Équation de Bernoulli (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Réaliser un bilan énergétique entre deux sections d’un écoulement fluide en identifiant les termes de pression, de vitesse et de hauteur. - Expliquer le principe de fonctionnement du tube de Pitot, du tube de Venturi et de la vidange d’un réservoir, et en déduire les formules de débit ou de vitesse. - Utiliser l’équation de Bernoulli généralisée (avec pertes de charge) pour dimensionner une tuyauterie ou vérifier le fonctionnement d’un dispositif de mesure. - Appliquer les notions de nombre de Reynolds, de régime laminaire/turbulent et de facteur de friction de Darcy‑Weisbach dans un contexte professionnel (chantier d’alimentation en eau, bureau d’études, atelier de maintenance). **Prérequis nécessaires :** - Notions de base en mécanique des fluides : pression hydrostatique, débit volumique, vitesse moyenne. - Manipulation des unités du Système International (Pa, m³/s, m/s, m). - Connaissances en algèbre et en trigonométrie pour résoudre des équations du second degré. - Lecture de schémas simples de tuyauterie et de dispositifs de mesure. --- ## Introduction contextualisée Dans les installations d’eau potable, les systèmes d’irrigation ou les réseaux de climatisation au Cameroun, il est fréquent de devoir mesurer un débit, vérifier la pression disponible à un point d’utilisation ou dimensionner une conduite afin d’éviter les cavitations ou les surcharges. Le bilan énergétique d’un écoulement permet de relier les différentes formes d’énergie (pression, cinétique, potentielle) présentes dans le fluide. Les dispositifs tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi ou la simple orifice de vidange exploitent ce principe pour fournir des mesures rapides et fiables. L’équation de Bernoulli généralisée, qui intègre les pertes de charge dues à la friction et aux singularités, constitue l’outil de base pour le dimensionnement et le diagnostic des réseaux de tuyauterie. Ce chapitre présente ces concepts en suivant la progression officielle du programme MINESEC/IGE (Leçons 9‑11) et en les illustrant par des exemples professionnels réalistes (alimentation d’un bâtiment scolaire, mesure du débit d’un forage, vidange d’un réservoir de stockage). --- ## I. Leçon 9 : Bilan énergétique ### 9.1 Définition du bilan énergétique d’un écoulement Le bilan énergétique s’applique à un volume de fluide considéré comme un système ouvert, en régime permanent et sans échange de chaleur significatif. Il exprime la conservation de l’énergie mécanique entre deux sections 1 et 2 : > **Bilan énergétique (premier principe)** > $$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^{2}}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^{2}}{2g} + z_2 + h_{p}$$ où \(P\) = pression (Pa), \(\rho\) = masse volumique (kg/m³), \(g\) = accélération de la gravité (9,81 m/s²), \(v\) = vitesse moyenne (m/s), \(z\) = hauteur géodésique (m) et \(h_{p}\) = hauteur de charge perdue (m) entre les deux sections. ### 9.2 Principe de conservation de l’énergie (premier principe de la thermodynamique appliqué aux fluides) En l’absence de travail d’arbre et de transfert de chaleur, la somme des énergies de pression, cinétique et potentielle reste constante, sauf si des pertes de charge apparaissent (viscosité, rugosité, changements de section). Cette formulation permet de traiter le fluide comme un milieu idéal lorsqu’on néglige \(h_{p}\). ### 9.3 Expression du bilan énergétique entre deux sections Pour un écoulement idéal (fluide parfait, écoulement laminaire sans perte) : > **Bernoulli idéal** > $$\frac{P}{\rho g} + \frac{v^{2}}{2g} + z = C$$ \(C\) est constante le long d’un ligne de courant. Cette équation est valable si le nombre de Reynolds est faible (écoulement laminaire) et si les pertes de charge sont négligeables (< 5 % de la charge totale). ### 9.4 Applications pratiques (tube de Pitot simple, mesure de pression dynamique) Le tube de Pitot mesure la pression de stagnation \(P_{0}\) en face du flux et la pression statique \(P\) grâce à deux orifices. En appliquant le bilan énergétique entre le point éloigné (vitesse nulle) et le point de mesure, on obtient : > **Vitesse mesurée par le tube de Pitot** > $$v = \sqrt{\frac{2\,(P_{0}-P)}{\rho}}$$ Exemple professionnel : sur un chantier de Douala, un technicien mesure \(P_{0}=120\,\text{kPa}\) et \(P=100\,\text{kPa}\) dans une conduite d’eau (\(\rho=1000\,\text{kg/m³}\)). La vitesse calculée est \[ v = \sqrt{\frac{2\,(120\,000-100\,000)}{1000}} = \sqrt{40}=6,32\,\text{m/s}. \] --- ## II. Leçon 10 : Tube de Pitot, Venturi et vidange ### 10.1 Tube de Pitot : principe, schéma, équation