Fluides dans les canaux (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir les grandeurs hydrauliques caractéristiques d’une conduite circulaire (débit, vitesse moyenne, nombre de Reynolds, nombre de Froude, rayon hydraulique, diamètre hydraulique). - Identifier le régime d’écoulement (laminaire, transition, turbulent) à partir du nombre de Reynolds et appliquer les lois de perte de charge appropriées (Darcy‑Weisbach, Hazen‑Williams, Manning). - Calculer les pertes de charge dans une conduite pleine et dans une conduite partiellement remplie, en tenant compte de la rugosité du matériau et de la profondeur d’écoulement. - Dimensionner un canal à écoulement libre (section, pente, vitesse) en utilisant l’équation de Manning, en respectant les limites de vitesse admissibles pour éviter l’érosion ou le dépôt. - Réaliser un schéma de calcul complet, présenter les résultats avec les unités correctes et vérifier la conformité aux normes de sécurité et d’hygiène applicables au Cameroun (arrêtés MINTP/MINEE sur les réseaux d’eau potable et d’irrigation). **Prérequis** : - Notions de base en mécanique des fluides (continuité, équation de Bernoulli, viscosité dynamique). - Manipulation des unités du Système International (m, s, kg, Pa, m³/s). - Connaissance des formes géométriques de base (cercle, rectangle, trapèze) et de leurs aires/périmètres. - Lecture de tableaux de rugosité (Manning, Hazen‑Williams) fournis dans les documents officiels du MINESEC/IGE. --- ## Introduction contextualisée Au Cameroun, la gestion de l’eau potable et de l’irrigation repose largement sur des réseaux de conduites circulaires et des canaux à ciel ouvert. Dans les zones urbaines de Douala et Yaoundé, les adductions d’eau utilisent principalement des tuyaux en fonte ductile ou en PVC, tandis que les périmètres irrigués du Nord (Far‑North, Adamawa) emploient des canaux en béton ou en terre stabilisée. La conception de ces ouvrages doit garantir un débit suffisant, des pertes de charge maîtrisées et des vitesses d’écoulement compatibles avec la préservation des ouvrages (éviter l’érosion du lit ou le dépôt de sédiments). Ce chapitre fournit les outils théoriques et pratiques nécessaires pour analyser et dimensionner ces deux types d’ouvrages, en s’appuyant sur les méthodes reconnues (Darcy‑Weisbach, Hazen‑Williams, Manning) et sur des exemples tirés de chantiers camerounais réels (adduction d’eau de la ville de Bafoussam, canal d’irrigation de la vallée du Logone). --- ## I. Leçon 17 : Propriétés hydrauliques des conduites circulaires ### A. Définitions et grandeurs caractéristiques - **Débit volumique** $Q$ : volume d’eau traversant une section transversale par unité de temps, exprimé en $\mathrm{m^3/s}$. - **Vitesse moyenne** $V$ : rapport $V = Q/A$, où $A$ est la aire de la section mouillée. - **Rayon hydraulique** $R$ : $R = A/P$, avec $P$ le périmètre mouillé. Pour une conduite pleine de diamètre $D$, $A = \pi D^2/4$ et $P = \pi D$, donc $R = D/4$. - **Diamètre hydraulique** $D_h$ : $D_h = 4A/P = D$ (pour une conduite pleine). - **Nombre de Reynolds** $Re$ : $Re = \dfrac{\rho V D_h}{\mu} = \dfrac{V D_h}{\nu}$, où $\rho$ est la masse volumique de l’eau ($\approx 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ à 20 °C), $\mu$ la viscosité dynamique ($\approx 1,0\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}$) et $\nu$ la viscosité cinétique ($\approx 1,0\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$). > **>** Nombre de Reynolds critique pour le passage laminaire‑turbulent dans une conduite circulaire : $Re_{crit}\approx 2000$. - **Nombre de Froude** $Fr$ (utile pour les écoulements en surface libre) : $Fr = V/\sqrt{g\,h}$, où $h$ est la hauteur d’eau et $g=9,81\ \mathrm{m/s^2}$. ### B. Régime d’écoulement et nombre de Reynolds - **Laminaire** : $Re < 2000$. La perte de charge se calcule avec la loi de Hagen‑Poiseuille : $$\Delta p = \frac{32\,\mu\,L\,V}{D^2}\quad\text{ou}\quad h_f = \frac{32\,\nu\,L\,V}{g\,D^2}$$ - **Transition** : $2000 \le Re \le 4000$. On utilise généralement une interpolation ou on considère le régime turbulent avec un facteur de friction prudent. - **Turbulent** : $Re > 4000$. La perte de charge dépend du facteur de Darcy $f$, fonction de $Re$ et de la rugosité relative $\varepsilon/D$. > **>** Équation de Darcy‑Weisbach (valable pour tout régime turbulent) : > $$h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}$$ > où $h_f$ est la perte de charge linéaire (m), $L$ la longueur de la conduite (m). Le facteur $f$ s’obtient : - Par le diagramme de Moody, - Ou par l’équation de Colebrook‑White (forme implicite) : $$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3,7} + \frac{2,51}{Re\sqrt{f}}\right)$$ - Ou par l’approximation de Swamee‑Jain (explicite) : $$f = \frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3,7} + \frac{5,74}{Re^{0,9}}\right)\right]^2}$$ ### C. Pertes de charge dans les conduites pleines Outre la perte linéaire $h_f$, on considère les pertes localisées (coudes, vannes, réducteurs) exprimées sous forme de coefficient $K$ : $$h_{loc}=K\,\frac{V^2}{2g}$$ La perte totale : $h_{tot}=h_f+\sum h_{loc}$. > **>** Valeurs typiques de $K$ (source : normes NF EN 13480) : coude 90° $K\approx0,3$, vanne à guillotine ouverte $K\approx0,15$, réducteur progressif $K\approx0,05$. ### D. Conduites partiellement remplies (écoulement en surface libre) Lorsque la conduite n’est pas totalement remplie, on définit : - **Profondeur d’écoulement** $y$ (mesurée depuis le fond). - **Aire mouillée** $A(y)$ et **périmètre mouillé** $P(y)$ dépendant de $y$ et du diamètre $D$. - **Rayon hydraulique** $R(y)=A(y)/P(y)$. Pour ces écoulements, l’équation de Manning s’applique : > **>** Équation de Manning (canal ou conduite partiellement remplie) : > $$V = \frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2}$$ > où $n$ est le coefficient de rugosité de Manning (s/m$^{1/3}$), $S$ la pente de la ligne d’énergie (égale à la pente du lit pour un écoulement uniforme). Le débit se calcule alors : $Q = A\,V$. Les valeurs usuelles de $n$ (source : tables du MINESEC) : - PVC lisse : $n=0,009$ - Fonte ductile : $n=0,013$ - Béton lisse : $n=0,015$ - Béton rugueux : $n=0,020$ ### E. Exemple chiffré : dimensionnement d’une conduite d’eau potable **Contexte** : Alimentation d’un quartier de 5000 habitants à Bafoussam, débit de pointe estimé $Q_{pointe}=0,25\ \mathrm{m^3/s}$. On choisit un tuyau en PVC (rugosité $\varepsilon=0,0015\ \mathrm{mm}$). On veut limiter la vitesse à $V_{max}=2,5\ \mathrm{m/s}$ pour éviter l’usure et les coups de bélier. **Étape 1 – Déterminer le diamètre minimal à partir de la vitesse** : $$A_{min}= \frac{Q}{V_{max}} = \frac{0,25}{2,5}=0,10\ \mathrm{m^2}$$ $$D_{min}= \sqrt{\frac{4A_{min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{0,4}{\pi}} \approx 0,357\ \mathrm{m}$$ On arrondit au diamètre commercial supérieur : $D=400\ \mathrm{mm}=0,40\ \mathrm{m}$. **Étape 2 – Vérifier le régime d’écoulement** : $A=\pi D^2/4 = 0,1256\ \mathrm{m^2}$ $V=Q/A = 0,25/0,1256 = 1,99\ \mathrm{m/s}$ $Re = V D/\nu = 1,99\times0,40 / 1,0\times10^{-6}=7,96\times10^{5}$ → turbulent. **Étape 3 – Calcul du facteur de friction** (Swamee‑Jain) : $\varepsilon/D = 0,0015\ \mathrm{mm}/400\ \mathrm{mm}=3,75\times10^{-6}$ $$f = \frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{3,75\times10^{-6}}{3,7} + \frac{5,74}{(7,96\times10^{5})^{0,9}}\right)\right]^2}$$ $\frac{3,75\times10^{-6}}{3,7}=1,01\times10^{-6}$ ; $(7,96\times10^{5})^{0,9}=1,58\times10^{5}$ ; $\frac{5,74}{1,58\times10^{5}}=3,63\times10^{-5}$ Somme ≈ $3,73\times10^{-5}$ ; $\log_{10}(3,73\times10^{-5})=-4,428$ $$f = \frac{0,25}{(-4,428)^2}= \frac{0,25}{19,60}=0,0128$$ **Étape 4 – Perte de charge linéaire sur $L=500\ \mathrm{m}$** : $$h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=0,0128\times\frac{500}{0,40}\times\frac{(1,99)^2}{2\times9,81}$$ $\frac{500}{0,40}=1250$ ; $(1,99)^2=3,96$ ; $\frac{3,96}{19,62}=0,202$ $$h_f =0,0128\times1250\times0,202 = 3,23\ \mathrm{m}$$ **Étape 5 – Ajout des pertes localisées** (2 coudes 90°, 1 vanne) : $K_{tot}=2\times0,3+0,15=0,75$ $$h_{loc}=0,75\times\frac{V^2}{2g}=0,75\times0,202=0,152\ \mathrm{m}$$ **Perte totale** : $h_{tot}=3,23+0,15=3,38\ \mathrm{m}$. **Conclusion** : Un tuyau PVC de 400 mm de diamètre, posé sur une pente permettant de récupérer 3,4 m de charge (ex. réservoir surélevé ou pompe), assure le débit de pointe avec une vitesse inférieure à la limite fixée. > **>** Formule de perte de charge totale : $h_{tot}=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}+K\frac{V^2}{2g}$. --- ## II. Leçon 18 : Dimensionnement des canaux ### A. Canaux à écoulement libre : définitions - **Canal** : ouvrage à ciel ouvert où l’eau s’écoule sous l’action de la gravité, avec une surface libre exposée à la pression atmosphérique. - **Section transversale** : forme géométrique du mouillé (rectangulaire, trapézoïdale, circulaire, parabolique). - **Pente du lit** $S_0$ : déclivité moyenne du fond du canal (m/m). - **Pente de la ligne d’énergie** $S_f$ : perte de charge par unité de longueur, égale à $S_0$ en régime uniforme. - **Vitesse moyenne** $V$ : $V=Q/A$. - **Nombre de Froude** $Fr$ : indique si l’écoulement est subcritique ($Fr<1$), critique ($Fr=1$) ou supercritique ($Fr>1$). > **>** Condition d’écoulement uniforme (régime permanent) : $S_f=S_0$ et $h_f$ constante le long du canal. ### B. Équation de Manning et coefficient de rugosité L’équation de Manning relie la vitesse moyenne au rayon hydraulique et à la pente : > **>** $V = \dfrac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2}$ Le débit : $Q = A\,V = \dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}$. Le coefficient $n$ dépend du revêtement : | Revêtement | $n$ (s/m$^{1/3}$) | |---------------------------|-------------------| | Béton lisse | 0,013 | | Béton rugueux | 0,017 | | Pierre maçonnée | 0,022 | | Terre stabilisée (compacte) | 0,025 | | Terre naturelle (herbe) | 0,030‑0,035 | Ces valeurs sont celles recommandées dans le **Guide de conception des canaux d’irrigation** du MINEE (édition 2021). ### C. Critère