Ensemble IN des entiers naturels (suite et fin)

# Ensemble IN des entiers naturels (suite et fin) ## Multiple et diviseur d'un nombre entier naturel ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer deux concepts fondamentaux en mathématiques : les multiples et les diviseurs. Comprendre ces notions vous aidera à mieux manipuler les nombres et à résoudre de nombreux problèmes. Nous allons apprendre à les identifier et à utiliser des astuces pour savoir rapidement si un nombre en divise un autre. ### Concepts Clés #### 1. Les Multiples d'un nombre entier naturel ##### Définition Un **multiple** d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par un autre nombre entier naturel. En d'autres termes, si vous multipliez un nombre \( a \) par un nombre entier \( k \) (où \( k \) est 0, 1, 2, 3...), le résultat \( b \) est un multiple de \( a \). Formellement, \( b = a \times k \). ##### Comment trouver les multiples ? Pour trouver les multiples d'un nombre, il suffit de le multiplier successivement par 0, 1, 2, 3, 4, etc. * Les multiples de 3 sont : \( 3 \times 0 = 0 \), \( 3 \times 1 = 3 \), \( 3 \times 2 = 6 \), \( 3 \times 3 = 9 \), \( 3 \times 4 = 12 \), etc. Donc, 0, 3, 6, 9, 12... sont des multiples de 3. ##### Propriétés des multiples * Chaque nombre entier naturel a une infinité de multiples. * 0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels (car \( n \times 0 = 0 \)). * Tout nombre est un multiple de lui-même (car \( n \times 1 = n \)). #### 2. Les Diviseurs d'un nombre entier naturel ##### Définition Un **diviseur** d'un nombre entier naturel est un nombre qui divise ce nombre exactement, c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne est égal à 0. Si \( a \) est divisible par \( b \), alors \( b \) est un diviseur de \( a \). Formellement, si \( a \div b = q \) avec un reste de \( 0 \), alors \( b \) est un diviseur de \( a \). On peut aussi dire que \( a \) est un multiple de \( b \). ##### Comment trouver les diviseurs ? Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, on essaie de le diviser par tous les nombres entiers depuis 1 jusqu'à sa racine carrée (ou jusqu'à lui-même pour les petits nombres) et on recherche ceux qui donnent un reste de 0. Chaque fois qu'on trouve un diviseur, on trouve aussi un autre diviseur qui est le quotient. * Pour trouver les diviseurs de 12 : * \( 12 \div 1 = 12 \) (reste 0) : 1 et 12 sont des diviseurs. * \( 12 \div 2 = 6 \) (reste 0) : 2 et 6 sont des diviseurs. * \( 12 \div 3 = 4 \) (reste 0) : 3 et 4 sont des diviseurs. * \( 12 \div 4 = 3 \) (reste 0) : déjà trouvé. Les diviseurs de 12 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 12. ##### Propriétés des diviseurs * Chaque nombre entier naturel (sauf 0) a un nombre fini de diviseurs. * 1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels. * Tout nombre est un diviseur de lui-même. #### 3. Les Critères de Divisibilité Ce sont des règles qui permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division complète. * **Divisibilité par 2 :** Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (c'est un nombre pair). * **Divisibilité par 3 :** Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. * Exemple : 123. \( 1+2+3 = 6 \). Comme 6 est un multiple de 3, 123 est divisible par 3. * **Divisibilité par 5 :** Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. * **Divisibilité par 9 :** Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. * Exemple : 279. \( 2+7+9 = 18 \). Comme 18 est un multiple de 9, 279 est divisible par 9. * **Divisibilité par 10 :** Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0. ### Vocabulaire * **Multiple :** Résultat de la multiplication d'un nombre par un entier. (Ex: 15 est un multiple de 3). * **Diviseur :** Nombre qui divise un autre nombre exactement (sans reste). (Ex: 3 est un diviseur de 15). * **Divisible :** Se dit d'un nombre qu'on peut diviser par un autre sans reste. (Ex: 15 est divisible par 3). * **Reste :** Le nombre qui reste après une division euclidienne, s'il n'est pas nul. * **Critère de divisibilité :** Règle permettant de vérifier rapidement si un nombre est divisible par un autre. ### Exemples 1. **Trouver les multiples de 7 inférieurs à 40 :** \( 7 \times 0 = 0 \) \( 7 \times 1 = 7 \) \( 7 \times 2 = 14 \) \( 7 \times 3 = 21 \) \( 7 \times 4 = 28 \) \( 7 \times 5 = 35 \) \( 7 \times 6 = 42 \) (trop grand) Les multiples de 7 inférieurs à 40 sont : 0, 7, 14, 21, 28, 35. 