Chap12: Parallélogramme

# Chap12: Parallélogramme ## Parallélogramme, losange, rectangle, carré, périmètre et aire. ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer des figures géométriques très courantes appelées les quadrilatères. Nous nous intéresserons particulièrement aux parallélogrammes et à leurs "familles" spéciales : les rectangles, les losanges et les carrés. Nous apprendrons aussi à calculer leur périmètre (la longueur de leur contour) et leur aire (la surface qu'ils occupent). ### Concepts Clés #### 1. Le Parallélogramme ##### Définition Un **parallélogramme** est un quadrilatère (une figure à quatre côtés) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. ##### Propriétés * Les côtés opposés ont la même longueur. * Les angles opposés ont la même mesure. * Les diagonales se coupent en leur milieu. Ce milieu est le centre de symétrie du parallélogramme. ##### Périmètre d'un parallélogramme Le périmètre d'un parallélogramme est la somme des longueurs de ses quatre côtés. Si les longueurs des côtés adjacents sont \( a \) et \( b \), alors le périmètre \( P \) est : \[ P = 2 \times (a + b) \] ##### Aire d'un parallélogramme L'aire d'un parallélogramme est le produit de la longueur de sa base par sa hauteur. La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé. \[ A = base \times hauteur \] #### 2. Le Rectangle ##### Définition Un **rectangle** est un parallélogramme qui possède un angle droit (et donc quatre angles droits). ##### Propriétés * Toutes les propriétés du parallélogramme. * Ses quatre angles sont des angles droits (90°). * Ses diagonales ont la même longueur. ##### Périmètre d'un rectangle Si la longueur est \( L \) et la largeur est \( l \), le périmètre \( P \) est : \[ P = 2 \times (L + l) \] ##### Aire d'un rectangle L'aire \( A \) d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : \[ A = L \times l \] #### 3. Le Losange ##### Définition Un **losange** est un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur. ##### Propriétés * Toutes les propriétés du parallélogramme. * Ses quatre côtés ont la même longueur. * Ses diagonales sont perpendiculaires entre elles. * Ses diagonales sont les bissectrices de ses angles (elles coupent les angles en deux parties égales). ##### Périmètre d'un losange Si \( c \) est la longueur d'un côté, le périmètre \( P \) est : \[ P = 4 \times c \] ##### Aire d'un losange L'aire \( A \) d'un losange est la moitié du produit des longueurs de ses diagonales (\( D \) pour la grande diagonale et \( d \) pour la petite diagonale) : \[ A = \frac{D \times d}{2} \] #### 4. Le Carré ##### Définition Un **carré** est un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange. Il a donc quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. ##### Propriétés * Toutes les propriétés du parallélogramme, du rectangle et du losange. * Ses quatre côtés ont la même longueur. * Ses quatre angles sont des angles droits. * Ses diagonales sont de même longueur et perpendiculaires. ##### Périmètre d'un carré Si \( c \) est la longueur d'un côté, le périmètre \( P \) est : \[ P = 4 \times c \] ##### Aire d'un carré L'aire \( A \) d'un carré est le produit de la longueur de son côté par elle-même : \[ A = c \times c = c^2 \] ### Vocabulaire * **Quadrilatère**: Figure géométrique à quatre côtés. * **Parallélogramme**: Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. * **Rectangle**: Parallélogramme avec un angle droit. * **Losange**: Parallélogramme avec quatre côtés de même longueur. * **Carré**: Parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange. * **Côtés opposés**: Côtés qui ne se touchent pas. * **Angles opposés**: Angles qui ne partagent pas de côté. * **Diagonale**: Segment de droite qui relie deux sommets non consécutifs d'une figure. * **Périmètre**: Longueur du contour d'une figure. * **Aire**: Mesure de la surface occupée par une figure. ## Longueur des côtés opposés, diagonales, angles aux sommets opposés. