SOLUTIONS CONSTRUCTIVES DES SYSTEMES MECANIQUES (partie 3/8)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire le principe de fonctionnement, la géométrie et les caractéristiques mécaniques des engrenages cylindriques à denture hélicoïdale, coniques et gauches (vis sans fin). - Calculer les rapports de transmission, les efforts tangentiels, radiaux et axiaux, ainsi que les puissances transmissibles dans chaque type d’engrenage. - Sélectionner le matériau, le module et le nombre de dents appropriés selon les contraintes de charge, de vitesse et de lubrification rencontrées en atelier ou sur chantier au Cameroun. - Appliquer les règles de sécurité et d’hygiène liées à la manipulation, au montage et à la maintenance des systèmes d’engrenage. - Réaliser un schéma fonctionnel et un tableau de sélection pour un système de transmission donné. **Prérequis** : Maîtrise des notions de base en cinématique des mécanismes (vitesse angulaire, rapport de réduction), des concepts de résistance des matériaux (contraintes de flexion, de cisaillement, limite d’élasticité), ainsi que des unités du Système International (N, m, W, rpm). Connaissance des procédés de tournage, de fraisage et de traitement thermique usuels en atelier de mécanique. ## Introduction contextualisée Dans les industries camerounaises (agro‑alimentaire, exploitation minière, production d’énergie hydraulique, ateliers de réparation automobile), les systèmes de transmission mécanique sont omniprésents. Le choix d’un type d’engrenage dépend de la disposition des arbres (parallèles, concourants ou skew), du besoin de réduction de vitesse importante, de la nécessité d’un auto‑bloquage ou d’un fonctionnement silencieux. Ce chapitre présente les trois familles d’engrenages les plus utilisées après les engrenages droits : les engrenages cylindriques à denture hélicoïdale (arbres parallèles, contact progressif), les engrenages coniques (arbres concourants, souvent à 90°) et les engrenages gauches ou vis sans fin (arbres skew, forte réduction). Chaque famille est étudiée sous l’angle de la géométrie, du calcul des efforts, du choix des matériaux et des bonnes pratiques de sécurité en milieu professionnel. ## I. Engrenages Cylindriques à Denture Hélicoïdale ### Définition et principe Un engrenage cylindrique à denture hélicoïdale possède des dents taillées suivant une hélice autour du cylindre primitif. L’angle d’hélice β (entre 15° et 30° en pratique) permet un contact progressif entre les dents, réduisant les chocs et le bruit par rapport à l’engrenage droit. Le mouvement de transmission s’effectue entre deux arbres parallèles. > **> À retenir** : Le module transverse *m* est défini comme le rapport du diamètre primitif au nombre de dents : *m* = d / z (en mm). Il exprime la taille des dents et reste constant pour un couple d’engrenages hélicoïdaux. Le module normal *mₙ* = m·cos β est parfois utilisé. ### Géométrie - Nombre de dents : *z₁*, *z₂* - Module transverse : *m* = d / z (mm) - Angle de pression : α (souvent 20°) – mesuré dans le plan normal - Angle d’hélice : β - Pas normal : *pₙ* = π·m·cos β - Pas axial : *pₐ* = π·m·tan β - Diamètre primitif : *d* = m·z - Largeur de face : *b* (souvent 0,8 d à 1,2 d) ### Efforts et contraintes La force tangentielle *Fₜ* sur une dent résulte du couple transmis *T* : \[ F_t = \frac{2T}{d} \] La force normale *Fₙ* se décompose en : \[ F_n = \frac{F_t}{\cos\alpha \cos\beta} \] - Composante radiale : *Fᵣ* = Fₙ·sinα - Composante axiale : *Fₐ* = Fₙ·sinβ Ces efforts génèrent des contraintes de flexion à la racine de la dent (formule de Lewis) et des contraintes de Hertz au contact. ### Lubrification et sécurité Une lubrification à l’huile minérale (viscosité ISO VG 68–100) est recommandée pour des vitesses périphériques jusqu’à 15 m/s. Au-delà, une huile synthétique ou une graisse EP est nécessaire. Le port de lunettes de protection et de gants anti‑coupure est obligatoire lors du montage/démontage pour éviter les projections de copeaux. ### Exemple chiffré Un moteur électrique de 5 kW tourne à 1500 rpm et doit entraîner un convoyeur à 300 rpm via un couple d’engrenages hélicoïdaux. On choisit un module *m* = 4 mm, un angle d’hélice β = 20°, un angle de pression α = 20°. 1. Rapport de transmission : *i* = N₁/N₂ = 1500/300 = 5. 2. Si la roue motrice a *z₁* = 20 dents, alors *z₂* = i·z₁ = 5·20 = 100 dents. 3. Diamètre primitif moteur : *d₁* = m·z₁ = 4·20 = 80 mm. 4. Couple moteur : *T₁* = P/(2πN₁/60) = 5000 W / (2π·1500/60) ≈ 31,8 Nm. 5. Force tangentielle : *Fₜ* = 2T₁/d₁ = 2·31,8 Nm / 0,08 m ≈ 795 N. 6. Force normale : *Fₙ* = Fₜ/(cosα·cosβ) = 795 N / (cos20°·cos20°) ≈ 795 N / (0,9397·0,9397) ≈ 902 N. 7. Force axiale : *Fₐ* = Fₙ·sinβ = 902 N·sin20° ≈ 902·0,342 ≈ 308 N. Le palier doit supporter une charge axiale d’environ 310 N, à prendre en compte dans le choix du roulement. ### Tableau récapitulatif | Paramètre | Symbole | Formule | Unité | |-----------|---------|---------|-------| | Module transverse | m | d / z | mm | | Diamètre primitif | d | m·z | mm | | Rapport de transmission | i | z₂/z₁ (ou N₁/N₂) | – | | Force tangentielle | Fₜ | 2T/d | N | | Force normale | Fₙ | Fₜ/(cosα·cosβ) | N | | Force axiale | Fₐ | Fₙ·sinβ | N | | Puissance transmissible | P | T·ω | W (ω en rad/s) | ## II. Engrenages Coniques ### Définition Les engrenages coniques transmettent le mouvement entre deux arbres dont les axes se coupent (souvent à 90°). Les dents sont tracées sur une surface tronconique ; suivant l’angle d’hélice des dents, on distingue : - **Coniques droits** (dentures droites sur le cône) - **Coniques hélicoïdaux** (dentures hélicoïdales, contact progressif) - **Coniques à courbure variable** (forme de dent optimisée pour réduire les contraintes) ### Géométrie - Angle des arbres : Σ (souvent 90°) - Angle de cône de chaque roue : γ₁, γ₂ (avec γ₁+γ₂ = Σ) - Module normal : mₙ (constant) - Nombre de dents : z₁, z₂ - Diamètre primitif au grand bout : D = mₙ·z / cos γ - Angle de pression : α (souvent 20°) > **> À retenir** : Pour un couple conique droit, le rapport de transmission vaut i = z₂/z₁ = tan γ₂ / tan γ₁. ### Efforts axiaux et radiaux La force tangentielle *Fₜ* s’obtient comme pour les cylindriques : *Fₜ* = 2T/D. Elle se décompose en : - Force normale : *Fₙ* = Fₜ / cosα - Force radiale (dirigée vers le sommet du cône) : *Fᵣ* = Fₙ·sinα·sin γ - Force axiale (le long de l’arbre) : *Fₐ* = Fₙ·sinα·cos γ Ces efforts génèrent des contraintes de flexion à la racine et des contraintes de Hertz au contact, fortement influencées par l’angle de cône. ### Exemple chiffré Un réducteur de chantier doit réduire la vitesse d’un moteur diesel de 1800 rpm à 300 rpm pour entraîner une pompe à béton. On choisit un couple conique droit avec Σ = 90°. 