Fluide en déplacement simple (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire le phénomène d’écoulement avec bifurcation et appliquer les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie aux dérivations d’un réseau de tuyaux. - Calculer les débits, les pertes de charge et les pressions dans chaque branche d’une bifurcation en utilisant la loi de Poiseuille, l’équation de Darcy‑Weisbach ou la méthode des résistances hydrauliques. - Définir un fluide parfait, énoncer les hypothèses d’incompressibilité, d’absence de viscosité et d’irrotationnel, et écrire les équations d’Euler et de Bernoulli. - Utiliser le théorème de Bernoulli pour déterminer les variations de pression et de vitesse dans un écoulement idéal (Venturi, tuyau Pitot, écoulement autour d’un profil). - Réaliser un dimensionnement simple d’un dispositif de mesure de débit (Venturi) adapté à un contexte professionnel camerounais (usine de transformation agroalimentaire, chantier de distribution d’eau). - Identifier les erreurs fréquentes de calcul et appliquer les règles de sécurité liées à la manipulation des fluides sous pression. **Prérequis** : - Notions de base en mécanique des fluides (débit volumique \(Q\), vitesse moyenne \(v\), pression \(p\), densité \(\rho\)). - Loi de continuité pour un écoulement incompressible : \(A_1 v_1 = A_2 v_2\). - Équation de Bernoulli pour un fluide réel avec pertes de charge : \(\displaystyle \frac{p}{\rho g}+ \frac{v^{2}}{2g}+z = \text{constante} - h_f\). - Unités du Système International (SI) : m, s, kg, Pa, m³/s. - Lecture de schémas de tuyauterie et connaissance des normes camerounaises de sécurité sur les installations de fluides (arrêté n° 2005/001 du MINTP relatif à la prévention des risques liés aux réseaux sous pression). --- ## Introduction contextualisée Dans les installations techniques du Cameroun – réseaux d’alimentation en eau potable, systèmes de climatisation des bâtiments publics, lignes de transfert de produits pétroliers ou de jus de fruits dans les agro‑industries – le fluide rencontre fréquemment des changements de géométrie : jonctions en T, dérivations en Y, rétrécissements (Venturi) ou élargissements. Ces configurations provoquent soit une **bifurcation** du débit (séparation en plusieurs branches) soit un écoulement idéal où les effets de viscosité peuvent être négligés (fluide parfait). Maîtriser l’analyse de ces situations permet au technicien de dimensionner correctement les canalisations, de prévoir les pertes de charge, d’optimiser la consommation d’énergie et de garantir la sécurité des installations. Ce chapitre présente, d’abord, les outils de calcul pour les écoulements avec bifurcation, puis les principes fondamentaux des fluides parfaits, en s’appuyant sur des exemples concrets issus de la pratique professionnelle camerounaise. --- ## I. Écoulement avec bifurcation ### 1. Définition et phénomène Une **bifurcation** se produit lorsqu’un conduit principal se divise en deux ou plusieurs dérivations. Le débit volumique entrant \(Q_{in}\) se répartit entre les branches selon les lois de conservation : > **Conservation de la masse (continuité)** : \(\displaystyle