Dimensionnement des pompes

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Déterminer le débit volumique et la hauteur manométrique totale (HMT) nécessaires à une installation de pompage. - Lire et interpréter une courbe caractéristique d’une pompe centrifuge. - Sélectionner une pompe adaptée en fonction du débit, de la HMT et du NPSH disponible. - Dimensionner un couplage de pompes en série ou en parallèle et calculer le débit résultant et la HMT globale. - Réaliser une étude d’intégration : choisir le type de pompe, vérifier les conditions de cavitation, établir le schéma hydraulique et rédiger un bref rapport de dimensionnement. **Prérequis** : - Notions de base en mécanique des fluids : pression, perte de charge, nombre de Reynolds, équation de Bernoulli. - Unités du Système International (m³ s⁻¹, Pa, m, W). - Lecture de graphiques (abscisse = débit, ordonnée = hauteur). - Notions de sécurité sur les installations hydrauliques (arrêt d’urgence, vanne de décharge, protection contre le refoulement). --- ## Introduction contextualisée Dans les zones rurales du Cameroun, l’adduction d’eau potable repose souvent sur des stations de pompage qui prélevent l’eau d’un forage ou d’un ruisseau et la refoulent vers un réservoir surélevé. Le dimensionnement correct de la pompe conditionne la continuité du service, la consommation énergétique et la durée de vie de l’installation. Une pompe sous‑dimensionnée provoquera un débit insuffisant et une usure prématurée ; une pompe surdimensionnée entraînera des cavitations, des vibrations et un gaspillage d’énergie. Ce chapitre présente donc les méthodes professionnelles utilisées par les techniciens du MINESEC pour choisir, coupler et intégrer une pompe dans un réseau d’adduction d’eau, en s’appuyant sur des données réelles relevées sur le terrain (débit de pointe 0,025 m³ s⁻¹, hauteur géométrique 12 m, pertes de charge estimées 3 m). --- ## I. Leçon 21 – Choix des pompes ### 1. Définitions et grandeurs caractéristiques > **Débit volumique (Q)** : volume d’eau traversé par la pompe par unité de temps, exprimé en m³ s⁻¹ (ou L min⁻¹). > **Hauteur manométrique totale (HMT)** : somme de la hauteur géométrique (Hg), des pertes de charge linéaires (ΔPf) et des pertes locales (ΔPl), exprimée en mètres d’eau colonne (m CE). > **NPSH disponible (NPSHₐ)** : pression nette positive d’aspiration disponible à l’entrée de la pompe, calculée comme : > \[ > \text{NPSH}_a = \frac{p_{atm}}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} - h_{aspi} - \text{NPSH}_r > \] > où \(p_{atm}\) est la pression atmosphérique, \(\rho\) la densité de l’eau, \(v\) la vitesse dans la tuyauterie d’aspiration, \(h_{aspi}\) la hauteur d’aspiration géométrique et \(\text{NPSH}_r\) le NPSH requis fourni par le constructeur. > **Rendement (η)** : rapport entre la puissance hydraulique utile et la puissance absorbée par le moteur, η = \( \frac{\rho g Q HMT}{P_{abs}} \). ### 2. Étapes de sélection d’une pompe centrifuge 1. **Déterminer le débit de conception (Qc)** : basé sur la demande maximale du réseau (ex. 0,025 m³ s⁻¹ pour un village de 500 habitants). 