2. **Trouver tous les diviseurs de 30 :** * \( 30 \div 1 = 30 \) : diviseurs (1, 30) * \( 30 \div 2 = 15 \) : diviseurs (2, 15) * \( 30 \div 3 = 10 \) : diviseurs (3, 10) * \( 30 \div 4 \) (pas entier) * \( 30 \div 5 = 6 \) : diviseurs (5, 6) * \( 30 \div 6 \) (déjà trouvé) Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 3. **Appliquer les critères de divisibilité pour le nombre 450 :** * **Par 2 ?** Oui, car il se termine par 0. * **Par 3 ?** Somme des chiffres \( 4+5+0 = 9 \). Oui, car 9 est un multiple de 3. * **Par 5 ?** Oui, car il se termine par 0. * **Par 9 ?** Somme des chiffres \( 4+5+0 = 9 \). Oui, car 9 est un multiple de 9. * **Par 10 ?** Oui, car il se termine par 0. Donc 450 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10. ### Exercices 1. Écris les cinq premiers multiples non nuls de 8. 2. Trouve tous les diviseurs de 24. 3. Parmi les nombres suivants : 15, 32, 45, 60, 100, lesquels sont : a) Des multiples de 5 ? b) Des diviseurs de 60 ? 4. En utilisant les critères de divisibilité, indique si le nombre 735 est divisible par 2, 3, 5, 9, 10. 5. Un fleuriste a 42 roses. Peut-il faire des bouquets de 3 roses sans qu'il n'en reste ? Et des bouquets de 5 roses ? ### Devoirs 1. Écris la liste des multiples de 6 compris entre 20 et 50. 2. Trouve tous les diviseurs de 36. 3. Donne trois nombres à la fois multiples de 2 et de 5. 4. Un bibliothécaire a reçu 120 nouveaux livres. Il veut les ranger sur des étagères contenant le même nombre de livres. Cite toutes les possibilités pour le nombre de livres par étagère (si chaque étagère doit contenir entre 10 et 30 livres). 5. Vrai ou Faux ? Justifie ta réponse. a) 15 est un diviseur de 5. b) 4 est un multiple de 12. c) Tout nombre qui se termine par 0 est divisible par 2, 5 et 10. d) La somme des chiffres de 81 est 9, donc 81 est divisible par 9 mais pas par 3. ### Résumé Nous avons appris que les **multiples** d'un nombre sont les résultats de sa multiplication par d'autres nombres entiers (\( a \times k \)). Ils sont infinis. Les **diviseurs** d'un nombre sont ceux qui le divisent exactement, sans reste. Ils sont en nombre fini. Nous avons aussi découvert des **critères de divisibilité** pratiques pour savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10. Ces concepts sont essentiels pour la suite de vos apprentissages en mathématiques. ## Critères de divisibilité par 10, 100, 1000 - Critère de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ### Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Aujourd'hui, nous allons découvrir des astuces très pratiques pour savoir rapidement si un nombre entier est "divisible" par un autre sans avoir à faire de longue division. Ces règles, appelées "critères de divisibilité", nous aident à mieux comprendre les nombres et à simplifier nos calculs. Nous allons explorer les critères de divisibilité par 10, 100, 1000, ainsi que par 2, 3, 5 et 9. ### Concepts Clés #### Divisibilité par 10, 100, 1000 Ces critères sont basés sur les chiffres situés à la fin du nombre. * ### Critère de divisibilité par 10 Un nombre est divisible par 10 si son **chiffre des unités** est 0. * Autrement dit, le nombre se termine par 0. * Exemples : 30, 120, 5600. * ### Critère de divisibilité par 100 Un nombre est divisible par 100 si ses **deux derniers chiffres** sont 00. * Autrement dit, le nombre se termine par 00. * Exemples : 200, 1500, 78000. * ### Critère de divisibilité par 1000 Un nombre est divisible par 1000 si ses **trois derniers chiffres** sont 000. * Autrement dit, le nombre se termine par 000. * Exemples : 4000, 23000, 1000000. #### Divisibilité par 2 * Un nombre est divisible par 2 si son **chiffre des unités** est 0, 2, 4, 6 ou 8. * On dit aussi que c'est un **nombre pair**. * Exemples : 14 (se termine par 4), 56 (se termine par 6), 128 (se termine par 8). #### Divisibilité par 5 * Un nombre est divisible par 5 si son **chiffre des unités** est 0 ou 5. * Exemples : 25 (se termine par 5), 70 (se termine par 0), 105 (se termine par 5). #### Divisibilité par 3 * Un nombre est divisible par 3 si la **somme de ses chiffres** est un multiple de 3. Un