Chap9: Triangles

# Chap9: Triangles ## Vocabulaire : sommets, angles, côtés - Triangles particuliers ### Vocabulaire : sommets, angles, côtés - Triangles particuliers #### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les triangles ! Le triangle est l'une des formes géométriques les plus importantes et les plus courantes que l'on retrouve partout autour de nous. Dans ce cours, nous allons apprendre à identifier les différentes parties d'un triangle et à découvrir certains triangles "particuliers" qui ont des propriétés très intéressantes. #### Concepts Clés ##### Qu'est-ce qu'un triangle ? Un triangle est un polygone qui possède : * **Trois côtés** (segments de droite) * **Trois sommets** (points où les côtés se rencontrent) * **Trois angles** (ouverts formés par deux côtés qui se rejoignent à un sommet) On nomme un triangle en utilisant le nom de ses trois sommets. Par exemple, un triangle dont les sommets sont A, B et C est appelé triangle ABC. ##### Les éléments d'un triangle Considérons le triangle ABC : * **Sommets :** Ce sont les points A, B et C. * **Côtés :** Ce sont les segments [AB], [BC] et [CA]. La longueur d'un côté est souvent notée avec la lettre minuscule du sommet opposé (par exemple, le côté [BC] peut être noté `a`). * **Angles :** Ce sont les angles * \( \widehat{BAC} \) (ou \( \widehat{A} \) ), * \( \widehat{ABC} \) (ou \( \widehat{B} \) ), * \( \widehat{BCA} \) (ou \( \widehat{C} \) ). Une propriété fondamentale à retenir est que : La somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à \(180^\circ\). \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \] ##### Les triangles particuliers Certains triangles ont des propriétés spéciales et portent des noms spécifiques. ###### Le triangle isocèle * **Définition :** Un triangle isocèle est un triangle qui possède **deux côtés de même longueur**. * **Propriétés :** * Les deux angles opposés aux côtés de même longueur sont de même mesure. * Le sommet où se rejoignent les deux côtés de même longueur s'appelle le **sommet principal**. Le côté opposé au sommet principal est appelé la **base**. Exemple : Si le triangle ABC est isocèle en A (cela signifie que les côtés [AB] et [AC] sont de même longueur), alors les angles \( \widehat{ABC} \) et \( \widehat{ACB} \) sont égaux. ###### Le triangle équilatéral * **Définition :** Un triangle équilatéral est un triangle qui possède **trois côtés de même longueur**. * **Propriétés :** * Tous ses angles sont de même mesure. * Puisque la somme des angles est \(180^\circ\), chaque angle d'un triangle équilatéral mesure \( \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \). ###### Le triangle rectangle * **Définition :** Un triangle rectangle est un triangle qui possède **un angle droit** (un angle de \(90^\circ\)). * **Propriétés :** * Le côté opposé à l'angle droit est le plus long côté du triangle. Il s'appelle l'**hypoténuse**. Exemple : Si le triangle DEF est rectangle en E, alors l'angle \( \widehat{DEF} \) mesure \(90^\circ\), et le côté [DF] est l'hypoténuse. #### Vocabulaire * **Triangle :** Figure géométrique à trois côtés, trois sommets et trois angles. * **Sommet :** Point où deux côtés d'un triangle se rencontrent. * **Côté :** Segment de droite qui forme la bordure d'un triangle. * **Angle :** Ouverture formée par deux côtés d'un triangle se rencontrant à un sommet. * **Triangle isocèle :** Triangle ayant deux côtés de même longueur et deux angles de même mesure. * **Sommet principal :** Le sommet d'un triangle isocèle où se rejoignent les deux côtés égaux. * **Base :** Le côté opposé au sommet principal dans un triangle isocèle. * **Triangle équilatéral :** Triangle ayant trois côtés de même longueur et trois angles de \(60^\circ\). * **Triangle rectangle :** Triangle ayant un angle droit (\(90^\circ\)). * **Hypoténuse :** Le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit. #### Exemples 1. **Identifier les éléments d'un triangle :** Soit un triangle MNP. * Les sommets sont M, N, P. * Les côtés sont [MN], [NP], [PM]. * Les angles sont \( \widehat{NMP} \), \( \widehat{MNP} \), \( \widehat{NPM} \). 