Q_{in}= \sum_{i} Q_i\) > **Conservation de la quantité de mouvement** (approximation pour écoulement laminaire ou turbulent négligeant les pertes de charge locales) : \(\displaystyle \sum_{i} \rho Q_i \vec{v}_i = \rho Q_{in} \vec{v}_{in}\) > **Conservation de l’énergie** (équation de Bernoulli étendue avec pertes de charge) : \(\displaystyle \frac{p_{in}}{\rho g}+ \frac{v_{in}^2}{2g}+z_{in}= \frac{p_i}{\rho g}+ \frac{v_i^2}{2g}+z_i+ h_{f,i}\) où \(h_{f,i}\) représente la perte de charge dans la branche \(i\) (friction + pertes locales). ### 2. Analyse de la bifurcation #### 2.1. Régime d’écoulement Le nombre de Reynolds \(Re = \dfrac{\rho v D}{\mu}\) détermine le régime : - \(Re < 2000\) → écoulement laminaire (loi de Poiseuille applicable). - \(Re > 4000\) → écoulement turbulent (on utilise l’équation de Darcy‑Weisbach). #### 2.2. Méthode des résistances hydrauliques On assimile chaque branche à une résistance hydraulique \(R_i\) telle que la perte de charge s’écrit : - **Écoulement laminaire** : \(h_{f,i}= R_i^{\text{lam}} Q_i\) avec \[ R_i^{\text{lam}} = \frac{128 \mu L_i}{\pi D_i^{4}\,\rho g} \] - **Écoulement turbulent** : \(h_{f,i}= R_i^{\text{turb}} Q_i^{2}\) avec \[ R_i^{\text{turb}} = \frac{f L_i}{2 g D_i A_i^{2}} \] où \(f\) est le facteur de Darcy (fonction de \(Re\) et de la rugosité relative \(\varepsilon/D\)), \(A_i=\pi D_i^{2}/4\). La répartition du débit se obtient en résolvant le système : \[ \begin{cases} Q_{in}= Q_1+Q_2+\dots+Q_n\\[4pt] \displaystyle \frac{p_{in}}{\rho g}+ \frac{v_{in}^2}{2g}+z_{in}= \frac{p_i}{\rho g}+ \frac{v_i^2}{2g}+z_i+ h_{f,i} \quad (\forall i) \end{cases} \] En pratique, on suppose que les pressions à la sortie de chaque branche sont égales (atmosphérique ou pression de service connue), ce qui simplifie le calcul. ### 3. Exemple chiffré : bifurcation d’une conduite d’eau sur un chantier au Cameroun **Données** : - Conduite principale : diamètre \(D_{0}=100\; \text{mm}=0,10\; \text{m}\), longueur négligeable avant la jonction. - Deux dérivations identiques : diamètre \(D_{1}=D_{2}=50\; \text{mm}=0,05\; \text{m}\), longueur \(L_{1}=L_{2}=15\; \text{m}\). - Débit entrant : \(Q_{0}=0,020\; \text{m}^3\!/\text{s}\) (20 L/s). - Eau à 20 °C : \(\rho = 998\; \text{kg/m}^3\), \(\mu = 1,0\times10^{-3}\; \text{Pa·s}\). - Rugosité absolue du tuyau en acier galvanisé : \(\varepsilon = 0,045\; \text{mm}\). - Pression à l’entrée de la bifurcation : \(p_{0}=300\; \text{kPa}\) (manométrique). - Les deux débouchés sont ouverts à l’atmosphère (\(p_{1}=p_{2}=0\) manométrique). - Hauteur identique pour toutes les sections (\(z\) constant). **Étape 1 – Calcul du nombre de Reynolds dans la conduite principale** \[ v_{0}= \frac{Q_{0}}{A_{0}} = \frac{0,020}{\pi (0,10)^2/4}= 2,55\; \text{m/s} \] \[ Re_{0}= \frac{\rho v_{0} D_{0}}{\mu}= \frac{998 \times 2,55 \times 0,10}{1,0\times10^{-3}} \approx 2,55\times10^{5} \] → écoulement turbulent. **Étape 2 – Facteur de Darcy (approximation de Swamee‑Jain simplifiée)** \[ \frac{\varepsilon}{D_{0}} = \frac{0,045\times10^{-3}}{0,10}=4,5\times10^{-4} \] \[ f_{0}= \frac{0,25}{\left[ \log_{10}\!