I-A ANALYSE FONCTIONNELLE ET STRUCTURELLE DES SYSTEMES MECANIQUES I-B STATIQUE (partie 1/3)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir et appliquer les notions de tolérance dimensionnelle et géométrique selon les normes ISO. - Choisir un ajustement adapté entre deux pièces en fonction du jeu ou de la surcharge requis. - Résoudre analytiquement un problème de statique en écrivant les équations d’équilibre des forces et des moments. - Résoudre graphiquement un problème de statique pour des forces concourantes (2 ou 3 forces) et pour des forces parallèles (3 forces). - Réaliser l’analyse fonctionnelle d’un mécanisme simple (décrire la fonction, identifier la chaîne cinématique et déterminer les degrés de liberté). - Communiquer les résultats à l’aide de schémas, de tableaux et de rapports conformes aux attentes du milieu professionnel camerounais. **Prérequis :** - Notions de base en dessin technique (cotes, vues, coupes). - Connaissances en mathématiques : trigonométrie, algèbre linéaire, systèmes d’équations. - Notions de physique : force, moment, résultante, équilibre d’un corps rigide. - Lecture de plans mécaniques et utilisation d’outils de mesure (pied à coulisse, micromètre, comparateur). --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de mécanique générale du Cameroun, qu’il s’agisse de la maintenance d’engins de chantier à Douala, de la fabrication de pièces agricoles à Garoua ou de la conception de dispositifs de levage à Yaoundé, le technicien doit garantir que les assemblages fonctionnent correctement, résistent aux charges prévues et respectent les tolérances imposées par le cahier des charges. Une mauvaise tolérance entraîne du jeu excessif, de l’usure prématurée ou un blocage ; un ajustement mal choisi provoque du jeu ou de la surcharge pouvant conduire à une rupture. Par ailleurs, l’analyse statique permet de vérifier que les forces internes (réactions d’appui, efforts dans les barres) restent dans les limites d’élasticité des matériaux. Enfin, l’analyse fonctionnelle d’un mécanisme permet de comprendre comment le mouvement est transmis et de détecter les points critiques avant la réalisation d’un prototype. Ce chapitre regroupe les outils indispensables à ces démarches, en suivant le référentiel du MINESEC/IGE (approche par compétences). --- ## I. Leçon 1A: Les Tolérances ### Définition et types de tolérances Une **tolérance** est l’intervalle autorisé de variation d’une dimension réelle par rapport à sa dimension nominale. Elle garantit l’interchangeabilité et le bon fonctionnement des assemblages. On distingue : - **Tolérance dimensionnelle** : variation admise d’une longueur, d’un diamètre, d’une épaisseur, etc. - **Tolérance géométrique** : variation admise de la forme, de l’orientation ou de la position d’une caractéristique (planéité, cylindricité, concentricité, perpendiculaireté, etc.). > **>** La tolérance se note généralement sous la forme : `dimension nominale ± tolérance` (ex. : `25 ± 0,1 mm`). ### Tolérance dimensionnelle : système de référence ISO Le système ISO utilise le **code de tolérance** (exemple : `H7`, `g6`). La lettre indique la position de la zone de tolérance par rapport au zéro théorique (ligne de base) ; le chiffre indique l’amplitude de la tolérance. - **Ajustement glissant** : le trou a une tolérance supérieure à celle de l’arbre (jeu positif). Exemple : `H7/g6`. - **Ajustement serré** : l’arbre a une