de vitesse limite et érosion Pour éviter l’érosion du lit ou le dépôt de sédiments, on impose une vitesse admissible $V_{lim}$ fonction du matériau du revêtement : | Revêtement | $V_{lim}$ (m/s) | |---------------------|-----------------| | Béton armé | 3,0 | | Pierre maçonnée | 2,5 | | Terre stabilisée | 1,5 | | Terre naturelle | 0,8 | > **>** Règle de conception : $V \le V_{lim}$ et $V \ge V_{min}$ (où $V_{min}\approx0,3\ \mathrm{m/s}$ pour éviter le dépôt). ### D. Calcul de la section optimale (canal trapézoïdal) Le canal trapézoïdal est le plus répandu en irrigation au Cameroun (ex. périmètre du Logone). Ses paramètres : - Fond $b$ (m) - Pente des talus $z$ (horizontal : vertical) - Profondeur d’eau $y$ (m) Aire : $A = b y + z y^2$ Périmètre mouillé : $P = b + 2y\sqrt{1+z^2}$ Rayon hydraulique : $R = A/P$ Pour un débit donné $Q$ et une pente $S$, on cherche le couple $(b,y)$ qui minimise $P$ (ou maximise $R$) sous la contrainte $Q = \frac{1}{n}A R^{2/3} S^{1/2}$. La solution analytique montre que le **canal demi‑hexagonal** ($z = \sqrt{3}$) est optimal pour un revêtement donné, mais en pratique on fixe $z$ selon la stabilité du talus (souvent $z=1,5$ à $2,0$). **Méthode de dimensionnement pas à pas** : 1. Choisir le revêtement → déterminer $n$ et $V_{lim}$. 2. Déterminer le débit de conception $Q_c$ (pointe d’irrigation, généralement 1,2×$Q_{moyenne}$). 3. Supposer une profondeur $y$ (ex. 0,6 m) et calculer $b$ à partir de l’équation de débit : $$b = \frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} - z y$$ (issue de $Q = \frac{1}{n}(b y + z y^2)\left[\frac{b y + z y^2}{b+2y\sqrt{1+z^2}}\right]^{2/3}S^{1/2}$). 4. Vérifier $V = Q_c/A \le V_{lim}$. Si non, ajuster $y$ ou $b$. 5. Contrôler l’érosion : si $V > V_{lim}$, augmenter le revêtement (passer du terre stabilisé au béton) ou réduire la pente. 6. Vérifier la hauteur libre (freeboard) : généralement 0,2 y pour éviter les débordements. ### E. Exemple chiffré : dimensionnement d’un canal d’irrigation **Contexte** : Périmètre irrigué de 150 ha dans la région du Nord, culture du riz, débit de pointe nécessaire $Q_c = 0,35\ \mathrm{m^3/s}$. Le sol est une terre stabilisée compacte ($n=0,025$, $V_{lim}=1,5\ \mathrm{m/s}$). On adopte une pente douce $S=0,0005$ (0,05 %). On choisit un talus $z=1,5$. **Étape 1 – Supposer une profondeur** $y=0,70\ \mathrm{m}$. **Étape 2 – Calcul du fond** : $$b = \frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} - z y$$ $y^{2/3}=0,70^{0,666}=0,78$ $\sqrt{S}= \sqrt{0,0005}=0,02236$ $\frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} = \frac{0,35\times0,025}{0,78\times0,02236}= \frac{0,00875}{0,01744}=0,502\ \mathrm{m}$ $z y = 1,5\times0,70=1,05\ \mathrm{m}$ $$b = 0,502 - 1,05 = -0,548\ \mathrm{m}$$ Résultat négatif → la profondeur supposée est trop grande pour la pente et le débit. **Étape 3 – Réduire la profondeur** : essayer $y=0,40\ \mathrm{m}$. $y^{2/3}=0,40^{0,666}=0,54$ $\frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} = \frac{0,00875}{0,54\times0,02236}= \frac{0,00875}{0,01207}=0,725\ \mathrm{m}$ $z y = 1,5\times0,40=0,60\ \mathrm{m}$ $$b = 0,725 - 0,60 = 0,125\ \mathrm{m}$$ **Étape 4 – Vérifier la vitesse** : Aire $A = b y + z y^2 = 0,125\times0,40 + 1,5\times0,40^2 = 0,05 + 0,24 = 0,29\ \mathrm{m^2}$ Périmètre $P = b + 2y\sqrt{1+z^2}=0,125+2\times0,40\times\sqrt{1+2,25}=0,125+0,80\times\sqrt{3,25}=0,125+0,80\times1,803=0,125+1,442=1,567\ \mathrm{m}$ Rayon hydraulique $R = A/P = 0,29/1,567=0,185\ \mathrm{m}$ Vitesse $V = \frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}= \frac{1}{0,025}\times0,185^{0,666}\times0,02236$ $0,185^{0,666}=exp(0,666\ln0,185)=exp(0,666\times(-1,687))=exp(-1,124)=0,325$ $V = 40 \times 0,325 \times 0,02236 = 0,291\ \mathrm{m/s}$ $V=0,29\ \mathrm{m/s}$ est bien inférieure à $V_{lim}=1,5\ \mathrm{m/s}$ et supérieure à $V_{min}=0,3\ \mathrm{m/s}$? Elle est légèrement en dessous de 0,3 m/s, ce qui pourrait favoriser le dépôt. On augmente donc la profondeur pour relever la vitesse. **Étape 5 – Essayer $y=0,55\ \mathrm{m}$** : $y^{2/3}=0,55^{0,666}=0,66$ $\frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} = \frac{0,00875}{0,66\times0,02236}= \frac{0,00875}{0,01476}=0,593\ \mathrm{m}$ $z y = 1,5\times0,55=0,825\ \mathrm{m}$ $b = 0,593 - 0,825 = -0,232\ \mathrm{m}$ → encore négatif. On voit que pour cette pente très faible, il faut soit augmenter la pente, soit réduire le rugosité (choisir un revêtement plus lisse). Supposons qu’on revêt le canal d’un béton lisse ($n=0,013$) tout en gardant $S=0,0005$. Reprenons avec $y=0,55\ \mathrm{m}$, $n=0,013$ : $\frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} = \frac{0,35\times0,013}{0,66\times0,02236}= \frac{0,00455}{0,01476}=0,308\ \mathrm{m}$ $b = 0,308 - 0,825 = -0,517\ \mathrm{m}$ → toujours négatif. Il faut augmenter la pente. Prenons $S=0,0015$ (0,15 %). Avec $n=0,025$ (terre stabilisée) et $y=0,55\ \mathrm{m}$ : $\sqrt{S}=0,03873$ $\frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} = \frac{0,00875}{0,66\times0,03873}= \frac{0,00875}{0,02556}=0,342\ \mathrm{m}$ $b = 0,342 - 0,825 = -0,483\ \mathrm{m}$ → encore négatif. On augmente la profondeur à $y=0,80\ \mathrm{m}$ : $y^{2/3}=0,80^{0,666}=0,86$ $\frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} = \frac{0,00875}{0,86\times0,03873}= \frac{0,00875}{0,03331}=0,263\ \mathrm{m}$ $z y = 1,5\times0,80=1,20\ \mathrm{m}$ $b = 0,263 - 1,20 = -0,937\ \mathrm{m}$ Il apparaît que avec un talus de 1,5 et une pente de l’ordre de 0,1 % il est difficile d’obtenir un fond positif pour ce débit relativement faible. En pratique, on réduit le talus (canal plus large et moins profond) ou on augmente la pente. Supposons un talus $z=0,5$ (talus peu prononcé) et $y=0,60\ \mathrm{m}$, $n=0,025$, $S=0,001$ : $y^{2/3}=0,60^{0,666}=0,71$ $\sqrt{S}=0,03162$ $\frac{Q_c n}{y^{2/3}\sqrt{S}} = \frac{0,00875}{0,71\times0,03162}= \frac{0,00875}{0,02245}=0,390\ \mathrm{m}$ $z y =0,5\times0,60=0,30\ \mathrm{m}$ $b = 0,390 - 0,30 = 0,090\ \mathrm{m}$ Aire $A = b y + z y^2 = 0,090\times0,60 + 0,5\times0,60^2 = 0,054 + 0,18 = 0,234\ \mathrm{m^2}$ Périmètre $P = b + 2y\sqrt{1+z^2}=0,090+2\times0,60\times\sqrt{1+0,25}=0,090+1,20\times1,118=0,090+1,342=1,432\ \mathrm{m}$ $R = 0,234/1,432=0,163\ \mathrm{m}$ $V = \frac{1}{0,025}\times0,163^{0,666}\times0,03162$ $0,163^{0,666}=exp(0,666\ln0,163)=exp(0,666\times(-1,815))=exp(-1,209)=0,298$ $V = 40 \times 0,298 \times 0,03162 = 0,376\ \mathrm{m/s}$ $V=0,38\ \mathrm{m/s}$ reste sous la limite d’érosion (1,5 m/s) mais au‑dessus de 0,3 m/s, donc acceptable. On ajoute un freeboard de 0,2 y = 0,12 m → hauteur totale du talus = 0,60+0,12 = 0,72 m. **Résultat** : Canal en terre stabilisée, fond $b\approx0,09\ \mathrm{m}$ (presque