\left( \frac{\varepsilon/D_{0}}{3,7}+ \frac{5,74}{Re_{0}^{0,9}} \right) \right]^2} \approx 0,018 \] **Étape 3 – Résistance hydraulique d’une dérivation (régime turbulent)** Aire d’une dérivation : \[ A = \frac{\pi D^{2}}{4}= \frac{\pi (0,05)^2}{4}=1,96\times10^{-3}\; \text{m}^2 \] On estime le facteur de Darcy pour la branche (même rugosité, même ordre de grandeur de \(Re\)) : \[ \frac{\varepsilon}{D}= \frac{0,045\times10^{-3}}{0,05}=9,0\times10^{-4} \] En utilisant Swamee‑Jain avec un \(Re\) provisoire on obtient \(f\approx0,020\). Résistance hydraulique quadratique : \[ R = \frac{f L}{2 g D A^{2}}= \frac{0,020 \times 15}{2 \times 9,81 \times 0,05 \times (1,96\times10^{-3})^2} \approx 7,9\times10^{4}\; \text{s}^2\!/\text{m}^5 \] **Étape 4 – Débit dans chaque branche (symétrie)** Comme les deux dérivations sont identiques et débouchent à la même pression, la continuité impose : \[ Q_{0}=Q_{1}+Q_{2}=2Q_{b}\;\Longrightarrow\; Q_{b}= \frac{Q_{0}}{2}=0,010\; \text{m}^3\!/\text{s}=10\; \text{L/s} \] Vitesse dans chaque branche : \[ v_{b}= \frac{Q_{b}}{A}= \frac{0,010}{1,96\times10^{-3}}=5,10\; \text{m/s} \] **Étape 5 – Perte de charge dans chaque branche (formule de Darcy‑Weisbach)** \[ h_{f}= f \frac{L}{D}\frac{v_{b}^{2}}{2g} =0,020 \times \frac{15}{0,05}\times \frac{5,10^{2}}{2\times9,81} \approx 8,1\; \text{m} \] **Étape 6 – Pression à la sortie de chaque branche** Énergie à l’entrée : \[ C=\frac{p_{0}}{\rho g}+ \frac{v_{0}^{2}}{2g} = \frac{300\,000}{998\times9,81}+ \frac{2,55^{2}}{2\times9,81} \approx 30,7+0,33=31,0\; \text{m} \] Énergie à la sortie (même \(z\)) : \[ \frac{p_{out}}{\rho g}+ \frac{v_{b}^{2}}{2g}+ h_{f}=C \] \[ \frac{p_{out}}{\rho g}= C-\frac{v_{b}^{2}}{2g}-h_{f} =31,0- \frac{5,10^{2}}{2\times9,81}-8,1 \approx 31,0-1,33-8,1=21,6\; \text{m} \] \[ p_{out}= \rho g \times 21,6 \approx 998\times9,81\times21,6 \approx 2,12\times10^{5}\; \text{Pa}=212\; \text{kPa (manométrique)} \] **Résultat** : Chaque dérivation transporte **10 L/s**, subit une perte de charge d’environ **8,1 m** d’eau et la pression à sa sortie vaut **≈ 212 kPa** (manométrique). > **À retenir** : Dans une bifurcation symétrique, le débit se partage équitablement seulement si les pertes de charge des branches sont égales ; sinon, il faut résoudre le système de Bernoulli‑continuité pour obtenir la répartition réelle. ### 4. Procédure pas à pas pour le technicien de chantier 1. **Relever les données géométriques** (diamètres, longueurs, rugosité) de chaque branche. 2. **Calculer les aires** \(A_i=\pi D_i^2/4\). 3. **Estimer le régime** (Reynolds) dans la conduite principale pour choisir la formule de perte de charge (Poiseuille ou Darcy‑Weisbach). 4. **Déterminer les résistances hydrauliques** \(R_i\) selon le régime : - laminaire : \(R_i^{\text{lam}} = \dfrac{128 \mu L_i}{\pi D_i^{4}\rho g}\) (perte linéaire \(h_{f,i}=R_i^{\text{lam}}Q_i\)) ; - turbulent : \(R_i^{\text{turb}} = \dfrac{f L_i}{2 g D_i A_i^{2}}\) (perte quadratique \(h_{f,i}=R_i^{\text{turb}}Q_i^{2}\)). 5. **Écrire l’équation de Bernoulli** pour chaque branche en incluant la perte de charge \(h_{f,i}\). 6. **Imposer la continuité** \(\displaystyle Q_{in}= \sum Q_i\). 7. **Résoudre le système** (souvent par itération ou résolution analytique si les branches sont identiques). 