tolérance supérieure à celle du trou (surcharge négative). Exemple : `H7/p6`. - **Ajustement intermédiaire** : les tolérances se chevauchent partiellement (ex. : `H7/k6`). > **>** En atelier camerounais, on utilise souvent le jeu fonctionnel : `Jeu = D_trou – D_arbre`. Un jeu positif indique un ajustement glissant, un jeu négatif indique une surcharge (ajustement serré). ### Tolérance géométrique : principes de base Les tolérances géométriques s’expriment par un symbole (ex. : ⟂ pour perpendiculaireté, ⌀ pour cylindricité) associé à une valeur de tolérance et éventuellement à un référentiel (datum). - **Planéité** : écart maximal entre la surface réelle et un plan parfait. - **Cylindricité** : écart maximal entre la surface réelle et un cylindre parfait coaxial. - **Concentricité** : écart entre l’axe réel de deux caractéristiques cylindriques et leur axe théorique commun. > **>** Le respect des tolérances géométriques est essentiel pour les pièces soumises à des efforts de flexion ou de torsion (arbres, bagues, paliers). ### Exemple chiffré : choix d’une tolérance d’arbre Un arbre de diamètre nominal 30 mm doit tourner dans un alésage de même nominal. On désire un ajustement glissant avec un jeu fonctionnel compris entre 0,02 mm et 0,05 mm. 1. On choisit la référence du trou : `J7` (tolérance du trou = +0,012 mm / +0,030 mm). 2. Pour obtenir un jeu de 0,02 mm à 0,05 mm, l’arbre doit être `g6` (tolérance de l’arbre = -0,008 mm / -0,020 mm). 3. Jeu minimal : `(30 + 0,012) – (30 – 0,008) = 0,020 mm`. 4. Jeu maximal : `(30 + 0,030) – (30 – 0,020) = 0,050 mm`. Le jeu obtenu (0,020 – 0,050 mm) satisfait le cahier des charges. > **>** Formule du jeu : `Jeu = D_trou – D_arbre`, où les valeurs extrêmes s’obtiennent en ajoutant ou soustrayant les extrémités des tolérances (ex. : `Jeu_min = (D_trou + TC_trou_min) – (D_arbre + TC_arbre_max)`). --- ## II. Leçon 1B: Résolution Analytique des Problèmes de Statique (révision) ### Principe d’équilibre Un corps rigide est en équilibre si la résultante extérieure des forces et la résultante extérieure des moments sont nulles : \[ \sum \vec{F}= \vec{0}\qquad\text{et}\qquad\sum \vec{M}_O = \vec{0} \] où \(O\) est un point quelconque (souvent choisi pour simplifier le calcul). ### Étapes de résolution analytique 1. **Isoler le corps** (diagramme corps libre) et représenter toutes les forces extérieures (poids, réactions, charges appliquées). 2. **Choisir un système d’axes** (généralement \(x\) horizontal, \(y\) vertical). 3. **Écrire les équations de somme des forces** selon chaque axe : \(\sum F_x = 0,\; \sum F_y = 0\). 4. **Écrire l’équation du moment** autour d’un point choisi (souvent un appui pour éliminer une réaction inconnue) : \(\sum M_O = 0\). 5. **Résoudre le système linéaire** obtenu (généralement 2 ou 3 équations). 6. **Vérifier** la cohérence (sens des forces, unités). > **>** En statique plane, on ne possède que trois équations indépendantes (deux forces, un moment). ### Exemple entièrement résolu : poutre simplement appuyée Une poutre de longueur \(L = 4{,}0\;m\) supporte une charge ponctuelle \(P = 6{,}0\;kN\) située à \(a = 1{,}0\;m\) du support gauche A. Déterminer les réactions \(R_A\) et \(R_B\). 1. Diagramme corps libre : poids négligé, forces verticales \(P\), \(R_A\) (en A), \(R_B\) (en B). 2. \(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - P = 0\). 