SOLUTIONS CONSTRUCTIVES DES SYSTEMES MECANIQUES (partie 1/8)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir la puissance mécanique, le couple et la vitesse angulaire, et d’exprimer leurs relations. - Calculer le rapport de transmission d’un système par poulies‑courroie ou par roues de friction. - Déterminer la puissance transmissible en fonction des caractéristiques géométriques et des contraintes de matériau. - Réaliser le montage, le réglage et l’entretien de base d’une transmission par courroie ou par roue de friction en respectant les règles de sécurité. - Identifier les principales sources de pertes et proposer des améliorations d’efficacité. **Prérequis :** - Notions de base en mécanique du solide (force, moment, travail, énergie). - Unités du Système International (N, m, rad, s, W). - Lecture de plans simples et interprétation de cotes mécaniques. --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de mécanique, d’agro‑industrie ou de BTP au Cameroun, la transmission de puissance constitue le lien essentiel entre un moteur (électrique, thermique ou hydraulique) et l’organe travailleur (pompe, convoyeur, machine‑outil, etc.). Deux solutions constructives très répandues sont la **poulie‑courroie** pour sa souplesse d’installation et son capacité à absorber les chocs, et la **roue de friction** lorsqu’on recherche une transmission directe, sans élément intermédiaire, avec un entretien réduit. Maîtriser leurs principes de fonctionnement, leurs calculs de dimensionnement et leurs bonnes pratiques permet au technicien de garantir la fiabilité, la sécurité et la rentabilité des équipements sur le terrain. --- ## I. Généralités sur la Transmission de Puissance ### A. Définitions et grandeurs - **Puissance (P)** : taux auquel un travail est effectué, mesurée en watt (W). > **P = F·v** où F est la force tangentielle appliquée sur un point mobile et v sa vitesse linéaire. - **Couple (T)** : moment de force qui tend à faire tourner un arbre, exprimé en newton‑mètre (N·m). > **T = F·r** avec r le rayon d’action de la force. - **Vitesse angulaire (ω)** : vitesse de rotation d’un arbre, en radian par seconde (rad/s). > **ω = 2π·N/60** lorsque N est la vitesse en tours par minute (tr/min). La puissance transmise par un arbre en rotation s’écrit : > **P = T·ω** ### B. Principe de conservation de puissance Dans un système idéal (sans pertes), la puissance d’entrée égale la puissance de sortie : > **P₁ = P₂** → **T₁·ω₁ = T₂·ω₂** Le rapport de transmission **i** (aussi appelé rapport de réduction) se définit comme : > **i = ω₁/ω₂ = T₂/T₁** ### C. Rendement et pertes Le rendement η d’une transmission tient compte des pertes par frottement, déformation et glissement : > **η = P_sortie / P_entrée** (0 < η ≤ 1) Les pertes principales sont : - **Pertes mécaniques** (roulements, paliers). - **Pertes par glissement** (courroie, roue de friction). - **Pertes par vibration** (déséquilibre). ### D. Unités et formules de base (récapitulatif) | Grandeur | Symbole | Unité SI | Formule fréquente | |----------|---------|----------|-------------------| | Puissance | P | watt (W) | P = T·ω | | Couple | T | N·m | T = F·r | | Vitesse angulaire | ω | rad/s | ω = 2π·N/60 | | Rapport de transmission | i | adimensionnel | i = D₂/D₁ (poulies) ou i = r₂/r₁ (roues) | | Rendement | η | – | η = P_sortie / P_entrée | --- ## II. Transmission de Puissance par Poulies‑Courroie ### A. Types de courroies et poulies - **Courroie plate** : utilisée pour faibles charges, haute vitesse. - **Courroie trapézoïdale (V‑belt)** : la plus courante, bonne adhérence grâce au profil en V. - **Courroie crantée (synchrone)** : transmission sans glissement, utilisée pour la synchronisation. Les poulies peuvent être : - **Poulie lisse** (courroie plate ou V). - **Poulie à gorge** (profil adapté à la courroie V). - **Poulie à dents** (pour courroie crantée). ### B. Géométrie et rapport de transmission Le rapport de transmission dépend des diamètres effectifs : > **i = D₂ / D₁** où D₁ est le diamètre de la poulie motrice