II - A SOLUTIONS CONSTRUCTIVES DES SYSTEMES MECANIQUES (partie 2/4)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Identifier les différents types de roulements à rouleaux cylindriques et à billes à contact oblique, ainsi que leurs domaines d’application. - Déterminer les charges admissibles (radiale, axiale, équivalente) et choisir un roulement adapté à une donnée de conception. - Décomposer un mouvement plan d’un solide en translation et rotation, calculer le vecteur vitesse et le vecteur accélération à l’aide de la composition de mouvements. - Localiser le centre instantané de rotation et l’utiliser pour résoudre des problèmes de roulement sans glissement. - Appliquer les équations de la translation rectiligne uniforme ou uniformément accélérée à un solide soumis à des forces connues. - Respecter les consignes de sécurité liées au montage, au démontage et à la lubrification des roulements. **Prérequis :** - Notions de base en mécanique du solide (vecteur, produit scalaire, produit vectoriel). - Connaissances des efforts (force, moment) et des unités du Système International (N, Nm, rad/s, m/s²). - Lecture de plans mécaniques et connaissance des symboles de roulement (ISO 15). --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de maintenance industrielle au Cameroun, les systèmes de guidage en rotation sont omniprésents : convoyeurs à bande, broches de machines-outils, essieux de véhicules agricoles, ou encore treuils de chantier. Le choix d’un roulement approprié conditionne la fiabilité, la durée de vie et la sécurité de l’équipement. Par ailleurs, l’analyse du mouvement d’un solide (translation, rotation ou combinaison des deux) permet de prédire les vitesses et les accélérations des points d’intérêt, indispensables au dimensionnement des arbres, des paliers et des systèmes de transmission. Ce chapitre réunit donc les connaissances théoriques et les pratiques professionnelles nécessaires pour réussir l’épreuve du Probatoire en construction mécanique, séries MAV. --- ## I. Leçon 14A – Guidage en rotation par roulements à rouleaux cylindriques ### 1. Définition et principe Un **roulement à rouleaux cylindriques** comporte des rouleaux dont la génératrice est parallèle à l’axe du roulement. Le contact entre les rouleaux et les bagues est linéaire, ce qui confère une grande capacité de charge radiale tout en limitant les efforts axiaux. > **>** Les roulements à rouleaux cylindriques supportent principalement des charges radiales élevées et sont peu adaptés aux charges axiales pures. ### 2. Types et variantes | Type | Description | Application typique | |------|-------------|---------------------| | NU | Bague extérieure sans rebord, bague intérieure avec deux rebords ; permet déplacement axial libre de l’arbre relativement au logement | Arbres soumis à dilatation thermique | | NJ | Bague extérieure avec un rebord, bague intérieure avec deux rebords ; permet déplacement axial libre dans un seul sens | Charge radiale + légère charge axiale dans un sens | | NUP | Bague extérieure avec deux rebords (dont un lâche), bague intérieure avec deux rebords ; permet guidage axial dans les deux sens avec légère liberté de déplacement | Applications nécessitant un guidage axial tout en supportant dilatation | | N | Bague extérieure et intérieure sans rebords ; permet déplacement axial libre dans les deux sens (nécessite un palier de butée séparé) | Applications où l’arbre doit se déplacer axialement librement, avec prise en charge