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les parallélogrammes ! Vous avez déjà étudié les quadrilatères, ces figures à quatre côtés. Aujourd'hui, nous allons découvrir une famille particulière de quadrilatères : les parallélogrammes. Nous allons explorer leurs propriétés uniques concernant la longueur de leurs côtés, leurs diagonales et la mesure de leurs angles. Ces propriétés sont très utiles pour reconnaître et construire ces figures. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Parallélogramme ? Un **parallélogramme** est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. * Si un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, alors la droite (AB) est parallèle à la droite (CD), et la droite (AD) est parallèle à la droite (BC). #### Propriétés des Côtés Opposés Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. * Si ABCD est un parallélogramme : * La longueur du côté AB est égale à la longueur du côté CD (AB = CD). * La longueur du côté AD est égale à la longueur du côté BC (AD = BC). #### Propriétés des Diagonales Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point d'intersection est le centre de symétrie du parallélogramme. * Si ABCD est un parallélogramme et que ses diagonales [AC] et [BD] se coupent au point O : * Le point O est le milieu du segment [AC]. * Le point O est le milieu du segment [BD]. * Donc, AO = OC et BO = OD. #### Propriétés des Angles aux Sommets Opposés Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. * Si ABCD est un parallélogramme : * L'angle au sommet A (\( \widehat{DAB} \)) a la même mesure que l'angle au sommet C (\( \widehat{BCD} \)). * L'angle au sommet B (\( \widehat{ABC} \)) a la même mesure que l'angle au sommet D (\( \widehat{CDA} \)). * De plus, deux angles consécutifs (qui se suivent) sont supplémentaires, c'est-à-dire que la somme de leurs mesures est de 180°. * Par exemple, \( \widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 180^ ext{o} \). ### Vocabulaire * **Parallélogramme** : Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. * **Quadrilatère** : Une figure géométrique plane ayant quatre côtés et quatre sommets. * **Côtés opposés** : Deux côtés qui ne partagent aucun sommet commun. * **Diagonales** : Segments qui relient deux sommets non consécutifs d'une figure. * **Sommet** : Un point où se rencontrent deux côtés d'une figure géométrique. * **Angle opposé** : Deux angles d'une figure qui ne partagent aucun côté commun. * **Milieu** : Le point qui divise un segment en deux segments de même longueur. * **Parallèle** : Des droites qui ne se rencontrent jamais, même si on les prolonge à l'infini. * **Centre de symétrie** : Un point autour duquel une figure peut être tournée de 180° pour se superposer à elle-même. ### Exemples #### Exemple 1 : Longueur des côtés Soit un parallélogramme EFGH où EF = 7 cm et FG = 4 cm. * Puisque les côtés opposés ont la même longueur : * GH = EF = 7 cm. * EH = FG = 4 cm. #### Exemple 2 : Diagonales Dans le parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent au point O. On sait que AO = 5 cm et que OD = 3 cm. * Puisque O est le milieu des diagonales : * OC = AO = 5 cm. Donc, la longueur de la diagonale [AC] est de 5 + 5 = 10 cm. * OB = OD = 3 cm. Donc, la longueur de la diagonale [BD] est de 3 + 3 = 6 cm. #### Exemple 3 : Angles Dans un parallélogramme IJKL, l'angle \( \widehat{LIJ} \) mesure 70°. * Puisque les angles opposés ont la même mesure : * L'angle \( \widehat{LKJ} \) (opposé à \( \widehat{LIJ} \)) mesure également 70°. * Puisque deux angles consécutifs sont supplémentaires : * L'angle \( \widehat{IJK} \) = \( 180^ ext{o} - 70^ ext{o} = 110^ ext{o} \). * L'angle \( \widehat{KLI} \) (opposé à \( \widehat{IJK} \)) mesure également 110°. ### Exercices 1. **Reconnaissance et Propriétés :** a. Dessine un quadrilatère MNPQ. Quelles conditions doit-il respecter pour être un parallélogramme ? b. Si MNPQ est un parallélogramme et MN = 6 cm, quelle est la longueur de PQ ? c. Si l'angle \( \widehat{NMQ} \) mesure 105°, quelle est la mesure de l'angle \( \widehat{NPQ} \) ? Et de l'angle \( \widehat{MNP} \) ? 