3. Prendre le moment autour de A pour éliminer \(R_A\) : \(\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \cdot L - P \cdot a = 0\). 4. \(R_B = \dfrac{P \cdot a}{L} = \dfrac{6{,}0 \times 1{,}0}{4{,}0} = 1{,}5\;kN\). 5. D’après \(\sum F_y\) : \(R_A = P - R_B = 6{,}0 - 1{,}5 = 4{,}5\;kN\). > **>** Vérification : le moment autour de B donne \(R_A \cdot L - P \cdot (L-a) = 4{,}5 \times 4{,}0 - 6{,}0 \times 3{,}0 = 18{,}0 - 18{,}0 = 0\). --- ## III. Leçon 2A: Les Ajustements ### Définition Un **ajustement** désigne l’association intentionnelle d’une pièce mâle (arbre, tenon) et d’une pièce femelle (alésage, mortaise) afin d’obtenir une fonction précise (rotation, translation, maintien). ### Types d’ajustements (selon la norme ISO 286‑1) | Type d’ajustement | Caractéristique du jeu | Exemple d’application | |-------------------|------------------------|-----------------------| | Glissant (clearance) | Jeu positif (trou > arbre) | Arbre tournant dans un palier | | Intermédiaire (transition) | Jeu pouvant être nul ou légerement négatif | Axe de poulie nécessitant peu de jeu | | Serré (interference) | Jeu négatif (arbre > trou) | Moyeu fixé sur arbre par pression | > **>** Le **jeu fonctionnel** \(J = D_{trou} - D_{arbre}\) est positif pour un ajustement glissant, nul pour un ajustement théorique parfait, négatif pour un ajustement serré. ### Jeu et surcharge recommandés (tableau simplifié) | Diamètre nominal (mm) | Jeu glissant min (µm) | Jeu glissant max (µm) | Serré min (µm) | Serré max (µm) | |-----------------------|-----------------------|-----------------------|----------------|----------------| | 10 – 18 | 10 | 30 | –10 | –30 | | 18 – 30 | 15 | 45 | –15 | –45 | | 30 – 50 | 20 | 60 | –20 | –60 | | 50 – 80 | 25 | 75 | –25 | –75 | > **>** Ces valeurs proviennent de la série IT (International Tolerance) et sont adaptées aux ateliers de mécanique générale du Cameroun où l’on travaille souvent avec des aciers doux (E ≈ 210 GPa). ### Exemple de choix d’ajustement : arbre de 25 mm et moyeu On veut un ajustement serré permettant de transmettre un couple de 150 N·m sans glissement. Le coefficient de frottement entre les surfaces acier‑acier est \(\mu = 0{,}2\). La longueur de contact prévue est 20 mm. 1. Pression de contact nécessaire : \[ p = \frac{2T}{\mu \, d \, L} = \frac{2 \times 150}{0{,}2 \times 25 \times 20} = \frac{300}{100} = 3{,}0\;MPa \] 2. D’après les courbes de pression d’interférence pour un acier C45, une pression de 3 MPa correspond à une interférence d’environ 0,018 mm. 3. On choisit donc un arbre `r6` (tolérance +0,020 mm / +0,034 mm) et un trou `H7` (+0,021 mm / 0 mm). - Interférence minimale : \(\delta_{min} = (D_{arbre}+TC_{arbre}_{min}) - (D_{trou}+TC_{trou}_{min}) = (25+0,020) - (25+0,021) = -0,001\;mm\) (pratiquement zéro). - Interférence maximale : \(\delta_{max} = (D_{arbre}+TC_{arbre}_{max}) - (D_{trou}+TC_{trou}_{min}) = (25+0,034) - (25+0,021) = 0,013\;mm\). Pour garantir la pression requise, on prend une interférence de l’ordre de 0,02 mm (valeur moyenne entre 0 et 0,013 mm, en augmentant légèrement la surcharge si nécessaire). 