axiale par un autre dispositif | ### 3. Caractéristiques techniques - **Charge dynamique de base (C)** : valeur utilisée dans la formule de durée de vie \( L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^p \) où \( p = 10/3 \) pour les rouleaux cylindriques, \( P \) charge équivalente. - **Vitesse limite (n\_lim)** : fonction du diamètre moyen, de la lubrification et du matériau des bagues. - **Jeu radial interne** : généralement C2 (serré), CN (normal) ou C3 (lâche) selon l’application. - **Lubrification** : graisse NLGI 2 pour vitesses modérées, huile ISO VG 32–68 pour vitesses élevées. ### 4. Montage et démontage (procédure atelier) 1. Nettoyer les bagues et les rouleaux avec un solvant dégraissant. 2. Vérifier l’état de surface (absence de rayures, de piqûres). 3. Appliquer une fine couche de lubrifiant sur les surfaces de contact. 4. Insérer la première bague, puis les rouleaux à l’aide d’un outil de pousse‑rouleaux. 5. Positionner la deuxième bague en respectant le jeu radial préconisé. 6. Effectuer un serrage au couple spécifié (ex. 25 Nm pour un roulement NJ 208). 7. Effectuer un test de rotation à vide, écouter les bruits anormaux. > **>** Lors du montage, ne jamais frapper directement les rouleaux avec un marteau ; utiliser toujours un outil d’insertion adapté. ### 5. Exemple chiffré : sélection d’un roulement pour un convoyeur **Données :** - Charge radiale équivalente \( P_r = 12\,\text{kN} \) - Vitesse de rotation \( n = 500\,\text{tr/min} \) - Durée de vie souhaitée \( L_{10h} = 20\,000\,\text{h} \) **Étape 1 – Calcul de la charge dynamique nécessaire** \[ C = P_r \times \left(L_{10h}\right)^{1/p} \times \left(\frac{60}{n}\right)^{1/p} \] avec \( p = 10/3 \). \[ \left(L_{10h}\right)^{1/p}= (20\,000)^{0.3}= 20\,000^{0.3}\approx 19.5 \] \[ \left(\frac{60}{n}\right)^{1/p}= \left(\frac{60}{500}\right)^{0.3}= (0.12)^{0.3}\approx 0.53 \] \[ C = 12\,\text{kN}\times 19.5 \times 0.53 \approx 124\,\text{kN} \] **Étape 2 – Choix dans le catalogue** Aucun roulement de la série NU 200 présenté ne possède une charge dynamique suffisante (les valeurs vont de 35 kN à 82 kN). Il faut donc choisir un roulement de taille supérieure, par exemple un **NU 220** (ou équivalent) dont \( C \approx 150\,\text{kN} \) et \( n_{\text{lim}} \approx 900\,\text{tr/min} \), qui satisfait à la fois la charge requise et la vitesse de fonctionnement. **Étape 3 – Vérification du jeu** Application en environnement chaud → choisir jeu C3. --- ## II. Leçon 14B – Mouvement plan d’un solide : composition de mouvements, vecteurs vitesses et accélérations ### 1. Rappel du mouvement plan Un solide subit un **mouvement plan** lorsque tous ses points restent dans un même plan de référence. Le mouvement peut être décomposé en une **translation** du pôle (ou du centre de masse) et une **rotation** autour d’un axe perpendiculaire au plan. ### 2. Composition de deux mouvements Soit un solide soumis à : - une translation de vitesse \( \vec{V}_T \) (même pour tous les points) - une rotation de vitesse angulaire \( \vec{\omega} \) autour d’un point \( O \). La vitesse d’un point \( M \) du solide est alors : \[ \boxed{\vec{V}_M = \vec{V}_T + \vec{\omega} \times \vec{OM}} \] > **>** Cette formule constitue la base de la composition de mouvements en mécanique du solide. L’accélération s’obtient par dérivation : \[ \vec{a}_M = \vec{a}_T + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{OM} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{OM}) \] où le