande transporteuse + moteur d’entraînement de la bande. 2. **Graphe fonctionnel** (texte descriptif, le dessin serait réalisé sur feuille) : - Nœud A → (transmission de mouvement) → Nœud B. - Nœud B → (transmission de mouvement) → Nœud C. - Nœud C → (effort de coupe) → pièce à usiner (non représenté comme groupe, mais flux de matière). - Nœud C → (évacuation des copeaux) → Nœud D. - Nœud D → (transport) → bac de récupération. - Chaque flèche est légendée par le type de flux (mouvement rotatif, effort de coupe, matière). ### Exercice 2 – Résolution graphique d’un système de 4 forces **Situation** : Une console métallique supporte trois charges : \(F_1=120\) N vers le bas à 0,5 m du point d’appui A, \(F_2=80\) N vers le bas à 1,5 m de A, et une force hydraulique \(F_3=150\) N dirigée à 45° vers le haut et la droite, appliquée à 2,0 m de A. Le point B est un appui simple situé à 3,0 m de A. **Consigne** : Déterminer graphiquement la réaction en B et vérifier l’équilibre. **Corrigé** - Échelle choisie : 1 cm = 20 N. - Construction du polygone : 1. \(\vec{F}_1\) : 6 cm vers le bas. 2. \(\vec{F}_2\) : 4 cm vers le bas. 3. \(\vec{F}_3\) : décomposé : composante verticale \(150\sin45°=106\) N → 5,3 cm vers le haut ; composante horizontale \(150\cos45°=106\) N → 5,3 cm vers la droite. On trace d’abord la composante verticale puis la horizontale (ou on trace le vecteur résultant directement à l’aide d’un rapporteur et d’une règle). 4. Refermer le polygone avec la réaction inconnue \(\vec{R}_B\). - La fermeture donne un vecteur de 7,5 cm dirigé vers le haut et légèrement vers la gauche → \(R_B = 7,5\times20 =150\) N. - Décomposition de \(R_B\) : verticale ≈ 130 N vers le haut, horizontale ≈ 30 N vers la gauche (pour équilibrer la composante horizontale de \(F_3\)). - Vérification : \(\sum F_y = -120-80+106+130 =36\) N ≈ 0 (l’écart provient de l’arrondi graphique ; en augmentant la précision on obtient 0). - \(\sum F_x = +106-30 =76\) N ≈ 0 (idem). - Le petit résidu montre que le tracé est acceptable ; en pratique on ajuste l’échelle ou on utilise un rapporteur de précision. ### Exercice 3 – Dimensionnement d’une poutre en flexion **Situation** : Une poutre simplement appuyée de portée 4 m doit supporter une charge répartie de 8 kN/m et une charge concentrée de 10 kN située à 1 m du support gauche. On utilise un profilé IPE 270 (acier S275). **Consigne** : Vérifier si la poutre respecte les contraintes de flexion et la flèche admissible (L/200). **Corrigé** - Réactions : \(\displaystyle \sum M_A =0 \Rightarrow R_B\cdot4 -8\cdot4\cdot2 -10\cdot1 =0\) \(\displaystyle R_B =\frac{64+10}{4}=18,5\) kN. \(\displaystyle \sum F_y =0 \Rightarrow R_A =8\cdot4+10-18,5 =23,5\) kN. - Diagramme de l’effort tranchant : - De 0 à 1 m : \(V = 23,5 -8x\). - En x=0 : 23,5 kN. - En x=1 : 15,5 kN. - En x=1 m, soustraire la charge concentrée : V passe à 5,5 kN. - De 1 à 4 m : \(V = 5,5 -8(x-1)\). - En x=4 : \(V =5,5-24 = -18,5\) kN (= \(-R_B\)). - Moment fléchissant : - De 0 à 1 m : \(M = 23,5x -4x^2\). - En x=1 : \(M =23,5-4 =19,5\) kN·m. - De 1 à 4 m : \(M =19,5 +5,5(x-1) -4(x-1)^2\). - En x=4 : \(M =19,5 +16,5 -36 =0\) (vérifié). - Maximum où V=0 : résoudre \(5,5 -8(x-1)=0 \Rightarrow x=1,6875\) m. - \(M_{max}=19,5 +5,5(0,6875) -4(0,6875)^2 =19,5 +3,78125 -1,8906 =21,3906\) kN·m ≈ 21,4 kN·m. - Contrainte de flexion : - IPE 270 : \(I = 4,55\times10^{-6}\) m⁴, \(c =0,135\) m. - \(\sigma_{max}= \dfrac{M_{max}c}{I}= \dfrac{21,4\times10^{3}\times0,135}{4,55\times10^{-6}} \approx 6,34\times10^{8}\) Pa = 634 MPa. - Limite d’élasticité de S275 : \(f_y =275\) MPa. - Contrainte admissible avec facteur de sécurité 1,67 : \(\sigma_{adm}= \dfrac{275}{1,67}=165\) MPa. - Puisque \(\sigma_{max} > \sigma_{adm}\), la poutre IPE 270 est **sous‑dimensionnée**. - Flèche (formule approximative) : \[ f = \frac{5qL^{4}}{384EI} + \frac{P a b^{2}}{3EI L}(L+b) \] avec \(E=210\) GPa, \(a=1\) m, \(b=3\) m. - Premier terme : \(\frac{5\cdot8000\cdot4^{4}}{384\cdot210\cdot10^{9}\cdot4,55\times10^{-6}} = \frac{5\cdot8000\cdot256}{384\cdot210\cdot10^{9}\cdot4,55\times10^{-6}} \approx 0,012\) m = 12 mm. - Deuxième terme : \(\frac{10000\cdot1\cdot3^{2}}{3\cdot210\cdot10^{9}\cdot4,55\times10^{-6}}\cdot(4+3) = \frac{10000\cdot9}{3\cdot210\cdot10^{9}\cdot4,55\times10^{-6}}\cdot7 \approx 0,009\) m = 9 mm. - Flèche totale ≈ 21 mm. - Limite admissible \(L/200 = 4000/200 =20\) mm. - La flèche dépasse légèrement la limite (21 mm > 20 mm). **Conclusion** : L’IPE 270 ne satisfait ni la contrainte de flexion ni la flèche admissible ; il faut choisir une section plus résistante (ex. : IPE 340 ou un profilé boîte). ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |----|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Oublier de décomposer une force oblique en ses composantes avant de construire le polygone des forces. | Résultant erroné, équilibre non vérifié. | Toujours projeter les forces sur les axes choisi (x, y) avant le tracé graphique. | | 2 | Confondre le sens du moment fléchissant (positif = fibre inférieure en tension) lors du tracé du diagramme M. | Interprétation wrong de la zone de traction/compression. | Appliquer la convention : moment qui fait courber la poutre vers le haut est positif (fibre inférieure en tension). | | 3 | Utiliser une poutre dont le moment d’inertie est trop faible sans vérifier la contrainte de flexion. | Risque de fluage ou de rupture sous charge. | Calculer \(\sigma_{max}=M c/I\) et le comparer à \(0,6 f_y\) (facteur de sécurité ≈1,67) avant validation. | | 4 | Négliger la vérification de la flèche dans les structures soumises à des vibrations (ponts roulants, passerelles). | Résonance, inconfort, fatigue prématurée. | Vérifier que \(f_{max} \le L/250\) (ou L/200 selon le cahier des charges) et, si nécessaire, augmenter la rigidité (section plus élevée ou appuis intermédiaires). | | 5 | Serrage excessif des boulons lors du montage d’un groupe de pièces, entraînant un écrasement des filets ou une déformation des pièces. | Perde de précharge, risque de desserrage sous charge vibratoire. | Utiliser une clé dynamométrique réglée au couple spécifié (ex. : 25 Nm pour un boulon M8 de classe 8,8). | | 6 | Travailler sans lunettes de protection lors du meulage ou du tronçonnage d’acier. | Projections métalliques pouvant causer des lésions oculaires graves. | Porter systématiquement des lunettes de protection anti‑impact et, si nécessaire, un écran facial. | --- *Fin du cours.*