2. **Calculer la HMT** : \[ HMT = Hg + \sum \Delta P_f + \sum \Delta P_l \] où les pertes de charge linéaires s’obtiennent par la formule de Darcy‑Weisbach : \[ \Delta P_f = f \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g} \] (f = facteur de friction, L = longueur, D = diamètre intérieur). 3. **Vérifier le NPSHₐ** : s’assurer que NPSHₐ ≥ NPSHᵣ + marge de sécurité (souvent 0,5 m). 4. **Consulter les courbes caractéristiques** (Q‑H, Q‑η, Q‑NPSHᵣ) du catalogue du fabricant. 5. **Choisir le point de fonctionnement** : intersection de la courbe système (HMT = f(Q)) avec la courbe H‑Q de la pompe. 6. **Contrôler le rendement** : privilégier un point où η ≥ 70 % pour limiter la consommation énergétique. 7. **Vérifier les limites mécaniques** : vitesse de rotation, température du fluide, matériaux compatibles avec l’eau (inox 304, fonte ductile). ### 3. Exemple chiffré de sélection **Données** : - Débit de pointe Qc = 0,025 m³ s⁻¹ (1 500 L h⁻¹). - Hauteur géométrique Hg = 12 m. - Longueur tuyauterie d’aspiration Lₐ = 5 m, diamètre Dₐ = 50 mm, rugosité ε = 0,15 mm → f ≈ 0,020 (équation de Colebrook). - Longueur tuyauterie de refoulement Lᵣ = 30 m, diamètre Dᵣ = 40 mm, même rugosité. - Pertes locales estimées à 10 % des pertes linéaires. - Température de l’eau 20 °C → ρ = 998 kg m⁻³, ν = 1,0 × 10⁻⁶ m² s⁻¹. - Pression atmosphérique pₐₜₘ = 101 325 Pa. **Calcul** : Vitesse dans l’aspiration \(v_a = \frac{Q}{A_a} = \frac{0,025}{\pi (0,025)^2} \approx 12,7\ \text{m s}^{-1}\). Vitesse dans le refoulement \(v_r = \frac{Q}{A_r} = \frac{0,025}{\pi (0,02)^2} \approx 19,9\ \text{m s}^{-1}\). Pertes de charge linéaires : \[ \Delta P_{f,a}= f\frac{L_a}{D_a}\frac{v_a^2}{2g}=0,020\frac{5}{0,05}\frac{(12,7)^2}{2\cdot9,81}\approx 1,66\ \text{m} \] \[ \Delta P_{f,r}=0,020\frac{30}{0,04}\frac{(19,9)^2}{2\cdot9,81}\approx 15,3\ \text{m} \] Pertes locales (10 %) : \[ \Delta P_{loc}=0,1(\Delta P_{f,a}+\Delta P_{f,r})\approx 0,1(1,66+15,3)=1,70\ \text{m} \] HMT = Hg + ΔPf,total + ΔPloc = 12 + (1,66+15,3) + 1,70 ≈ 30,66 m CE. NPSHₐ = \( \frac{p_{atm}}{\rho g} + \frac{v_a^2}{2g} - h_{aspi} \) (en négligeant la vitesse d’aspiration dans le réservoir, hₐₛₚᵢ ≈ 0) : \[ \frac{101325}{998\cdot9,81}\approx 10,33\ \text{m} + \frac{(12,7)^2}{2\cdot9,81}\approx 8,23\ \text{m} - 0 = 18,56\ \text{m} \] En supposant un NPSHᵣ de la pompe de 4,0 m, on obtient NPSHₐ − NPSHᵣ ≈ 14,6 m > 0,5 m → condition satisfaire. **Choix** : Sur le catalogue d’un fabricant local (ex. KSB, modèle ETANORM ETNA 100), on lit la courbe H‑Q : à Q = 0,025 m³ s⁻¹, la pompe délivre H ≈ 32 m avec η ≈ 72 % et NPSHᵣ ≈ 3,8 m. Le point de fonctionnement se situe légèrement au-dessus de la courbe système (30,66 m), donc acceptable. > **À retenir** : La HMT doit toujours être calculée avec les pertes de charge réelles du réseau ; négliger les pertes locales conduit à un sous‑dimensionnement fréquent. ### 4. Tableau récapitulatif des critères de choix | Critère | Valeur recherchée | Unité | Commentaire | |---------|-------------------|-------|-------------| | Débit de conception Qc | ≥ demande pointe | m³ s⁻¹ | Marge de 10 % pour variations saisonnières | | HMT | Hg + ΣΔPf + ΣΔPl | m CE | Inclure pertes locales (5‑15 %) | | NPSHₐ | ≥ NPSHᵣ + 0,5 | m | Éviter cavitation | | Rendement η | ≥ 0,70 | – | Optimiser consommation énergétique | | Vitesse de rotation n | ≤ 1500 (pour pompes à entraînement direct) | tr min⁻¹ | Limiter usure mécanique | | Matériau du corps | Inox 304 ou fonte ductile | – | Compatibilité eau potable, résistance corrosion | --- ## II. Leçon 22 – Couplage des pompes ### 1. Principe de couplage Deux pompes identiques ou différentes peuvent être associées : - **En parallèle** : augmentent le débit tout en maintenant approximativement la même HMT. - **En série** : augmentent la HMT tout en conservant approximativement le même débit. > **À retenir** : Le couplage en parallèle nécessite que les courbes H‑Q des pompes se croisent à peu près au même débit ; le couplage en série exige que la HMT de chaque pompe s’additionne sans dépasser la limite de cavitation de l’amont. ### 2. Calcul du débit et de la HMT pour un couplage en parallèle Soit deux pompes A et B avec caractéristiques H‑Q connues. La courbe système est inchangée. Le débit total Qₜ est obtenu par la résolution de : \[ H_{syst}(Q_t) = H_A(Q_A) = H_B(Q_B) \] avec \(Q_t = Q_A + Q_B\). En pratique, on trace la courbe système et on ajoute les débits de chaque pompe à la même hauteur. **Exemple** : Deux pompes identiques à la courbe H = 40 − 800 Q (Q en m³ s⁻¹, H en m). Courbe système : Hₛᵧₛₜ = 30 + 500 Q² (pertes quadratiques). On résout pour Qₜ : \[ 30+500Q_t^2 = 40-800\frac{Q_t}{2} \quad (\text{car chaque pompe fournit } Q_t/2) \] \[ 30+500Q_t^2 = 40-400Q_t \] \[ 500Q_t^2 + 400Q_t -10 =0 \] Solution positive : \(Q_t ≈ 0,022\ \text{m³ s⁻¹}\) (soit 0,011 m³ s⁻¹ par pompe). HMT correspondante ≈ 30 + 500·(0,022)² ≈ 30,24 m. ### 3. Calcul du débit et de la HMT pour un couplage en série Dans un couplage série, le même débit traverse les deux pompes. La HMT totale est la somme des hauteurs fournies par chaque pompe à ce débit : \[ H_{tot}(Q) = H_A(Q) + H_B(Q) \] On trouve le débit d’intersection avec la courbe système : \[ H_{syst}(Q) = H_A(Q) + H_B(Q) \] **Exemple** : Pompe A : H = 35 − 600 Q ; Pompe B : H = 25 − 400 Q. Courbe système identique à l’exemple précédent. On résout : \[ 30+500Q^2 = (35-600Q)+(25-400Q)=60-1000Q \] \[ 500Q^2 +1000Q -30 =0 \] Solution positive : \(Q ≈ 0,023\ \text{m³ s⁻¹}\). HMT totale = Hₐ(Q)+H_b(Q) = (35‑600·0,023)+(25‑400·0,023) ≈ 35‑13,8 + 25‑9,2 ≈ 37,0 m. La courbe système à ce débit donne Hₛᵧₛₜ ≈ 30+500·(0,023)² ≈ 30,26 m, donc il faut ajouter une charge statique (réservoir surélevé) de ≈ 6,7 m pour atteindre le point de fonctionnement. ### 4. Consignes de mise en œuvre et sécurité - **Vanne de dérivation** : installer une vanne de dérivation sur chaque refoulement pour isoler une pompe en cas de maintenance. - **Clapet anti‑retour** : placer un clapet sur chaque refoulement afin d’éviter le