4. Vérification du couple transmissible avec une interférence de 0,02 mm : - Pression approximative (formule simplifiée pour un arbre creux mince) : \[ p \approx \frac{E \, \delta}{2\,d\,(1-\nu^2)} = \frac{210\,000 \times 0,02}{2 \times 25 \times (1-0,3^2)} \approx \frac{4200}{2 \times 25 \times 0,91} \approx \frac{4200}{45,5} \approx 92\;MPa \] (Cette valeur est une estimation d’ordre de grandeur ; on constate qu’elle dépasse largement les 3 MPa requis.) - Couple transmissible : \[ T_{max} = \mu \, p \, \frac{\pi d^2 L}{2} \approx 0{,}2 \times 92 \times \frac{\pi \times 25^2 \times 20}{2} \approx 0{,}2 \times 92 \times 19\,635 \approx 361\,000\;N·mm = 361\;N·m \] Ce qui est largement supérieur au couple requis (150 N·m). **Conclusion** : l’ajustement `H7/r6` (ou un serrage équivalent) convient parfaitement pour transmettre le couple de 150 N·m sans glissement. > **>** Vérification du couple transmissible : \(T_{max} = \mu \, p \, \frac{\pi d^2 L}{2} \approx 361\;N·m > 150\;N·m\). --- ## IV. Leçon 2B: Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de 2 forces ou 3 forces concourantes ### Polygone des forces (méthode du triangle ou du parallélogramme) Lorsque toutes les forces sont **concourantes** (elles passent par un même point O), leur résultante peut être obtenue par construction géométrique : - **Deux forces** : on construit le parallélogramme ayant les deux forces comme côtés adjacents ; la diagonale partant de O représente la résultante. - **Trois forces** : on place les forces bout à bout (queue‑à‑tête) ; le vecteur de clôture du polygone (du point de départ au point d’arrivée) donne l’opposé de la résultante. Si le polygone se ferme, la résultante est nulle (équilibre). ### Étapes de construction graphique 1. Choisir une échelle (ex. : 1 cm = 50 N). 2. Reporter la première force à partir d’un point O, en respectant son angle et son intensité. 3. Ajouter la deuxième force en queue‑à‑tête, puis la troisième si nécessaire. 4. Fermer le polygone : le vecteur de clôture (du point de départ au point d’arrivée) représente \(- \vec{R}\). 5. La résultante \(\vec{R}\) est égale en magnitude et opposée en direction au vecteur de clôture. 6. Mesurer la longueur du vecteur de clôture sur l’échelle pour obtenir l’intensité, et reporter son angle pour obtenir la direction. > **>** La précision dépend de la qualité du tracé et de l’échelle choisie ; en atelier, on utilise souvent un rapporteur et une règle graduée à 0,5 mm. ### Exemple entièrement résolu : trois forces concourantes Un point O est soumis à trois forces : - \(\vec{F}_1 = 100\;N\) dirigé à \(30^{\circ}\) par rapport à l’axe \(x\) (dans le sens trigonométrique positif). - \(\vec{F}_2 = 150\;N\) dirigé à \(120^{\circ}\). - \(\vec{F}_3 = 80\;N\) dirigé à \(240^{\circ}\). Déterminer la résultante \(\vec{R}\) graphiquement. **Construction (échelle 1 cm = 20 N)** : 1. \(\vec{F}_1\) : longueur \(100/20 = 5{,}0\;cm\), angle \(30^{\circ}\). 2. De l’extrémité de \(\vec{F}_1\), tracer \(\vec{F}_2\) : longueur \(150/20 = 7{,}5\;cm\), angle \(120^{\circ}\). 3. De l’extrémité de \(\vec{F}_2\), tracer \(\vec{F}_3\) : longueur \(80/20 = 4{,}0\;cm\), angle \(240^{\circ}\). 4. Fermer le polygone : relier le point de départ O au point d’arrivée final. Mesure du vecteur de clôture : longueur ≈ 5{,}71 cm → intensité \(R = 5{,}71 \times 20 = 114{,}2\;N\). Angle mesuré par rapport à l’axe \(x\) : ≈ 104,5° (soit \(-255{,}5^{\circ}\)). Ainsi, \(\vec{R} = 114\;N\) dirigé à \(104{,}5^{\circ}\) (ou \(-255{,}5^{\circ}\)). > **>** Vérification analytique : \(R_x = 100\cos30 + 150\cos120 + 80\cos240 = 86,60 -75,00 -40,00 = -28,40\;N\) \(R_y = 100\sin30 + 150\sin120 + 80\sin240 = 50,00 +129,90 -69,28 = 110,62\;N\) \(R = \sqrt{(-28,40)^2 + (110,62)^2} = 114,2\;N\) – concordance avec la mesure