multiple de 3 est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \(3 \times k\) où \(k\) est un nombre entier (par exemple, 3, 6, 9, 12, etc.). * Exemples : * Pour 123 : la somme des chiffres est \(1+2+3=6\). Comme 6 est un multiple de 3 (\(3 imes 2 = 6\)), 123 est divisible par 3. * Pour 51 : la somme des chiffres est \(5+1=6\). Comme 6 est un multiple de 3, 51 est divisible par 3. #### Divisibilité par 9 * Un nombre est divisible par 9 si la **somme de ses chiffres** est un multiple de 9. Un multiple de 9 est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \(9 \times k\) où \(k\) est un nombre entier (par exemple, 9, 18, 27, etc.). * Exemples : * Pour 189 : la somme des chiffres est \(1+8+9=18\). Comme 18 est un multiple de 9 (\(9 imes 2 = 18\)), 189 est divisible par 9. * Pour 72 : la somme des chiffres est \(7+2=9\). Comme 9 est un multiple de 9, 72 est divisible par 9. ### Vocabulaire * **Divisible par** : On dit qu'un nombre \(A\) est divisible par un nombre \(B\) si la division de \(A\) par \(B\) donne un reste de 0. Par exemple, 10 est divisible par 2 car \(10 \div 2 = 5\) et le reste est 0. * **Multiple de** : Un nombre est un multiple d'un autre si on peut l'obtenir en multipliant ce dernier par un nombre entier. Si \(A\) est divisible par \(B\), alors \(A\) est un multiple de \(B\). Par exemple, 10 est un multiple de 2. * **Chiffre des unités** : Le chiffre le plus à droite d'un nombre entier (par exemple, dans 123, le chiffre des unités est 3). * **Somme des chiffres** : Le résultat obtenu en additionnant tous les chiffres qui composent un nombre (par exemple, la somme des chiffres de 123 est \(1+2+3=6\)). * **Nombre pair** : Un nombre entier qui est divisible par 2. * **Nombre impair** : Un nombre entier qui n'est pas divisible par 2. ### Exemples Voyons quelques exemples concrets : 1. **Le nombre 450** : * Est-il divisible par 10 ? Oui, car il se termine par 0. * Est-il divisible par 100 ? Non, car il ne se termine pas par 00. * Est-il divisible par 2 ? Oui, car son chiffre des unités est 0 (il est pair). * Est-il divisible par 5 ? Oui, car son chiffre des unités est 0. * Est-il divisible par 3 ? La somme de ses chiffres est \(4+5+0=9\). Oui, car 9 est un multiple de 3. * Est-il divisible par 9 ? La somme de ses chiffres est \(4+5+0=9\). Oui, car 9 est un multiple de 9. 2. **Le nombre 735** : * Est-il divisible par 2 ? Non, car son chiffre des unités est 5 (il est impair). * Est-il divisible par 5 ? Oui, car son chiffre des unités est 5. * Est-il divisible par 3 ? La somme des chiffres est \(7+3+5=15\). Oui, car 15 est un multiple de 3. * Est-il divisible par 9 ? La somme des chiffres est \(7+3+5=15\). Non, car 15 n'est pas un multiple de 9. ### Exercices Pour chaque nombre, indique par quels critères de divisibilité (2, 3, 5, 9, 10, 100, 1000) il est divisible. Justifie ta réponse. 1. **36** * Divisible par 2 ? Oui, car... (chiffre des unités 6) * Divisible par 3 ? Oui, car... (somme des chiffres \(3+6=9\)) * Divisible par 5 ? Non, car... * Divisible par 9 ? Oui, car... (somme des chiffres \(3+6=9\)) * Divisible par 10 ? Non, car... 2. **270** 3. **1500** 4. **413** 5. **999** ### Devoirs à la maison 1. Trouve le plus petit nombre à trois chiffres qui est divisible par 2, 3 et 5 en même temps. 2. Donne trois nombres différents, chacun divisible par 10 mais pas par 100. 3. Est-ce qu'un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3 ? Explique pourquoi. 4. Est-ce qu'un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9 ? Explique pourquoi ou donne un contre-exemple. 5. Complète le chiffre manquant pour que le nombre soit divisible par 3 et par 5 : * 2_5 * 47_ ### Résumé Nous avons appris des règles simples pour reconnaître si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9, 10, 100 ou 1000 : * **Par 10, 100, 1000** : Le nombre se termine par 0, 00 ou 000 respectivement. * **Par 2** : Le nombre est pair (chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8). * **Par 5** : Le chiffre des unités est 0 ou 5. * **Par 3** : La somme des chiffres est un multiple de 3. * **Par 9** : La somme des chiffres est un multiple de 9. Ces critères sont des outils très utiles pour simplifier les calculs et résoudre des problèmes en mathématiques. Entraîne-toi bien pour les maîtriser !