refoulement lorsqu’une pompe est arrêtée. - **Équilibrage de charge** : vérifier que les moteurs ne soient pas surchargés ; utiliser un démarreur progressif ou un variateur de fréquence si nécessaire. - **Surveillance des vibrations** : un couplage mal aligné génère des vibrations excessives ; contrôler l’alignement laser avant mise en service. - **Arrêt d’urgence** : prévoir un bouton d’arrêt coupant l’alimentation de toutes les pompes du groupe. > **À retenir** : En parallèle, le débit total est la somme des débits individuels à la même hauteur ; en série, les hauteurs s’additionnent tandis que le débit reste constant. ### 5. Tableau récapitulatif des formules de couplage | Type de couplage | Débit total Qₜ | Hauteur totale Hₜ | Condition de fonctionnement | |------------------|----------------|-------------------|------------------------------| | Parallèle (pompes i) | \(Q_t = \sum_i Q_i\) où chaque \(Q_i\) satisfait \(H_{syst}(Q_t)=H_i(Q_i)\) | \(H_t = H_{syst}(Q_t)\) (identique pour chaque pompe) | Courbes H‑Q des pompes doivent se croiser près du même Q | | Série (pompes i) | \(Q_t = Q\) identique pour toutes | \(H_t = \sum_i H_i(Q)\) | \(H_{syst}(Q) = \sum_i H_i(Q)\) ; vérifier NPSHₐ de la première pompe | --- ## III. Activités d’intégration – Étude de cas : Adduction d’eau d’un village camerounais ### 1. Cahier des charges - Population desservie : 600 habitants. - Consommation journalière moyenne : 150 L hab⁻¹ j⁻¹ → débit moyen Qm = 0,010 m³ s⁻¹. - Pointe de consommation (facteur 2,5) : Qp = 0,025 m³ s⁻¹. - Source : forage à 8 m sous le niveau du sol. - Réservoir surélevé : hauteur géométrique Hg = 15 m au-dessus du sol du village. - Longueur totale de la conduite de refoulement : 45 m (D = 50 mm). - Longueur de la conduite d’aspiration : 6 m (D = 50 mm). - Pertes locales estimées : 12 % des pertes linéaires. - Température de l’eau : 22 °C (ρ = 998 kg m⁻³, ν = 0,95 × 10⁻⁶ m² s⁻¹). ### 2. Étapes de l’étude | Étape | Action | Résultat attendu | |-------|--------|------------------| | A | Calcul du débit de conception Qc (prendre Qp avec marge 10 %) | Qc = 0,0275 m³ s⁻¹ | | B | Détermination des pertes de charge linéaires (Darcy‑Weisbach) sur aspiration et refoulement | ΔPf,aspir ≈ 0,9 m ; ΔPf,ref ≈ 12,4 m | | C | Calcul des pertes locales (12 %) | ΔPloc ≈ 1,6 m | | D | HMT = Hg + ΣΔPf + ΣΔPl | HMT ≈ 15 + 0,9 + 12,4 + 1,6 = 29,9 m CE | | E | Vérification du NPSHₐ (hₐₛₚᵢ = 8 m, vitesse d’aspiration vₐ ≈ 14 m s⁻¹) | NPSHₐ ≈ 10,33 + (14²)/(2·9,81) − 8 ≈ 10,33 + 10,0 − 8 = 12,3 m | | F | Sélection d’une pompe (ex. Wilo‑Helix VE 10 / 4) : à Q = 0,0275 m³ s⁻¹, H ≈ 31 m, η ≈ 70 %, NPSHᵣ ≈ 3,5 m | Point de fonctionnement acceptable (HMT = 29,9 m < H = 31 m) | | G | Vérification du couplage éventuel : si une seule pompe ne suffit pas (ex. débit requis 0,04 m³ s⁻¹ pour incendie), envisager un couplage parallèle de deux pompes identiques. | Débit parallèle ≈ 2 × 0,0275 = 0,055 m³ s⁻¹ > besoin. | | H | Rédaction du schéma hydraulique (source → crépine → vanne d’arrêt → pompe → clapet anti‑retour → vanne de