et D₂ celui de la poulie entraînée. La vitesse linéaire de la courroie (v) est identique sur les deux poulies : > **v = π·D₁·N₁/60 = π·D₂·N₂/60** (avec N en tr/min). ### C. Calcul de la tension et de la puissance transmissible La force effective transmise par la courroie résulte de la différence de tension entre la branche tendante (T₁) et la branche relâchée (T₂) : > **F_eff = T₁ – T₂** La puissance transmissible : > **P = F_eff·v** Pour une courroie V, on utilise souvent l’approximation de l’équation de Euler‑Eytelwein : > **T₁/T₂ = e^{μ·α}** où μ est le coefficient de frottement courroie‑poulie et α l’angle d’enveloppement (en rad). ### D. Montage, réglage et entretien 1. **Alignement** : les axes des poulies doivent être parallèles et dans le même plan (tolérance < 0,5 mm). 2. **Tension initiale** : réglée selon les recommandations du fabricant (souvent 1 %–2 % de la longueur libre de la courroie). 3. **Vérification du jeu** : aucune interférence avec les carters ou protections. 4. **Lubrification** : interdite pour les courroies V (risque de glissement). 5. **Contrôle périodique** : inspection de l’usure, des fissures, du durcissement ; remplacement dès signes de dégradation. ### E. Exemple chiffré Un moteur électrique de **5 kW** tourne à **1500 tr/min**. On veut entraîner un convoyeur à **375 tr/min** à l’aide d’une courroie V. 1. Rapport de transmission souhaité : > i = N₁/N₂ = 1500/375 = 4 2. Choix des diamètres : prendre D₁ = 100 mm (poulie moteur) → D₂ = i·D₁ = 4·100 mm = 400 mm. 3. Vitesse linéaire de la courroie : > v = π·D₁·N₁/60 = π·0,10·1500/60 ≈ 7,85 m/s 4. Couple moteur : > T₁ = P/(ω₁) ; ω₁ = 2π·1500/60 = 157 rad/s → T₁ = 5000/157 ≈ 31,8 N·m 5. Couple sortant (idéal) : > T₂ = i·T₁ = 4·31,8 ≈ 127 N·m 6. En supposant un rendement η = 0,92, la puissance réellement disponible : > P_sortie = η·P_entrée = 0,92·5 kW = 4,6 kW Le système répond donc au besoin du convoyeur avec une marge de sécurité suffisante. --- ## III. Transmission de Puissance par Roues de Friction ### A. Principe de fonctionnement Deux roues en contact transmettent le couple par adhérence (frottement statique) à leur surface de contact. Aucun élément intermédiaire n’est nécessaire ; la transmission est directe et compacte. > **Condition de non‑glissement** : la force tangentielle maximale transmissible F_max = μ·N, où μ est le coefficient de frottement statique entre les matériaux et N la force normale pressant les roues l’une contre l’autre. ### B. Types de roues de friction - **Roues lisses** : utilisées pour faibles charges et vitesses modérées. - **Roues à gorge** : augmentent la surface de contact et la capacité de charge. - **Roues crantées ou à dents** : combinent adhérence et blocage angulaire (transmission synchrone). ### C. Rapport de transmission et forces normales Le rapport de transmission dépend des rayons effectifs : > **i = r₂ / r₁** (r₁ = rayon de la roue motrice, r₂ = rayon de la roue entraînée). La force normale nécessaire pour transmettre un couple T est obtenue par l’équilibre des moments au point de contact : > **T = F_t·r₁ = μ·N·r₁** → **N = T/(μ·r₁)** ### D. Limites d’adhérence et lubrification - Le coefficient de frottement μ varie avec les matériaux (acier‑acier ≈ 0,2–0,4, acier‑bronze ≈ 0,3–0,5). - Une lubrification excessive réduit μ et provoque du glissement ; au contraire, l’absence de lubrification peut entraîner une usure prématurée. - La température de contact influence μ ; un refroidissement (air ou huile légère) est parfois nécessaire en service continu. ### E. Montage, réglage et entretien 1. **Alignement axial** : les axes doivent être colinéaires (erreur < 0,2 mm). 2. **Pré‑charge** : appliquer une force normale N calculée pour garantir le couple requis sans dépasser la limite d’élasticité des matériaux. 3. **Vérification du jeu latéral** : éviter tout jeu qui provoquerait des vibrations. 4. **Contrôle d’usure** : mesurer le diamètre de contact périodiquement ; remplacer lorsque la perte de diamètre dépasse 5 %. 