2. **Vrai ou Faux :** * Dans un parallélogramme, tous les côtés sont de même longueur. (Vrai / Faux) * Les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu. (Vrai / Faux) * Les angles consécutifs d'un parallélogramme sont égaux. (Vrai / Faux) 3. **Construction :** * Construis un parallélogramme RSTU tel que RS = 5 cm, ST = 3 cm et l'angle \( \widehat{RST} \) = 60°. * Trace ses diagonales et nomme leur point d'intersection V. Que peux-tu dire de ce point V ? ### Devoirs 1. **Problème :** Soit un parallélogramme KLMN. Les diagonales [KM] et [LN] se coupent au point P. On donne LP = 4,5 cm et KP = 6 cm. * Quelle est la longueur de la diagonale [LN] ? * Quelle est la longueur de la diagonale [KM] ? 2. **Réflexion :** * Pourquoi un carré est-il un cas particulier de parallélogramme ? Explique en te basant sur les propriétés que nous avons étudiées. 3. **Dessin :** * Dessine un parallélogramme dont un côté mesure 8 cm et un autre côté mesure 5 cm. Indique les mesures des angles si l'un d'eux est de 120°. ### Résumé Pour conclure, un **parallélogramme** est un quadrilatère spécial avec des propriétés très importantes : * **Côtés opposés** : Ils sont parallèles et ont la même longueur. * **Diagonales** : Elles se coupent en leur milieu, qui est le centre de symétrie du parallélogramme. * **Angles opposés** : Ils ont la même mesure. Les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme est 180°). Ces règles vous aideront à reconnaître les parallélogrammes et à résoudre des problèmes de géométrie les concernant. Entraînez-vous bien pour maîtriser ces concepts ! ## Tableau de proportionnalité - Coefficients de proportionnalité ; ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur la proportionnalité ! Dans de nombreuses situations de la vie courante, des quantités sont liées de manière très simple. Par exemple, si tu achètes deux fois plus de pommes, tu paies deux fois plus cher. C'est ce qu'on appelle une situation de proportionnalité. Aujourd'hui, nous allons apprendre à organiser ces informations dans des tableaux et à trouver un nombre magique appelé le "coefficient de proportionnalité" qui nous aidera à faire des calculs rapidement. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une situation de proportionnalité ? Une situation est dite de proportionnalité lorsque deux grandeurs varient de la même manière. Si l'une est multipliée par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. * Exemple : Le prix d'un produit est proportionnel à la quantité achetée (si le prix unitaire est fixe). * Exemple : La distance parcourue à vitesse constante est proportionnelle au temps de parcours. #### Qu'est-ce qu'un tableau de proportionnalité ? Un tableau de proportionnalité est un tableau qui permet d'organiser les données d'une situation de proportionnalité. Il a généralement deux lignes (ou deux colonnes) qui représentent les deux grandeurs en jeu. ``` | Grandeur 1 | valeur 1a | valeur 1b | valeur 1c | |------------|-----------|-----------|-----------| | Grandeur 2 | valeur 2a | valeur 2b | valeur 2c | ``` Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre. C'est ce nombre qu'on appelle le coefficient de proportionnalité. #### Le Coefficient de proportionnalité Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs d'une ligne (ou d'une colonne) pour obtenir les valeurs de l'autre ligne (ou colonne). * **Comment le trouver ?