régulation → réservoir). | Schéma prêt pour réalisation. | | I | Élaboration du rapport de dimensionnement (données, calculs, choix, coût estimé, plan de maintenance). | Livrable final. | ### 3. Exemple de calcul détaillé (étape B) **Vitesse dans l’aspiration** : \[ v_a = \frac{Q_c}{A_a}= \frac{0,0275}{\pi (0,025)^2}= \frac{0,0275}{0,001963}=14,0\ \text{m s}^{-1} \] **Facteur de friction** (Colebrook‑White approximatif pour Re > 4000) : \[ Re_a = \frac{v_a D_a}{\nu}= \frac{14,0 \times 0,05}{0,95\times10^{-6}} \approx 7,4\times10^{5} \] Pour ε/D = 0,15/50 = 0,003, on obtient f ≈ 0,018 (tableau Moody). **Perte de charge linéaire aspiration** : \[ \Delta P_{f,a}= f\frac{L_a}{D_a}\frac{v_a^2}{2g}=0,018\frac{6}{0,05}\frac{14,0^2}{2\cdot9,81}\approx 0,9\ \text{m} \] **Vitesse dans le refoulement** : \[ v_r = \frac{Q_c}{\pi (0,025)^2}=14,0\ \text{m s}^{-1}\ (\text{même diamètre}) \] **Perte de charge linéaire refoulement** : \[ \Delta P_{f,r}=0,018\frac{45}{0,05}\frac{14,0^2}{2\cdot9,81}\approx 12,4\ \text{m} \] > **À retenir** : La perte de charge varie avec le carré de la vitesse ; doubler le débit quadruple les pertes linéaires. ### 4. Schéma hydraulique simplifié (texte) ``` [Forage] --(crêpine)--> [Vanne d'arrêt aspiration] --> [Pompe] --> [Clapet anti-retour] --> [Vanne de régulation débit] --> [Réservoir surélevé] --> [Réseau distribution] ``` ### 5. Coût estimatif (indicatif) - Pompe centrifuge (inox 304, 0,75 kW) : 250 000 FCFA - Moteur électrique triphasé 0,75 kW avec variateur de fréquence : 180 000 FCFA - Tuyauterie PVC‑O 50 mm (45 m) : 60 000 FCFA - Robinets, vannes, clapets : 40 000 FCFA - Réservoir béton armé 2 m³ : 300 000 FCFA - Main‑d’œuvre et études : 120 000 FCFA **Total approximatif** : 950 000 FCFA (≈ 1 450 €). > **À retenir** : Un dimensionnement correct permet de réduire la puissance installée et donc le coût d’exploitation (consommation électrique ≈ P × h × tarif). --- ## Synthèse du chapitre (mini‑fiche de révision) - **Débit de conception** : choisir Qc ≥ débit de pointe avec marge 10 %. - **HMT** : Hg + ΣΔPf (Darcy‑Weisbach) + ΣΔPl (5‑15 %). - **NPSHₐ** : \( \frac{p_{atm}}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} - h_{aspi} \) ; doit dépasser NPSHᵣ + 0,5 m. - **Rendement** : viser η ≥ 70 % au point de fonctionnement. - **Choix de pompe** : lire courbe H‑Q, η‑Q, NPSHᵣ‑Q ; intersection avec courbe système. - **Couplage parallèle** : débits s’ajoutent, hauteur constante ; vérifier que chaque pompe travaille à sa propre hauteur. - **Couplage série** : hauteurs s’ajoutent, débit constant ; vérifier NPSH de la première pompe. - **Sécurité** : vannes d’arrêt, clapets anti‑retour, variateur de fréquence, alignement laser, arrêt d’urgence. - **Exemple de dimensionnement** : forage 8 m, réservoir 15 m, Qc = 0,0275 m³ s⁻¹ → HMT ≈ 30 m, NPSHₐ ≈ 12 m → pompe Wilo‑Helix VE 10/4 adaptée. --- ## Glossaire (12 termes) | Terme | Définition | |-------|------------| | Débit volumique (Q) | Volume d’eau traversé par la pompe par unité de temps (m³ s⁻¹). | | Hauteur manométrique totale (HMT) | Somme de la hauteur géométrique, des pertes de charge linéaires et locales, exprimée en mètres d’eau colonne. | | NPSH disponible (NPSHₐ) | Pression nette positive d’aspiration disponible à l’entrée de la pompe (m). | | NPSH requis (NPSHᵣ) | Valeur fournie par le constructeur, dessous de laquelle apparaît la cavitation (m). | | Rendement (η) | Rapport puissance hydraulique utile / puissance absorbée par le moteur (adimensionnel). | | Courbe caractéristique | Représentation graphique H‑Q, η‑Q ou NPSHᵣ‑Q d’une pompe. | | Couplage parallèle | Association de pompes dont les débits s’ajoutent à une même hauteur. | | Couplage série | Association de pompes dont les hauteurs s’ajoutent pour un même débit. | | Clapet anti‑retour | Dispositif empêchant le refoulement du fluide lorsqu’une pompe est arrêtée. | | Vanne de régulation | Organe permettant d’ajuster le débit ou la pression dans une installation. | | Facteur de friction (f) | Coefficient sans dimension utilisé dans l’équation de Darcy‑Weisbach pour calculer les pertes de charge linéaires. | | Cavitation | Formation de bulles de vapeur dans le liquide à cause d’une pression locale trop basse, pouvant endommager la pompe. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Sélection d’une pompe pour un réseau d’irrigation **Données** : - Débit de pointe requis : 0,018 m³ s⁻¹. - Hauteur géométrique du réservoir : 10 m. - Longueur tuyauterie de refoulement : 25 m, diamètre 40 mm. - Longueur tuyauterie d’aspiration : 4 m, diamètre 40 mm. - Pertes locales estimées : 10 % des pertes linéaires. - Température de l’eau : 25 °C (ρ = 997 kg m⁻³, ν = 0,89 × 10⁻⁶ m² s⁻¹). **Demande** : 1. Calculer la HMT. 2. Vérifier le NPSHₐ (hauteur d’aspiration géométrique = 2 m). 3. Choisir une pompe parmi les deux suivantes (données extraites du catalogue) : | Pompe | H à Q=0,018 m³ s⁻¹ (m) | η à ce point (%) | NPSHᵣ (m) | |-------|------------------------|------------------|-----------| | A | 22 | 68 | 4,0 | | B | 26 | 73 | 3,5 | **Corrigé** : 1. **Vitesses** : \(A = \pi (0,02)^2 = 1,256\times10^{-3}\ \text{m}^2\) \(v = Q/A = 0,018 / 1,256e-3 = 14,33\ \text{m s}^{-1}\) (identique aspiration/refoulement). 2. **Nombre de Reynolds** : \(Re = v D / ν = 14,33 * 0,04 / 0,89e-6 ≈ 6,44e5\) → régime turbulent. 3. **Facteur de friction** (Moody, ε/D = 0,15/40 = 0,00375) → f ≈ 0,019. 4. **Pertes de charge linéaires** : \(\Delta P_{f,asp}= f (L/D) v^2/(2g) = 0,019 * (4/0,04) * (14,33^2)/(2*9,81) ≈ 0,79\ \text{m}\) \(\Delta P_{f,ref}= 0,019 * (25/0,04) * (14,33^2)/(2*9,81) ≈ 4,94\ \text{m}\) 5. **Pertes locales** (10 %) : \(\Delta P_{loc}=0,1*(0,79+4,94)=0,57\ \text{m}\) 6. **HMT** : \(HMT = Hg + ΣΔPf + ΣΔPl = 10 + (0,79+4,94) + 0,57 = 16,30\ \text{m CE}\) 7. **NPSHₐ** : \(\frac{p_{atm}}{\rho g}= \frac{101325}{997*9,81}=10,35\ \text{m}\) \(\frac{v^2}{2g}= (14,33^2)/(2*9,81)=10,46\ \text{m}\) \(h_{aspi}=2\ \text{m}\) \(\text{NPSH}_a = 10,35 + 10,46 - 2 = 18,81\ \text{m}\) Marge de sécurité : NPSHₐ − NPSHᵣ (pour chaque pompe) > 0,5 m → les deux pompes satisfont largement. 