2. **Classer un triangle :** * Un triangle avec des côtés de 5 cm, 5 cm et 7 cm est un **triangle isocèle**. * Un triangle avec des angles de \(90^\circ\), \(30^\circ\) et \(60^\circ\) est un **triangle rectangle**. * Un triangle avec des côtés de 4 cm, 4 cm et 4 cm est un **triangle équilatéral**. 3. **Calculer un angle manquant :** Dans un triangle ABC, si \( \widehat{A} = 70^\circ \) et \( \widehat{B} = 50^\circ \), quelle est la mesure de l'angle \( \widehat{C} \) ? Nous savons que \( \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \). Donc \( 70^\circ + 50^\circ + \widehat{C} = 180^\circ \). \( 120^\circ + \widehat{C} = 180^\circ \). \( \widehat{C} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). #### Exercices 1. Nommez les trois sommets, les trois côtés et les trois angles d'un triangle XYZ. 2. Dessinez un triangle et identifiez ses éléments. 3. Indiquez le type de triangle pour chaque description : a. Un triangle avec deux angles de \(45^\circ\) et un angle de \(90^\circ\). b. Un triangle dont tous les côtés mesurent 6 cm. c. Un triangle avec des côtés de 3 cm, 4 cm et 3 cm. 4. Dans un triangle DEF, si \( \widehat{D} = 40^\circ \) et \( \widehat{E} = 80^\circ \), calculez la mesure de l'angle \( \widehat{F} \). 5. Un triangle GHI est isocèle en G. Si \( \widehat{H} = 70^\circ \), quelle est la mesure de l'angle \( \widehat{I} \) ? Et celle de \( \widehat{G} \) ? #### Devoirs 1. Dessinez à la règle et au crayon : a. Un triangle isocèle non équilatéral. b. Un triangle rectangle qui n'est pas isocèle. c. Un triangle équilatéral de 5 cm de côté. 2. Pouvez-vous construire un triangle avec des angles de \(100^\circ\), \(30^\circ\) et \(60^\circ\) ? Justifiez votre réponse. 3. Un triangle JKL a un angle \( \widehat{J} = 90^\circ \) et un angle \( \widehat{K} = 45^\circ \). Que pouvez-vous dire de ce triangle ? Justifiez votre réponse. #### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que chaque triangle possède 3 sommets, 3 côtés et 3 angles, et que la somme de ses angles est toujours égale à \(180^\circ\). Nous avons découvert trois types de triangles particuliers : * Le **triangle isocèle** a deux côtés égaux et deux angles égaux. * Le **triangle équilatéral** a trois côtés égaux et trois angles de \(60^\circ\). * Le **triangle rectangle** a un angle droit (\(90^\circ\)) et son côté le plus long s'appelle l'hypoténuse. Ces connaissances sont la base pour comprendre des figures géométriques plus complexes à l'avenir ! ## Droites particulières d'un triangle : hauteur, médiane, bissectrice, médiatrice d'un côté ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer des droites très spéciales que l'on peut tracer à l'intérieur ou autour d'un triangle. Ces droites ont des propriétés uniques et sont très utiles en géométrie. Nous allons découvrir la médiatrice, la hauteur, la médiane et la bissectrice d'un triangle. ### Concepts Clés #### 1. La médiatrice d'un segment (ou d'un côté d'un triangle) La médiatrice d'un segment est une droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Pour un côté d'un triangle, la médiatrice est la droite perpendiculaire à ce côté qui passe par le milieu de ce côté. * **Propriété importante :** Tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment. * **Point de rencontre :** Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un point unique appelé le **centre du cercle circonscrit** au triangle. Ce point est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. #### 2. La hauteur d'un