1. Rapport souhaité : i = 1800/300 = 6. 2. Soit la roue motrice (petite) a z₁ = 15 dents → z₂ = i·z₁ = 6·15 = 90 dents. 3. D’après la relation i = tan γ₂ / tan γ₁ et γ₁+γ₂ = 90°, on résout : - Soit tan γ₁ = x, alors tan γ₂ = 6x. - Puisque γ₁+γ₂ = 90°, on a tan γ₂ = cot γ₁ = 1/x. - Donc 6x = 1/x → x² = 1/6 → x = 0,408 → γ₁ ≈ arctan(0,408) ≈ 22,2°. - γ₂ = 90° – γ₁ ≈ 67,8°. 4. Choisissons un module normal mₙ = 6 mm. 5. Diamètre primitif petite roue : D₁ = mₙ·z₁ / cos γ₁ = 6·15 / cos22,2° ≈ 90 / 0,926 ≈ 97,2 mm. 6. Couple moteur : T₁ = P/(2πN₁/60). Supposons P = 12 kW → T₁ ≈ 12000 / (2π·1800/60) ≈ 63,7 Nm. 7. Force tangentielle : Fₜ = 2T₁/D₁ = 2·63,7 / 0,0972 ≈ 1310 N. 8. Force normale : Fₙ = Fₜ / cosα (α=20°) ≈ 1310 / 0,9397 ≈ 1395 N. 9. Force axiale sur la petite roue : Fₐ₁ = Fₙ·sinα·cos γ₁ ≈ 1395·0,342·cos22,2° ≈ 1395·0,342·0,926 ≈ 441 N. 10. Force axiale sur la grande roue : Fₐ₂ = Fₙ·sinα·cos γ₂ ≈ 1395·0,342·cos67,8° ≈ 1395·0,342·0,378 ≈ 180 N. Le palier de la petite roue doit donc supporter environ 440 N d’effort axial, tandis que celui de la grande roue subit environ 180 N. ### Tableau récapitulatif | Paramètre | Symbole | Formule | Unité | |-----------|---------|---------|-------| | Module normal | mₙ | pₙ/π | mm | | Diamètre primitif | D | mₙ·z / cos γ | mm | | Rapport de transmission | i | z₂/z₁ = tan γ₂ / tan γ₁ | – | | Force tangentielle | Fₜ | 2T/D | N | | Force normale | Fₙ | Fₜ / cosα | N | | Force radiale | Fᵣ | Fₙ·sinα·sin γ | N | | Force axiale | Fₐ | Fₙ·sinα·cos γ | N | ## III. Engrenages Gauches (Roues et Vis sans Fin) ### Définition Un engrenage gauche consiste en une vis sans fin (hélice sur un cylindre) engrenant avec une roue à dents hélicoïdales (souvent appelée couronne). Les axes des deux pièces sont skew (ni parallèles, ni concourants). Ce dispositif permet des rapports de réduction très élevés (de 10 : 1 à plus de 100 : 1) dans un encombrement réduit, avec possibilité d’auto‑bloquage lorsque l’angle d’hélice est faible. ### Géométrie - Nombre de filets de la vis : *n* (1 à généralement 4) - Pas axial de la vis : *pᵥ* = pₙ / n (où pₙ = π·m) - Angle d’hélice de la vis : βᵥ = arctan(pᵥ / (π·dᵥ)) - Nombre de dents de la roue : *zʀ* - Rapport de transmission : i = zʀ / n - Diamètre primitif de la vis : dᵥ = m·n (approximatif) - Diamètre primitif de la roue : Dʀ = m·zʀ > **> À retenir** : Le rendement théorique d’une vis sans fin est η = (cos βᵥ) / (cos βᵥ + f·tan βᵥ), où f est le coefficient de frottement (lubrifié). Pour βᵥ < 5°, η peut descendre sous 0,4, d’où l’auto‑bloquage. ### Efforts et contraintes La force tangentielle sur la roue : *Fₜ* = 2Tʀ / Dʀ. La force normale sur le filet de la vis : *Fₙ* = Fₜ / (cos α·cos βᵥ). Cette force normale se décompose en composante radiale (vers l’axe de la vis) et axiale (le long de la vis). Les contraintes de flexion se situent à la racine du filet de la vis ; les contraintes de Hertz apparaissent au contact filet‑dent. ### Lubrification et sécurité En raison du glissement important, une lubrification à l’huile EP (extrême pression) ISO VG 220–320 est indispensable. Le chauffage dû aux frottements peut atteindre 80 °C en service continu ; un refroidissement par circulation d’huile ou un dissipateur thermique est souvent prévu. Le port de protections auditives est recommandé car le fonctionnement peut générer des sifflements aigus. ### Exemple chiffré Un treuil de chantier doit soulever une charge de 2 t à une vitesse de 0,1 m/s. Le moteur électrique disponible fournit 1,5 kW à 1400 rpm. On choisit une vis sans fin à simple filet (n=1) avec un module m = 8 mm et un angle d’hélice βᵥ = 10°. 