8. **Choix** : - Pompe A : H = 22 m > HMT = 16,3 m, η = 68 % (un peu faible). - Pompe B : H = 26 m > HMT, η = 73 % (meilleur rendement). **Conclusion** : choisir la pompe B (meilleur rendement, marge de hauteur suffisante). > **À retenir** : Lors du choix, privilégier le meilleur rendement tant que la hauteur fournie dépasse largement la HMT calculée. ### Exercice 2 – Couplage parallèle de deux pompes pour augmenter le débit **Données** : Deux pompes identiques de caractéristique H = 35 − 500 Q (Q en m³ s⁻¹, H en m). Courbe système d’un réseau d’adduction : Hₛᵧₛₜ = 20 + 800 Q². **Demande** : Déterminer le débit total Qₜ et la hauteur Hₜ lorsqu’on fait fonctionner les deux pompes en parallèle. **Corrigé** : En parallèle, chaque pompe fournit la moitié du débit total : \(Q_A = Q_B = Q_t/2\). La hauteur fournie par chaque pompe à ce débit doit être égale à la hauteur du système : \[ H_{syst}(Q_t) = H_{pompe}\!\left(\frac{Q_t}{2}\right) \] \[ 20 + 800 Q_t^2 = 35 - 500 \left(\frac{Q_t}{2}\right) \] \[ 20 + 800 Q_t^2 = 35 - 250 Q_t \] \[ 800 Q_t^2 + 250 Q_t -15 = 0 \] Résolution (formule du second degré) : \[ Q_t = \frac{-250 + \sqrt{250^2 - 4*800*(-15)}}{2*800} \] \[ \Delta = 62 500 + 48 000 = 110 500 \] \[ \sqrt{\Delta} ≈ 332,4 \] \[ Q_t = \frac{-250 + 332,4}{1600} = \frac{82,4}{1600} ≈ 0,0515\ \text{m³ s⁻¹} \] Hauteur du système à ce débit : \[ H_t = 20 + 800 (0,0515)^2 = 20 + 800 * 0,00265 ≈ 20 + 2,12 = 22,12\ \text{m CE} \] **Résultat** : Débit total ≈ 0,052 m³ s⁻¹ (≈ 3 100 L h⁻¹), hauteur ≈ 22,1 m. > **À retenir** : En parallèle, le débit total est approximativement la somme des débits individuels à la même hauteur ; la hauteur résultante est celle du système à ce débit total. ### Exercice 3 – Vérification du NPSH pour une pompe en aspiration sous vide partiel **Données** : - Pompe installée au sommet d’un puits de 6 m de profondeur (niveau d’eau statique 6 m sous la pompe). - Température de l’eau 20 °C (ρ = 998 kg m⁻³, ν = 1,0 × 10⁻⁶ m² s⁻¹). - Débit de fonctionnement Q = 0,012 m³ s⁻¹. - Diamètre tuyauterie d’aspiration D = 0,05 m, longueur L = 3 m. - Pértes locales estimées : 8 % des pertes linéaires. - Pression atmosphérique 101 325 Pa. - NPSHᵣ de la pompe = 2,8 m. **Demande** : Calculer le NPSHₐ et conclure sur la risque de cavitation. **Corrigé** : 1. **Vitesse dans l’aspiration** : \(A = \pi (0,025)^2 = 1,963\times10^{-3}\ \text{m}^2\) \(v = Q/A = 0,012 / 1,963e-3 = 6,11\ \text{m s}^{-1}\) 2. **Nombre de Reynolds** : \(Re = v D / ν = 6,11 * 0,05 / 1,0e-6 = 3,06e5\) → turbulent. 3. **Facteur de friction** (ε/D = 0,15/0,05 = 0,003) → f ≈ 0,019. 4. **Pertes de charge linéaires** : \(\Delta P_{f}= f (L/D) v^2/(2g) = 0,019 * (3/0,05) * (6,11^2)/(2*9,81) ≈ 0,21\ \text{m}\) 5. **Pertes locales** (8 %) : \(\Delta P_{loc}=0,08 * 0,21 = 0,017\ \text{m}\) 6. **Charge statique d’aspiration** : la pompe est située 6 m au-dessus du niveau d’eau → \(h_{aspi}= -6\ \text{m}\) (négative car l’eau doit être poussée vers le haut). 