triangle Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Chaque triangle a trois hauteurs. * **Côté opposé :** On appelle le côté opposé à un sommet la **base** de la hauteur correspondante. * **Point de rencontre :** Les trois hauteurs d'un triangle (ou leurs prolongements) se coupent en un point unique appelé l'**orthocentre** du triangle. #### 3. La médiane d'un triangle Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Chaque triangle a trois médianes. * **Propriété :** La médiane partage le triangle en deux triangles de même aire. * **Point de rencontre :** Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point unique appelé le **centre de gravité** (ou isobarycentre) du triangle. Ce point est aussi le point d'équilibre du triangle si on le découpait dans une matière uniforme. #### 4. La bissectrice d'un angle d'un triangle Une bissectrice d'un angle d'un triangle est une droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Chaque triangle a trois bissectrices (une par angle). * **Propriété importante :** Tout point de la bissectrice est équidistant des deux côtés de l'angle. * **Point de rencontre :** Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point unique appelé le **centre du cercle inscrit** au triangle. Ce point est le centre du cercle qui est tangent aux trois côtés du triangle. ### Vocabulaire * **Médiatrice :** Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. * **Hauteur :** Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. * **Médiane :** Droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé. * **Bissectrice :** Droite qui coupe un angle en deux angles égaux. * **Orthocentre :** Point de concours des hauteurs. * **Centre de gravité (ou isobarycentre) :** Point de concours des médianes. * **Centre du cercle circonscrit :** Point de concours des médiatrices. C'est le centre du cercle qui passe par les trois sommets. * **Centre du cercle inscrit :** Point de concours des bissectrices. C'est le centre du cercle tangent aux trois côtés. * **Sommet :** Point où se rejoignent deux côtés d'un triangle. * **Côté opposé :** Le côté du triangle qui ne touche pas un sommet donné. * **Milieu d'un segment :** Le point qui divise un segment en deux parties de même longueur. * **Perpendiculaire :** Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit (90 degrés). * **Équidistant :** À égale distance. ### Exemples #### Exemple 1 : Tracer une médiatrice Pour tracer la médiatrice du côté \( [BC] \) d'un triangle \( ABC \) : 1. Mesure la longueur du segment \( [BC] \) et trouve son milieu \( M \). 2. Trace une droite qui passe par \( M \) et qui est perpendiculaire à \( [BC] \). #### Exemple 2 : Tracer une hauteur Pour tracer la hauteur issue de \( A \) dans le triangle \( ABC \) : 1. Pose l'équerre le long du côté \( [BC] \). 2. Fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par le sommet \( A \). 3. Trace la droite qui va de \( A \) au côté \( [BC] \) (ou son prolongement) en formant un angle droit. #### Exemple 3 : Tracer une médiane Pour tracer la médiane issue de \( A \) dans le triangle \( ABC \) : 1. Trouve le milieu \( M \) du côté \( [BC] \). 2. Trace la droite qui relie le sommet \( A \) au point \( M \). #### Exemple 4 : Tracer une bissectrice Pour tracer la bissectrice de l'angle \( \widehat{BAC} \) : 1. Prends un compas, pointe-le sur \( A \) et trace un arc qui coupe les deux côtés de l'angle (\( [AB] \) et \( [AC] \)). Appelle les points d'intersection \( D \) et \( E \). 2. Pointe le compas sur \( D \) et trace un arc à l'intérieur de l'angle. 3. Avec la même ouverture de compas, pointe sur \( E \) et trace un autre arc qui coupe le précédent. Appelle ce point d'intersection \( F \). 