1. Vitesse linéaire du câble : v = 0,1 m/s → vitesse angulaire du tambour (rouge) ωʀ = v / rʀ. Supposons un rayon de tambour rʀ = 0,075 m → ωʀ = 0,1 / 0,075 ≈ 1,33 rad/s → Nʀ = ωʀ·60/(2π) ≈ 12,7 rpm. 2. Rapport de réduction nécessaire : i = Nₘₒₜₑᵤʀ / Nʀ = 1400 / 12,7 ≈ 110. 3. Avec n = 1, le nombre de dents de la roue doit être zʀ = i·n = 110·1 ≈ 110 dents (on arrondit à 110). 4. Diamètre primitif de la roue : Dʀ = m·zʀ = 8 mm·110 = 880 mm = 0,88 m. 5. Couple utile sur la roue : Tʀ = F·r, où F = mg = 2000 kg·9,81 m/s² = 19620 N, r = 0,075 m → Tʀ ≈ 19620·0,075 ≈ 1472 Nm. 6. Couple moteur nécessaire : Tₘₒₜₑᵤʀ = Tʀ / i = 1472 / 110 ≈ 13,4 Nm. 7. Puissance moteur disponible : Pₘₒₜₑᵤʀ = 1,5 kW → couple théorique à 1400 rpm : Tₜₕ = P/(2πN/60) = 1500 / (2π·1400/60) ≈ 10,2 Nm. Le couple nécessaire (13,4 Nm) dépasse le couple disponible ; il faut donc augmenter le nombre de filets ou réduire le rapport. 8. On passe à n = 2 filets (vis double). Nouveau rapport : i = zʀ / n → pour garder i≈110, on prend zʀ = i·n = 110·2 = 220 dents. Nouveau couple moteur : Tₘₒₜₑᵤʀ = Tʀ / i = 1472 / 110 = 13,4 Nm (inchangé, car i unchanged). Mais le couple nécessaire par filet est réduit : chaque filet supporte la moitié du couple, donc T/filet ≈ 6,7 Nm, désormais inférieur au couple disponible (10,2 Nm). 9. Vérification du rendement : βᵥ = 10°, supposons f = 0,04 (huile EP). η = cos βᵥ / (cos βᵥ + f·tan βᵥ) = cos10° / (cos10° + 0,04·tan10°) cos10°≈0,9848, tan10°≈0,1763 → dénominateur = 0,9848 + 0,04·0,1763 = 0,9848 + 0,00705 = 0,99185 → η ≈ 0,9848/0,99185 ≈ 0,993 → rendement très élevé car angle faible et bonne lubrification. (En pratique, avec glissement, on observe η≈0,85–0,9). 10. Force tangentielle sur la roue : Fₜ = 2Tʀ / Dʀ = 2·1472 / 0,88 ≈ 3345 N. 11. Force normale sur le filet : Fₙ = Fₜ / (cosα·cosβᵥ) (α=20°) → cos20°=0,9397, cos10°=0,9848 → dénominateur =0,9397·0,9848≈0,925 → Fₙ≈3345/0,925≈3615 N. 12. Force axiale sur la vis : Fₐ = Fₙ·sinβᵥ ≈ 3615·sin10°≈3615·0,1736≈628 N. Le palier de la vis doit supporter environ 630 N d’effort axial, à prendre en compte dans le choix d’un roulement à rouleaux coniques. ### Tableau récapitulatif | Paramètre | Symbole | Formule | Unité | |-----------|---------|---------|-------| | Module | m | pₙ/π | mm | | Nombre de filets | n | – | – | | Pas axial de la vis | pᵥ | pₙ / n | mm | | Angle d’hélice de la vis | βᵥ | arctan(pᵥ/(π·dᵥ)) | degré | | Rapport de transmission | i | zʀ / n | – | | Diamètre primitif roue | Dʀ | m·zʀ | mm | | Diamètre primitif vis | dᵥ | m·n (approx.) | mm | | Force tangentielle roue | Fₜ | 2Tʀ/Dʀ | N | | Force normale filet | Fₙ | Fₜ/(cosα·cosβᵥ) | N | | Force axiale vis | Fₐ | Fₙ·sinβᵥ | N | | Rendement théorique | η | cos βᵥ / (cos βᵥ + f·tan βᵥ) | – | ## Synthèse du chapitre - **Engrenages cylindriques à denture hélicoïdale** : arbres parallèles, contact progressif, forces axiales présentes, module constant, utilisé pour transmissions moyennes à hautes vitesses avec faible