II - A SOLUTIONS CONSTRUCTIVES DES SYSTEMES MECANIQUES (partie 4/4)

## Objectifs et prérequis À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire les différents types de mouvements de rotation d’un solide autour d’un axe fixe (uniforme, accéléré) et calculer la vitesse linéaire et l’accélération d’un point quelconque du solide. - Expliquer les principes d’étanchéité des mécanismes, choisir le type de joint adapté à une application donnée et réaliser son montage selon les normes en vigueur. - Déterminer le champ des vitesses d’un solide en mouvement plan sur un plan, localiser le centre instantané de rotation et appliquer la relation \( \mathbf v_P = \mathbf v_O + \boldsymbol\omega \times \mathbf{OP} \). - Composer deux mouvements plans, obtenir les vitesses et accélérations résultantes en incluant les termes de Coriolis et d’accélération centripète, et interpréter physiquement chaque contribution. - Mettre en œuvre ces notions dans des situations professionnelles réelles (atelier de mécanique, entretien de pompes, réglage de transmissions) tout en respectant les règles de sécurité et d’hygiène. **Prérequis** : notions de cinématique du point (vitesse, accélération), produit vectoriel, systèmes de référence galiléens, notions de base sur les efforts mécaniques et les matériaux (résistance, élasticité), lecture de plans mécaniques simples. --- ## Introduction contextualisée Dans les industries camerounaises – agroalimentaire, textile, énergie hydraulique – les équipements mécaniques sont soumis à des rotations continues (moteurs, réducteurs, pompes) et à des mouvements plans complexes (bielles, manivelles, plateaux tournants). La maîtrise du mouvement de rotation permet de dimensionner les arbres, les paliers et les systèmes de transmission afin d’éviter les vibrations excessives et l’usure prématurée. L’étanchéité, quant à elle, garantit la préservation des fluides (huile, eau, air comprimé) et la sécurité des opérateurs en empêchant les fuites pouvant entraîner des risques d’incendie ou de contamination. Enfin, la composition des mouvements plans est essentielle pour analyser les mécanismes de commande (levage, convoyage) où plusieurs éléments se déplacent simultanément. Ce chapitre fournit les outils théoriques et pratiques nécessaires à l’analyse et à la conception de tels systèmes, en s’appuyant sur des exemples tirés de la réalité professionnelle au Cameroun. --- ## I. Leçon 18B – Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe ### 1. Définitions et grandeurs fondamentales Un solide tournant autour d’un axe fixe possède une **vitesse angulaire** \(\boldsymbol\omega\) (rad·s⁻¹) dirigée selon l’axe suivant la règle de la main droite. Chaque point \(P\) du solide situé à un vecteur position \(\mathbf{OP}\) par rapport à un point \(O\) de l’axe possède une **vitesse linéaire** \[ \mathbf v_P = \boldsymbol\omega \times \mathbf{OP} \] et une **accélération** \[ \mathbf a_P = \boldsymbol\alpha \times \mathbf{OP} + \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{OP}) \] où \(\boldsymbol\alpha = d\boldsymbol\omega/dt\) est l’**accélération angulaire**. > La vitesse linéaire d’un point est perpendiculaire au plan formé par \(\boldsymbol\omega\) et \(\mathbf{OP}\) ; son module vaut \(v = \omega r\) avec \(r = \|\mathbf{OP}\|\sin\theta\) (distance perpendiculaire à l’axe). ### 2. Mouvements de rotation particuliers - **Rotation uniforme** : \(\boldsymbol\alpha = \mathbf 0\) → \(\omega\) constant. - **Rotation uniformément accélérée** : \(\boldsymbol\alpha\) constant → \(\omega(t) = \omega_0 + \alpha t\) et \(\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac12\alpha t^2\). ### 3. Vitesse et accélération d’un point – Exemple chiffré Un disque de rayon \(R = 0{,}20\; \text{m}\) tourne autour de son axe central avec \(\omega = 10\; \text{rad·s}^{-1}\) et \(\alpha = 2\; \text{rad·s}^{-2}\). - Vitesse linéaire d’un point situé sur le cercle extérieur : \[ v = \omega R = 10 \times 0{,}20 = 2{,}0\; \text{m·s}^{-1} \] - Accélération tangentielle : \[ a_t = \alpha R = 2 \times 0{,}20 = 0{,}40\; \text{m·s}^{-2} \] - Accélération normale (centripète) : \[ a_n = \omega^{2} R = 10^{2} \times 0{,}20 = 20\; \text{m·s}^{-2} \] - Accélération totale (module) : \[ a = \sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}} = \sqrt{0{,}40^{2}+20^{2}} \approx 20{,}00\; \text{m·s}^{-2} \] > Dans une rotation uniformément accélérée, l’accélération normale domine généralement dès que \(\omega\) dépasse quelques rad·s⁻¹. ### 4. Application professionnelle Dans un atelier de maintenance de moteurs diesel (ex. : groupe électrogène de 15 kVA utilisé dans les zones rurales du Nord‑Cameroun), le technicien mesure \(\omega\) avec un tachymètre laser, vérifie que \(\alpha\) reste dans les limites prescrites par le constructeur (souvent \(|\alpha|<5\; \text{rad·s}^{-2}\)) afin d’éviter des contraintes excessives sur les paliers. --- ## II. Leçon 19A – L’étanchéité des mécanismes ### 1. Notion d’étanchéité L’étanchéité désigne la capacité d’un assemblage à empêcher le passage d’un fluide (liquide ou gaz) entre deux surfaces en contact relatif. Elle est essentielle pour : - Préserver la lubrification et éviter la contamination. - Garantir la sécurité (éviter les fuites d’huile inflammable ou de gaz sous pression). - Maintenir l’efficacité énergétique (éviter les pertes de charge). ### 2. Types de joints mécaniques | Type de joint | Principe d’étanchéité | Domaine d’application typique | Avantages / limites | |---------------|----------------------|------------------------------|---------------------| | Joint torique (O‑ring) | Déformation élastique sous compression | Axes rotatifs, vannes basse pression | Simple, économique ; sensible à l’extrusion à haute pression | | Joint à lèvres (lip seal) | Lèvre en élastomère qui racle la surface | Arbres tournants, pompes | Bonne tenue à vitesse moyenne ; usure de la lèvre | | Joint plat (gasket) | Compression d’un matériau souple entre deux brides | Bride de tuyauterie, carters | Étanchéité statique ; nécessite un serrage uniforme | | Joint mécanique (seal) | Faces en contact lubrifié, pression hydraulique | Pompes haute pression, compresseurs | Très bonne étanchéité dynamique ; coût élevé, entretien requis | ### 3. Critères de choix - **Pression de service** : choisir un joint capable de supporter la différence de pression maximale (ex. : joint torique NBR jusqu’à 10 bar, joint mécanique jusqu’à 200 bar). - **Vitesse relative** : au-delà de 5 m·s⁻¹, privilégier les joints à lèvres ou mécaniques. - **Température** : les élastomères (NBR, EPDM, FKM) ont des plages de température spécifiques (ex. : FKM de –20 °C à +200 °C). - **Nature du fluide** : compatibilité chimique (huile minérale → NBR ; fluide corrosif → PTFE ou viton). - **Normes** : ISO 3601 (joints toriques), NF E 03‑005 (joints à lèvres), ISO 16230 (joints mécaniques). ### 4. Procédé de montage – Exemple d’atelier **Montage d’un joint torique sur un arbre de pompe à eau centrifuge (débit 15 m³·h⁻¹, pression 2 bar)** : 1. Nettoyer l’arbre et la gorge avec un dégraissant sans résidu. 2. Vérifier la dimension de la gorge (largeur \(g\), profondeur \(h\)) selon le tableau du fabricant. 