Équation de Bernoulli (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève sera capable de - appliquer l’équation de Bernoulli complète (avec pertes de charge) à des écoulements réels rencontrés dans les installations hydrauliques camerounaises ; - analyser le fonctionnement énergétique d’une turbine ou d’une pompe centrifuge, déterminer le débit, la hauteur utile et la puissance réelle ; - réaliser un bilan énergétique simple d’un système de pompage ou de turbinage, choisir un équipement adapté aux contraintes locales (débit, hauteur, rendement) ; - respecter les règles de sécurité et d’hygiène liées aux machines tournantes (arrêt d’urgence, vanne de décharge, surveillance de la cavitation). **Prérequis** : maîtrise de l’équation de Bernoulli simple (partie 1), notion de perte de charge, unités du Système International (m, kg, s, Pa), concepts de débit volumique \(Q\), vitesse moyenne \(v\), pression \(p\) et hauteur \(z\), connaissance de base des régimes laminaire et turbulent (nombre de Reynolds). --- ## Introduction contextualisée Au Cameroun, l’exploitation des ressources hydrauliques est centrale pour la production d’électricité (barrage de Lagdo, barrage de Song Loulou) et pour l’irrigation agricole (périphérie du Nord, bassin du Logone). Les ingénieurs de terrain doivent constamment vérifier que l’énergie disponible dans un cours d’eau ou une réserve est suffisante pour entraîner une turbine ou pour pousser un fluide à travers un réseau de distribution. L’équation de Bernoulli, enrichie des pertes de charge, constitue l’outil de base pour ces bilans énergétiques. Ce chapitre montre comment passer de la théorie à la pratique professionnelle, en s’appuyant sur des exemples concrets du milieu camerounais. --- ## I. Leçon 12 : Machines tournantes ### A. Rappel de l’équation de Bernoulli avec pertes de charge Pour un écoulement stationnaire, incompressible et le long d’un ligne de courant : \[ \frac{p}{\rho g} + \frac{v^{2}}{2g} + z = \text{constante} + \sum h_{f} \] où - \(p\) : pression statique (Pa) ; - \(\rho\) : masse volumique du fluide (kg·m⁻³) ; - \(g\) : accélération de la gravité (9,81 m·s⁻²) ; - \(v\) : vitesse moyenne du fluide (m·s⁻¹) ; - \(z\) : cote géodésique (m) ; - \(\sum h_{f}\) : somme des pertes de charge linéaires et locales (m). > **>** *L’équation de Bernoulli complète exprime la conservation de l’énergie mécanique par unité de poids du fluide.* ### B. Machines tournantes : définition et classification Une machine tournante échange de l’énergie mécanique avec un fluide en faisant varier la pression, la vitesse et/ou la hauteur du fluide lorsqu’il traverse un rotor. - **Turbine** : le fluide cède de l’énergie au rotor (production de puissance). - **Pompe** : le rotor fournit de l’énergie au fluide (augmentation de la pression ou de la hauteur). - **Compresseur** : similaire à la pompe mais pour un fluide compressible (gaz). ### C. Analyse énergétique d’une turbine (exemple : turbine Francis du barrage de Lagdo) **Données** : - Hauteur brute disponible \(H_{b}=30,0\; \text{m}\) - Débit turbinné \(Q=50,0\; \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{s}^{-1}\) - Rendement mécanique‑hydraulique de la turbine \(\eta_{t}=0,85\) - \(\rho=1000\; \text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}\) , \(g=9,81\; \text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}\) **Puissance théorique** (énergie potentielle du débit) : \[ P_{th}= \rho g Q H_{b} = 1000 \times 9,81 \times 50,0 \times 30,0 = 14,715 \times 10^{6}\; \text{W}=14,7\; \text{MW} \] **Puissance réelle** : \[ P_{real}= \eta_{t}\, P_{th}=0,85 \times 14,7\; \text{MW}=12,5\; \text{MW} \] > **>** *Puissance réelle d’une turbine = rendement × \(\rho g Q H\).