dernier terme représente l’accélération centripète (normale) \( \omega^2 \, OM \) dirigée vers \( O \). ### 3. Vecteur vitesse instantanée – méthode du centre instantané de rotation (CIR) Si le solide possède à un instant donné un point \( I \) nul en vitesse (CIR), alors : \[ \vec{V}_M = \vec{\omega} \times \vec{IM} \] Le CIR se trouve à l’intersection des droites perpendiculaires aux vitesses de deux points connus. ### 4. Exemple chiffré : disque roulant sans glisser sur une surface plane **Données :** - Rayon du disque \( R = 0.15\,\text{m} \) - Vitesse du centre \( V_C = 2\,\text{m/s} \) vers la droite - Le disque roule sans glisser → point de contact \( P \) instantanément au repos. **Détermination de \( \omega \) :** Condition de roulement sans glissement : \( V_C = \omega R \) → \( \omega = V_C / R = 2 / 0.15 = 13.33\,\text{rad/s} \) (sens horaire). **Vitesse d’un point \( M \) situé à l’extrémité supérieure du disque :** \[ \vec{V}_M = \vec{V}_C + \vec{\omega} \times \vec{CM} \] \( \vec{CM} = +R\,\hat{j} \) (vers le haut). \[ \vec{\omega} \times \vec{CM}= \omega R \,\hat{i}= 2\,\hat{i}\,\text{m/s} \] \[ \vec{V}_M = 2\,\hat{i} + 2\,\hat{i}= 4\,\hat{i}\,\text{m/s} \] Le point supérieur se déplace donc à \( 4\,\text{m/s} \) vers la droite. **Accélération du point \( M \) (mouvement uniforme → \( \dot{\omega}=0, \vec{a}_T=0 \)) :** \[ \vec{a}_M = \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{CM}) = -\omega^2 R \,\hat{j}= -(13.33)^2 \times 0.15 \,\hat{j}\approx -26.7\,\hat{j}\,\text{m/s}^2 \] L’accélération est dirigée vers le bas (centripète). > **>** Dans un roulement sans glissement, la vitesse du point de contact est nulle et la vitesse du centre est égale à \( \omega R \). --- ## III. Leçon 15A – Guidage en rotation par roulements à billes à contact oblique ### 1. Définition Un **roulement à billes à contact oblique** possède des billes en contact avec les bagues sous un angle \( \alpha \) (angle de contact) différent de 0°. Cette géométrie permet de supporter simultanément des charges radiales et axiales. ### 2. Influence de l’angle de contact - Plus \( \alpha \) est grand, plus la capacité axiale augmente, tandis que la capacité radiale diminue légèrement. - Les angles usuels sont \( 15^\circ, 25^\circ, 40^\circ \). > **>** Un roulement à contact oblique de 40° supporte environ deux fois plus de charge axiale qu’un roulement radial de même taille. ### 3. Capacités de charge - **Charge radiale de base** \( C_r \) (catalogue). - **Charge axiale de base** \( C_a \) liée à \( C_r \) par : \[ C_a = C_r \times \tan \alpha \] - **Charge équivalente** (pour calcul de durée de vie) : \[ P = X\,F_r + Y\,F_a \] où les facteurs \( X, Y \) dépendent de \( \alpha \) et du rapport \( F_a/F_r \). ### 4. Sélection selon l’application | Application | Angle de contact recommandé | Justification | |-------------|----------------------------|---------------| | Broche de fraiseuse (charge axiale élevée) | 40° | Grande capacité axiale, bonne rigidité | | Poulie de courroie (charge radiale dominante) | 15° | Maximise la capacité radiale, faible frottement | | Vis sans fin (charge mixte) | 25° | Bon compromis radial/axial | ### 5. Montage et précharge - **Jeu radial** : généralement C2 (serré) pour garantir une précharge légère qui améliore la rigidité. - **Précharge axiale** : obtenue par serrage des écrous ou par utilisation de rondelles de précharge ; valeur typique 0,5 % à 2 % de la charge statique de base. - **Lubrification** : graisse