bruit. - **Engrenages coniques** : arbres concourants (souvent 90°), transmission de mouvement entre axes intersectants, efforts axiaux et radiaux dépendants de l’angle de cône, idéal pour changements de direction dans les réducteurs de chantier ou les différentiels. - **Engrenages gauches (vis sans fin)** : axes skew, forte réduction possible, auto‑bloquage à faible angle d’hélice, glissement important nécessitant lubrification EP, utilisé pour treuils, élévateurs et systèmes de levage lourd. - Pour chaque famille, le calcul du rapport de transmission, des forces tangentielles, normales, axiales et radiales suit les formules présentées ; le dimensionnement repose sur le module, le nombre de dents/filets et les contraintes admissibles du matériau (acier C45, 20CrMo4, etc.). - La sécurité impose le port de lunettes, gants, protections auditives, ainsi que la vérification du serrage des boulons de fixation et du niveau d’huile avant mise en service. ## Glossaire - **Module (m)** : rapport du pas circulaire à π, caractérise la taille des dents. - **Angle d’hélice (β)** : angle entre la dent et la génératrice du cylindre (ou du cône). - **Angle de pression (α)** : angle entre la ligne d’action et la tangente au cercle primitif, généralement 20°. - **Pas axial (pₐ)** : distance mesurée parallèlement à l’axe entre deux points homologues sur des dents consécutives. - **Pas normal (pₙ)** : distance mesurée dans le plan normal à la dent. - **Rapport de transmission (i)** : rapport entre la vitesse d’entrée et la vitesse de sortie (ou entre les nombres de dents). - **Effort tangentiel (Fₜ)** : composante de la force agissant selon la tangente au cercle primitif, liée au couple transmis. - **Effort normal (Fₙ)** : force résultante agissant selon la normale à la surface de dent. - **Effort axial (Fₐ)** : composante de Fₙ parallèle à l’axe de l’engrenage. - **Effort radial (Fᵣ)** : composante de Fₙ dirigée vers le centre du cercle primitif (cylindrique) ou vers le sommet du cône (conique). - **Vis sans fin** : hélice sur un cylindre engrenant avec une couronne à dents hélicoïdales, permettant de fortes réductions. - **Nombre de filets (n)** : nombre de démarcations hélicoïdales sur la vis sans fin. - **Rendement (η)** : rapport entre la puissance utile sortie et la puissance d’entrée, influencé par le frottement. - **Auto‑bloquage** : propriété d’une vis sans fin qui empêche la rétro‑transmission lorsque l’angle d’hélice est inférieur à une valeur critique (environ 5° pour acier sur acier). - **Lubrification EP** : huile à additifs extrême pression destinée à résister aux fortes pressions de contact dans les engrenages à glissement. ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un couple hélicoïdal Un convoyeur à bande doit être entraîné à 0,5 m/s par un moteur de 2,2 kW tournant à 1200 rpm. Le diamètre du pouce moteur est fixé à 60 mm. On choisit un angle d’hélice β = 18° et un angle de pression α = 20°. **a)** Déterminer le rapport de transmission nécessaire si la poulie du convoyeur a un diamètre de 300 mm. **b)** Calculer le module m admissible sachant que la contrainte admissible en flexion du matériau est σₐd = 150 MPa et que la largeur de face b = 10 mm. Utiliser la formule de Lewis simplifiée : σ = Fₜ / (b·m·Y) où Y ≈ 0,3 (facteur de forme). **c)** Vérifier que la force axiale ne