** * Si tu as une paire de valeurs correspondantes \((A, B)\), où \(A\) est une valeur de la première grandeur et \(B\) est la valeur correspondante de la deuxième grandeur. * Le coefficient de proportionnalité \(k\) de la première ligne vers la deuxième ligne est donné par la formule : \[ k = \frac{\text{Valeur de la 2ème grandeur}}{\text{Valeur de la 1ère grandeur}} = \frac{B}{A} \] * De même, le coefficient de la deuxième ligne vers la première est \( \frac{A}{B} \). * **Utilisation du coefficient :** * Une fois que tu as trouvé le coefficient \(k\), tu peux l'utiliser pour trouver n'importe quelle valeur manquante dans le tableau. * Pour passer de la 1ère ligne à la 2ème ligne : multiplie par \(k\). * Pour passer de la 2ème ligne à la 1ère ligne : divise par \(k\) (ou multiplie par \( \frac{1}{k} \)). ### Vocabulaire * **Proportionnalité :** Relation entre deux grandeurs où l'on passe de l'une à l'autre par multiplication ou division par un même nombre. * **Tableau de proportionnalité :** Tableau qui organise des données en situation de proportionnalité. * **Coefficient de proportionnalité :** Le nombre fixe par lequel on multiplie les valeurs d'une ligne (ou colonne) pour obtenir les valeurs de l'autre ligne (ou colonne) dans un tableau de proportionnalité. ### Exemples #### Exemple 1 : Le prix des pommes Un commerçant vend des pommes à 2 € le kilogramme. | Quantité de pommes (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | ? | |-------------------------|---|---|---|---|---| | Prix (€) | 2 | 4 | 6 | ? | 12 | 1. **Le coefficient de proportionnalité :** * Pour 1 kg, le prix est 2 €. Donc \(k = \frac{2}{1} = 2\). * Le coefficient de proportionnalité est 2. Cela signifie que le prix est toujours 2 fois la quantité. 2. **Compléter le tableau :** * Pour 5 kg : Prix = \(5 \times 2 = 10\) €. * Si le prix est 12 € : Quantité = \(12 \div 2 = 6\) kg. Le tableau complété : | Quantité de pommes (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | |-------------------------|---|---|---|---|---| | Prix (€) | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 | #### Exemple 2 : Recette de gâteau Pour faire un gâteau pour 4 personnes, il faut 200g de farine. | Nombre de personnes | 4 | 8 | 2 | ? | |--------------------|-----|-----|-----|-----| | Farine (g) | 200 | ? | ? | 300 | 1. **Le coefficient de proportionnalité :** * Pour 4 personnes, il faut 200g de farine. Donc \(k = \frac{200}{4} = 50\). * Le coefficient est 50. Cela signifie que pour chaque personne, il faut 50g de farine. 2. **Compléter le tableau :** * Pour 8 personnes : Farine = \(8 \times 50 = 400\) g. * Pour 2 personnes : Farine = \(2 \times 50 = 100\) g. * Pour 300g de farine : Nombre de personnes = \(300 \div 50 = 6\) personnes. Le tableau complété : | Nombre de personnes | 4 | 8 | 2 | 6 | |--------------------|-----|-----|-----|-----| | Farine (g) | 200 | 400 | 100 | 300 | ### Exercices 1. Indique si les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. Justifie ta réponse. a. ``` | Nombre d'œufs | 3 | 6 | 9 | |---------------|----|----|-----| | Prix (€) | 1 | 2 | 3 | ``` b. ``` | Âge (ans) | 5 | 10 | 15 | |---------------|----|----|-----| | Taille (cm) | 90 | 130| 160 | ``` 2. Trouve le coefficient de proportionnalité et complète le tableau : ``` | Paquets de bonbons | 2 | 4 | 6 | ? | |--------------------|-----|-----|-----|-----| | Nombre de bonbons | 20 | ? | ? | 70 | ``` ### Devoir 1. Un robinet qui fuit perd 3 litres d'eau en 1 heure. a. Construis un tableau de proportionnalité montrant la quantité d'eau perdue en 1, 2, 3, 5 et 10 heures. b. Quel est le coefficient de proportionnalité de ce tableau ? c. Combien de litres d'eau seront perdus en une demi-journée (12 heures) ? d. En combien de temps le robinet aura-t-il perdu 27 litres d'eau ? 2. Un automobiliste roule à une vitesse constante de 80 km/h. a. Construis un tableau de proportionnalité qui met en relation le temps de parcours (en heures) et la distance parcourue (en km). b. Complète le tableau pour des temps de 0.5 h, 1 h, 1.5 h, 2 h, 3 h. c. Quelle distance aura-t-il parcourue en 4 heures et 30 minutes ? ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui que la **proportionnalité** est une relation spéciale entre deux grandeurs où l'on passe de l'une à l'autre par une multiplication (ou division) constante. Nous avons découvert comment organiser ces informations dans un **tableau de proportionnalité** et surtout comment trouver le **coefficient de proportionnalité**. Ce coefficient est un outil très puissant car il nous permet de calculer facilement des valeurs manquantes dans une situation de proportionnalité, simplement en multipliant ou en divisant. C'est une compétence très utile pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et dans la vie de tous les jours ! ## Quatrième proportionnelle. ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la **quatrième proportionnelle** ! Dans la vie de tous les jours, nous rencontrons souvent des situations où des quantités sont liées de manière proportionnelle. Par exemple, si vous savez combien coûte un certain poids de fruits, vous pouvez calculer le coût d'un poids différent de ces mêmes fruits. La quatrième proportionnelle est un outil mathématique qui nous permet de trouver une valeur manquante dans une relation de proportionnalité. C'est une compétence très utile pour résoudre des problèmes pratiques ! ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la proportionnalité ? Deux quantités sont dites **proportionnelles** si, lorsque l'on multiplie (ou divise) l'une par un nombre, l'autre est multipliée (ou divisée) par le même nombre. On peut représenter cette relation dans un tableau. * **Tableau de proportionnalité :** C'est un tableau à deux lignes (ou colonnes) où les nombres de la deuxième ligne sont obtenus en multipliant les nombres correspondants de la première ligne par un même nombre, appelé **coefficient de proportionnalité**. *Exemple :* | Nombre d'œufs | Prix (€) | |:-------------:|:--------:| | 2 | 1 | | 4 | 2 | | 6 | 3 | Ici, le coefficient de proportionnalité est \( 0.5 \) (car \( 1 \div 2 = 0.5 \), \( 2 \div 4 = 0.5 \), etc.). #### La Quatrième Proportionnelle La **quatrième proportionnelle** est le quatrième terme d'un tableau de proportionnalité (ou d'une égalité de rapports) lorsque les trois autres termes sont connus. C'est la valeur que nous cherchons pour compléter la proportion. ##### Méthodes pour trouver la Quatrième Proportionnelle Il existe plusieurs méthodes pour trouver la quatrième proportionnelle. Nous allons en voir deux principales : 1. **Le passage à l'unité (avec le coefficient de proportionnalité)** Cette méthode consiste à trouver la valeur pour une unité (par exemple, le prix pour 1 kg, ou la quantité pour 1 personne), puis à multiplier cette valeur par la quantité désirée. * **Étape 1 :** Calculer le coefficient de proportionnalité ou la valeur pour une unité. * **Étape 2 :** Utiliser ce coefficient ou cette valeur unitaire pour trouver la quantité manquante. 2. **Les produits en croix (ou Règle de trois)** Cette méthode est très efficace quand on a un tableau de proportionnalité à compléter. Elle est basée sur le fait que dans un tableau de proportionnalité, les produits des termes en diagonale sont égaux. Si vous avez un tableau comme celui-ci : | a | c | |:---:|:---:| | b | x | Alors, les produits en croix sont égaux : \( a \times x = b \times c \). Pour trouver \( x \), on utilise la formule : \[ x = \frac{b \times c}{a} \] ### Vocabulaire * **Proportionnalité :** Relation entre deux quantités où l'une est un multiple constant de l'autre. * **Tableau de proportionnalité :** Tableau représentant une situation de proportionnalité. * **Coefficient de proportionnalité :** Le nombre par lequel on multiplie les valeurs d'une ligne (ou colonne) pour obtenir les valeurs de l'autre ligne (ou colonne). * **Quatrième