Chap10: Proportionnalités

# Chap10: Proportionnalités ## Tableau de proportionnalité - Coefficients de proportionnalité ; ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur la proportionnalité ! Dans de nombreuses situations de la vie courante, nous rencontrons des grandeurs liées entre elles de manière très simple. Par exemple, le prix que vous payez à la boulangerie est proportionnel au nombre de croissants que vous achetez. Plus vous achetez de croissants, plus le prix total augmente de la même manière pour chaque croissant. Aujourd'hui, nous allons apprendre à organiser ces informations dans des tableaux spéciaux appelés "tableaux de proportionnalité" et à utiliser un outil très pratique : le "coefficient de proportionnalité". ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un tableau de proportionnalité ? Un tableau de proportionnalité est un outil qui nous aide à organiser des informations. Il est dit "de proportionnalité" quand les grandeurs qu'il contient sont liées par une relation simple : pour passer d'une ligne (ou d'une colonne) à l'autre, on multiplie (ou on divise) toujours par le même nombre. ##### Caractéristiques d'un tableau de proportionnalité * Il contient au moins deux lignes (ou colonnes) qui représentent des grandeurs. Par exemple, le nombre d'articles et leur prix. * Les valeurs d'une ligne sont obtenues en multipliant les valeurs correspondantes de l'autre ligne par un nombre fixe. * Si on divise chaque valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne, on trouve toujours le même résultat. #### Le coefficient de proportionnalité Le coefficient de proportionnalité est **le nombre fixe** par lequel on multiplie les valeurs de la première ligne pour obtenir celles de la deuxième ligne (ou vice versa). C'est la clé pour comprendre et compléter un tableau de proportionnalité. ##### Comment trouver le coefficient de proportionnalité ? Pour trouver le coefficient de proportionnalité, il suffit de diviser une valeur d'une ligne par la valeur correspondante de l'autre ligne (à condition que cette dernière ne soit pas zéro). Formule pour trouver le coefficient (k) : \[ k = \frac{\text{Valeur de la deuxième ligne}}{\text{Valeur de la première ligne}} \] Par exemple, si vous avez un tableau avec une ligne "Nombre de stylos" et une ligne "Prix total" : | Nombre de stylos | 1 | 2 | 3 | |------------------|------|------|-------| | Prix total (en €) | 1,50 | 3,00 | 4,50 | Pour trouver le coefficient, on peut faire : \( \frac{1,50}{1} = 1,5 \) \( \frac{3,00}{2} = 1,5 \) \( \frac{4,50}{3} = 1,5 \) Le coefficient de proportionnalité est \( 1,5 \). Cela signifie qu'un stylo coûte 1,50 €. ##### Utilisation du coefficient de proportionnalité Une fois que vous avez trouvé le coefficient de proportionnalité, vous pouvez l'utiliser pour : * **Compléter un tableau** : Multipliez les valeurs connues d'une ligne par le coefficient pour trouver les valeurs manquantes de l'autre ligne. * **Résoudre des problèmes** : Le coefficient vous donne la relation directe entre les deux grandeurs. ### Vocabulaire * **Proportionnalité** : Relation entre deux grandeurs où l'une est obtenue en multipliant l'autre par un nombre constant. * **Tableau de proportionnalité** : Tableau numérique qui représente une situation de proportionnalité. * **Coefficient de proportionnalité** : Le nombre fixe par lequel on multiplie les valeurs d'une grandeur pour obtenir les valeurs de l'autre grandeur dans un tableau de proportionnalité. * **Grandeur** : Ce qui peut être mesuré ou compté (ex: longueur, poids, prix, nombre d'articles). ### Exemples #### Exemple 1 : Le prix des carottes Une maraîchère vend des carottes au marché. | Poids de carottes (en kg) | 2 | 3 | 5 | 8 | |---------------------------|------|------|-------|-------| | Prix (en €) | 3,00 | 4,50 | 7,50 | ? | 1. **Vérifier la proportionnalité et trouver le coefficient :** * \( \frac{3,00}{2} = 1,5 \) * \( \frac{4,50}{3} = 1,5 \) * \( \frac{7,50}{5} = 1,5 \) Le tableau est bien un tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité est \( 1,5 \). 2. **Compléter le tableau :** Pour 8 kg de carottes, le prix sera : \( 8 \times 1,5 = 12 \). Donc, 8 kg de carottes coûtent 12 €. #### Exemple 2 : Recette de crêpes Pour faire des crêpes pour 4 personnes, il faut 250g de farine. | Nombre de personnes | 4 | 8 | 12 | 2 | |--------------------|-------|-------|-------|-------| | Quantité de farine (en g) | 250 | ? | ? | ? | 1. **Trouver le coefficient :** Le coefficient de proportionnalité, dans ce sens (de la ligne du haut vers la ligne du bas), est \( \frac{250}{4} = 62,5 \). Cela signifie qu'il faut 62,5g de farine par personne. 