dépasse pas 250 N (limite du palier choisi). **Corrigé** a) Vitesse linéaire du pouce moteur : v = π·d·N/60 = π·0,06·1200/60 = 3,77 m/s. Comme la bande doit aller à 0,5 m/s, on introduit une réduction par poulies : i = vₘₒₜₑᵤʀ / v_bande = 3,77 / 0,5 ≈ 7,54. Avec dₘₒₜₑᵤʀ = 60 mm, d_bande = i·dₘₒₜₑᵤʀ = 7,54·60 ≈ 452 mm. Comme on a fixé d_bande = 300 mm, on doit ajouter un étage supplémentaire ; on considérera donc un rapport réel de i = d_bande / dₘₒₜₑᵤʀ = 300/60 = 5. La vitesse résultante sera v = π·0,06·1200/60 /5 = 0,754 m/s, suffisante pour le convoyeur (on peut ajuster la tension de bande). b) Couple moteur : T = P/(2πN/60) = 2200 / (2π·1200/60) ≈ 17,5 Nm. Force tangentielle sur la petite roue : Fₜ = 2T/d = 2·17,5 / 0,06 ≈ 583 N. Contrainte de flexion : σ = Fₜ / (b·m·Y) → m = Fₜ / (b·Y·σₐd). m = 583 / (10 mm·0,3·150 MPa) = 583 / 450 ≈ 1,30 mm. On choisira un module standard m = 2 mm (ou 1,5 mm si disponible). Puis vérifier : σ = 583 / (10·2·0,3) = 583 / 6 ≈ 97,2 MPa < 150 MPa, donc admissible. c) Force normale : Fₙ = Fₜ/(cosα·cosβ) = 583 / (cos20°·cos18°) ≈ 583 / (0,9397·0,9511) ≈ 583 / 0,894 ≈ 652 N. Force axiale : Fₐ = Fₙ·sinβ = 652·sin18° ≈ 652·0,309 ≈ 201 N < 250 N → acceptable. ### Exercice 2 – Réducteur conique pour une pompe Une pompe d’irrigation doit tourner à 150 rpm entraînée par un moteur thermique de 4 kW à 3000 rpm. On choisit un couple conique droit avec Σ = 90°. **a)** Calculer le rapport de transmission requis. **b)** Si la petite roue a 18 dents, déterminer le nombre de dents de la grande roue. **c)** Avec un module normal mₙ = 5 mm, trouver les diamètres primitifs des deux roues. **d)** Estimer l’effort axial sur la grande roue sachant que le coefficient de frottement est f = 0,03 et l’angle de pression α = 20°. **Corrigé** a) i = Nₘₒₜₑᵤʀ / Nₚₒₘₚₑ = 3000 / 150 = 20. b) i = z₂ / z₁ → z₂ = i·z₁ = 20·18 = 360 dents. c) On doit d’abord trouver γ₁ et γ₂ à partir de i = tan γ₂ / tan γ₁ et γ₁+γ₂ = 90°. Soit tan γ₁ = x → tan γ₂ = 20x. Puisque γ₁+γ₂ = 90°, tan γ₂ = cot γ₁ = 1/x. Donc 20x = 1/x → x² = 1/20 → x = 0,2236 → γ₁ = arctan(0,2236) ≈ 12,6°. γ₂ = 90° – 12,6° = 77,4°. D₁ = mₙ·z₁ / cos γ₁ = 5·18 / cos12,6° = 90 / 0,976 ≈ 92,2 mm. D₂ = 5·360 / cos77,4° = 1800 / 0,218 ≈ 8257 mm ≈ 8,26 m (diamètre très grand, montrant qu’un couple conique droit avec un tel rapport est peu pratique ; on privilégierait un étage supplémentaire ou une vis sans fin). d) Couple moteur : T = 4000 / (2π·3000/60) ≈ 4000 / 314,16 ≈ 12,73 Nm. Force tangentielle sur la petite roue : Fₜ = 2T/D₁ = 2·12,73 / 0,0922 ≈ 276 N. Force normale : Fₙ = Fₜ / cosα = 276 / 0,9397 ≈ 294 N. Effort axial sur la grande roue : Fₐ₂ = Fₙ·sinα·cos γ₂ = 294·0,342·cos77,4° ≈ 294·0,342·0,218 ≈ 22 N. (Effort axial sur la petite roue : Fₐ₁ = Fₙ·sinα·cos γ₁ ≈ 294·0,342·0,976 ≈ 98 N.) Ainsi le palier de la grande roue subit environ 22 N d’effort axial, tandis que celui de la petite roue subit environ 98 N. ### Exercice 3 – Vis sans fin pour un treuil de chantier Un treuil doit soulever une charge de 1,5 t à une vitesse de 0,08 m/s. Le moteur disponible fournit 0,8 kW à 1800 rpm. On choisit une vis sans fin à double filet (n = 2) avec un module m = 10 mm et un angle d’hélice β = 12°. **a)** Déterminer le rapport de transmission nécessaire. **b)** Calculer le nombre de dents de la couronne. **c)** Vérifier que le couple