4. Trace la droite qui relie \( A \) à \( F \). C'est la bissectrice de l'angle \( \widehat{BAC} \). ### Exercices 1. Dans un cahier, trace un triangle \( DEF \) quelconque. * Trace les trois médiatrices de ce triangle. Que constates-tu sur leur point de rencontre ? * Trace les trois hauteurs de ce triangle. Que constates-tu sur leur point de rencontre ? * Trace les trois médianes de ce triangle. Que constates-tu sur leur point de rencontre ? * Trace les trois bissectrices de ce triangle. Que constates-tu sur leur point de rencontre ? 2. Définis avec tes propres mots chacun des termes suivants : médiatrice, hauteur, médiane, bissectrice. 3. Vrai ou Faux ? Justifie tes réponses. * La médiatrice d'un côté d'un triangle passe toujours par un sommet du triangle. * L'orthocentre d'un triangle est le point où se coupent les bissectrices. * Le centre de gravité est le point d'équilibre du triangle. ### Devoirs 1. Sur une feuille à part, dessine trois triangles différents : un triangle acutangle (tous les angles sont aigus), un triangle obtusangle (un angle est obtus) et un triangle rectangle (un angle est droit). 2. Pour chacun de ces triangles, trace : * Les trois médiatrices et leur point de concours. * Les trois hauteurs et leur point de concours. * Les trois médianes et leur point de concours. * Les trois bissectrices et leur point de concours. 3. Observe la position des points de concours (orthocentre, centre de gravité, centres des cercles) par rapport au type de triangle. Écris tes observations. ### Résumé Nous avons découvert quatre droites importantes dans un triangle : * La **médiatrice** d'un côté est perpendiculaire au côté et passe par son milieu. Les trois médiatrices se coupent au **centre du cercle circonscrit**. * La **hauteur** passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs se coupent à l'**orthocentre**. * La **médiane** passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au **centre de gravité**. * La **bissectrice** coupe un angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices se coupent au **centre du cercle inscrit**. Chacune de ces droites a des propriétés spécifiques et leurs points de rencontre sont des points remarquables du triangle, chacun ayant un rôle particulier en géométrie. ## Périmètre et aire. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les triangles ! Aujourd'hui, nous allons apprendre à calculer deux mesures très importantes pour n'importe quelle forme géométrique, y compris les triangles : le **périmètre** et l'**aire**. Comprendre ces concepts nous aidera à mesurer des objets autour de nous et à résoudre des problèmes pratiques. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un triangle ? Un triangle est une figure plane qui possède trois côtés et trois sommets (les points où les côtés se rencontrent). C'est l'une des formes géométriques les plus simples et les plus fondamentales. #### Le Périmètre d'un triangle Le périmètre d'un triangle est la **longueur totale de son contour**. C'est comme faire le tour du triangle avec un fil et mesurer la longueur de ce fil. * **Comment le calculer ?** Pour trouver le périmètre, il suffit d'additionner les longueurs de ses trois côtés. * **Formule :** Si un triangle a des côtés de longueurs \( a \), \( b \) et \( c \), son périmètre \( P \) est : \[ P = a + b + c \] * **Unités :** Le périmètre est une longueur, donc il s'exprime en unités de longueur : centimètres (cm), mètres (m), kilomètres (km), etc. #### L'Aire d'un triangle L'aire d'un triangle est la **mesure de la surface qu'il occupe**. C'est l'espace à l'intérieur du triangle. * **Comment la calculer ?