3. Lubrifier légèrement le joint avec une huile compatible (ex. : huile de silicone). 4. Placer le joint dans la gorge en veillant à ce qu’il ne soit pas tordu. 5. Insérer l’arbre lentement, en tournant légèrement pour éviter le pincement. 6. Effectuer un serrage axial de la bride selon le couple recommandé (ex. : 0,5 Nm pour une bride de 20 mm de diamètre). 7. Effectuer un test de pression à 1,5× la pression de service pendant 2 min ; aucune goutte ne doit apparaître. > Le couple de serrage doit être appliqué avec une clé dynamométrique calibrée ; un serrage excessif provoque l’extrusion du joint, un serrage insuffisant entraîne des fuites. ### 5. Application professionnelle Dans les stations de traitement d’eau de la région du Littoral, les joints toriques des pompes de relevage sont remplacés chaque 6 mois selon un plan de maintenance préventive, réduisant les arrêts non programmés de plus de 30 %. --- ## III. Leçon 19B – Mouvement plan sur plan d’un solide : définition et champ des vecteurs vitesses ### 1. Mouvement plan Un solide effectue un **mouvement plan** lorsque tous ses points restent dans un même plan (plan de référence) pendant le mouvement. Ce mouvement peut être décomposé en : - Une **translation** du point de référence \(O\) (vecteur \(\mathbf v_O\)). - Une **rotation** instantanée autour d’un axe perpendiculaire au plan, de vitesse angulaire \(\boldsymbol\omega\) (standard : \(\boldsymbol\omega = \omega \mathbf k\)). ### 2. Champ des vitesses Pour tout point \(P\) du solide, la vitesse absolue est \[ \boxed{\mathbf v_P = \mathbf v_O + \boldsymbol\omega \times \mathbf{OP}} \] Cette relation montre que le champ des vitesses est la somme d’un champ uniforme (translation) et d’un champ linéaire en \(\mathbf{OP}\) (rotation). > Le produit vectoriel \(\boldsymbol\omega \times \mathbf{OP}\) donne une vitesse perpendiculaire au segment \(\mathbf{OP}\) dans le plan de mouvement. ### 3. Centre instantané de rotation (CIR) Le **centre instantané de rotation** \(C\) est le point du solide (ou de son prolongement) dont la vitesse est nulle à l’instant considéré. Il se obtient par l’intersection des droites perpendiculaires aux vitesses de deux points connus : \[ \mathbf v_A = \mathbf v_O + \boldsymbol\omega \times \mathbf{OA} \quad ; \quad \mathbf v_B = \mathbf v_O + \boldsymbol\omega \times \mathbf{OB} \] En résolvant \(\mathbf v_C = \mathbf 0\) on trouve \[ \mathbf{OC} = -\frac{\mathbf v_O \times \boldsymbol\omega}{\omega^{2}} \] si \(\omega \neq 0\). ### 4. Détermination graphique et analytique - **Graphique** : tracer les vitesses \(\mathbf v_A\) et \(\mathbf v_B\) à l’échelle, droites perpendiculaires à ces vitesses passant par \(A\) et \(B\) ; leur intersection donne \(C\). - **Analytique** : utiliser la formule ci-dessus si \(\mathbf v_O\) et \(\boldsymbol\omega\) sont connus. ### 5. Exemple : bielle‑manivelle d’un moteur thermique Considérons une manivelle de longueur \(r = 0{,}10\; \text{m}\) tournant à \(\omega = 300\; \text{rad·s}^{-1}\) (≈ 2860 tr/min) autour du point fixe \(O\). La bielle de longueur \(L = 0{,}15\; \text{m}\) relie le point \(A\) (extrémité de la manivelle) au point \(P\) (piston). On suppose que le piston se déplace uniquement verticalement. - Vitesse du point \(A\) : \[ v_A = \omega r = 300 \times 0{,}10 = 30\; \text{m·s}^{-1} \] dirigée tangentiellement à la manivelle. - Le centre instantané de rotation \(C\) de la bielle se trouve sur la ligne de la bielle. En trace, on mène en \(A\) la perpendiculaire à \(\mathbf v_A\) (c’est‑à‑dire la ligne \(OA\)) et en \(P\) la perpendiculaire à \(\mathbf v_P\) (horizontale, car le piston se déplace verticalement). Leur intersection donne \(C\). - D’après le théorème des triangles semblables, on a : \[ \frac{v_P}{v_A} = \frac{PC}{AC}. \] En exprimant \(PC\) et \(AC\) en fonction de \(L\), \(r\) et de l’angle \(\theta\) entre la manivelle et l’axe du cylindre, on obtient : \[ v_P = \omega r \,\frac{L\sin\theta}{\sin(\theta+\phi)}, \] où \(\phi\) satisfait \(\tan\phi = \dfrac{v_A}{\omega L} = \dfrac{r}{L}\). - En remplaçant les valeurs (\(r=0{,}10\; \text{m}\), \(L=0{,}15\; \text{m}\), \(\theta=45^{\circ}\)) : \[ \phi = \arctan\!\left(\frac{0{,}10}{0{,}15}\right) \approx 33{,}7^{\circ}, \] \[ v_P = 300 \times 0{,}10 \times \frac{0{,}15\sin45^{\circ}}{\sin(45^{\circ}+33{,}7^{\circ})} \approx 30 \times \frac{0{,}106}{0{,}979} \approx 3{,}2\; \text{m·s}^{-1}. \] Cette valeur représente la vitesse verticale du piston à l’instant considéré. > Le CIR d’une bielle‑manivelle se déplace continuellement le long de la ligne d’action de la bielle ; il est à l’infini lorsque la bielle est alignée avec la manivelle (point mort haut ou bas). ### 6. Application professionnelle Dans un garage de réparation de véhicules à Yaoundé, le technicien utilise un stroboscope pour figer le mouvement de la manivelle à un régime connu, mesure l’ouverture du clapet d’admission et en déduit le calage de la distribution grâce à la détermination du CIR. --- ## IV. Leçon 20B – Mouvement plan sur plan d’un solide : composition de mouvements, des vecteurs vitesses et accélérations ### 1. Principe de composition Lorsqu’un solide subit simultanément deux mouvements plans \(\mathcal M_1\) et \(\mathcal M_2\) (chacun décrit par un couple \((\mathbf v_{O_i},\boldsymbol\omega_i)\)), le mouvement résultant \(\mathcal M\) est obtenu par addition vectorielle des vitesses et des accélérations, en tenant compte des termes d’interaction (Coriolis et centripète). ### 2. Composition des vitesses Si le point \(P\) possède un vecteur de position \(\mathbf r_1\) dans le référentiel du mouvement 1 et \(\mathbf r_2\) dans celui du mouvement 2, alors \[ \boxed{\mathbf v_P = \mathbf v_{O_1} + \boldsymbol\omega_1 \times \mathbf r_1 \;+\; \mathbf v_{O_2} + \boldsymbol\omega_2 \times \mathbf r_2} \] En pratique, on choisit un référentiel commun (souvent le sol) et on écrit \[ \mathbf v_P = \mathbf v_O + \boldsymbol\omega \times \mathbf{OP} \] avec \[ \mathbf v_O = \mathbf v_{O_1} + \mathbf v_{O_2} \qquad \boldsymbol\omega = \boldsymbol\omega_1 + \boldsymbol\omega_2 \] ### 3. Composition des accélérations L’accélération absolue d’un point \(P\) résulte de \[ \boxed{\mathbf a_P = \mathbf a_{O_1} + \boldsymbol\alpha_1 \times \mathbf r_1 + \boldsymbol\omega_1 \times (\boldsymbol\omega_1 \times \mathbf r_1) \;+\; \mathbf a_{O_2} + \boldsymbol\alpha_2 \times \mathbf r_2 + \boldsymbol\omega_2 \times (\boldsymbol\omega_2 \times \mathbf r_2) \;+\; 2\,\boldsymbol\omega_1 \times \mathbf v_{rel} \;+\; \boldsymbol\alpha_{rel} \times \mathbf r_{rel}} \] où : - \(\mathbf v_{rel}\) et \(\mathbf a_{rel}\) sont la vitesse et l’accélération du point vues dans le référentiel du mouvement 2. - Le terme \(2\,\boldsymbol\omega_1 \times \mathbf v_{rel}\) est l’**accélération de Coriolis**. - Le terme \(\boldsymbol\omega_1 \times (\boldsymbol\omega_1 \times \mathbf r_1)\) est l’**accélération centripète** (ou normale). > L’accélération de Coriolis apparaît uniquement lorsque le point possède une vitesse non nulle dans un référentiel qui lui-même tourne. ### 4. Exemple : plateau tournant sur un chariot translatif Un plateau