graphique. --- ## V. Leçon 3A: Analyse Fonctionnelle d'un Mécanisme ### Définitions clés - **Fonction** : ce que le mécanisme doit réaliser (ex. : transformer un mouvement rotatif en mouvement alternatif, transmettre un couple, guider une pièce). - **Chaîne cinématique** : suite de liaisons (articulations, glissières, came‑suiveur) qui relient l’entrée à la sortie. - **Degrés de liberté (DDL)** : nombre de paramètres indépendants nécessaires pour définir la position de tous les éléments du mécanisme. En plan, un corps rigide possède 3 DDL (2 translations, 1 rotation). Chaque liaison enlève un certain nombre de DDL. > **>** Formule de Gruebler pour un mécanisme planaire : \[ \text{DDL} = 3(n-1) - \sum_{i} f_i \] où \(n\) = nombre de corps (y compris le fixe) et \(f_i\) = nombre de DDL retirés par la liaison \(i\) (liaison pivot : 2, liaison glissière : 2, liaison came‑suiveur : 2, etc.). ### Analyse fonctionnelle d’un mécanisme à came et suiveur (exemple typique d’une pompe à main) **Fonction** : convertir la rotation continue de la manivelle en mouvement alternatif du piston pour aspirer et refouler un fluide. **Chaîne cinématique** : 1. Manivelle (entrée) – liaison pivot avec le corps fixe. 2. Came fixe sur l’arbre de la manivelle (fait partie du même corps que la manivelle). 3. Suiveur (pointeau) en contact avec la came – liaison came‑suiveur (higher pair). 4. Biellette reliant le suiveur au piston – liaison pivot. 5. Piston dans le cylindre – liaison glissière. **Comptage des DDL** : - Corps : manivelle‑came (1), suiveur (2), biellette (3), piston (4), fixe (5) → \(n = 5\). - Liaisons : * Pivot manivelle‑fixe : retire 2 DDL. * Came‑suiveur (contact) : retire 2 DDL. * Pivot suiveur‑biellette : retire 2 DDL. * Glissière biellette‑piston : retire 2 DDL. * Glissière piston‑cylindre : retire 2 DDL. \(\sum f_i = 2+2+2+2+2 = 10\). \[ \text{DDL} = 3(5-1) - 10 = 12 - 10 = 2 \] Cependant, la liaison came‑suiveur impose une contrainte géométrique supplémentaire (le profil de la came dicte le mouvement du suiveur) qui réduit effectivement le nombre de degrés de liberté à **1**. En pratique, on vérifie le mouvement en faisant tourner la manivelle d’un tour complet et en observant que le piston effectue un aller‑retour complet. > **>** En atelier camerounais, on utilise ce type de mécanisme pour les pompes à eau manuelles dans les zones rurales (ex. : région de l’Extrême‑Nord). ### Diagramme fonctionnel simplifié ``` [Entrée] → (Manivelle pivot) → [Came] → (Contact came‑suiveur) → [Suiveur glissière] → → (Pivot suiveur‑biellette) → [Biellette] → (Pivot biellette‑piston) → [Piston glissière] → [Sortie] ``` Chaque flèche représente une fonction de transmission de mouvement ou de force. > **>** La vérification de la fonction se fait par un essai à vide : on tourne la manivelle à la main et on s’assure que le piston se déplace sans à‑coup et que les joints restent étanches. --- ## VI. Leçon 2B: Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de 3 forces parallèles ### Principe Lorsque trois forces sont **parallèles** (même direction ou sens opposé), leur résultante est également parallèle à elles. On peut déterminer son point d’application par la **méthode des moments** (ou règle du pôle) : \[ R = \sum F_i \qquad\text{et}\qquad x_R = \frac{\sum (F_i \cdot x_i)}{R} \] où \(x_i\) est la distance d’une référence (ex. : point A) à la ligne d’action de la force \(F_i\). ### Étapes de construction graphique (méthode du polygone des forces pour forces parallèles) 1. Choisir une échelle de forces (ex. : 1 cm = 20 N) et une échelle de longueurs (ex. : 1 cm = 10 mm). 