8. **Vérifier les pressions de sortie** ; si elles sont négatives, revoir les hypothèses (présence de vannes, cavitation). 9. **Documenter les résultats** dans le carnet de chantier et comparer avec les normes de pression minimale autorisée (ex. : 100 kPa pour l’eau potable selon l’arrêté MINTP n° 2005/001). --- ## II. Fluides parfaits ### 1. Définition et hypothèses Un **fluide parfait** (ou fluide idéal) est un fluide qui satisfait simultanément : > **Incompressibilité** : la densité \(\rho\) est constante (\(\partial \rho/\partial t =0\) et \(\nabla\!\cdot\!(\rho\vec v)=0\)). > **Absence de viscosité** : le tenseur de contrainte visqueuse est nul (\(\tau =0\)). > **Irrotationnel** : le rotationnel du champ de vitesse est nul (\(\nabla \times \vec{v}=0\)), ce qui permet l’existence d’un potentiel de vitesse \(\phi\) tel que \(\vec{v}= \nabla \phi\). Ces hypothèses permettent d’éliminer les termes de dissipation d’énergie et d’obtenir des équations d’écoulement simplifiées. ### 2. Équations gouvernantes #### 2.1. Équation d’Euler (forme différentiel) \[ \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+ (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \right)= -\nabla p + \rho \vec{g} \] En régime permanent et sans forces volumiques (\(\vec{g}\) négligeable ou intégré dans la pression piezométrique), elle se réduit à : \[ (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}= -\frac{1}{\rho}\nabla p \] #### 2.2. Théorème de Bernoulli (écoulement stationnaire, le long d’un filament de courant) \[ \frac{p}{\rho g}+ \frac{v^{2}}{2g}+ z = \text{constante} \] > **À retenir** : Le théorème de Bernoulli ne vaut que le long d’un même filament de courant dans un écoulement idéal, permanent et sans travail externe. #### 2.3. Équation de continuité (incompressibilité) \[ \nabla \cdot \vec{v}=0 \quad \text{ou} \quad A_1 v_1 = A_2 v_2 \] ### 3. Applications professionnelles au Cameroun #### 3.1. Tuyau de Venturi – mesure de débit Un **Venturi** consiste en un rétrécissement symétrique d’un tuyau : diamètre d’entrée \(D_1\), diamètre de gorge \(D_2 < D_1\), puis rétablissement à \(D_1\). En supposant un fluide parfait, on applique Bernoulli entre l’entrée (1) et la gorge (2) : \[ \frac{p_1}{\rho g}+ \frac{v_1^2}{2g}= \frac{p_2}{\rho g}+ \frac{v_2^2}{2g} \] Avec la continuité \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) on obtient : \[ \Delta p = p_1-p_2 = \frac{\rho}{2}\left( v_2^2 - v_1^2 \right) = \frac{\rho}{2} v_1^2 \left( \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 -1 \right) \] Le débit volumique se calcule alors : \[ Q = A_1 v_1 = A_1 \sqrt{ \frac{2 \Delta p}{\rho \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 -1 \right] } } \] > **À retenir** : Le coefficient de déchargement \(C_d\) (entre 0,95 et 0,99 pour un Venturi bien conçu) doit être introduit pour tenir compte des écarts réels : \(Q = C_d A_1 \sqrt{ \frac{2 \Delta p}{\rho \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 -1 \right] } }\). #### 3.2. Tuyau Pitot – mesure de vitesse Un tube Pitot placé face au flux mesure la pression de stagnation \(p_0\) ; la pression statique \(p\) est captée par un orifice latéral. En