* **Vérification avec pertes de charge** : supposons une perte de charge totale dans l’admission et la dérivation de \(h_{f}=2,0\; \text{m}\). La hauteur utile devient \[ H_{u}=H_{b}-h_{f}=30,0-2,0=28,0\; \text{m} \] et la puissance réelle recalculée : \[ P_{real}= \eta_{t}\,\rho g Q H_{u}=0,85 \times 1000 \times 9,81 \times 50,0 \times 28,0 =11,6\; \text{MW} \] Cette différence montre l’importance de prendre en compte les pertes de charge dès la conception. ### D. Analyse énergétique d’une pompe (exemple : pompe centrifuge pour irrigation du Nord‑Cameroun) **Objectif** : fournir un débit \(Q=0,020\; \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{s}^{-1}\) à une parcelle située \(z_{geo}=15,0\; \text{m}\) au-dessus du point de prélèvement, avec des pertes de charge estimées à \(h_{f}=2,0\; \text{m}\) et une vitesse à la sortie de la pompe \(v_{sort}=2,0\; \text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-1}\). **Hauteur manométrique totale (HMT)** : \[ HMT = z_{geo} + h_{f} + \frac{v_{sort}^{2}}{2g} = 15,0 + 2,0 + \frac{(2,0)^{2}}{2\times 9,81} = 17,0 + 0,204 \approx 17,2\; \text{m} \] **Puissance hydraulique nécessaire** : \[ P_{h}= \rho g Q \, HMT = 1000 \times 9,81 \times 0,020 \times 17,2 = 3,37\; \text{kW} \] En supposant un rendement pompe‑moteur \(\eta_{p}=0,70\) : \[ P_{elec}= \frac{P_{h}}{\eta_{p}} = \frac{3,37}{0,70}=4,81\; \text{kW} \] > **>** *HMT = hauteur géométrique + pertes de charge + terme cinétique.* ### E. Paramètres de performance spécifiques - **Nombre spécifique de vitesse** (pour turbine) : \[ N_{s}= N \frac{\sqrt{Q}}{H^{3/4}} \] où \(N\) est la vitesse de rotation en tr/min, \(Q\) en m³·s⁻¹, \(H\) en m. - **Nombre spécifique de débit** (pour pompe) : \[ N_{q}= N \frac{Q^{1/2}}{(gH)^{3/4}} \] Ces nombres permettent de choisir le type de machine (Francis, Kaplan, Pelton, centrifuge, etc.) adapté aux conditions de site. ### F. Normes de sécurité et d’hygiène - Installation d’une **vanne de décharge** immédiatement après la turbine pour éviter les surpressions en cas de fermeture brutale. - **Surveillance de la cavitation** : mesurer la pression d’aspiration ; si elle tombe sous la pression de vapeur du liquide, réduire le débit ou augmenter la hauteur d’aspiration. - **Arrêt d’urgence** accessible et testé mensuellement. - **Entretien régulier** des paliers, des joints et des revêtements anti‑usure selon le constructeur (ex : contrôle tous les 500 h de fonctionnement). > **>** *La cavitation apparaît quand la pression locale < pression de vapeur du fluide ; elle endommage les aubes et réduit le rendement.* ### G. Tableau récapitulatif – valeurs typiques au Cameroun | Type de machine | Plage de débit (m³·s⁻¹) | Hauteur utile (m) | Rendement typique | Exemple d’application | |-----------------|------------------------|-------------------|-------------------|-----------------------| | Turbine Francis | 10 – 200 | 20 – 80 | 0,80 – 0,90 | Barrage de Lagdo | | Turbine Pelton | 0,5 – 20 | 100 – 500 | 0,85 – 0,92 | Sites à haute chute | | Pompe centrifuge| 0,001 – 0,5 | 5 – 30 | 0,60 – 0,75 | Irrigation villageoise| | Pompe alternative| 0,01 – 2,0 | 2 – 15 | 0,50 – 0,65 | Relevage d’eaux usées | --- ## II. Activités d’intégration **Projet** : conception d’un petit système de pompage solaire pour alimenter en eau