2. **Compléter le tableau :** * Pour 8 personnes : \( 8 \times 62,5 = 500 \) g de farine. * Pour 12 personnes : \( 12 \times 62,5 = 750 \) g de farine. * Pour 2 personnes : \( 2 \times 62,5 = 125 \) g de farine. ### Exercices **Exercice 1 : Identification** Indiquez si les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. Justifiez votre réponse en calculant le(s) coefficient(s). a) | Nombre de T-shirts | 1 | 2 | 3 | |--------------------|------|------|-------| | Prix (en €) | 10 | 20 | 30 | b) | Âge (en ans) | 5 | 10 | 15 | |--------------------|------|------|-------| | Taille (en cm) | 110 | 135 | 150 | c) | Nombre d'heures | 2 | 4 | 6 | |-------------------|------|------|-------| | Distance parcourue (en km) | 100 | 200 | 300 | **Exercice 2 : Compléter le tableau** Complétez les tableaux de proportionnalité suivants en utilisant le coefficient de proportionnalité. a) | Nombre d'œufs | 6 | 12 | 18 | ? | |----------------|------|------|-------|-------| | Prix (en €) | 1,80 | ? | ? | 7,20 | b) | Côtés d'un carré | 3 | 5 | ? | 10 | |------------------|------|------|-------|-------| | Périmètre | 12 | ? | 28 | ? | ### Devoirs **Devoir 1 : Situation concrète** Un agriculteur vend des fraises à 4,50 € le kilogramme. a) Créez un tableau de proportionnalité pour représenter le prix en fonction du poids des fraises. Incluez les poids suivants : 1 kg, 2,5 kg, 4 kg, et 5,5 kg. b) Quel est le coefficient de proportionnalité ? Expliquez ce qu'il représente dans ce contexte. c) Si un client achète 3,2 kg de fraises, combien devra-t-il payer ? **Devoir 2 : Tableau inversé** Un robinet remplit une piscine à un débit constant. Il a fallu 3 heures pour remplir 900 litres. | Temps (en heures) | 3 | 1 | ? | 5 | |-------------------|-------|------|-------|-------| | Volume (en litres) | 900 | ? | 1500 | ? | a) Calculez le coefficient de proportionnalité pour trouver le volume d'eau en fonction du temps. b) Complétez le tableau. c) Combien de temps faudrait-il pour remplir la piscine si elle contenait 2100 litres ? ### Résumé Pour conclure, nous avons découvert aujourd'hui que les situations de proportionnalité sont très fréquentes. Le **tableau de proportionnalité** est un excellent outil pour organiser ces informations. Le **coefficient de proportionnalité** est le nombre magique qui nous permet de passer d'une grandeur à l'autre en multipliant, ou de vérifier si une situation est proportionnelle en divisant. Maîtriser le coefficient de proportionnalité vous permettra de résoudre de nombreux problèmes de la vie quotidienne, de la cuisine aux achats ! ## Quatrième proportionnelle. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur la proportionnalité ! Dans de nombreuses situations de la vie courante, des grandeurs sont liées de manière proportionnelle. Par exemple, le prix des pommes est proportionnel à la quantité achetée, ou le temps mis pour parcourir une distance est proportionnel à la vitesse. Dans cette leçon, nous allons apprendre à trouver une valeur manquante dans une situation de proportionnalité, c'est ce que l'on appelle la **quatrième proportionnelle**. Nous allons revoir ce qu'est la proportionnalité et découvrir un outil très utile pour résoudre ces problèmes : les **produits en croix**. ### Concepts clés #### Rappel : Qu'est-ce que la proportionnalité ? Une situation est dite de **proportionnalité** lorsque deux grandeurs varient de la même manière, c'est-à-dire que pour passer de la première à la seconde, on multiplie (ou on divise) toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le **coefficient de proportionnalité**. * **Exemple :** Si 1 kg de pommes coûte 2 €, alors 2 kg coûteront 4 €, 3 kg coûteront 6 €, etc. Le coefficient de proportionnalité est 2 (le prix en € par kg). #### Tableau de proportionnalité Pour organiser les données d'une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau. Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité). **Exemple de tableau :** | Quantité de pommes (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | | :---------------------- | :- | :- | :- | :- | | Prix (€) | 2 | 4 | 6 | 10 | #### Les produits en croix Les produits en croix sont une méthode très puissante pour vérifier si un tableau est de proportionnalité ou pour trouver une valeur manquante. **Principe :** Dans un tableau de proportionnalité de quatre valeurs, les produits des nombres situés en diagonale sont égaux. Considérons un tableau de proportionnalité général : | a | b | | :- | :- | | c | d | Le principe des produits en croix dit que : \( a \times d = b \times c \) #### Comment trouver la quatrième proportionnelle ? La quatrième proportionnelle est la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité quand trois valeurs sont déjà connues. Grâce aux produits en croix, nous pouvons facilement la calculer. **Méthode :** 1. On écrit les trois valeurs connues et la valeur inconnue (souvent notée \( x \) ) dans un tableau de proportionnalité. 2. On applique la règle des produits en croix. 3. On résout l'équation pour trouver \( x \). **Exemple :** | 2 | 5 | | :- | :- | | 8 | x | Selon le principe des produits en croix, nous avons : \( 2 \times x = 5 \times 8 \) * Étape 1 : \( 2 \times x = 40 \) * Étape 2 : Pour trouver \( x \), on divise 40 par 2. \( x = \frac{40}{2} \) * Étape 3 : \( x = 20 \) Donc, la quatrième proportionnelle est 20. ### Vocabulaire important * **Proportionnalité :** Relation entre deux grandeurs où l'une est obtenue en multipliant l'autre par un nombre constant. * **Coefficient de proportionnalité :** Le nombre par lequel on multiplie pour passer d'une grandeur à l'autre dans une situation de proportionnalité. * **Tableau de proportionnalité :** Tableau où les nombres d'une ligne sont proportionnels aux nombres de l'autre ligne. * **Produits en croix :** Règle selon laquelle dans un tableau de proportionnalité de quatre valeurs, les produits des termes en diagonale sont égaux. * **Quatrième proportionnelle :** La valeur inconnue dans un tableau de proportionnalité lorsque trois valeurs sont déjà données. ### Exemples pratiques #### Exemple 1 : La recette de cuisine Pour faire un gâteau pour 4 personnes, il faut 200 g de farine. Combien de farine faut-il pour 6 personnes ? 1. **Tableau de proportionnalité :** | Nombre de personnes | 4 | 6 | | :----------------- | :--- | :--- | | Quantité de farine (g) | 200 | x | 2. **Produits en croix :** \( 4 \times x = 200 \times 6 \) 3. **Calcul de x :** * \( 4 \times x = 1200 \) * \( x = \frac{1200}{4} \) * \( x = 300 \) Il faut 300 g de farine pour 6 personnes. #### Exemple 2 : Acheter des fruits Si 3 kg de cerises coûtent 15 €, combien coûteront 5 kg de cerises ? 1. **Tableau de proportionnalité :** | Quantité de cerises (kg) | 3 | 5 | | :----------------------- | :--- | :--- | | Prix (€) | 15 | x | 2. **Produits en croix :** \( 3 \times x = 15 \times 5 \) 3. **Calcul de x :** * \( 3 \times x = 75 \) * \( x = \frac{75}{3} \) * \( x = 25 \) 5 kg de cerises coûteront 25 €. ### Exercices Résolvez les problèmes suivants en utilisant la méthode de la quatrième proportionnelle : 1. Pour peindre un mur, il faut 2 litres de peinture pour 10 m². Combien de litres de peinture faut-il pour 15 m² ? * Tableau : | Surface (m²) | 10 | 15 | | :----------- | :- | :- | | Peinture (L) | 2 | x | * Calculer x. 2. Un automobiliste parcourt 180 km en 2 heures. Combien de kilomètres parcourt-il en 3 heures, s'il roule à la même vitesse ? * Tableau : | Durée (heures) | 2 | 3 | | :------------- | :-- | :-- | | Distance (km) | 180 | x | * Calculer x. ### Devoir à la maison Trouvez la quatrième proportionnelle dans chaque situation : 1. Un paquet de 4 cahiers coûte 10 €. Combien coûtent 6 cahiers ? 2. Pour fabriquer 3 colliers, il faut 45 perles. Combien de perles faut-il pour fabriquer 5 colliers ? 3. Un agriculteur récolte 500 kg de pommes de terre sur une surface de 2 ares. Combien de kg peut-il récolter sur 7 ares, si le rendement est le même ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu la **proportionnalité** et appris à utiliser les **produits en croix** pour trouver une valeur manquante, appelée la **quatrième proportionnelle**. Il suffit de construire un tableau, d'appliquer la règle \( a \times d = b \times c \) et de résoudre la petite équation pour trouver la valeur inconnue. C'est un outil très pratique pour résoudre de nombreux problèmes de la vie quotidienne ! N'oubliez pas, la clé est de bien organiser vos informations dans un tableau. ## Pourcentage, échelle. ### Introduction Bienvenue à cette leçon où nous allons explorer deux concepts mathématiques très pratiques et utiles dans la vie