fluide parfait : \[ p_0 = p + \frac{1}{2}\rho v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{ \frac{2(p_0-p)}{\rho} } \] #### 3.3. Écoulement autour d’un profil aérodynamique (ex. : aube de ventilateur) Dans le cas d’un profil mince à incidence faible, la portance par unité d’envergure se exprime par la formule de Kutta‑Joukowski (valable pour un fluide parfait et irrotationnel) : \[ L' = \rho v \Gamma \] où \(\Gamma\) est la circulation autour du profil. Cette relation sert au dimensionnement des ventilateurs utilisés dans les systèmes de climatisation des bâtiments administratifs au Cameroun. ### 4. Exemple chiffré : dimensionnement d’un Venturi pour mesurer le débit d’eau d’une usine de transformation de manioc à Douala **Données** : - Eau à 25 °C : \(\rho = 997\; \text{kg/m}^3\). - Diamètre du tuyau d’alimentation : \(D_1 = 80\; \text{mm}=0,080\; \text{m}\). - Diamètre de la gorge du Venturi : \(D_2 = 40\; \text{mm}=0,040\; \text{m}\). - Pression mesurée à l’entrée : \(p_1 = 250\; \text{kPa}\) (manométrique). - Pression mesurée à la gorge : \(p_2 = 180\; \text{kPa}\) (manométrique). - On suppose un coefficient de déchargement \(C_d = 0,97\). **Étape 1 – Calcul des aires** \[ A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4}= \frac{\pi (0,080)^2}{4}=5,03\times10^{-3}\; \text{m}^2 \] \[ A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4}= \frac{\pi (0,040)^2}{4}=1,26\times10^{-3}\; \text{m}^2 \] **Étape 2 – Différence de pression** \[ \Delta p = p_1-p_2 = 250-180 = 70\; \text{kPa}=7,0\times10^{4}\; \text{Pa} \] **Étape 3 – Rapport d’aires** \[ \frac{A_1}{A_2}= \frac{5,03\times10^{-3}}{1,26\times10^{-3}} = 3,99 \approx 4,0 \] \[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 -1 = (4,0)^2 -1 = 16-1 = 15 \] **Étape 4 – Débit théorique (sans \(C_d\))** \[ Q_{th}= A_1 \sqrt{ \frac{2 \Delta p}{\rho \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 -1 \right] } } = 5,03\times10^{-3} \sqrt{ \frac{2 \times 7,0\times10^{4}}{997 \times 15} } \] \[ \frac{2 \times 7,0\times10^{4}}{997 \times 15}= \frac{1,40\times10^{5}}{14\,955}=9,36 \] \[ \sqrt{9,36}=3,06\; \text{m/s} \] \[ Q_{th}=5,03\times10^{-3} \times 3,06 = 1,54\times10^{-2}\; \text{m}^3\!/\text{s}=15,4\; \text{L/s} \] **Étape 5 – Application du coefficient de déchargement** \[ Q = C_d \, Q_{th}=0,97 \times 15,4 = 14,9\; \text{L/s} \] **Résultat** : Le Venturi permet de mesurer un débit d’environ **15 L/s** d’eau dans l’usine de manioc. > **À retenir** : Pour un Venturi, la précision dépend fortement du respect de la géométrie (conicité, finition de surface) et du coefficient de déchargement fourni par le fabricant ou déterminé par étalonnage. ### 5. Procédure pas à pas pour le technicien de maintenance 1. **Vérifier l’état du Venturi** (absence de corrosion, dépôts, dommages mécaniques). 2. **Mesurer les pressions** \(p_1\) et \(p_2\) avec des manomètres ou capteurs de pression calibrés (classe 0,5 % ou mieux). 3. **Noter la température du fluide** pour obtenir la densité \(\rho\) (tableaux ou formule \(\rho = \rho_0[1-\beta (T-T_0)]\)). 4. **Calculer les aires** à partir des diamètres nominaux (ou mesurés avec un pied à coulisse). 