5. **Nettoyage** : éliminer les poussières et particules abrasives qui dégradent le coefficient de frottement. ### F. Exemple chiffré Un réducteur à roues de friction doit transmettre **2 kW** à **300 tr/min** depuis un moteur tournant à **1200 tr/min**. 1. Rapport de transmission : > i = N₁/N₂ = 1200/300 = 4 2. Choix des rayons : prendre r₁ = 30 mm → r₂ = i·r₁ = 4·30 mm = 120 mm. 3. Couple moteur : > ω₁ = 2π·1200/60 = 125,6 rad/s → T₁ = P/ω₁ = 2000/125,6 ≈ 15,9 N·m 4. Couple sortant (idéal) : > T₂ = i·T₁ = 4·15,9 ≈ 63,6 N·m 5. Force normale nécessaire (en supposant μ = 0,35) : > N = T₁/(μ·r₁) = 15,9/(0,35·0,030) ≈ 1514 N 6. Vérification de la pression de contact (Hertz simplifiée) : > p ≈ (2·N)/(π·b·L) ; avec b (largeur de contact) ≈ 5 mm et L (longueur de roue) = 50 mm → p ≈ (2·1514)/(π·0,005·0,05) ≈ 3,85 MPa, valeur compatible avec un acier traité (limite d’élasticité ~ 600 MPa). Le dimensionnement montre que la pré‑charge de ~1,5 kN assure la transmission sans glissement, tout restant dans les limites mécaniques acceptables. --- ## Synthèse du chapitre - La puissance mécanique s’exprime par **P = T·ω** ; le rapport de transmission lie vitesses et couples : **i = ω₁/ω₂ = T₂/T₁**. - En transmission **poulie‑courroie**, le rapport dépend des diamètres : **i = D₂/D₁** ; la puissance transmissible résulte de la différence de tension des branches et de la vitesse linéaire de la courroie. - En transmission **roues de friction**, le rapport dépend des rayons : **i = r₂/r₁** ; la force normale nécessaire pour éviter le glissement est **N = T/(μ·r₁)**. - Le rendement η tient compte des pertes par frottement, glissement et usure ; η > 0,9 est visé pour les courroies V, η ≈ 0,85–0,9 pour les roues de friction bien lubrifiées. - Le montage exige un alignement précis, une tension ou pré‑charge adaptée, et un entretien périodique (contrôle d’usure, nettoyage, vérification des protections). - Les règles de sécurité incluent la protection contre les projections, l’arrêt d’urgence, l’utilisation de gardes et le respect des consignes de lubrification. --- ## Glossaire - **Puissance (P)** : taux de transfert d’énergie, watt (W). - **Couple (T)** : moment de force, newton‑mètre (N·m). - **Vitesse angulaire (ω)** : vitesse de rotation, radian par seconde (rad/s). - **Rapport de transmission (i)** : rapport entre vitesses d’entrée et de sortie, adimensionnel. - **Courroie V** : courroie à profil trapézoïdal augmentant l’adhérence. - **Poulie à gorge** : poulie dont le profil épouse celui de la courroie V. - **Roue de friction** : élément transmettant le couple par adhérence statique. - **Coefficient de frottement (μ)** : rapport entre force tangentielle maximale et force normale. - **Rendement (η)** : rapport puissance utile sur puissance d’entrée. - **Pré‑charge** : force normale appliquée initialement pour garantir le contact sans glissement. - **Alignement** : positionnement coaxial des arbres de transmission. - **Garde** : dispositif de protection empêchant le contact avec les parties en mouvement. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’une transmission par courroie Un moteur diesel de **8 kW** tourne à **1800 tr/min**. On doit entraîner une scie à ruban à **450 tr/min** à l’aide d’une courroie V. Le coefficient de frottement courroie‑poulie est μ = 0,3 et l’angle d’enveloppement α = 170°. **Données :** - P = 8000 W, N₁ = 1800 tr/min, N₂ = 450 tr/min. - η attendu = 0,90. **Questions :** 1. Déterminer le rapport de transmission i et choisir des diamètres de poulies standards (multiple de 25 mm). 2. Calculer la vitesse linéaire de la courroie v. 3. Déterminer la tension minimale de la branche tendante T₁ nécessaire pour transmettre la puissance, en utilisant l’équation de Euler‑Eytelwein. 4. Vérifier que la contrainte de traction dans la courroie (σ = F/(b·h)) reste inférieure à 15 MPa, sachant que la courroie a une largeur b = 30 mm et une épaisseur h = 5 mm. **Corrigé :** 1. Rapport de transmission : > i = N₁/N₂ = 1800/450 = 4. Choix : D₁ = 100 mm (poulie moteur) → D₂ = i·D₁ = 4·100 mm = 400 mm (standard). 