de tous les jours : les pourcentages et les échelles. Que ce soit pour comprendre une réduction de prix en magasin, interpréter une carte routière, ou dessiner un plan, ces outils nous aident à mieux comprendre les proportions et à effectuer des calculs précis. ### I. Le Pourcentage #### A. Qu'est-ce qu'un pourcentage ? Un pourcentage est une manière d'exprimer une proportion d'une quantité par rapport à un total de 100. Il est souvent noté avec le symbole \( \% \). Quand on dit "25\%", cela signifie 25 sur 100, ou \( \frac{25}{100} \). #### B. Calculer un pourcentage d'une quantité Pour calculer un pourcentage \( t \% \) d'une quantité donnée, on multiplie cette quantité par la fraction \( \frac{t}{100} \). **Exemple :** Calculer 20\% de 50 euros. \[ 50 \times \frac{20}{100} = 50 \times 0,20 = 10 \text{ euros} \] #### C. Appliquer un pourcentage (augmentation ou réduction) * **Augmentation :** Pour augmenter une quantité de \( t \% \), on la multiplie par \( (1 + \frac{t}{100}) \). * **Exemple :** Un article coûte 80 euros. Son prix augmente de 10\%. Nouveau prix : \[ 80 \times (1 + \frac{10}{100}) = 80 \times (1 + 0,10) = 80 \times 1,10 = 88 \text{ euros} \] * **Réduction :** Pour réduire une quantité de \( t \% \), on la multiplie par \( (1 - \frac{t}{100}) \). * **Exemple :** Une veste coûte 120 euros. Il y a une réduction de 25\%. Nouveau prix : \[ 120 \times (1 - \frac{25}{100}) = 120 \times (1 - 0,25) = 120 \times 0,75 = 90 \text{ euros} \] ### II. L'Échelle #### A. Qu'est-ce qu'une échelle ? L'échelle est un rapport de proportionnalité qui indique combien de fois les dimensions réelles d'un objet ou d'une distance ont été réduites ou agrandies pour être représentées sur un plan, une carte ou une maquette. #### B. Comprendre l'échelle Une échelle est généralement exprimée sous la forme d'une fraction, par exemple \( \frac{1}{100} \) ou d'un rapport, 1:100. Cela signifie que 1 unité de mesure sur le plan (ou la carte) représente 100 unités de mesure dans la réalité. * Si l'échelle est 1:100, 1 cm sur le plan représente 100 cm (soit 1 mètre) dans la réalité. * Si l'échelle est 1:50 000, 1 cm sur la carte représente 50 000 cm (soit 500 mètres ou 0,5 km) dans la réalité. #### C. Calculer une dimension réelle ou sur un plan * **Calculer une dimension réelle à partir d'une dimension sur le plan :** \[ \text{Dimension réelle} = \text{Dimension sur le plan} \times \text{Dénominateur de l'échelle} \] * **Exemple :** Sur un plan à l'échelle 1:200, une pièce mesure 3 cm de long. Quelle est sa longueur réelle ? \[ 3 \text{ cm} \times 200 = 600 \text{ cm} = 6 \text{ mètres} \] * **Calculer une dimension sur le plan à partir d'une dimension réelle :** \[ \text{Dimension sur le plan} = \frac{\text{Dimension réelle}}{\text{Dénominateur de l'échelle}} \] * **Exemple :** Un bâtiment mesure 15 mètres de haut. On veut le dessiner sur un plan à l'échelle 1:300. Quelle sera sa hauteur sur le plan ? *(Convertir 15 mètres en centimètres : \( 15 \times 100 = 1500 \text{ cm} \))*. \[ \frac{1500 \text{ cm}}{300} = 5 \text{ cm} \] ### Vocabulaire * **Pourcentage :** Une fraction dont le dénominateur est 100, exprimée avec le symbole \( \% \). * **Échelle :** Un rapport de proportionnalité entre les dimensions représentées sur un plan et les dimensions réelles. * **Proportionnalité :** Relation entre deux grandeurs où l'une est un multiple constant de l'autre. * **Rapport :** Le résultat d'une division, souvent utilisé pour comparer deux quantités. * **Augmentation :** L'action d'ajouter un pourcentage à une quantité initiale. * **Réduction :** L'action de soustraire un pourcentage à une quantité initiale. * **Dénominateur de l'échelle :** Le nombre par lequel on multiplie ou divise pour passer de la dimension sur le plan à la dimension réelle (ou vice-versa). ### Exemples 1. **Pourcentage - Calcul de TVA :** Le prix hors taxes (HT) d'un jeu est de 40€. La TVA (Taxe sur la Valeur Ajoutée) est de 20\%. Quel est le prix toutes taxes comprises (TTC) ? \[ 40 \times (1 + \frac{20}{100}) = 40 \times 1,20 = 48 \text{ euros} \] 2. **Échelle - Calcul de distance réelle :** Sur une carte au 1:25 000, la distance entre deux villages est de 8 cm. Quelle est la distance réelle en kilomètres ? \[ 8 \text{ cm} \times 25000 = 200000 \text{ cm} \] Convertissons en kilomètres : \( 200000 \text{ cm} = 2000 \text{ m} = 2 \text{ km} \). ### Exercices 1. Un magasin propose une remise de 15\% sur un pull qui coûte 50 euros. Quel est le nouveau prix du pull ? 