5. **Appliquer la formule de débit** incluant le coefficient de déchargement \(C_d\). 6. **Comparer le débit mesuré** avec la spécification du procédé ; ajuster les vannes de régulation si nécessaire. 7. **Consigner les valeurs** dans le registre de suivi et déclencher une maintenance préventive si l’écart dépasse ±5 %. --- ## Synthèse du chapitre (mini‑fiche de révision) - **Écoulement avec bifurcation** - Continuité : \(Q_{in}= \sum Q_i\). - Énergie (Bernoulli étendu) : \(\displaystyle \frac{p_{in}}{\rho g}+ \frac{v_{in}^2}{2g}+z_{in}= \frac{p_i}{\rho g}+ \frac{v_i^2}{2g}+z_i+ h_{f,i}\). - Résistance hydraulique : * laminaire : \(h_{f,i}= R_i^{\text{lam}} Q_i\) avec \(R_i^{\text{lam}} = \dfrac{128 \mu L_i}{\pi D_i^{4}\rho g}\) ; * turbulent : \(h_{f,i}= R_i^{\text{turb}} Q_i^{2}\) avec \(R_i^{\text{turb}} = \dfrac{f L_i}{2 g D_i A_i^{2}}\). - Méthode de résolution : établir les équations de Bernoulli pour chaque branche, imposer la continuité, résoudre (souvent par itération). - Exemple : bifurcation d’une conduite de 100 mm vers deux dérivations de 50 mm, débit d’entrée 20 L/s → chaque branche ≈10 L/s, perte de charge ≈8 m, pression de sortie ≈212 kPa. - **Fluides parfaits** - Hypothèses : incompressible, non visqueux, irrotationnel. - Équation d’Euler : \(\rho(\partial_t \vec{v}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=-\nabla p+\rho\vec{g}\). - Théorème de Bernoulli (le long d’un filament) : \(\displaystyle \frac{p}{\rho g}+ \frac{v^{2}}{2g}+z = Cste\). - Continuité : \(A_1 v_1 = A_2 v_2\). - Applications : Venturi (mesure de débit), tube Pitot (mesure de vitesse), portance d’aube (Kutta‑Joukowski). - Formule Venturi avec coefficient de déchargement : \(\displaystyle Q = C_d A_1 \sqrt{ \frac{2\Delta p}{\rho\left[(A_1/A_2)^2-1\right]} }\). - Exemple : Venturi \(D_1=80\) mm, \(D_2=40\) mm, \(\Delta p=70\) kPa → \(Q≈15\) L/s (eau, \(C_d=0,97\)). --- ## Glossaire (6 termes) | Terme | Définition | |-------|------------| | **Bifurcation** | Séparation d’un conduit principal en deux ou plusieurs dérivations, entraînant une répartition du débit volumique. | | **Nombre de Reynolds (Re)** | Nombre sans dimension \(Re=\rho v D/\mu\) caractérisant le régime d’écoulement (laminaire si \(Re<2000\), turbulent si \(Re>4000\)). | | **Résistance hydraulique (R)** | Coefficient reliant la perte de charge \(h_f\) au débit : pour un écoulement laminaire \(h_f = R Q\) ; pour un écoulement turbulent \(h_f = R Q^2\). | | **Fluide parfait** | Fluide incompressible, dépourvu de viscosité et irrotationnel, permettant l’emploi des équations d’Euler et de Bernoulli. | | **Théorème de Bernoulli** | Relation entre pression, vitesse et hauteur le long d’un filament de courant dans un écoulement idéal, permanent et sans travail externe : \(p/(\rho g)+v^2/(2g)+z=\text{constante}\). | | **Coefficient de déchargement (C_d)** | Facteur correctif (généralement entre 0,95 et 0,99) tenant compte des écarts réels entre le débit théorique et le débit mesuré dans un dispositif de mesure (Venturi, orifice, etc.). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Bifurcation d’un réseau d’alimentation en eau potable **Situation** : Une conduite principale de diamètre 120 mm alimente deux dérivations identiques de diamètre 60 mm chacune, chacune longue de 20 m. Le débit entrant est de 0,030 m³/s (30 L/s). L’eau est à 20 °C (\(\rho=998\) kg/m³, \(\mu=1,0\times10^{-3}\) Pa·s). La pression à l’entrée de la bifurcation est de 350 kPa (manométrique). Les deux débouchés sont ouverts à l’atmosphère. Déterminer le débit dans chaque branche et la pression à la sortie de chacune, en supposant un écoulement turbulent et un facteur de Darcy \(f=0,019\) identique pour les deux dérivations. **Corrigé** : 1. Aires : \(A_0=\pi (0,12)^2/4=1,13\times10^{-2}\) m², \(A_{br}=\pi (0,06)^2/4=2,83\times10^{-3}\) m². 2. Vitesse dans la conduite principale : \(v_0=Q_0/A_0=0,030/1,13\times10^{-2}=2,65\) m/s. 3. Nombre de Reynolds dans la conduite principale : \(Re_0=\rho v_0 D_0/\mu=998\times2,65\times0,12/1,0\times10^{-3}\approx3,2\times10^{5}\) → turbulent. 4. Pour une branche identique, on pose \(Q_{br}=Q_b\) et \(v_{br}=Q_b/A_{br}\). L’équation de Bernoulli (avec pression de sortie inconnue mais égale pour les deux branches) donne : \[ \frac{p_0}{\rho g}+ \frac{v_0^2}{2g}= \frac{p_{out}}{\rho g}+ \frac{v_{br}^2}{2g}+ h_{f} \] où \(h_{f}= f \dfrac{L}{D}\dfrac{v_{br}^2}{2g}\). 5. En imposant la continuité \(Q_0=2Q_b\) on obtient \(Q_b=Q_0/2=0,015\) m³/s = **15 L/s**. 6. Vitesse dans chaque branche : \(v_{br}=Q_b/A_{br}=0,015/2,83\times10^{-3}=5,30\) m/s. 7. Perte de charge (Darcy‑Weisbach) : \[ h_{f}= f \frac{L}{D}\frac{v_{br}^2}{2g} =0,019 \times \frac{20}{0,06} \times \frac{5,30^2}{2\times9,81} \approx 9,3\; \text{m} \] 8. Énergie à l’entrée : \[ C=\frac{p_0}{\rho g}+ \frac{v_0^2}{2g} =\frac{350\,000}{998\times9,81}+ \frac{2,65^2}{2\times9,81} \approx 35,8+0,36=36,2\; \text{m} \] 9. Pression à la sortie : \[ \frac{p_{out}}{\rho g}= C-\frac{v_{br}^2}{2g}-h_{f} =36,2- \frac{5,30^2}{2\times9,81}-9,3 \approx 36,2-1,43-9,3=25,5\; \text{m} \] \[ p_{out}= \rho g \times 25,5 \approx 998\times9,81\times25,5 \approx 2,49\times10^{5}\; \text{Pa}=249\; \text{kPa (manométrique)} \] **Réponse** : Chaque dérivation transporte **15 L/s**, la perte de charge est d’environ **9,3 m** d’eau, et la pression à la sortie de chaque branche vaut **≈ 249 kPa** (manométrique). > **À retenir** : Dans une bifurcation, il faut d’abord imposer la continuité pour obtenir le débit réel dans chaque branche, puis calculer les pertes de charge avec la formule de Darcy‑Weisbach (ou Poiseuille selon le régime) avant de déterminer la pression de sortie. --- ### Exercice 2 – Mesure de débit avec un Venturi dans une usine de traitement de jus d’ananas à Yaoundé **Situation** : Un Venturi installé sur une conduite de jus d’ananas (densité approximative de l’eau, \(\rho=1020\) kg/m³, viscosité négligée pour l’approximation parfaite) a un diamètre d’entrée \(D_1=100\) mm et un diamètre de gorge \(D_2=50\) mm. Les pressions mesurées sont \(p_1=180\) kPa et \(p_2=130\) kPa (manométriques). Le coefficient de déchargement fourni par le fabricant est \(C_d=0,96\). Calculer le débit volumique du jus. **Corrigé** : 1. Aires : \(A_1=\pi (0,10)^2/4=7,85\times10^{-3}\) m², \(A_2=\pi (0,05)^2/4=1,96\times10^{-3}\) m². 2. Rapport d’aires : \(\displaystyle \frac{A_1}{A_2}= \frac{7,85\times10^{-3}}{1,96\times10^{-3}}=4,00\). 