NLGI 2 avec additifs anti‑usure pour vitesses modérées ; huile ISO VG 46 pour vitesses > 3000 tr/min. ### 6. Exemple chiffré : choix d’un roulement pour un arbre de vis sans fin **Données :** - Charge radiale \( F_r = 8\,\text{kN} \) - Charge axiale \( F_a = 4\,\text{kN} \) (vers le haut) - Vitesse \( n = 1500\,\text{tr/min} \) - Durée de vie souhaitée \( L_{10h}=15\,000\,\text{h} \) **Étape 1 – Détermination de l’angle** Rapport \( F_a/F_r = 0,5 \). Selon les tableaux du fabricant, un angle de 25° donne \( X=0,56, Y=1,6 \). **Étape 2 – Charge équivalente** \[ P = X F_r + Y F_a = 0,56 \times 8 + 1,6 \times 4 = 4,48 + 6,4 = 10,88\,\text{kN} \] **Étape 3 – Charge dynamique nécessaire** \[ C = P \times \left(L_{10h}\right)^{1/p} \times \left(\frac{60}{n}\right)^{1/p} \] \( p = 10/3 \). \[ \left(L_{10h}\right)^{1/p}= (15\,000)^{0.3}\approx 17,9 \] \[ \left(\frac{60}{n}\right)^{1/p}= \left(\frac{60}{1500}\right)^{0.3}= (0,04)^{0.3}\approx 0,38 \] \[ C = 10,88 \times 17,9 \times 0,38 \approx 74,2\,\text{kN} \] **Étape 4 – Choix catalogue** Un roulement **3212** (contact oblique 25°, série 3) possède \( C_r = 92\,\text{kN} \) et \( n_{\text{lim}} = 2000\,\text{tr/min} \), donc adapté. (On peut aussi choisir un 3210 avec \( C_r = 68\,\text{kN} \) si l’on accepte une marge de sécurité moindre, mais le 3212 est préférable.) **Étape 5 – Vérification de la précharge** Charge statique de base \( C_{0r} = 115\,\text{kN} \). Précharge choisie 1 % → \( 1,15\,\text{kN} \) appliquée par écrou de serrage. > **>** La précharge améliore la rigidité mais augmente la température de fonctionnement ; surveiller la montée en température en service. --- ## IV. Leçon 15B – Mouvement de translation d’un solide : translation rectiligne ### 1. Définition Un solide subit une **translation rectiligne** lorsque tous ses points décrivent des trajectoires parallèles et de même longueur, c’est‑à‑dire que le solide se déplace sans rotation. ### 2. Équations du mouvement - **Translation rectiligne uniforme (TRU)** : vitesse constante \( \vec{v} = \vec{v}_0 \). \[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t \] - **Translation rectiligne uniformément accélérée (TRUA)** : accélération constante \( \vec{a} \). \[ \vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a} t \] \[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a} t^2 \] > **>** Dans une TRUA, l’espace parcouru pendant un intervalle \( \Delta t \) vaut \( \Delta s = v_m \Delta t \) où \( v_m = (v_0+v)/2 \) est la vitesse moyenne. ### 3. Exemple professionnel : chariot de transfert sur rails d’une usine de transformation du cacao **Données :** - Masse du chariot \( m = 250\,\text{kg} \) - Force de traction appliquée \( F = 1,2\,\text{kN} \) (horizontale) - Coefficient de frottement cinétique \( \mu_k = 0,07 \) - Départ du repos (\( v_0 = 0 \)) - Distance à parcourir \( s = 30\,\text{m} \) **Étape 1 – Calcul de l’accélération nette** Force de frottement \( F_f = \mu_k \, m \, g = 0,07 \times 250 \times 9,81 \approx 171,5\,\text{N} \). Force résultante \( F_{res} = F - F_f = 1200 - 171,5 = 1028,5\,\text{N} \). \[ a = \frac{F_{res}}{m} = \frac{1028,5}{250} \approx 4,11\,\text{m/s}^2 \] **Étape 2 – Vitesse à l’arrivée** \[ v^2 = v_0^2 + 2 a s = 0 + 2 \times 4,11 \times 30 = 246,6 \] \[ v = \sqrt{246,6} \approx 15,7\,\text{m/s} \] **Étape 3 – Temps de parcours** \[ t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{15,7}{4,11} \approx 3,82\,\text{s} \] **Étape 4 – Vérification de la