2. Dans une classe de 30 élèves, 60\% sont des filles. Combien y a-t-il de filles dans cette classe ? 3. Sur un plan d'architecte à l'échelle 1:50, un mur mesure 12 cm. Quelle est la longueur réelle de ce mur en mètres ? 4. Une piscine mesure 10 mètres de long dans la réalité. Quelle sera sa longueur sur une maquette à l'échelle 1:200 ? ### Devoir à la maison 1. Un vélo coûte 300 euros. Son prix augmente de 8\% l'année suivante. Quel est son nouveau prix ? 2. Lors d'une élection, 450 personnes ont voté. Un candidat a obtenu 30\% des voix. Combien de voix a-t-il obtenues ? 3. La distance réelle entre deux villes est de 150 km. Sur une carte, cette distance est représentée par 3 cm. Quelle est l'échelle de cette carte ? (Donne la sous la forme 1:X) 4. Un jardin carré a des côtés de 25 mètres. Tu dois le dessiner sur une feuille de papier à l'échelle 1:500. Quelles seront les dimensions du jardin sur ton dessin ? ### Résumé * Les **pourcentages** nous permettent d'exprimer une proportion par rapport à 100 et de calculer des augmentations ou des réductions. Pour calculer \( t \% \) d'une quantité, on multiplie par \( \frac{t}{100} \). * Les **échelles** sont des rapports qui nous aident à représenter de grandes dimensions (comme des paysages sur une carte) ou de petites dimensions (comme des microbes au microscope) de manière proportionnelle. Une échelle 1:X signifie que 1 unité sur le plan représente X unités dans la réalité. ## Notions d'angle ou de secteur angulaire - Angle saillant, nul, aigu, droit, obtus, plat, rentrant, plein ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les angles ! Les angles sont partout autour de nous, que ce soit dans les coins de votre chambre, l'ouverture d'une porte, ou même la façon dont vous pliez votre bras. Comprendre les angles est une compétence fondamentale en géométrie qui vous aidera à mieux observer et décrire le monde qui vous entoure. Dans ce chapitre, nous allons découvrir ce qu'est un angle, comment le nommer et surtout, apprendre à reconnaître les différents types d'angles. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un angle ? Un angle est une figure géométrique formée par deux demi-droites qui partent du même point. Ce point commun est très important et a un nom spécifique. * **Le Sommet :** C'est le point d'origine commun aux deux demi-droites. C'est en quelque sorte le "coin" de l'angle. * **Les Côtés :** Ce sont les deux demi-droites qui forment l'angle. Pour nommer un angle, on utilise généralement trois lettres : la lettre du sommet est toujours au milieu. Par exemple, l'angle dont le sommet est \( B \) et les côtés passent par \( A \) et \( C \) se note \( \widehat{ABC} \) ou \( \widehat{CBA} \). On peut aussi parfois le noter juste par son sommet s'il n'y a pas d'ambiguïté, comme \( \widehat{B} \). #### Les différents types d'angles Les angles sont classés selon leur mesure. L'unité de mesure des angles est le **degré** (symbolisé par \( ^\circ \)). Un cercle complet mesure \( 360^\circ \). ##### Angle Nul * **Définition :** C'est un angle où les deux côtés sont superposés, ils pointent dans la même direction. Il n'y a pas d'ouverture entre les côtés. * **Mesure :** Exactement \( 0^\circ \). ##### Angle Saillant * **Définition :** C'est le type d'angle "ordinaire" que l'on dessine le plus souvent. Sa mesure est comprise entre \( 0^\circ \) et \( 180^\circ \) (non inclus). ##### Angle Aigu * **Définition :** C'est un angle saillant qui est "pointu". Sa mesure est strictement comprise entre \( 0^\circ \) et \( 90^\circ \). * **Exemple :** La pointe d'un triangle, l'angle formé par les aiguilles d'une montre à 1h. ##### Angle Droit * **Définition :** C'est un angle très important dont les côtés sont perpendiculaires. Il est souvent marqué par un petit carré au sommet. * **Mesure :** Exactement \( 90^\circ \). * **Exemple :** Le coin d'une table, l'angle formé par deux murs dans une pièce. ##### Angle Obtus * **Définition :** C'est un angle saillant qui est plus "ouvert" qu'un angle droit mais moins qu'un angle plat. Sa mesure est strictement comprise entre \( 90^\circ \) et \( 180^\circ \). * **Exemple :** Un coude plié, l'angle formé par les aiguilles d'une montre à 4h. ##### Angle Plat * **Définition :** C'est un angle dont les côtés forment une ligne droite. Ils pointent dans des directions opposées. * **Mesure :** Exactement \( 180^\circ \). * **Exemple :** Une ligne droite. ##### Angle Rentrant * **Définition :** C'est l'"autre" angle formé par les deux demi-droites, celui qui mesure plus de \( 180^\circ \). Sa mesure est strictement comprise entre \( 180^\circ \) et \( 360^\circ \). * **Relation :** Si un angle saillant mesure \( \alpha \), l'angle rentrant associé mesure \( 360^\circ - \alpha \). ##### Angle Plein * **Définition :** C'est un angle qui fait un tour complet. Les deux côtés sont superposés après avoir fait un tour complet. * **Mesure :** Exactement \( 360^\circ \). * **Exemple :** Une rotation complète d'une aiguille d'horloge. #### Mesurer un angle Pour mesurer un angle, on utilise un instrument appelé **rapporteur**. Il est gradué en degrés, de \( 0^\circ \) à \( 180^\circ \) ou de \( 0^\circ \) à \( 360^\circ \). ### Vocabulaire * **Angle :** Figure géométrique formée par deux demi-droites issues du même point. * **Sommet :** Le point d'origine commun des deux demi-droites formant l'angle. * **Côtés :** Les deux demi-droites qui composent l'angle. * **Demi-droite :** Partie d'une droite qui a une origine et qui s'étend à l'infini dans une seule direction. * **Degré (\( ^\circ \)) :** Unité de mesure des angles. * **Rapporteur :** Instrument utilisé pour mesurer ou tracer des angles. * **Angle Nul :** Mesure \( 0^\circ \). * **Angle Aigu :** Mesure entre \( 0^\circ \) et \( 90^\circ \). * **Angle Droit :** Mesure \( 90^\circ \). * **Angle Obtus :** Mesure entre \( 90^\circ \) et \( 180^\circ \). * **Angle Plat :** Mesure \( 180^\circ \). * **Angle Saillant :** Mesure entre \( 0^\circ \) et \( 180^\circ \). * **Angle Rentrant :** Mesure entre \( 180^\circ \) et \( 360^\circ \). * **Angle Plein :** Mesure \( 360^\circ \). ### Exemples Voici quelques exemples concrets pour vous aider à visualiser les différents types d'angles : * **Angle Droit :** L'angle formé par le coin d'un livre ou le croisement de deux routes parfaitement perpendiculaires. * **Angle Aigu :** L'angle formé par les branches d'une paire de ciseaux légèrement ouvertes, ou la pointe d'un compas. * **Angle Obtus :** L'angle d'ouverture d'une porte que l'on n'a pas poussée jusqu'au mur, ou l'angle de votre genou quand vous êtes assis. * **Angle Plat :** L'horizon que vous voyez en regardant loin devant vous sur une surface plane. * **Angle Nul :** Les aiguilles des heures et des minutes d'une horloge quand il est midi pile ou minuit pile. * **Angle Plein :** Une roue de voiture qui a fait un tour complet. * **Angle Rentrant :** L'angle "extérieur" d'un mur qui n'est pas perpendiculaire à un autre, ou l'angle de l'ouverture de la bouche du personnage Pac-Man si vous considérez l'angle le plus grand. ### Exercices 1. Indique la nature de chaque angle (aigu, droit, obtus, plat, nul, rentrant, plein) en fonction de sa mesure : * \( 45^\circ \) * \( 120^\circ \) * \( 90^\circ \) * \( 180^\circ \) * \( 270^\circ \) * \( 0^\circ \) * \( 360^\circ \) 2. Dessine un exemple de chaque type d'angle : aigu, droit, obtus et plat. N'oublie pas de marquer le sommet et les côtés. 3. Comment s'appelle l'angle formé par l'ouverture d'une porte quand elle est à moitié ouverte, si cette ouverture est de \( 95^\circ \) ? 4. Si un angle saillant mesure \( 70^\circ \), quelle est la mesure de l'angle rentrant associé ? ### Devoirs 1. Dans ta maison, cherche et identifie un objet pour chaque type d'angle que nous avons vu (nul, aigu, droit, obtus, plat, rentrant, plein). Prends une photo ou fais un dessin de chaque objet et indique l'angle. 2. Observe une horloge à aiguilles : * Quel type d'angle forment les aiguilles à 3h00 ? * Quel type d'angle forment les aiguilles à 6h00 ? * Quel type d'angle forment les aiguilles à 10h00 ? 3. À l'aide d'un rapporteur, dessine un angle \( \widehat{RST} \) de \( 135^\circ \). De quel type d'angle s'agit-il ? 