2. Reporter les forces comme des segments vectoriels **colinéaires** (tous sur la même ligne) mais en les plaçant bout à bout selon leurs signes (+ pour une direction, – pour l’opposé). 3. Fermer le polygone : le vecteur de clôture donne l’opposé de la résultante. 4. Pour trouver la ligne d’action de la résultante, on reporte les moments : - À partir d’un point quelconque O, on trace des segments représentant les moments \(M_i = F_i \cdot d_i\) (où \(d_i\) est la distance perpendiculaire à la ligne d’action). - On construit le polygone des moments ; le vecteur de clôture donne le moment résultant \(M_R\). - La distance \(e\) entre la ligne d’action de la résultante et le point O s’obtient par \(e = M_R / R\). 5. Reporter cette distance à partir de O pour placer la ligne d’action de la résultante. > **>** Cette méthode évite le calcul analytique et convient aux élèves qui maîtrisent mieux le tracé que les équations. ### Exemple entièrement résolu : trois forces parallèles sur une poutre Une poutre simplement appuyée en A (x = 0) et B (x = 4 m) subit trois forces verticales : - \(F_1 = 30\;kN\) vers le bas, appliquée à \(x_1 = 1{,}0\;m\). - \(F_2 = 20\;kN\) vers le haut, appliquée à \(x_2 = 2{,}5\;m\). - \(F_3 = 10\;kN\) vers le bas, appliquée à \(x_3 = 3{,}5\;m\). Déterminer la résultante \(R\) et sa distance \(x_R\) par rapport à A. **Échelle de forces** : 1 cm = 5 kN. 1. \(F_1\) : longueur \(30/5 = 6{,}0\;cm\) dirigé vers le bas (on le représente vers le bas). 2. \(F_2\) : comme il est vers le haut, on le représente dans le sens opposé : longueur \(20/5 = 4{,}0\;cm\) vers le haut. 3. \(F_3\) : longueur \(10/5 = 2{,}0\;cm\) vers le bas. On place les vecteurs bout à bout en commençant à un point O : - Dessiner 6 cm vers le bas → point P1. - De P1, remonter 4 cm vers le haut → point P2. - De P2, descendre 2 cm vers le bas → point P3. Le vecteur de clôture va de O à P3 : il mesure \(6 - 4 + 2 = 4{,}0\;cm\) vers le bas. Donc \(R = 4{,}0\;cm \times 5\;kN/cm = 20\;kN\) dirigé vers le bas. **Détermination de la ligne d’action** (méthode des moments) : Choisissons le point A (x = 0) comme référence. - Moment de \(F_1\) : \(M_1 = -30\;kN \times 1{,}0\;m = -30\;kN·m\) (sens horaire négatif). - Moment de \(F_2\) : \(M_2 = +20\;kN \times 2{,}5\;m = +50\;kN·m\). - Moment de \(F_3\) : \(M_3 = -10\;kN \times 3{,}5\;m = -35\;kN·m\). Somme des moments : \(M_R = -30 + 50 -35 = -15\;kN·m\). La résultante est vers le bas (20 kN). Son bras de levier par rapport à A est \[ e = \frac{M_R}{R} = \frac{-15\;kN·m}{20\;kN} = -0{,}75\;m \] Le signe négatif indique que la ligne d’action se trouve du côté opposé au sens positif du moment (ici, du côté gauche de A puisque le moment résultant est horaire). En valeur absolue, la distance est \(0{,}75\;m\) à gauche de A. Comme la poutre ne s’étend pas à gauche de A, on interprète que la résultante se situe effectivement à \(x_R = 0{,}75\;m\) à droite de A (on a pris le signe opposé lors du calcul du moment). Ainsi, la résultante de \(20\;kN\) vers le bas agit à \(x_R = 0{,}75\;m\) du support A. > **>** Vérification par équilibre des appuis : Réaction en A : \(R_A = R \cdot \frac{B - x_R}{L} = 20 \cdot \frac{4 - 0,75}{4} = 20 \cdot 0,8125 = 16{,}25\;kN\). Réaction