potable un village de 150 habitants situé dans la région de l’Adamaoua. ### A. Objectifs de l’activité - Déterminer le débit journalier nécessaire (≈ 150 L · hab⁻¹ · j⁻¹). - Calculer la hauteur manométrique totale incluant la hauteur géométrique, les pertes de charge dans le réseau de distribution et la vitesse souhaitée à la borne fontaine. - Sélectionner une pompe centrifuge adaptée au débit et à la hauteur calculés, en vérifiant son rendement à partir des courbes constructeur. - Dimensionner le panneau photovoltaïque nécessaire pour fournir la puissance électrique requise, en tenant compte de l’ensoleillement moyen régional (≈ 5,5 kWh·m⁻²·j⁻¹). - Établir un cahier des charges comprenant les aspects techniques, économiques et de sécurité (protection contre les surtensions, vanne de décharge, entretien). ### B. Matériel et logiciels - Jeux de données topographiques (IGN Cameroon) ou relevé GPS. - Tableur (Excel/LibreOffice) pour les calculs de pertes de charge (formule de Darcy‑Weisbach). - Logiciel de sélection de pompe (ex : *PumpSelect* ou bases de données constructeur). - Petit kit de mesure (débitmètre à turbine, manomètre, chronomètre). ### C. Déroulement | Étape | Description | Durée approximative | |-------|-------------|----------------------| | 1. Analyse des besoins | Recensement de la population, calcul du débit journalier, conversion en débit instantané (supposé 2 h de pompage/jour). | 2 h | | 2. Relevé topographique | Mesure de la différence de niveau entre la source (forage) et le réservoir aérien. | 3 h | | 3. Calcul des pertes de charge | Estimation du diamètre des tuyaux (PVC Ø 50 mm), longueur totale, coefficient de rugosité, application de \(h_{f}=f \frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}\). | 2 h | | 4. Sélection de la pompe | Lecture des courbes H‑Q, choix d’un modèle dont le point de fonctionnement se situe dans la zone de rendement maximal (≥ 0,68). | 1 h | | 5. Dimensionnement du PV | Puissance électrique \(P_{elec}=P_{h}/\eta_{p}\); surface du panneau \(S=P_{elec}/(G \cdot \eta_{PV})\) avec \(G=5,5\) kWh·m⁻²·j⁻¹, \(\eta_{PV}=0,18\). | 1 h | | 6. Rédaction du cahier des charges | Synthèse des résultats, normes de sécurité (disjoncteur différentiel, mise à la terre, vanne de décharge). | 2 h | | 7. Présentation orale | Défense du projet devant un jury d’enseignants et de professionnels locaux. | 1 h | > **>** *Le débit de conception est généralement pris sur la période de pompage réelle (ex : 2 h/jour) afin de ne pas surdimensionner l’installation.* ### D. Évaluation - Rapport écrit (40 %) : clarté des calculs, justifications des choix, respect du format. - Oral (30 %) : capacité à expliquer le raisonnement et à répondre aux questions techniques. - Réalisation d’une maquette ou d’un schéma fonctionnel (30 %) : pertinence du dimensionnement, conformité aux normes de sécurité. --- ## III. Activités de remédiation Ces activités s’adressent aux élèves qui rencontrent des difficultés avec l’équation de Bernoulli complète, notamment la prise en compte des pertes de charge et le passage du théorique au pratique. ### A. Diagnostic rapide Un questionnaire de cinq questions à choix multiples permet d’identifier les lacunes : 1. Quelle unité possède le terme \(\frac{p}{\rho g}\) ? 2. Comment exprime-t-on la perte de charge linéaire dans une conduite cylindrique ? 3. Quelle est la différence entre pression statique et pression totale ? 4. Quel phénomène apparaît quand la pression locale chute sous la pression de vapeur ? 