4. Dessine deux demi-droites qui partent du même point. Dessine l'angle saillant et l'angle rentrant qu'elles forment. Estime leurs mesures. ### Résumé Pour conclure, retenons l'essentiel sur les angles : * Un angle est formé par deux demi-droites qui partent d'un même point appelé le **sommet**. * Nous avons plusieurs types d'angles, classés selon leur **mesure en degrés**. * Les angles principaux sont : * **Nul** (\( 0^\circ \)) * **Aigu** (entre \( 0^\circ \) et \( 90^\circ \)) * **Droit** (exactement \( 90^\circ \)) * **Obtus** (entre \( 90^\circ \) et \( 180^\circ \)) * **Plat** (exactement \( 180^\circ \)) * **Rentrant** (entre \( 180^\circ \) et \( 360^\circ \)) * **Plein** (exactement \( 360^\circ \)) * L'outil principal pour mesurer et tracer les angles est le **rapporteur**. ## Mesures (en degrés) et Bissectrice d’un angle ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les angles et leur mesure ! Les angles sont partout autour de nous : dans les coins des pièces, les aiguilles d'une horloge, l'ouverture d'une paire de ciseaux. Comprendre ce qu'est un angle, comment le mesurer et comment le partager est une compétence fondamentale en géométrie. Aujourd'hui, nous allons apprendre à utiliser les degrés pour mesurer les angles et découvrir un outil très utile : la bissectrice d'un angle. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un angle ? Un angle est une figure géométrique formée par deux demi-droites (appelées côtés de l'angle) qui partent du même point (appelé sommet de l'angle). * **Sommet :** Le point commun aux deux demi-droites. * **Côtés :** Les deux demi-droites qui forment l'angle. * **Notation :** Un angle se note souvent avec trois lettres, par exemple \( \widehat{AOB} \), où O est le sommet et A et B sont des points sur les côtés. On peut aussi le noter avec une seule lettre si le contexte est clair, par exemple \( \widehat{O} \). #### Mesurer un angle en degrés Pour mesurer un angle, nous utilisons une unité appelée le **degré**, symbolisé par \( \text{°} \). Un cercle complet mesure \( 360\text{°} \). * **Le rapporteur :** C'est l'instrument que nous utilisons pour mesurer et tracer les angles. Il est souvent gradué de \( 0\text{°} \) à \( 180\text{°} \) (semi-circulaire) ou de \( 0\text{°} \) à \( 360\text{°} \) (circulaire). * **Comment utiliser un rapporteur :** 1. Placez le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle. 2. Alignez l'un des côtés de l'angle avec la graduation zéro du rapporteur. 3. Lisez la mesure sur l'autre côté de l'angle, en suivant la bonne échelle (celle qui commence à zéro sur le côté aligné). #### Types d'angles Les angles sont classés selon leur mesure : * **Angle aigu :** Sa mesure est comprise entre \( 0\text{°} \) et \( 90\text{°} \) (non compris). Par exemple, \( 45\text{°} \). * **Angle droit :** Sa mesure est exactement \( 90\text{°} \). Il est souvent représenté par un petit carré au sommet. * **Angle obtus :** Sa mesure est comprise entre \( 90\text{°} \) (non compris) et \( 180\text{°} \) (non compris). Par exemple, \( 120\text{°} \). * **Angle plat :** Sa mesure est exactement \( 180\text{°} \). Il forme une ligne droite. * **Angle nul :** Sa mesure est \( 0\text{°} \). Les deux demi-droites sont confondues. * **Angle plein :** Sa mesure est exactement \( 360\text{°} \). Il représente un tour complet. #### La Bissectrice d'un angle La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Elle passe par le sommet de l'angle. * **Propriété :** Si une demi-droite est la bissectrice de l'angle \( \widehat{AOB} \), alors les deux angles qu'elle forme, par exemple \( \widehat{AOC} \) et \( \widehat{COB} \), auront la même mesure, c'est-à-dire \( \frac{\widehat{AOB}}{2} \). #### Construction de la bissectrice d'un angle Il existe deux méthodes principales pour construire la bissectrice : ##### 1. Avec un rapporteur (méthode de mesure) : 1. Mesurez l'angle donné avec votre rapporteur. Soit \( \alpha \) cette mesure. 2. Calculez la moitié de cette mesure : \( \frac{\alpha}{2} \). 3. À partir du sommet de l'angle et en utilisant l'un des côtés comme référence, tracez une demi-droite dont la mesure de l'angle avec le côté de référence est \( \frac{\alpha}{2} \). ##### 2. Avec un compas et une règle (méthode géométrique) : 1. **Étape 1 :** Placez la pointe du compas sur le sommet de l'angle. Tracez un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l'angle en deux points, appelons-les M et N. 2. **Étape 2 :** Gardez le même écartement du compas (ou changez-le si vous préférez, mais assurez-vous qu'il soit assez grand). Placez la pointe du compas sur le point M et tracez un nouvel arc à l'intérieur de l'angle. 