proportionnelle :** Le terme inconnu que l'on cherche dans une situation de proportionnalité à trois termes connus. * **Produits en croix :** Méthode de calcul basée sur l'égalité des produits des termes en diagonale dans un tableau de proportionnalité. ### Exemples #### Exemple 1 : Recette de cuisine (Passage à l'unité) Pour faire un gâteau pour 4 personnes, il faut 200g de farine. Combien de farine faut-il pour 6 personnes ? * **Étape 1 :** Calculer la quantité de farine pour 1 personne. \( 200 \text{g} \div 4 \text{ personnes} = 50 \text{g/personne} \) * **Étape 2 :** Multiplier par le nombre de personnes souhaité. \( 50 \text{g/personne} \times 6 \text{ personnes} = 300 \text{g} \) Il faut donc 300g de farine pour 6 personnes. #### Exemple 2 : Prix des fruits (Produits en croix) Si 3 kg de pommes coûtent 4,50 €, combien coûteront 5 kg de pommes ? Nous pouvons organiser cela dans un tableau : | Poids (kg) | Prix (€) | |:----------:|:--------:| | 3 | 4,5 | | 5 | x | En utilisant les produits en croix : \( 3 \times x = 5 \times 4,5 \) \( 3x = 22,5 \) \( x = \frac{22,5}{3} \) \( x = 7,5 \) Donc, 5 kg de pommes coûteront 7,50 €. ### Exercices 1. Un paquet de 6 stylos coûte 9 €. Combien coûtent 4 stylos du même type ? 2. Complétez le tableau de proportionnalité suivant : | Quantité de jus (L) | Prix (€) | |:-------------------:|:--------:| | 2 | 3 | | 8 | ? | 3. Un escargot se déplace à une vitesse constante. Il parcourt 12 cm en 3 minutes. Quelle distance parcourra-t-il en 5 minutes ? ### Devoir à la maison 1. Pour faire 10 crêpes, il faut 250g de farine. Quelle quantité de farine faut-il pour faire 15 crêpes ? 2. Un automobiliste consomme 6 litres d'essence pour parcourir 100 km. Quelle quantité d'essence lui faudra-t-il pour parcourir 250 km ? 3. Le tableau ci-dessous indique le nombre d'heures travaillées et le salaire correspondant. | Heures travaillées | Salaire (€) | |:------------------:|:-----------:| | 7 | 105 | | 12 | ? | Quel est le salaire pour 12 heures travaillées ? ### Résumé Félicitations ! Vous avez appris à calculer la **quatrième proportionnelle**. C'est une compétence essentielle pour résoudre des problèmes de proportionnalité. Retenez bien ces points clés : * La proportionnalité est une relation où les quantités sont liées par un même **coefficient**. * La **quatrième proportionnelle** est la valeur manquante dans une relation de proportionnalité. * On peut la trouver en utilisant le **passage à l'unité** ou la méthode des **produits en croix** (\( x = \frac{b \times c}{a} \)). Continuez à pratiquer, et vous deviendrez un expert de la proportionnalité ! ## Pourcentage, échelle. ### Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Dans ce chapitre, nous allons découvrir deux outils très utiles en mathématiques et dans la vie de tous les jours : le pourcentage et l'échelle. Que ce soit pour comprendre les promotions en magasin, lire une carte routière, ou même construire une maquette, ces notions sont partout. Prêts à explorer comment les maîtriser ? ### I. Le Pourcentage #### A. Qu'est-ce qu'un pourcentage ? Le pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction par rapport à 100. C'est comme si on divisait un tout en 100 parts égales. Le symbole utilisé est \( \% \). * \( 50\% \) signifie 50 sur 100, ou la moitié. * \( 25\% \) signifie 25 sur 100, ou le quart. * \( 100\% \) signifie 100 sur 100, ou la totalité. Un pourcentage peut s'écrire comme une fraction dont le dénominateur est 100. Par exemple, \( 30\% = \frac{30}{100} \). #### B. Calculer un pourcentage d'une quantité Pour calculer \( x\% \) d'une quantité donnée, on multiplie cette quantité par la fraction \( \frac{x}{100} \). * **Règle :** Pour calculer \( x\% \) d'un nombre \( N \), on fait : \[ \text{Partie} = N \times \frac{x}{100} \] * **Exemple :** Calculer \( 20\% \) de \( 150 \) €. C'est comme