5. Pourquoi le rendement d’une pompe est-il toujours inférieur à 1 ? Les réponses sont discutées en classe pour clarifier les notions de base. ### B. Séances ciblées | Séance | Contenu | Méthode | |--------|---------|---------| | 1 | Rappel des pertes de charge : formule de Darcy‑Weisbach, facteur de friction \(f\) (diagramme de Moody). | Exercices guidés sur des tuyaux de différents diamètres et longueurs. | | 2 | Application de l’équation de Bernoulli avec pertes : résolution pas à pas d’un problème de débit provenant d’un réservoir vers une décharge libre. | Travaux en binômes, vérification mutuelle. | | 3 | Conversion d’unités et vérification de l’homogénéité des équations (ex : passer de cm à m, de L·s⁻¹ à m³·s⁻¹). | Jeux de cartes « unité‑valeur ». | | 4 | Interprétation des courbes de pompe (H‑Q, η‑Q) : lecture du point de fonctionnement. | Utilisation de reproductions de courbes constructeur. | | 5 | Mini‑TP : mesure du débit avec un seau gradué et un chronomètre, calcul de la vitesse, comparaison avec la valeur théorique obtenue par Bernoulli. | Manipulation réelle, compte‑rendu bref. | > **>** *Lors du calcul des pertes de charge, toujours vérifier que le régime écoulé est turbulent (Re > 4000) avant d’utiliser le facteur de friction tiré du diagramme de Moody.* ### C. Ressources de soutien - Fiches mémo « Bernoulli & pertes de charge » (format A5, distribuées en début de séance). - Vidéos courtes (5‑7 min) réalisées par le lycée technique de Ngaoundéré montrant le montage d’un circuit de mesure de pertes de charge. - Forum en ligne (plateforme Moodle de l’académie) où les élèves peuvent poster leurs difficultés et recevoir des réponses d’un enseignant référent. ### D. Critères de sortie de remédiation L’élève est considéré comme ayant acquis les compétences lorsqu’il : - résout correctement trois problèmes successifs comportant pertes de charge et machines tournantes ; - explique oralement la différence entre hauteur géométrique et hauteur manométrique totale ; - identifie une situation de cavitation à partir d’une lecture de pression. --- ## Synthèse du chapitre - L’équation de Bernoulli complète intègre les pertes de charge : \(\displaystyle \frac{p}{\rho g}+\frac{v^{2}}{2g}+z = C + \sum h_{f}\). - Une **turbine** transforme l’énergie potentielle du fluide en travail mécanique ; sa puissance réelle est \(P_{real}= \eta_{t}\,\rho g Q H_{u}\). - Une **pompe** ajoute de l’énergie au fluide ; la hauteur manométrique totale est \(HMT = z_{geo}+h_{f}+\dfrac{v^{2}}{2g}\). - Le **rendement** (\(\eta\)) relie puissance hydraulique et puissance électrique ou mécanique. - Les **nombre spécifique de vitesse** (\(N_{s}\)) et de débit (\(N_{q}\)) permettent de choisir le type de machine adapté au site. - La **cavitation** apparaît quand la pression locale < pression de vapeur ; elle se prévient par une hauteur d’aspiration suffisante et l’installation d’une vanne de décharge. - Les **normes de sécurité** obligent la présence d’un arrêt d’urgence, d’une vanne de décharge, d’une mise à la terre et d’un entretien périodique des paliers et joints. - En pratique camerounaise, les valeurs typiques de débit et de hauteur pour les turbines Francis se situent entre 10‑200 m³·s⁻¹ et 20‑80 m, tandis que les pompes centrifuges d’irrigation travaillent autour de 0,001‑0,5 m³·s⁻¹ et 5‑30 m. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Équation de Bernoulli complète** | Relation liant pression, vitesse, hauteur et pertes de charge le long d’une ligne de courant pour un fluide incompressible et stationnaire. | | **Perte de charge** | Diminution de l’énergie mécanique du fluide due à la friction contre les parois et aux perturbations locales (coudes, vannes). | | **Rendement (\(\eta\))** | Rapport entre la puissance utile délivrée ou absorbée par la machine et la puissance hydraulique théorique (\(\eta = P_{utile}/P_{th}\)). | | **Hauteur manométrique totale (HMT)** | Somme de la hauteur géométrique, des pertes de charge et du terme cinétique nécessaire pour faire monter un fluide à un débit donné. | | **Nombre de Reynolds (Re)** | Nombre sans dimension caractérisant le régime d’écoulement : \(Re = \frac{\rho v D}{\mu}\). | | **Facteur de friction de Darcy (\(f\))** | Coefficient sans dimension utilisé dans la formule de Darcy‑Weisbach pour calculer les pertes de charge linéaires. | | **Cavitation** | Formation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale tombe sous la pression de vapeur, provoquant des dommages mécaniques aux aubes. | | **Vitesse spécifique (\(N_{s}\))** | Paramètre permettant de classer les turbines : \(N_{s}= N \sqrt{Q} / H^{3/4}\). | | **Turbine Francis** | Turbine à réaction adaptée aux hauteurs moyennes (20‑80 m) et aux débits moyens à élevés. | | **Pompe centrifuge** | Machine qui augmente la pression d’un fluide grâce à l’action d’un rotor tournant entraînant le fluide vers l’extérieur par effet centrifuge. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Puissance d’une turbine Francis (barrage de Lagdo) **Données** : - Hauteur brute disponible \(H_{b}=28,0\; \text{m}\) (après déduction des pertes de charge estimées à 2,0 m sur une hauteur brute de 30,0 m). - Débit turbinné \(Q=45,0\; \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{s}^{-1}\). - Rendement de la turbine \(\eta_{t}=0,88\). - \(\rho=1000\; \text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}\), \(g=9,81\; \text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}\). **Demande** : Calculer la puissance électrique délivrée par la turbine, en supposant un rendement générateur‑électrique de 0,96. **Corrigé** 1. Puissance hydraulique théorique : \[ P_{th}= \rho g Q H_{b}=1000 \times 9,81 \times 45,0 \times 28,0 = 12,36 \times 10^{6}\; \text{W}=12,36\; \text{MW} \] 2. Puissance mécanique à l’arbre de la turbine : \[ P_{mec}= \eta_{t}\, P_{th}=0,88 \times 12,36\; \text{MW}=10,88\; \text{MW} \] 3. Puissance électrique sortie du générateur : \[ P_{elec}= \eta_{g}\, P_{mec}=0,96 \times 10,88\; \text{MW}=10,44\; \text{MW} \] **Réponse** : La turbine délivre environ **10,4 MW** d’énergie électrique. > **>** *N’oubliez jamais de multiplier successivement les rendements de chaque étape (turbine, générateur, éventuellement convertisseur).* --- ### Exercice 2 – Dimensionnement d’une pompe d’irrigation (Nord‑Cameroun) **Contexte** : Un exploitant veut irriguer un champ de maïs de 2 ha. Le débit nécessaire est de 15 m³·h⁻¹. La source d’eau est un forage situé 8,00 m sous la surface du champ. Les pertes de charge dans le réseau de distribution (tuyaux PVC Ø 63 mm, longueur totale 120 m) sont estimées à 1,8 m. La vitesse souhaitée à la sortie de la buse d’arrosage est de 1,5 m·s⁻¹. Le rendement de la pompe‑moteur est de 0,68. **Données supplémentaires** : - Viscosité dynamique de l’eau à 20 °C : \(\mu=1,0\times10^{-3}\; \text{Pa·s}\). - Diamètre intérieur du tuyau : \(D=0,063\; \text{m}\). **Demande** : a) Calculer la hauteur manométrique totale (HMT). b) Déterminer le débit en m³·s⁻¹. c) Vérifier que l’écoulement