** Pour calculer l'aire, nous avons besoin de deux informations : la longueur de sa **base** et sa **hauteur** correspondante. * **La base :** On peut choisir n'importe quel côté du triangle comme base. Sa longueur est souvent notée \( b \). * **La hauteur :** La hauteur (notée \( h \)) est le segment qui part d'un sommet et qui tombe **perpendiculairement** sur le côté opposé (ou son prolongement). La hauteur forme toujours un angle droit (90°) avec la base. * **Formule :** L'aire \( A \) d'un triangle est donnée par la formule : \[ A = \frac{base \times hauteur}{2} \] Ou, en utilisant les notations : \[ A = \frac{b \times h}{2} \] * **Unités :** L'aire est une surface, elle s'exprime en unités d'aire : centimètres carrés (\( cm^2 \)), mètres carrés (\( m^2 \)), kilomètres carrés (\( km^2 \)), etc. ### Vocabulaire * **Périmètre :** La longueur du contour d'une figure. * **Aire :** La mesure de la surface occupée par une figure. * **Triangle :** Figure géométrique à trois côtés et trois sommets. * **Côté :** Un segment qui forme le bord du triangle. * **Sommet :** Point où deux côtés du triangle se rencontrent. * **Base :** Un côté du triangle choisi pour le calcul de l'aire. * **Hauteur :** Le segment perpendiculaire à la base (ou à son prolongement) partant du sommet opposé. Elle est liée à la base par un angle droit. * **Perpendiculaire :** Qui forme un angle droit (90°) avec une autre ligne ou surface. * **Unité de longueur :** Mesure d'une distance (ex: cm, m). * **Unité d'aire :** Mesure d'une surface (ex: \( cm^2 \), \( m^2 \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Calculer le périmètre Un triangle a des côtés mesurant 6 cm, 8 cm et 10 cm. * **Calcul :** \( P = 6 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 24 \text{ cm} \) * **Réponse :** Le périmètre du triangle est de 24 cm. #### Exemple 2 : Calculer l'aire Un triangle a une base de 7 cm et une hauteur correspondante de 4 cm. * **Calcul :** \( A = \frac{7 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}}{2} = \frac{28 \text{ cm}^2}{2} = 14 \text{ cm}^2 \) * **Réponse :** L'aire du triangle est de 14 \( cm^2 \). #### Exemple 3 : Problème pratique Sarah veut mettre une guirlande lumineuse autour de sa fenêtre triangulaire. Les côtés de la fenêtre mesurent 90 cm, 120 cm et 150 cm. Quelle longueur de guirlande Sarah doit-elle acheter ? * **Analyse :** Il s'agit de trouver le périmètre. * **Calcul :** \( P = 90 \text{ cm} + 120 \text{ cm} + 150 \text{ cm} = 360 \text{ cm} \) * **Réponse :** Sarah doit acheter 360 cm (ou 3,60 m) de guirlande. ### Exercices 1. **Calcul du périmètre :** Calcule le périmètre d'un triangle dont les côtés mesurent : a) 5 cm, 7 cm et 9 cm. b) 3,5 m, 2,8 m et 4,1 m. 2. **Calcul de l'aire :** Calcule l'aire des triangles suivants : a) Base = 10 cm, Hauteur = 6 cm. b) Base = 12 m, Hauteur = 5 m. 3. **Trouver une dimension manquante :** Un triangle a une aire de 24 \( cm^2 \) et une base de 8 cm. Quelle est sa hauteur ? 4. **Unités :** Convertis le périmètre de l'exercice 1.b) en centimètres. Convertis l'aire de l'exercice 2.b) en \( cm^2 \). ### Devoirs 1. **Dessin et calcul :** Dessine un triangle avec des côtés de 4 cm, 6 cm et 7 cm. Calcule son périmètre. Est-il possible de dessiner sa hauteur si un côté de 6 cm est la base ? Pourquoi ? 2. **Problème d'aire :** Un agriculteur possède un champ triangulaire dont la base mesure 200 mètres et la hauteur 150 mètres. Quelle est la surface de son champ en \( m^2 \) ? Et en hectares (sachant qu'un hectare = 10 000 \( m^2 \)) ? 3. **Vrai ou Faux :** a) Le périmètre d'un triangle est toujours plus grand que son aire. b) Si on multiplie la base et la hauteur d'un triangle par 2, son aire est multipliée par 4. ### Résumé * Le **périmètre** d'un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés. Sa formule est \( P = a + b + c \) et il s'exprime en unités de longueur. * L'**aire** d'un triangle est la surface qu'il occupe. Sa formule est \( A = \frac{base \times hauteur}{2} \) et elle s'exprime en unités d'aire (au carré). La hauteur est toujours perpendiculaire à la base.