prendre \( \frac{20}{100} \) de \( 150 \) €. \[ 150 \times \frac{20}{100} = 150 \times 0,20 = 30 \] Donc, \( 20\% \) de \( 150 \) €, c'est \( 30 \) €. #### C. Exprimer une proportion en pourcentage Si on connaît une partie et le total, on peut exprimer cette partie en pourcentage du total. * **Règle :** Pour exprimer une partie \( P \) d'un total \( T \) en pourcentage, on fait : \[ \text{Pourcentage} = \frac{\text{Partie}}{\text{Total}} \times 100 \] * **Exemple :** Dans une classe de \( 20 \) élèves, \( 8 \) sont des filles. Quel est le pourcentage de filles ? \[ \frac{8}{20} \times 100 = 0,4 \times 100 = 40 \] Il y a donc \( 40\% \) de filles dans la classe. ### II. L'Échelle #### A. Qu'est-ce qu'une échelle ? L'échelle est un rapport entre une distance sur un plan (une carte, un dessin, une maquette) et la distance réelle correspondante. Elle indique de combien de fois la réalité a été réduite (ou agrandie) pour être représentée. Une échelle est souvent écrite sous la forme \( 1:X \) ou \( \frac{1}{X} \). Cela signifie que 1 unité sur le plan représente \( X \) unités dans la réalité. Les unités doivent être les mêmes ! * **Exemple :** Une échelle \( 1:100 \) signifie que \( 1 \text{ cm} \) sur le plan représente \( 100 \text{ cm} \) (soit \( 1 \text{ m} \)) dans la réalité. #### B. Calculer une distance réelle avec une échelle Si vous connaissez la distance sur le plan et l'échelle, vous pouvez trouver la distance réelle. * **Règle :** Pour trouver la distance réelle, on multiplie la distance sur le plan par le dénominateur de l'échelle. \[ \text{Distance réelle} = \text{Distance sur le plan} \times \text{Dénominateur de l'échelle} \] * **Exemple :** Sur une carte à l'échelle \( 1:25 ext{ }000 \), la distance entre deux points est de \( 3 \text{ cm} \). Quelle est la distance réelle ? \[ 3 \text{ cm} \times 25 ext{ }000 = 75 ext{ }000 \text{ cm} \] Comme \( 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \) et \( 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \) : \( 75 ext{ }000 \text{ cm} = 750 \text{ m} = 0,75 \text{ km} \). La distance réelle est \( 750 \text{ m} \) ou \( 0,75 \text{ km} \). #### C. Calculer une distance sur le plan avec une échelle Si vous connaissez la distance réelle et l'échelle, vous pouvez trouver la distance sur le plan. * **Règle :** Pour trouver la distance sur le plan, on divise la distance réelle par le dénominateur de l'échelle. (N'oubliez pas de convertir les unités pour qu'elles soient les mêmes !) \[ \text{Distance sur le plan} = \frac{\text{Distance réelle}}{\text{Dénominateur de l'échelle}} \] * **Exemple :** Une clôture mesure \( 12 \text{ m} \) de long. Quelle sera sa longueur sur un plan à l'échelle \( 1:200 \) ? Convertissons la distance réelle en cm : \( 12 \text{ m} = 1200 \text{ cm} \). \[ \frac{1200 \text{ cm}}{200} = 6 \text{ cm} \] Sur le plan, la clôture mesurera \( 6 \text{ cm} \). #### D. Calculer l'échelle Si vous connaissez la distance sur le plan et la distance réelle, vous pouvez trouver l'échelle. * **Règle :** L'échelle est le rapport \( \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}} \). Il faut ensuite simplifier cette fraction pour qu'elle ait 1 au numérateur (\( 1:X \)). Assurez-vous que les deux distances sont dans la même unité ! \[ \text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}} \] * **Exemple :** Une route de \( 5 \text{ km} \) est représentée par \( 10 \text{ cm} \) sur une carte. Quelle est l'échelle de la carte ? Convertissons \( 5 \text{ km} \) en cm : \( 5 \text{ km} = 5000 \text{ m} = 500 ext{ }000 \text{ cm} \). \[ \text{Échelle} = \frac{10 \text{ cm}}{500 ext{ }000 \text{ cm}} = \frac{1}{50 ext{ }000} \] L'échelle de la carte est \( 1:50 ext{ }000 \). ### III. Vocabulaire * **Pourcentage :** Une façon d'exprimer une proportion sur 100. (Ex: \( 25\% \)) * **Proportion :** Une partie d'un