3. \(\displaystyle \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2-1 = 4^2-1 = 16-1 =15\). 4. Différence de pression : \(\Delta p = p_1-p_2 = 180-130 = 50\) kPa = \(5,0\times10^{4}\) Pa. 5. Débit théorique : \[ Q_{th}= A_1 \sqrt{ \frac{2\Delta p}{\rho\left[(A_1/A_2)^2-1\right]} } = 7,85\times10^{-3} \sqrt{ \frac{2\times5,0\times10^{4}}{1020\times15} } \] \[ \frac{2\times5,0\times10^{4}}{1020\times15}= \frac{1,0\times10^{5}}{15\,300}=6,54 \] \[ \sqrt{6,54}=2,56\; \text{m/s} \] \[ Q_{th}=7,85\times10^{-3}\times2,56 = 2,01\times10^{-2}\; \text{m}^3\!/\text{s}=20,1\; \text{L/s} \] 6. Débit réel avec coefficient de déchargement : \[ Q = C_d \, Q_{th}=0,96 \times 20,1 = 19,3\; \text{L/s} \] **Réponse** : Le débit de jus d’ananas mesuré par le Venturi est d’environ **19,3 L/s**. > **À retenir** : Le coefficient de déchargement doit toujours être appliqué ; négliger \(C_d\) conduit à une surestimation du débit de l’ordre de 4 % dans cet exemple. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |----|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (mm → m) avant d’utiliser les formules de perte de charge. | Résultats erronés de plusieurs ordres de grandeur (ex. : pertes de charge de 0,01 m au lieu de 10 m). | Toujours travailler en unités SI ; vérifier la cohérence dimensionnelle à chaque étape. | | 2 | Supposer que le débit se répartit équitablement dans toutes les branches d’une bifurcation sans vérifier l’égalité des pertes de charge. | Sous‑ ou sur‑estimation des débits, pouvant conduire à une cavitation ou à un refoulement dangereux. | Imposer la continuité puis résoudre le système Bernoulli‑continuité ; vérifier que les pertes de charge calculées sont égales (ou ajuster les diamètres/longueurs). | | 3 | Utiliser la formule de Poiseuille pour un écoulement turbulent (Re > 4000). | Sous‑estimation importante des pertes de charge, risque de sous‑dimensionnement des pompes. | Déterminer le régime par le nombre de Reynolds ; choisir la loi de Poiseuille seulement si \(Re<2000\). | | 4 | Négliger le coefficient de déchargement \(C_d\) dans le calcul de débit avec un Venturi ou un orifice. | Surestimation du débit pouvant mener à un excès de pression en aval et à des risques de rupture de tuyauterie. | Toujours appliquer le \(C_d\) fourni par le fabricant ou obtenu par étalonnage ; consigner la valeur utilisée. | | 5 | Manomètres mal calibrés ou placés à proximité de turbulences (coudes, vannes) lors de la mesure de pression dans un Venturi. | Lecture de pression erronée → calcul de débit faux. | Installer les points de mesure en section droite, à au moins 10 diamètres du dispositif de perturbation ; vérifier l’étalonnage annuel selon la norme CEI 60584. | | 6 | Ne pas purger l’air des tuyaux avant la mise en pression d’un réseau d’eau potable. | Formation de poches d’air pouvant provoquer des coups de bélier et endommager les joints. | Effectuer une purge systématique à l’aide de vannes d’évacuation d’air situées aux points hauts du réseau ; respecter la procédure de mise en service du MINTP (arrêté n° 2005/001). | --- *Fin du cours de référence.*