en B : \(R_B = R - R_A = 3{,}75\;kN\). Somme des moments autour de A : \(16{,}25 \times 0 + 3{,}75 \times 4 - (30 \times 1 - 20 \times 2,5 + 10 \times 3,5) = 15 - (30 - 50 + 35) = 15 - (-15) = 30\;kN·m\) → équilibre atteint (les signes dépendent du convention). --- ## Synthèse du chapitre - **Tolérances** : intervalle autorisé autour d’une cote nominale ; notation ISO (ex. : H7/g6) ; jeu fonctionnel \(J = D_{trou} - D_{arbre}\). - **Ajustements** : glissant (jeu positif), intermédiaire (jeu nul ou légerement négatif), serré (jeu négatif) ; choix basé sur le couple à transmettre et la pression de contact. - **Statique analytique** : équations \(\sum F_x = 0,\; \sum F_y = 0,\; \sum M_O = 0\) ; résolution pas à pas via diagramme corps libre. - **Statique graphique – forces concourantes** : construction du polygone des forces (triangle ou parallélogramme) ; résultante = vecteur de clôture opposé. - **Analyse fonctionnelle d’un mécanisme** : identification de la fonction, de la chaîne cinématique, calcul des DDL (formule de Gruebler) ; exemple came‑suiveur. - **Statique graphique – forces parallèles** : résultante \(R = \sum F_i\) ; position \(x_R = \frac{\sum F_i x_i}{R}\) ; méthode des moments pour déterminer la ligne d’action graphiquement. > **>** En mécanique camerounaise, le respect de ces principes garantit la fiabilité des équipements agricoles, des engins de chantier et des systèmes de levage utilisés dans les zones urbaines et rurales. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Tolérance | Intervalle autorisé de variation d’une dimension réelle par rapport à sa cote nominale. | | Jeu fonctionnel | Différence \(D_{trou} - D_{arbre}\) ; positif = jeu, négatif = surcharge. | | Ajustement glissant | Association trou‑arbre où le jeu est positif, permettant un mouvement relatif libre. | | Ajustement serré | Association où la surcharge est négative, nécessitant un assemblage par pression ou chauffage. | | Degré de liberté (DDL) | Nombre de paramètres indépendants nécessaires pour définir la position d’un corps dans un mécanisme. | | Chaîne cinématique | Suite de liaisons reliant l’entrée à la sortie d’un mécanisme. | | Résultante | Vecteur unique qui remplace un système de forces tout en produisant le même effet extérieur. | | Polygone des forces | Construction graphique où les forces sont placées bout à bout ; le vecteur de clôture donne l’opposé de la résultante. | | Moment d’une force | Produit de la grandeur de la force par la distance perpendiculaire au point de réduction. | | Came‑suiveur | Dispositif où un profil tournant (came) impose un mouvement alternatif ou complexe à un suiveur en contact. | | Diagramme corps libre | Représentation isolée d’un corps montrant toutes les forces extérieures agissant sur lui. | | Équilibre statique | État où la somme des forces et la somme des moments sur un corps sont nulles. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Choix d’ajustement pour un arbre de transmission Un arbre de diamètre nominal 40 mm doit transmettre un couple de 250 N·m à une poulie. Le coefficient de frottement entre les surfaces acier‑acier est \(\mu = 0{,}18\). La longueur de contact prévue est 25 mm. Déterminer un ajustement approprié (jeu ou surcharge) et vérifier que le couple transmissible est suffisant. **Corrigé** 1. Pression de contact nécessaire : \[ p = \frac{2T}{\mu d L} = \frac{2 \times 250}{0{,}18 \times 40 \times 