tout. * **Échelle :** Un rapport qui lie les dimensions sur un plan aux dimensions réelles. * **Distance réelle :** La vraie mesure dans la réalité. * **Distance sur le plan/carte/modèle :** La mesure représentée sur un support réduit ou agrandi. * **Dénominateur de l'échelle :** Le nombre \( X \) dans une échelle \( 1:X \). * **Réduction :** Diminution de taille (c'est le cas le plus fréquent pour les cartes et plans). * **Agrandissement :** Augmentation de taille (rare pour les cartes, mais utilisé en biologie pour les microscopes). ### IV. Exemples pratiques #### Exemples de pourcentages 1. **Réduction en magasin :** Un pull coûte \( 40 \) €. Il est soldé avec une réduction de \( 15\% \). Combien économisez-vous et quel est le nouveau prix ? * Économie : \( 40 \times \frac{15}{100} = 40 \times 0,15 = 6 \) €. * Nouveau prix : \( 40 - 6 = 34 \) €. 2. **Statistiques :** Sur \( 200 \) arbres dans un parc, \( 80 \) sont des chênes. Quel pourcentage de chênes cela représente-t-il ? * Pourcentage : \( \frac{80}{200} \times 100 = 0,4 \times 100 = 40 \) %. Il y a \( 40\% \) de chênes. #### Exemples d'échelles 1. **Carte routière :** Sur une carte à l'échelle \( 1:50 ext{ }000 \), la distance entre le village A et le village B est de \( 6 \text{ cm} \). Quelle est la distance réelle en kilomètres ? * Distance réelle en cm : \( 6 \text{ cm} \times 50 ext{ }000 = 300 ext{ }000 \text{ cm} \). * Conversion en km : \( 300 ext{ }000 \text{ cm} = 3000 \text{ m} = 3 \text{ km} \). La distance réelle est de \( 3 \text{ km} \). 2. **Maquette de voiture :** Une voiture mesure \( 4,5 \text{ m} \) de long. Vous voulez construire une maquette à l'échelle \( 1:25 \). Quelle sera la longueur de la maquette en centimètres ? * Convertir la longueur réelle en cm : \( 4,5 \text{ m} = 450 \text{ cm} \). * Longueur de la maquette : \( \frac{450 \text{ cm}}{25} = 18 \text{ cm} \). La maquette aura une longueur de \( 18 \text{ cm} \). ### V. Exercices Réponds à ces questions pour vérifier ta compréhension : 1. Calculer \( 35\% \) de \( 200 \) billes. 2. Dans un pot de \( 50 \) bonbons, \( 15 \) sont à la menthe. Quel est le pourcentage de bonbons à la menthe ? 3. Un insecte mesure \( 2 \text{ cm} \) sur une photo agrandie à l'échelle \( 5:1 \) (ce qui signifie que 5 cm sur la photo représentent 1 cm dans la réalité). Quelle est sa taille réelle ? 4. Un terrain de football mesure \( 100 \text{ m} \) de long. Quelle serait sa longueur sur un plan à l'échelle \( 1:1000 \) ? (Donne la réponse en cm). 5. Une piscine de \( 10 \text{ m} \) de long est représentée par \( 20 \text{ cm} \) sur un dessin. Quelle est l'échelle de ce dessin ? ### VI. Devoirs à la maison Entraîne-toi avec ces exercices : 1. Une tablette coûte \( 250 \) €. Pendant les soldes, son prix diminue de \( 10\% \). Quel est le nouveau prix de la tablette ? 2. Dans une classe, sur \( 28 \) élèves, \( 7 \) font du théâtre. Quel pourcentage d'élèves ne font PAS de théâtre ? 3. Sur un plan de ville à l'échelle \( 1:15 ext{ }000 \), une rue mesure \( 8 \text{ cm} \). Quelle est la longueur réelle de cette rue en mètres ? 4. La Tour Eiffel mesure environ \( 324 \text{ m} \) de hauteur. Quelle serait sa hauteur sur une maquette construite à l'échelle \( 1:1000 \) ? (Donne la réponse en cm). 5. Un dessin représente un arbre de \( 8 \text{ m} \) de haut par un trait de \( 16 \text{ cm} \). Quelle est l'échelle de ce dessin ? ### VII. Résumé * **Le pourcentage** est une fraction sur 100. Il nous permet d'exprimer une partie d'un tout. Pour calculer \( x\% \) d'un nombre, on multiplie ce nombre par \( \frac{x}{100} \). * **L'échelle** est un rapport entre une distance sur un plan et la distance réelle. Une échelle \( 1:X \) signifie que \( 1 \) unité sur le plan représente \( X \) unités dans la réalité. Il est crucial de toujours utiliser les mêmes unités lors des calculs d'échelle !