puissance nécessaire** Puissance instantanée à la fin : \( P = F \, v = 1200 \times 15,7 \approx 18,8\,\text{kW} \). La motorisation doit donc fournir au moins 20 kW avec un facteur de sécurité de 1,2. > **>** Lors du dimensionnement d’un entraînement linéaire, il faut toujours ajouter la résistance au frottement et prévoir une marge de puissance pour les accélérations et les variations de charge. --- ## Synthèse du chapitre (mini‑fiche de révision) - **Roulements à rouleaux cylindriques** : grande capacité radiale, faible capacité axiale, jeu radial C2/CN/C3, lubrification graisse ou huile, montage sans frapper les rouleaux. - **Roulements à billes à contact oblique** : angle de contact \( \alpha \) (15°, 25°, 40°) permettant charge radiale + axiale, capacité axiale \( C_a = C_r \tan\alpha \), charge équivalente \( P = X F_r + Y F_a \), précharge légère recommandée. - **Mouvement plan d’un solide** : composition \( \vec{V}_M = \vec{V}_T + \vec{\omega}\times\vec{OM} \), accélération \( \vec{a}_M = \vec{a}_T + \dot{\vec{\omega}}\times\vec{OM} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{OM}) \), centre instantané de rotation (CIR) simplifie le calcul des vitesses. - **Translation rectiligne** : équations TRU et TRUA, prise en compte de la force de frottement, puissance \( P = Fv \), nécessité d’une marge de sécurité. --- ## Glossaire (8‑15 termes) | Terme | Définition | |-------|------------| | Roulement à rouleaux cylindriques | Roulement dont les éléments roulants sont des rouleaux axiaux, offrant une forte capacité radiale. | | Jeu radial interne | Espace libre entre les rouleaux et les bagues lorsqu’aucune charge n’est appliquée (C2, CN, C3). | | Angle de contact (\( \alpha \)) | Angle formé par la ligne de contact bille‑bague et le plan perpendiculaire à l’axe du roulement. | | Charge équivalente (P) | Charge fictive permettant d’utiliser la formule de durée de vie \( L_{10} = (C/P)^p \). | | Centre instantané de rotation (CIR) | Point d’un solide ayant une vitesse nulle à un instant donné ; autour duquel le solide semble tourner instantanément. | | Translation rectiligne uniforme (TRU) | Mouvement où tous les points d’un solide ont la même vitesse constante et aucune rotation. | | Translation rectiligne uniformément accélérée (TRUA) | Mouvement où l’accélération du solide est constante dans le temps et l’espace. | | Précharge | Charge axiale appliquée intentionnellement à un roulement pour éliminer le jeu et augmenter la rigidité. | | Lubrification NLGI 2 | Graisse de consistance moyenne utilisée pour les roulements à vitesse modérée. | | Facteur de charge dynamique (C) | Valeur catalogue permettant de prédire la durée de vie d’un roulement sous charge variable. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un roulement à rouleaux cylindriques **Énoncé** Un arbre de transmission d’un broyeur de manioc subit une charge radiale de 18 kN et tourne à 800 tr/min. On souhaite une durée de vie de 25 000 h. Sélectionner un roulement de la série NU (jeu C3) adapté, en indiquant la charge dynamique minimale requise et le modèle choisi dans le catalogue suivant (extraits) : | Modèle | C (kN) | n_lim (tr/min) | |--------|--------|----------------| | NU 208 | 35 | 1500 | | NU 209 | 42 | 1300 | | NU 210 | 55 | 1100 | | NU 211 | 68 | 950 | | NU 212 | 82 | 800 | **Corrigé** 1. Calcul de la charge dynamique nécessaire : \[ C_{req}=P_r \times \left(L_{10h}\right)^{1/p} \times \left(\frac{60}{n}\right)^{1/p} \] avec \( p=10/3 \), \( P_r = 18\,\text{kN} \), \( L_{10h}=25\,000 \), \( n=800 \). \[ \left(L_{10h}\right)^{1/p}= (25\,000)^{0.3}\approx 20,9 \] \[ \left(\frac{60}{n}\right)^{1/p}= \left(\frac{60}{800}\right)^{0.3}= (0,075)^{0.3}\approx 0,46 \] \[ C_{req}=18 \times 20,9 \times 0,46 \approx 173\,\text{kN} \] 2. Aucun modèle du tableau ne atteint 173 kN ; il faut donc passer à une série de capacité supérieure (ex. NU 220 ou NU 230) ou réduire la vitesse/augmenter la durée de vie. **Conclusion** : avec les données fournies, aucun roulement NU de la série 200 ne convient ; il faut soit augmenter la taille (ex. NU 220, C≈150 kN encore insuffisant, donc NU 230 avec C≈200 kN) soit revoir les exigences de durée de vie ou de vitesse. ### Exercice 2 – Composition de mouvements (disque roulant) **Énoncé** Un disque de rayon 0,20 m roule sans glisser sur un plan horizontal. Son centre se déplace à une vitesse constante de 3 m/s vers la droite. Déterminer : a) la vitesse angulaire \( \omega \) du disque ; b) la vitesse du point situé à l’extrémité inférieure du disque (point de contact) ; c) l’accélération de ce même point. **Corrigé** a) Condition de roulement sans glissement : \( V_C = \omega R \) → \( \omega = V_C / R = 3 / 0,20 = 15\,\text{rad/s} \) (sens horaire). b) Le point de contact a une vitesse nulle par définition du roulement sans glissement : \( V_P = 0 \). c) Comme le mouvement est uniforme ( \( \dot{\omega}=0 \) ) et que le centre n’a pas d’accélération, l’accélération du point de contact est purement centripète dirigée vers le centre : \[ a_P = \omega^2 R = 15^2 \times 0,20 = 45\,\text{m/s}^2 \] dirigée vers le haut (opposée à la gravité si le disque est horizontal). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Frappage direct des rouleaux avec un marteau lors du montage | Déformation des rouleaux, réduction de la capacité portante, risque de rupture prématurée | Utiliser toujours un outil d’insertion (pousse‑rouleaux ou douille adaptée) ; appliquer une force axiale uniforme. | | 2 | Lubrification insuffisante ou usage d’une graisse trop épaisse à haute vitesse | Surchauffe, usure accélérée, perte de jeu, blocage du roulement | Respecter les préconisations du fabricant (type NLGI, viscosité) ; contrôler la température en service (< 80 °C pour graisse standard). | | 3 | Oublier de vérifier le jeu radial avant serrage définitif | Jeu trop fort → jeu excessif, bruit, usure ; jeu trop serré → précharge excessive, surchauffe | Mesurer le jeu avec un calibre d’épaisseur avant le serrage final ; ajuster selon la classe C2/CN/C3 recommandée. | | 4 | Négliger la direction de la charge axiale lors du choix d’un roulement à contact oblique | Charge axiale supportée dans le mauvais sens → glissement des billes, endommagement des bagues | Identifier le sens de la charge axiale (traction ou compression) et choisir l’angle de contact et l’orientation du roulement en conséquence. | | 5 | Utiliser une équation de translation uniforme alors qu’un frottement significatif agit | Sous‑estimation de la puissance nécessaire, surchauffe du moteur | Toujours inclure la force de frottement \( F_f = \mu N \) dans le bilan des forces avant d’appliquer les équations du mouvement. | | 6 | Effectuer un démontage sans bloquer l’arbre ou le logement | Glissement soudain de l’ensemble, risque de blessure par projection de pièces | Bloquer l’arbre avec une clé ou un dispositif de maintien avant de dévisser les écrous ou les bagues de retenue. | --- *Fin du cours.*