3. **Étape 3 :** Sans changer l'écartement, placez la pointe du compas sur le point N et tracez un autre arc qui coupe le précédent. Appelons ce point d'intersection P. 4. **Étape 4 :** Tracez une demi-droite qui part du sommet de l'angle et passe par le point P. Cette demi-droite est la bissectrice de l'angle. ### Vocabulaire * **Angle :** Figure géométrique formée par deux demi-droites ayant la même origine. * **Degré (\( \text{°} \)) :** Unité de mesure des angles. * **Rapporteur :** Instrument utilisé pour mesurer et tracer des angles. * **Sommet :** Le point commun aux deux côtés d'un angle. * **Côtés d'un angle :** Les deux demi-droites qui forment l'angle. * **Angle aigu :** Angle dont la mesure est inférieure à \( 90\text{°} \). * **Angle droit :** Angle dont la mesure est égale à \( 90\text{°} \). * **Angle obtus :** Angle dont la mesure est supérieure à \( 90\text{°} \) et inférieure à \( 180\text{°} \). * **Angle plat :** Angle dont la mesure est égale à \( 180\text{°} \). * **Bissectrice :** Demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. ### Exemples #### Exemple 1 : Mesurer un angle Considérons un angle \( \widehat{ABC} \). 1. Je place le centre de mon rapporteur sur le sommet B. 2. J'aligne le côté BA avec la graduation \( 0\text{°} \) de mon rapporteur (échelle intérieure). 3. Je lis la graduation sur le côté BC. Si je lis \( 60\text{°} \), alors \( \widehat{ABC} = 60\text{°} \). C'est un angle aigu. #### Exemple 2 : Tracer un angle de \( 110\text{°} \) 1. Je trace une demi-droite, par exemple [OX). 2. Je place le centre de mon rapporteur sur O et j'aligne [OX) avec la graduation \( 0\text{°} \) (par exemple, l'échelle extérieure). 3. Je marque un point Y à la graduation \( 110\text{°} \) sur le rapporteur. 4. Je trace la demi-droite [OY). L'angle \( \widehat{XOY} \) mesure \( 110\text{°} \). C'est un angle obtus. #### Exemple 3 : Construire la bissectrice d'un angle de \( 70\text{°} \) ##### Méthode avec le rapporteur : 1. Tracez un angle \( \widehat{MON} \) de \( 70\text{°} \). 2. Calculez la moitié de \( 70\text{°} \) : \( \frac{70\text{°}}{2} = 35\text{°} \). 3. Placez le rapporteur sur le sommet O, alignez un côté ([OM) par exemple) sur \( 0\text{°} \). 4. Marquez un point P à \( 35\text{°} \). 5. Tracez la demi-droite [OP). [OP) est la bissectrice de \( \widehat{MON} \). ##### Méthode avec le compas : 1. Tracez un angle \( \widehat{RST} \). 2. Pointe du compas sur S, tracez un arc qui coupe [SR) en U et [ST) en V. 3. Pointe du compas sur U, tracez un arc à l'intérieur de l'angle. 4. Pointe du compas sur V, tracez un arc qui coupe le précédent en W. 5. Tracez la demi-droite [SW). [SW) est la bissectrice de \( \widehat{RST} \). ### Exercices 1. Mesurez les angles suivants à l'aide de votre rapporteur et indiquez leur type (aigu, droit, obtus, plat) : * \( \widehat{DEF} = \dots \) * \( \widehat{GHI} = \dots \) * \( \widehat{JKL} = \dots \) 2. Tracez les angles suivants avec votre rapporteur : * Un angle \( \widehat{AOB} \) de \( 55\text{°} \). * Un angle \( \widehat{COD} \) de \( 135\text{°} \). * Un angle \( \widehat{EOF} \) de \( 90\text{°} \). 3. Tracez un angle \( \widehat{XYZ} \) de \( 100\text{°} \). Construisez sa bissectrice en utilisant la méthode du rapporteur. Quelle est la mesure de chacun des deux angles formés par la bissectrice ? 4. Dessinez un angle \( \widehat{PQR} \) dont la mesure n'est pas donnée. Construisez sa bissectrice en utilisant la méthode du compas et de la règle. ### Devoirs 1. Dans votre cahier, dessinez trois angles différents de votre choix. Mesurez-les et indiquez leur type. 2. Construisez un angle \( \widehat{MNO} \) de \( 80\text{°} \). Construisez sa bissectrice en utilisant la méthode du compas. 3. Construisez un angle \( \widehat{UVW} \) de \( 160\text{°} \). Construisez sa bissectrice en utilisant la méthode du rapporteur. 4. Un angle mesure \( 48\text{°} \). Quelle est la mesure de l'angle formé par sa bissectrice et l'un de ses côtés ? 5. Si une bissectrice forme un angle de \( 75\text{°} \) avec l'un des côtés de l'angle original, quelle était la mesure de l'angle original ? ### Résumé Nous avons appris que les angles sont formés par deux demi-droites partageant un sommet et que leur taille est mesurée en **degrés** à l'aide d'un **rapporteur**. Nous avons vu différents **types d'angles** : aigu (moins de \( 90\text{°} \)), droit (\( 90\text{°} \)), obtus (entre \( 90\text{°} \) et \( 180\text{°} \)) et plat (\( 180\text{°} \)). Enfin, nous avons découvert la **bissectrice** d'un angle, la demi-droite qui le partage en deux angles de même mesure, et nous savons maintenant comment la construire avec un rapporteur ou un compas. Ces compétences sont essentielles pour la suite de votre parcours en géométrie !