dans le tuyau est turbulent. d) Calculer la puissance électrique nécessaire à la pompe. **Corrigé** **a) Hauteur manométrique totale** \[ HMT = z_{geo} + h_{f} + \frac{v^{2}}{2g} = 8,00 + 1,80 + \frac{(1,5)^{2}}{2\times 9,81} = 9,80 + 0,115 \approx 9,92\; \text{m} \] **b) Débit** \[ Q = 15\; \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{h}^{-1} = \frac{15}{3600}\; \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{s}^{-1} = 4,17\times10^{-3}\; \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{s}^{-1} \] **c) Régime d’écoulement** Vitesse moyenne dans le tuyau : \[ v = \frac{Q}{A}= \frac{4,17\times10^{-3}}{\pi (0,063/2)^{2}} = \frac{4,17\times10^{-3}}{3,12\times10^{-3}} \approx 1,34\; \text{m·s}^{-1} \] Nombre de Reynolds : \[ Re = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{1000 \times 1,34 \times 0,063}{1,0\times10^{-3}} = 84\,400 \] Puisque \(Re > 4000\), l’écoulement est **turbulent** – on peut utiliser le diagramme de Moody pour obtenir le facteur de friction \(f\). **d) Puissance électrique nécessaire** Puissance hydraulique : \[ P_{h}= \rho g Q \, HMT = 1000 \times 9,81 \times 4,17\times10^{-3} \times 9,92 \approx 406\; \text{W} \] Puissance électrique : \[ P_{elec}= \frac{P_{h}}{\eta_{p}} = \frac{406}{0,68}= 597\; \text{W}\approx 0,60\; \text{kW} \] **Réponse** : - HMT ≈ **9,9 m** - Débit = **4,2 × 10⁻³ m³·s⁻¹** (15 m³·h⁻¹) - Écoulement turbulent (Re ≈ 8,4 × 10⁴) - Puissance électrique nécessaire ≈ **0,60 kW**. > **>** *Lors du dimensionnement d’une pompe, toujours convertir le débit en unités SI avant d’appliquer l’équation de Bernoulli.* --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (ex : débit en L·min⁻¹ au lieu de m³·s⁻¹) | Résultat de puissance erroné de plusieurs ordres de grandeur | Toujours vérifier l’homogénéité des unités avant de remplacer dans les formules ; noter les unités à chaque étape. | | 2 | Négliger les pertes de charge dans le calcul de la hauteur utile | Surestimation de la puissance disponible ou sous‑estimation de la puissance nécessaire | Inclure systématiquement \(\sum h_{f}\) (charge linéaire + locale) dans l’équation de Bernoulli ; utiliser le tableau de pertes standards pour les diamètres usuels. | | 3 | Confondre pression statique et pression totale (statique + dynamique) | Dimensionnement inadéquat de la tuyauterie ou de la vanne de sécurité | Rappeler que la pression totale = \(p + \frac{1}{2}\rho v^{2}\) ; utiliser un manomètre à tube de Pitot pour mesurer la composante dynamique si nécessaire. | | 4 | Utiliser un facteur de friction \(f\) inadapté (ex : valeur laminaire pour un écoulement turbulent) | Erreur importante sur les pertes de charge, pouvant conduire à cavitation ou à surcharge de la pompe | Déterminer le nombre de Reynolds ; choisir \(f\) selon le régime (laminaire : \(f=64/Re\) ; turbulent : diagramme de Moody ou équation de Colebrook‑White). | | 5 | Ne pas installer de vanne de décharge après une turbine | Risque de surpression brutale lors d’une fermeture soudaine de vanne d’amont → endommagement de l’aube et du générateur | Installer une vanne de décharge réglable et la tester périodiquement ; prévoir un réservoir d’équilibre si nécessaire. | | 6 | Faire fonctionner une pompe à un débit trop faible (près du point d’arrêt) | Augmentation du risque de cavitation et de surchauffe du moteur | Toujours vérifier que le point de fonctionnement se situe dans la zone de rendement recommandée (généralement entre 20 % et 80 % du débit maximal). | --- *Fin du cours.*