7. **NPSHₐ** : \[ \text{NPSH}_a = \frac{p_{atm}}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} - h_{aspi} - \Delta P_{f} - \Delta P_{loc} \] \[ \frac{p_{atm}}{\rho g}= \frac{101325}{998*9,81}=10,33\ \text{m} \] \[ \frac{v^2}{2g}= \frac{6,11^2}{2*9,81}=1,90\ \text{m} \] \[ -h_{aspi}= -(-6)=+6\ \text{m} \] \[ \text{NPSH}_a = 10,33 + 1,90 + 6 - 0,21 - 0,017 = 18,00\ \text{m} \] 8. **Comparaison** : NPSHₐ = 18,0 m ≫ NPSHᵣ = 2,8 m → marge de sécurité largement suffisante, aucun risque de cavitation. > **À retenir** : Même avec une aspiration située plusieurs mètres au-dessus du niveau d’eau, le NPSHₐ reste élevé tant que la pression atmosphérique et la vitesse d’aspiration sont suffisantes ; la cavitation apparaît surtout lorsque la hauteur d’aspiration est grande et que les pertes de charge sont importantes. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité (4 à 6 cas) | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |---|------------------|-------------|-----------------------------------| | 1 | Négliger les pertes de charge locales (coudes, vannes) lors du calcul de la HMT. | Sous‑estimation de la hauteur nécessaire → pompe sous‑dimensionnée, débit insuffisant. | Toujours ajouter 5‑15 % des pertes linéaires pour les pertes locales ; consulter les tables de pertes équivalentes. | | 2 | Utiliser une pompe dont le NPSHᵣ dépasse le NPSHₐ calculé. | Cavitation, bruit, vibrations, dégradation rapide de l’aube et du joint mécanique. | Vérifier NPSHₐ ≥ NPSHᵣ + 0,5 m ; si non, augmenter la hauteur d’aspiration réduite ou installer un inducer. | | 3 | Installer deux pompes en parallèle sans vérifier que leurs courbes H‑Q se croisent à peu près au même débit. | Une pompe fonctionne en surcharge tandis que l’autre travaille à faible débit → usure prématurée et risque de surchauffe. | Tracer les courbes H‑Q de chaque pompe et la courbe système ; choisir des pompes avec caractéristiques similaires ou ajouter un régulateur de débit. | | 4 | Oublier le clapet anti‑retour sur le refoulement d’une pompe en parallèle. | Lorsqu’une pompe s’arrête, le refoulement de l’autre pompe peut faire tourner à l’envers l’arrêtée, endommageant le joint mécanique. | Installer systématiquement un clapet anti‑retour immédiatement après chaque refoulement. | | 5 | Démarrer une pompe à pleine charge sans variateur de fréquence ou démarreur progressif sur une installation avec forte inertie (longue colonne d’eau). | Coup de bélier, surintensité du moteur, déclenchement de la protection thermique. | Utiliser un démarreur progressif ou un variateur de fréquence pour augmenter progressivement la vitesse. | | 6 | Négliger l’alignement laser des arbres moteur‑pompe lors du montage. | Vibrations excessives, usure prématurée des roulements, bruit, consommation énergétique accrue. | Après montage, vérifier l’alignement avec un appareil laser ; tolérance généralement < 0,05 mm selon les constructeurs. | --- *Fin du cours.* *Ce document respecte les exigences du programme officiel MINESEC/IGE pour la série ISH, niveau Terminale, et propose une approche par compétences adaptée au contexte technique camerounais.*