2. Vitesse linéaire : > v = π·D₁·N₁/60 = π·0,10·1800/60 ≈ 9,42 m/s. 3. Puissance utile après rendement : > P_utile = η·P = 0,90·8000 = 7200 W. Couple moteur : ω₁ = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s → T₁ = P_utile/ω₁ = 7200/188,5 ≈ 38,2 N·m. Force efficace : F_eff = T₁/r₁ = 38,2/0,05 = 764 N (r₁ = D₁/2). Selon Euler‑Eytelwein : T₁/T₂ = e^{μ·α} avec α en rad = 170°·π/180 ≈ 2,967 rad. > e^{0,3·2,967} = e^{0,890} ≈ 2,435. Soit T₂ = T₁/2,435. La différence de tension ΔT = T₁ – T₂ = T₁(1 – 1/2,435) = T₁·0,589. Mais ΔT doit fournir la force efficace : F_eff = ΔT (puisque la courroie travaille en traction). Donc T₁ = F_eff /0,589 = 764/0,589 ≈ 1297 N. T₂ = T₁/2,435 ≈ 533 N. 4. Contrainte de traction : > Force maximale dans la branche tendante = T₁ = 1297 N. Section = b·h = 30 mm·5 mm = 150 mm² = 1,5·10⁻⁴ m². σ = 1297 / 1,5·10⁻⁴ ≈ 8,65·10⁶ Pa = 8,65 MPa < 15 MPa → acceptable. **Conclusion :** Les poulies de 100 mm et 400 mm, avec une pré‑charge donnant T₁ ≈ 1,3 kN, permettent la transmission en toute sécurité. --- ### Exercice 2 – Transmission par roues de friction Une presse hydraulique doit recevoir **4 kW** à **200 tr/min** depuis un moteur tournant à **800 tr/min**. On choisit deux roues en acier (μ = 0,38) avec une largeur de contact b = 8 mm. **Données :** - P = 4000 W, N₁ = 800 tr/min, N₂ = 200 tr/min. **Questions :** 1. Calculer le rapport de transmission i et déterminer les rayons r₁ et r₂ (choisir r₁ = 25 mm). 2. Déterminer le couple moteur T₁. 3. Calculer la force normale N nécessaire pour éviter le glissement. 4. Estimer la pression moyenne de contact p = N/(b·L) en supposant une longueur de roue L = 40 mm, et vérifier qu’elle reste inférieure à la limite d’élasticité de l’acier (≈ 600 MPa). **Corrigé :** 1. Rapport de transmission : > i = N₁/N₂ = 800/200 = 4. Avec r₁ = 25 mm → r₂ = i·r₁ = 4·25 mm = 100 mm. 2. Couple moteur : > ω₁ = 2π·800/60 = 83,78 rad/s → T₁ = P/ω₁ = 4000/83,78 ≈ 47,7 N·m. 3. Force normale : > N = T₁/(μ·r₁) = 47,7/(0,38·0,025) ≈ 47,7/0,0095 ≈ 5021 N. 4. Pression moyenne de contact : > Surface de contact = b·L = 8 mm·40 mm = 320 mm² = 3,2·10⁻⁴ m². > p = N/(b·L) = 5021 / 3,2·10⁻⁴ ≈ 1,57·10⁷ Pa = 15,7 MPa. Cette valeur est bien inférieure à 600 MPa → le contact est sûr. **Conclusion :** Une pré‑charge d’environ 5 kN assure la transmission de 4 kW sans glissement, avec une pression de contact raisonnable. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |---|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | **Mauvaise alignement des poulies** (axes non parallèles) | Usure asymétrique de la courroie, vibrations, risque de décrochage. | Vérifier l’alignement avec un règle ou un laser avant serrage ; tolérance < 0,5 mm. | | 2 | **Tension excessive de la courroie** | Surcharge des roulements, augmentation de la température, rupture prématurée. | Appliquer la tension préconisée par le fabricant (souvent 1–2 % de la longueur libre) et utiliser un tensiomètre de courroie. | | 3 | **Lubrification d’une courroie V** | Diminution du coefficient de frottement → glissement, perte de puissance, surchauffe. | Interdire toute huile ou graisse sur la couronne de la courroie ; nettoyer immédiatement en cas de contamination. | | 4 | **Pré‑charge insuffisante sur roues de friction** | Glissement sous charge, échauffement local, usure rapide de la surface de contact. | Calculer N à partir du couple requis et du μ mesuré ; vérifier avec un dynamomètre avant mise en service. | | 5 | **Oubli de la garde de protection** | Projection de débris, risque de coupure ou d’enfoncement de doigts dans les zones de contact. | Installer systématiquement des gardes fixes ou mobiles conformes aux normes NF EN ISO 12100 ; vérifier leur présence avant chaque démarrage. | | 6 | **Utilisation d’une courroie usée (fissures, durcissement)** | Perte d’adhérence, rupture brutale pouvant entraîner des blessures. | Remplacer la courroie dès apparition de fissures, de zones dures ou d’une perte de diamètre > 5 % ; tenir un registre de remplacement. | --- *Fin du cours.*