circulaire de rayon \(R = 0{,}40\; \text{m}\) tourne à \(\omega_1 = 5\; \text{rad·s}^{-1}\) autour de son axe vertical fixé sur un chariot qui se déplace horizontalement à vitesse constante \(v_{O_2}=2\; \text{m·s}^{-1}\). - Référentiel 1 (rotation) : \(\mathbf v_{O_1}= \mathbf 0\), \(\boldsymbol\omega_1 = 5\mathbf k\). - Référentiel 2 (translation) : \(\mathbf v_{O_2}=2\mathbf i\), \(\boldsymbol\alpha_2 = \mathbf 0\). Vitesse d’un point situé sur le bord du plateau, à l’angle \(\theta = 30^{\circ}\) par rapport à l’axe \(x\) : \[ \mathbf r = R(\cos\theta\,\mathbf i + \sin\theta\,\mathbf j) = 0{,}40(\cos30^{\circ}\mathbf i + \sin30^{\circ}\mathbf j) = 0{,}346\mathbf i + 0{,}20\mathbf j\; \text{m} \] Vitesse due à la rotation : \[ \mathbf v_{rot}= \boldsymbol\omega_1 \times \mathbf r = 5\mathbf k \times (0{,}346\mathbf i +0{,}20\mathbf j) = 5(0{,}20\mathbf i -0{,}346\mathbf j)= 1{,}0\mathbf i -1{,}73\mathbf j\; \text{m·s}^{-1} \] Vitesse totale : \[ \mathbf v_P = \mathbf v_{O_2} + \mathbf v_{rot}= (2\mathbf i) + (1{,}0\mathbf i -1{,}73\mathbf j)= 3{,}0\mathbf i -1{,}73\mathbf j\; \text{m·s}^{-1} \] Module : \[ v_P = \sqrt{3{,}0^{2}+(-1{,}73)^{2}} \approx 3{,}46\; \text{m·s}^{-1} \] Accélération : - Translation : \(\mathbf a_{O_2}= \mathbf 0\). - Rotation : accélération centripète \(\mathbf a_n = -\omega_1^{2}\mathbf r = -25(0{,}346\mathbf i+0{,}20\mathbf j)= -8{,}65\mathbf i -5{,}0\mathbf j\; \text{m·s}^{-2}\). - Coriolis : \(2\boldsymbol\omega_1 \times \mathbf v_{rel}\) où \(\mathbf v_{rel}= \mathbf v_{O_2}=2\mathbf i\) (vitesse du point vue dans le référentiel tournant) : \[ 2\boldsymbol\omega_1 \times \mathbf v_{rel}= 2(5\mathbf k) \times (2\mathbf i)=20\mathbf j\; \text{m·s}^{-2} \] - Aucune accélération tangentielle car \(\boldsymbol\alpha_1=\boldsymbol\alpha_2=0\). Accélération totale : \[ \mathbf a_P = (-8{,}65\mathbf i -5{,}0\mathbf j) + (0\mathbf i +20\mathbf j)= -8{,}65\mathbf i +15{,}0\mathbf j\; \text{m·s}^{-2} \] Module : \[ a_P = \sqrt{(-8{,}65)^{2}+15{,}0^{2}} \approx 17{,}3\; \text{m·s}^{-2} \] > Dans cet exemple, l’accélération de Coriolis (20 m·s⁻²) dépasse largement l’accélération centripète, montrant son importance dans les systèmes où une translation rapide se combine à une rotation. ### 5. Application professionnelle Dans les installations de manutention du port de Douala, les convoyeurs à rouleaux sont parfois montés sur des plateaux tournants pour orienter les conteneurs. Le technicien de maintenance vérifie que les paliers supportent l’accélération résultante (souvent > 15 m·s⁻²) afin d’éviter l’usure prématurée des roulements. --- ## Synthèse du chapitre - **Mouvement de rotation autour d’un axe fixe** : \( \mathbf v = \boldsymbol\omega \times \mathbf r\) ; \( \mathbf a = \boldsymbol\alpha \times \mathbf r + \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r)\). - **Rotation uniforme** : \(\alpha=0\) ; **uniformément accélérée** : \(\alpha\) constant. - **Étanchéité** : choix du joint selon pression, température, vitesse, fluide ; respect des normes ISO 3601, NF E 03‑005 ; montage avec contrôle de couple et test de pression. - **Mouvement plan sur plan** : champ des vitesses \( \mathbf v_P = \mathbf v_O + \boldsymbol\omega \times \mathbf{OP}\) ; centre instantané de rotation obtenu par intersection des droites perpendiculaires aux vitesses. - **Composition de deux mouvements plans** : vitesses additives ; accélérations incluant terme de Coriolis \(2\boldsymbol\omega_1\times\mathbf v_{rel}\) et accélération centripète \(\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\). - **Applications concrètes** : moteurs diesel, pompes à eau, bielles‑manivelles, plateaux tournants de convoyage. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Vitesse angulaire \(\boldsymbol\omega\) | Taux de variation de l’angle de rotation (rad·s⁻¹), dirigé selon l’axe de rotation. | | Accélération angulaire \(\boldsymbol\alpha\) | Dérivée temporelle de \(\boldsymbol\omega\) (rad·s⁻²). | | Vitesse linéaire d’un point | \(\mathbf v = \boldsymbol\omega \times \mathbf r\) ; module \(v=\omega r_\perp\). | | Accélération normale (centripète) | \(\mathbf a_n = \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r)\) ; dirigée vers le centre de courbure. | | Accélération tangentielle | \(\mathbf a_t = \boldsymbol\alpha \times \mathbf r\) ; liée à la variation de la vitesse de rotation. | | Joint torique (O‑ring) | Joint d’étanchéité en élastomère déformé sous compression, utilisé pour axes rotatifs. | | Joint à lèvres | Joint dont la lèvres en élastomère racle la surface en rotation, adapté à vitesses moyennes. | | Centre instantané de rotation (CIR) | Point d’un solide (ou de son prolongement) ayant une vitesse nulle à l’instant considéré. | | Accélération de Coriolis | Terme \(2\boldsymbol\omega \times \mathbf v_{rel}\) apparaissant dans la composition d’accélérations lorsqu’un point se déplace dans un référentiel tournant. | | Mouvement plan | Mouvement où tous les points restent dans un même plan ; combinaison d’une translation et d’une rotation perpendiculaire au plan. | | Couple de serrage | Moment appliqué pour assurer la compression d’un joint sans l’extruder ni le sous‑compresser. | | Norme ISO 3601 | Spécifie les dimensions et les tolérances des joints toriques. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Calcul de vitesse et d’accélération sur un arbre tournant Un arbre de transmission d’un tracteur agricole (rayon effectif de la surface de contact avec le palier \(r = 0{,}025\; \text{m}\)) tourne à \(\omega = 120\; \text{rad·s}^{-1}\) avec une accélération angulaire \(\alpha = 4\; \text{rad·s}^{-2}\). **a)** Déterminer la vitesse linéaire \(v\) d’un point situé à la surface de l’arbre. **b)** Calculer les accélérations tangentielle \(a_t\) et normale \(a_n\). **c)** En déduire l’accélération totale \(a\). **Corrigé** a) \(v = \omega r = 120 \times 0{,}025 = 3{,}0\; \text{m·s}^{-1}\). b) \(a_t = \alpha r = 4 \times 0{,}025 = 0{,}10\; \text{m·s}^{-2}\). \(a_n = \omega^{2} r = 120^{2} \times 0{,}025 = 14400 \times 0{,}025 = 360\; \text{m·s}^{-2}\). c) \(a = \sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}} = \sqrt{0{,}10^{2}+360^{2}} \approx 360{,}0\; \text{m·s}^{-2}\) (l’accélération normale domine). --- ### Exercice 2 – Choix et montage d’un joint pour une pompe à huile Une pompe à huile de moteur diesel fonctionne à une pression maximale de \(P = 8\; \text{bar}\) et une température d’huile de \(T = 120\;^{\circ}\text{C}\). La vitesse linéaire de l’arbre au niveau du joint est \(v = 3\; \text{m·s}^{-1}\). **a)** Quel type de joint serait le plus approprié ? Justifiez votre choix. **b)** Indiquer la procédure de montage en trois étapes clés, incluant le contrôle du couple de serrage si nécessaire. **Corrigé** a) La pression (8 bar) est modérée, la température élevée (120 °C) exclut les élastomères standards NBR (limite ≈ 100 °C). Un joint à lèvres en FKM (viton) supporte jusqu’à 200 °C et des pressions jusqu’à 15 bar, tout en étant adapté à des vitesses de 3 m·s⁻¹. Donc, on choisit un **joint à lèvres en FKM**. b) Étapes : 1. Nettoyer l’arbre et la gorge avec un solvant sans résidu, vérifier l’état de surface (rugosité < 0,8 µm). 