nul, on passe à un canal presque en forme de V), talus $z=0,5$, profondeur d’eau $y=0,60\ \mathrm{m}$, pente $S=0,001$, débit $Q=0,35\ \mathrm{m^3/s}$, vitesse moyenne $V\approx0,38\ \mathrm{m/s}$. > **>** Formule de débit Manning pour un canal trapézoïdal : > $$Q = \frac{1}{n}\,(b y + z y^2)\,\left[\frac{b y + z y^2}{b+2y\sqrt{1+z^2}}\right]^{2/3}\,S^{1/2}$$ --- ## III. Synthèse du chapitre - **Propriétés des conduites circulaires** : débit $Q=AV$, nombre de Reynolds $Re=VD_h/\nu$, régime laminaire si $Re<2000$, turbulent si $Re>4000$. - **Pertes de charge** : équation de Darcy‑Weisbach $h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$ (turbulent) ou Hagen‑Poiseuille (laminaire). Coefficient de friction $f$ via Colebrook‑White ou Swamee‑Jain. - **Conduites partiellement remplies** : utilisation de l’équation de Manning $V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}$ avec $R=A/P$. - **Canaux à écoulement libre** : même équation de Manning, choix du revêtement (coefficient $n$), vérification de la vitesse limite $V_{lim}$ pour éviter l’érosion ou le dépôt. - **Dimensionnement** : déterminer $Q_c$, choisir revêtement et pente, résoudre l’équation de Manning pour la section (souvent trapézoïdale), contrôler $V$ et le freeboard. - **Exemples concrets** : conduite PVC 400 mm pour adduction d’eau à Bafoussam (perte totale ≈3,4 m) ; canal en terre stabilisée talus 0,5, profondeur 0,60 m, pente 0,001 pour irrigation du riz (vitesse ≈0,38 m/s). --- ## Glossaire - **Débit volumique $Q$** : volume d’eau traversant une section par unité de temps (m³/s). - **Vitesse moyenne $V$** : rapport $Q/A$ (m/s). - **Nombre de Reynolds $Re$** : rapport des forces d’inertie aux forces visqueuses, $Re=VD_h/\nu$. - **Nombre de Froude $Fr$** : rapport de la vitesse à la vitesse de l’onde de gravité, $Fr=V/\sqrt{gh}$. - **Rayon hydraulique $R$** : $R=A/P$ (m). - **Diamètre hydraulique $D_h$** : $D_h=4A/P$ (m). - **Coefficient de rugosité de Manning $n$** : coefficient d’écoulement en surface libre (s/m¹ᐟ³). - **Facteur de Darcy $f$** : coefficient sans dimension lié aux pertes de charge dans les conduites pleines. - **Pente de la ligne d’énergie $S$** : perte de charge par unité de longueur (m/m). - **Freeboard** : hauteur supplémentaire au-dessus du niveau d’eau prévue pour éviter les débordements. - **Régime uniforme** : écoulement où la hauteur et la vitesse sont constantes le long du canal ($S_f=S_0$). - **Talus $z$** : rapport horizontal/vertical du côté d’un canal trapézoïdal. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Conduite d’eau potable **Énoncé** : Une conduite en fonte ductile (rugosité $\varepsilon=0,025\ \mathrm{mm}$) doit transporter un débit de pointe $Q=0,18\ \mathrm{m^3/s}$ sur une longueur $L=800\ \mathrm{m}$. La vitesse maximale admise est $V_{max}=2,0\ \mathrm{m/s}$. Déterminer le diamètre minimal commercial, vérifier le régime d’écoulement, calculer la perte de charge totale (incluant 2 coudes 90° et une vanne) et proposer une hauteur de charge nécessaire si le réservoir d’alimentation est situé à 10 m au-dessus du point de livraison. **Corrigé** : 1. **Diamètre à partir de la vitesse** : $A_{min}=Q/V_{max}=0,18/2,0=0,09\ \mathrm{m^2}$ → $D_{min}= \sqrt{4A_{min}/\pi}= \sqrt{0,36/\pi}=0,339\ \mathrm{m}$. On choisit le diamètre commercial supérieur $D=350\ \mathrm{mm}=0,35\ \mathrm{m}$. 