moteur disponible suffit à vaincre la charge (rendement supposé η = 0,85). **d)** Calculer l’effort axial sur la vis. **Corrigé** a) Vitesse linéaire du câble : v = 0,08 m/s → vitesse angulaire du tambour (rayon r = 0,07 m) ω = v/r = 0,08/0,07 ≈ 1,14 rad/s → N = ω·60/(2π) ≈ 10,9 rpm. Rapport i = Nₘₒₜₑᵤʀ / N = 1800 / 10,9 ≈ 165. b) i = zʀ / n → zʀ = i·n = 165·2 = 330 dents. c) Couleur utile : F = mg = 1500·9,81 = 14715 N. Couple sur tambour : Tʀ = F·r = 14715·0,07 ≈ 1030 Nm. Couple moteur nécessaire : Tₘₒₜₑᵤʀ = Tʀ / (i·η) = 1030 / (165·0,85) ≈ 1030 / 140,25 ≈ 7,35 Nm. Couple moteur disponible : Tdispo = 0,8·10³ / (2π·1800/60) = 800 / 188,5 ≈ 4,25 Nm. Comme Tdispo < Tₘₒₜₑᵤʀ nécessaire, le moteur est sous‑dimensionné ; il faudrait augmenter la puissance ou réduire le rapport (par exemple ajouter un étage intermédiaire). d) Diamètre primitif de la vis : dᵥ ≈ m·n = 10·2 = 20 mm = 0,02 m (approximation). Force tangentielle sur la couronne : Fₜ = 2Tʀ / Dʀ. Dʀ = m·zʀ = 10·330 = 3300 mm = 3,3 m. Fₜ = 2·1030 / 3,3 ≈ 624 N. Force normale : Fₙ = Fₜ / (cosα·cosβ) (α=20°) → cos20°=0,9397, cos12°=0,9781 → dénominateur =0,919 → Fₙ ≈ 624/0,919 ≈ 679 N. Effort axial sur la vis : Fₐ = Fₙ·sinβ = 679·sin12° ≈ 679·0,208 ≈ 141 N. ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de tenir compte de la force axiale dans le choix des paliers (engrenages hélicoïdaux ou vis sans fin) | Usure prématurée, jeu excessif, risque de décrochage de l’arbre | Toujours calculer Fₐ et vérifier que la charge dynamique du palier (Cᵣ) dépasse Fₐ·fs (facteur de sécurité ≥ 2). | | 2 | Utiliser une lubrification inadaptée (huile trop visqueuse ou manque d’additifs EP) sur une vis sans fin | Augmentation du frottement, surchauffe, glissement inadéquat, perte de rendement | Sélectionner une huile ISO VG 220–320 avec additifs EP ; contrôler la température de l’huile toutes les 2 h en service continu. | | 3 | Monter un couple conique droit avec un rapport trop élevé sans vérifier l’encombrement (diamètre de la roue devenu irréaliste) | Impossible d’assembler, besoin de redessiner le système | Limiter le rapport d’un étage conique à ≈ 10 : 1 ; au-delà, prévoir un étage intermédiaire (vis sans fin ou train d’engrenages planétaires). | | 4 | Négliger le jeu axial lors du réglage d’un engrenage hélicoïdal, entraînant un contact dent à dent partiel | Bruits excessifs, vibrations, risque de casse sous charge | Après montage, mesurer le jeu axial avec un jeu de cales ; ajuster les rondelles ou les cales d’épaisseur pour obtenir le jeu recommandé (souvent 0,05–0,15 mm). | | 5 | Démarrer un réducteur sans vérifier le niveau d’huile ou la présence de contaminants (eau, particules) | Dégradation rapide des surfaces de contact, corrosion, perte de propriétés lubrifiantes | Effectuer une vérification du niveau et de la propreté de l’huile avant chaque mise en service ; renouveler l’huile selon les préconisations constructeur (souvent toutes les 500 h). | | 6 | Utiliser une clé à chocs pour serrer les boulons de fixation d’un réducteur sans respecter le couple de serrage | Déformation du logement, précharge inadéquate, risque de desserrage en service | Utiliser une clé dynamométrique réglée au couple spécifié (ex. 25 Nm pour des boulons M8 de classe 8,8) et suivre le schéma de serrage en croix. | --- *Fin du cours de référence.*