2. Lubrifier légèrement le joint avec une huile compatible (huile de silicone) et l’insérer dans la gorge sans le tordre. 3. Insérer l’arbre en tournant lentement ; effectuer un serrage axial de la bride à l’aide d’une clé dynamométrique réglée à 0,6 Nm (valeur constructeur pour une bride de 20 mm de diamètre) puis réaliser un test de pression à 1,2×P pendant 1 min ; aucune fuite ne doit être observée. --- ### Exercice 3 – Détermination du centre instantané de rotation d’une bielle‑manivelle Dans un moteur à quatre temps, la manivelle a un rayon \(r = 0{,}09\; \text{m}\) et tourne à \(\omega = 250\; \text{rad·s}^{-1}\). La bielle a une longueur \(L = 0{,}16\; \text{m}\). À l’instant considéré, l’angle entre la manivelle et l’axe du cylindre est \(\theta = 45^{\circ}\). **a)** Calculer la vitesse du point \(A\) (extrémité de la manivelle). **b)** En utilisant la relation \(\displaystyle \tan\phi = \frac{v_A}{\omega L}\) où \(\phi\) est l’angle entre la bielle et la verticale, déterminer \(\phi\). **c)** En déduire la position du centre instantané de rotation \(C\) situé sur la prolongation de la bielle, à une distance \(d\) du point \(A\) donnée par \(d = L \frac{\sin\phi}{\sin(\phi+\theta)}\). **Corrigé** a) \(v_A = \omega r = 250 \times 0{,}09 = 22{,}5\; \text{m·s}^{-1}\). b) \(\displaystyle \tan\phi = \frac{22{,}5}{250 \times 0{,}16}= \frac{22{,}5}{40}=0{,}5625\) → \(\phi = \arctan(0{,}5625) \approx 29{,}4^{\circ}\). c) \(\displaystyle d = 0{,}16 \times \frac{\sin 29{,}4^{\circ}}{\sin(29{,}4^{\circ}+45^{\circ})}=0{,}16 \times \frac{0{,}491}{\sin 74{,}4^{\circ}}=0{,}16 \times \frac{0{,}491}{0{,}992}=0{,}079\; \text{m}\). Le CIR se trouve donc à environ **79 mm** du point \(A\) le long de la bielle, du côté opposé au piston. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (ex. : utiliser des tours/min au lieu de rad·s⁻¹ dans les formules) | Résultats erronés de vitesse ou d’accélération, sur‑ ou sous‑dimensionnement des pièces | Toujours convertir : \(\omega\;(\text{rad·s}^{-1}) = \frac{2\pi N}{60}\) où \(N\) est en tr/min. | | 2 | Serrer excessivement un joint torique ou à lèvres | Extrusion du joint, détérioration prématurée, risque de fuite sous pression | Utiliser une clé dynamométrique réglée au couple spécifié par le fabricant ; vérifier avec un indicateur de couple. | | 3 | Négliger le terme de Coriolis lors de la composition d’accélérations dans un système tournant + translatif | Sous‑estimation de l’accélération totale, casse de paliers ou de roulements | Identifier systématiquement si le point possède une vitesse non nulle dans un référentiel qui tourne ; ajouter \(2\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{rel}\). | | 4 | Utiliser un joint non compatible avec le fluide (ex. : NBR avec un hydrocarbure aromatique) | Gonflement, perte d’élasticité, fuite rapide | Consulter le tableau de compatibilité chimique des élastomères ; choisir FKM, PTFE ou EPDM selon le fluide. | | 5 | Ne pas vérifier l’état de surface avant le montage d’un joint (rayures, bavures) | Concentration de contraintes, usure accélérée du joint | Inspecter visuellement et à l’aide d’un rugosimètre ; réparer ou remplacer la pièce si la rugosité dépasse la limite recommandée (souvent < 0,8 µm pour les joints à lèvres). | | 6 | Effectuer un test de pression à une valeur trop faible (ex. : 0,5×P) | Détection tardive d’un défaut d’étanchéité, risque de défaillance en service | Réaliser le test à au moins 1,2× la pression de service maximale pendant 1–2 min, sans relâcher la pression brusquement. | --- *Fin du cours.*