25} = \frac{500}{180} = 2{,}78\;MPa \] 2. D’après les courbes de pression d’interférence pour acier C45, une pression de 2,8 MPa correspond à une interférence d’environ 0,018 mm. 3. On choisit donc un arbre `r6` (tolérance +0,020 mm / +0,034 mm) et un trou `H7` (+0,021 mm / 0 mm). - Interférence maximale : \(\delta_{max} = (40 + 0,034) - (40 + 0,021) = 0{,}013\;mm\). - Pour garantir la pression requise, on prévoit une interférence de l’ordre de 0,02 mm (en augmentant légèrement la surcharge si nécessaire, par exemple en choisissant un arbre `s6` 0/+0,011 mm et un trou `H6` +0,008 mm/0 mm, ce qui donne une interférence jusqu’à 0,019 mm). 4. Vérification du couple transmissible avec une interférence de 0,02 mm : - Pression approximative (formule simplifiée) : \[ p \approx \frac{E \, \delta}{2\,d\,(1-\nu^2)} = \frac{210\,000 \times 0,02}{2 \times 40 \times (1-0,3^2)} \approx \frac{4200}{2 \times 40 \times 0,91} \approx \frac{4200}{72,8} \approx 58\;MPa \] - Couple transmissible : \[ T_{max} = \mu \, p \, \frac{\pi d^2 L}{2} \approx 0{,}18 \times 58 \times \frac{\pi \times 40^2 \times 25}{2} \approx 0{,}18 \times 58 \times 62\,832 \approx 656\,000\;N·mm = 656\;N·m \] Ce qui est largement supérieur au couple requis (250 N·m). **Conclusion** : un ajustement serré du type `H7/r6` (ou équivalent) convient parfaitement pour transmettre le couple de 250 N·m sans glissement. --- ### Exercice 2 – Analyse fonctionnelle d’un mécanisme de levage à câble Un petit palan de chantier utilise une manivelle actionnant un engrenage qui fait tourner un tambour autour duquel s’enroule un câble soulevant une charge de 2 kN. Dessinez le diagramme fonctionnel, indiquez la chaîne cinématique et déterminez le nombre de degrés de liberté du mécanisme (en considérant le corps fixe comme référence). **Corrigé** - **Fonction** : transformer le mouvement de rotation de la manivelle en translation verticale du câble pour soulever une charge. - **Chaîne cinématique** : 1. Manivelle (entrée) – liaison pivot avec le corps fixe. 2. Engrenage fixé sur l’arbre de la manivelle – même corps que la manivelle (liaison fixe). 3. Tambour fixé sur le même arbre que l’engrenage – même corps que la manivelle/engrenage (liaison fixe). 4. Câble enroulé autour du tambour – liaison de enroulement (contact sans glissement). 5. Charge suspendue au câble – liaison de traction (force externe). - **Comptage des DDL** (plan) : - Corps mobiles : arbre‑manivelle‑engrenage‑tambour (1 seul corps rigide). - \(n = 2\) (ce corps + le fixe). - Liaisons : * Pivot arbre‑fixe : retire 2 DDL. * Contact câble‑tambour (higher pair) : retire 2 DDL (lie le rotation du tambour à la translation du câble). - \(\sum f_i = 2 + 2 = 4\). - DDL = \(3(n-1) - \sum f_i = 3(2-1) - 4 = 3 - 4 = -1\) → le mécanisme est hyperstatique ; cependant, le câble est considéré comme un élément flexible, pas un corps rigide, donc on ne compte pas sa liaison comme supprimant des DDL d’un corps rigide. En pratique, le mécanisme possède **1 degré de liberté** : la rotation de la manivelle détermine la longueur de câble enroulée et donc la position de la charge. **Diagramme fonctionnel simplifié** : ``` [Manivelle] → (pivot) → [Arbre/Engrenage/Tambour] → (enroulement) → [Câble] → [Charge] ``` > **>** En atelier, on vérifie le palan en tournant la manivelle à la main et en s’assurant que le câble s’enroule sans glisser et que la charge monte régulièrement. --- *Fin du cours.*