2. **Vitesse réelle** : $A=\pi D^2/4=0,0962\ \mathrm{m^2}$ → $V=Q/A=0,18/0,0962=1,87\ \mathrm{m/s}$ (< $V_{max}$). 3. **Nombre de Reynolds** : $Re=VD/\nu=1,87\times0,35/1,0\times10^{-6}=6,55\times10^{5}$ → turbulent. 4. **Facteur de friction** (Swamee‑Jain) : $\varepsilon/D=0,025/350=7,14\times10^{-5}$ $f=0,25/[ \log_{10}( \varepsilon/D/3,7 + 5,74/Re^{0,9}) ]^2$ $\varepsilon/D/3,7=1,93\times10^{-5}$ ; $Re^{0,9}= (6,55\times10^{5})^{0,9}=1,12\times10^{5}$ ; $5,74/Re^{0,9}=5,13\times10^{-5}$ Somme=$7,06\times10^{-5}$ ; $\log_{10}= -4,151$ ; $f=0,25/(-4,151)^2=0,25/17,23=0,0145$. 5. **Perte linéaire** : $h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=0,0145\times\frac{800}{0,35}\times\frac{1,87^2}{2\times9,81}$ $L/D=2285,7$ ; $V^2=3,50$ ; $V^2/(2g)=3,50/19,62=0,178$ $h_f=0,0145\times2285,7\times0,178=5,91\ \mathrm{m}$. 6. **Pertes localisées** : $K_{tot}=2\times0,3+0,15=0,75$ $h_{loc}=K_{tot}\frac{V^2}{2g}=0,75\times0,178=0,134\ \mathrm{m}$. 7. **Perte totale** : $h_{tot}=5,91+0,13=6,04\ \mathrm{m}$. 8. **Hauteur de charge nécessaire** : le réservoir est à 10 m au-dessus, donc charge disponible =10 m. La perte étant de 6,04 m, il reste une marge de 3,96 m, suffisante pour maintenir une pression positive à la livraison. **Réponse** : Diamètre 350 mm, régime turbulent, perte totale ≈6,0 m, hauteur de réservoir suffisante (10 m > 6,0 m). --- ### Exercice 2 – Canal d’irrigation trapézoïdal **Énoncé** : Un canal en terre stabilisée compacte ($n=0,025$, $V_{lim}=1,5\ \mathrm{m/s}$) doit irriguer une parcelle de maïs nécessitant un débit de conception $Q_c=0,22\ \mathrm{m^3/s}$. On adopte un talus $z=1,0$ et une pente $S=0,0008$. Déterminer la profondeur d’eau $y$ et le fond $b$ qui donnent une vitesse moyenne proche de 0,8 m/s (valeur compromise entre éviter l’érosion et limiter le dépôt). Vérifier que $V<V_{lim}$ et que le freeboard de 0,2 y est respecté. **Corrigé** : On utilise l’équation de Manning sous la forme $Q=\frac{1}{n}A R^{2/3} S^{1/2}$. On cherche $y$ telle que $V=Q/A\approx0,8\ \mathrm{m/s}$ → $A=Q/V=0,22/0,8=0,275\ \mathrm{m^2}$. Pour un trapézoïde : $A=b y+z y^2$. On exprime $b=(A-z y^2)/y$. On teste successivement des valeurs de $y$ jusqu’à obtenir $b\ge0$ et $V$ proche de 0,8 m/s. - Essai $y=0,45\ \mathrm{m}$ : $z y^2=1,0\times0,45^2=0,2025$ $b=(0,275-0,2025)/0,45=0,162\ \mathrm{m}$ (positif). Périmètre $P=b+2y\sqrt{1+z^2}=0,162+2\times0,45\times\sqrt{2}=0,162+0,90\times1,414=0,162+1,273=1,435\ \mathrm{m}$ Rayon $R=A/P=0,275/1,435=0,192\ \mathrm{m}$ Vitesse de Manning $V_M=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}=40\times0,192^{0,666}\times\sqrt{0,0008}$ $0,192^{0,666}=exp(0,666\ln0,192)=exp(0,666\times(-1,650))=exp(-1,099)=0,333$ $\sqrt{S}=0,02828$ $V_M=40\times0,333\times0,02828=0,377\ \mathrm{m/s}$ → trop faible. On augmente $y$ pour augmenter $R$ et donc $V$. - Essai $y=0,70\ \mathrm{m}$ : $z y^2=0,49$ $b=(0,275-0,49)/0,70=-0,307\ \mathrm{m}$ → négatif, donc $y$ trop grande. On cherche donc une valeur intermédiaire où $b$ reste positif. - Essai $y=0,55\ \mathrm{m}$ : $z y^2=0,3025$ $b=(0,275-0,3025)/0,55=-0,050\ \mathrm{m}$ → encore négatif. - Essai $y=0,50\ \mathrm{m}$ : $z y^2=0,25$ $b=(0,275-0,25)/0,50=0,05\ \mathrm{m}$ (positif). Périmètre $P=0,05+2\times0,50\times\sqrt{2}=0,05+1,0\times1,414=0,05+1,414=1,464\ \mathrm{m}$ $R=0,275/1,464=0,188\ \mathrm{m}$ $V_M=40\times0,188^{0,666}\times0,02828$ $0,188^{0,666}=exp(0,666\ln0,188)=exp(0,666\times(-1,672))=exp(-1,114)=0,328$ $V_M=40\times0,328\times0,02828=0,371\ \mathrm{m/s}$ On voit que même avec $y=0,50$ m la vitesse reste autour de 0,37 m/s, bien en dessous de 0,8 m/s. Pour atteindre 0,8 m/s il faut soit augmenter la pente, soit réduire le rugosité (revêtir le canal). Supposons qu’on revêt le canal d’un béton lisse ($n=0,013$) tout en gardant $S=0,0008$ et $z=1,0$. Reprenons avec $y=0,50\ \mathrm{m}$, $n=0,013$ : $V_M=\frac{1}{0,013}R^{2/3}S^{1/2}=76,9\times0,188^{0,666}\times0,02828$ $0,188^{0,666}=0,328$ (comme précédemment) $V_M=76,9\times0,328\times0,02828=0,715\ \mathrm{m/s}$ On approche de 0,8 m/s. On augmente légèrement la profondeur à $y=0,55\ \mathrm{m}$ (en vérifiant que $b$ reste positif). - $y=0,55\ \mathrm{m}$ : $z y^2=0,3025$ $b=(0,275-0,3025)/0,55=-0,050\ \mathrm{m}$ → négatif. Donc la profondeur maximale compatible avec un fond positif est $y\approx0,50\ \mathrm{m}$ pour ce talus et ce débit. On prend donc $y=0,50\ \mathrm{m}$, $b=0,05\ \mathrm{m}$, revêtement béton lisse ($n=0,013$). Vitesse calculée : $V=0,715\ \mathrm{m/s}$ (< $V_{lim}=1,5\ \mathrm{m/s}$ et > $V_{min}\approx0,3\ \mathrm{m/s}$). Freeboard : $0,2y=0,10\ \mathrm{m}$ → hauteur totale du talus = $y+0,10=0,60\ \mathrm{m}$. **Réponse** : Canal en béton lisse, fond $b=0,05\ \mathrm{m}$, talus $z=1,0$, profondeur d’eau $y=0,50\ \mathrm{m}$, pente $S=0,0008$, débit $Q=0,22\ \mathrm{m^3/s}$, vitesse moyenne $V\approx0,72\ \mathrm{m/s}$, freeboard 0,10 m respecté. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Utiliser le diamètre nominal au lieu du diamètre intérieur pour calculer $A$ et $P$ | Sous‑estimation de la section, surestimation de la vitesse, risque de cavitation | Toujours prendre le diamètre intérieur (ou le diamètre extérieur moins 2× épaisseur de paroi) provenant de la fiche technique du fabricant. | | 2 | Négliger les pertes localisées (coudes, vannes) dans le calcul de $h_{tot}$ | Perte de charge sous‑estimée → pression insuffisante à la livraison | Ajouter systématiquement $h_{loc}=K V^2/(2g)$ avec les valeurs de $K$ appropriées (voir tableau des coudes, vannes, réducteurs). | | 3 | Choisir une pente trop faible pour un canal en terre stabilisée sans vérifier la vitesse minimale | Vitesse < 0,3 m/s → dépôt de sédiments, colmatage du canal | Vérifier que $V\ge V_{min}$ (≈0,3 m/s) ; sinon augmenter la pente ou revêtir le canal. | | 4 | Omettre le freeboard dans la dimensionnement du talus | Débordement lors de crues ou de variations de débit | Prévoir un freeboard de 0,2 y (ou valeur normative selon le MINEE) et le reporter sur la hauteur du talus. | | 5 | Utiliser le coefficient de Manning $n$ d’un revêtement lisse (béton) pour un canal en terre naturelle | Sous‑estimation de la perte de charge → vitesse surestimée, risque d’érosion | Consulter les tables de $n$ spécifiques au revêtement réel (terre, herbe, pierre) ; ne pas substituer sans justification. | | 6 | Ignorer l’effet de la température sur la viscosité ($\nu$) lors du calcul de $Re$ | Erreur de régime (laminaire/turbulent) pouvant mener à un mauvais choix de formule de perte de charge | Utiliser $\nu$ correspondant à la température de l’eau (ex. 1,0×10⁻⁶ m²/s à 20 °C, 1,5×10⁻⁶ m²/s à 5 °C) ; ajuster si l’eau est très froide ou très chaude. | --- *Fin du cours.*