Le dispositif se compose d’un tube extérieur ouvert perpendiculairement au flux (mesure de la pression statique) et d’un tube intérieur aligné avec le flux (mesure de la pression de stagnation). La différence de pression \(\Delta P = P_{0}-P\) fournit la vitesse locale selon la formule ci‑dessus. ### 10.2 Tube de Venturi : principe, débitmètre, pertes de charge Un Venturi consiste en une contraction soudaine suivie d’une reprise progressive du diamètre. En appliquant le bilan énergétique entre la section amont (1) et la gorge (2) et en négligeant les pertes, on obtient : > **Débit théorique à travers un Venturi** > $$Q = A_{2}\,\sqrt{\frac{2\,\Delta P}{\rho\left(1-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right)}}$$ où \(A_{1}\) et \(A_{2}\) sont les sections transversales amont et gorge, \(\Delta P = P_{1}-P_{2}\). En pratique, on introduit un coefficient de décharge \(C_{d}\) (0,95‑0,99) pour tenir compte des pertes de charge visqueuses et des écoulements séparés : \[ Q_{\text{réel}} = C_{d}\,A_{2}\,\sqrt{\frac{2\,\Delta P}{\rho\left(1-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right)}}. \] Exemple de dimensionnement : un bureau d’études à Yaoundé doit mesurer le débit d’une conduite d’alimentation de 150 mm de diamètre interne (\(A_{1}=0,0177\,\text{m²}\)). On choisit une gorge de 80 mm (\(A_{2}=0,0050\,\text{m²}\)). Avec une différence de pression mesurée de \(\Delta P=15\,\text{kPa}\) et \(\rho=1000\,\text{kg/m³}\), en prenant \(C_{d}=0,97\) : \[ Q = 0,97 \times 0,0050 \times \sqrt{\frac{2\times15000}{1000\left(1-(0,0050/0,0177)^{2}\right)}} = 0,00485 \times \sqrt{\frac{30000}{1000(1-0,079)}} = 0,00485 \times \sqrt{32,6}=0,00485 \times 5,71=0,0277\,\text{m³/s}=27,7\,\text{L/s}. \] ### 10.3 Vidange d’un réservoir : loi de Torricelli, temps de vidange Pour un réservoir ouvert à l’atmosphère, vidangé par un orifice de diamètre \(d\) situé à une profondeur \(h\) sous la surface libre, la vitesse d’écoulement à l’orifice (négligeant la vitesse de surface) est donnée par la loi de Torricelli : > **Vitesse de Torricelli** > $$v = \sqrt{2\,g\,h}$$ Le débit volumique instantané est \(Q = C_{c}\,A_{o}\,\sqrt{2gh}\) où \(C_{c}\) est le coefficient de contraction (≈ 0,61 pour un orifice tranchant) et \(A_{o}=\pi d^{2}/4\). En intégrant sur la variation de hauteur, le temps nécessaire pour vider le réservoir de hauteur initiale \(H\) à zéro est : > **Temps de vidange d’un réservoir cylindrique** > $$t = \frac{2\,A_{r}}{C_{c}\,A_{o}\,\sqrt{2g}}\;\bigl(\sqrt{H}\,\bigr)$$ où \(A_{r}\) est la section horizontale du réservoir. Exemple professionnel : un réservoir cylindrique de 2 m de diamètre (\(A_{r}=3,14\,\text{m²}\)) et de hauteur initiale \(H=3\,\text{m}\) est vidangé par un orifice de 50 mm (\(A_{o}=1,96\times10^{-3}\,\text{m²}\)), \(C_{c}=0,61\). \[ t = \frac{2\times3,14}{0,61\times1,96\times10^{-3}\times\sqrt{2\times9,81}}\;\sqrt{3} = \frac{6,28}{0,00119\times4,43}\times1,732 = \frac{6,28}{0,00527}\times1,732 = 1192 \times 1,732 \approx 2065\,\text{s}\approx 34,4\,\text{min}. \] ### 10.4 Exemple de dimensionnement d’un dispositif de mesure au Cameroun Dans une zone rurale de l’Est, un forage fournit de l’eau à un poste de santé. Pour vérifier le débit, on installe un tube de Venturi en acier galvanisé (résistant à la corrosion) avec un diamètre amont de 100 mm et une gorge de 60 mm. La différence de pression mesurée par un manomètre à colonne d’eau est de 8 kPa. En utilisant \(C_{d}=0,96\) et \(\rho=1000\,\text{kg/m³}\), on obtient un débit d’environ 12 L/s, suffisant pour alimenter le poste selon les normes OMS (≥ 0,5 L/s par personne pour 250 personnes). --- ## III. Leçon 11 : Équation de Bernoulli généralisée ### 11.1 Équation de Bernoulli pour un fluide réel (avec pertes de charge) Lorsque les pertes de charge ne sont plus négligeables, on ajoute une terme \(h_{p}\) représentant la perte de charge totale entre les sections 1 et 2 : > **Bernoulli généralisé** > $$\frac{P_{1}}{\rho g} + \frac{v_{1}^{2}}{2g} + z_{1} = \frac{P_{2}}{\rho g} + \frac{v_{2}^{2}}{2g} + z_{2} + h_{p}$$ \(h_{p}\) comprend les pertes linéaires (frottement le long de la paroi) et les pertes localisées (coudes, vannes, changements de section). ### 11.2 Expression de la perte de charge linéaire (formule de Darcy‑Weisbach) et pertes localisées La perte de charge linéaire dans une conduite de longueur \(L\) et de diamètre \(D\) est : > **Perte de charge linéaire** > $$h_{f}= f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^{2}}{2g}$$ où \(f\) est le facteur de friction de Darcy, fonction du nombre de Reynolds \(Re\) et de la rugosité relative \(\varepsilon/D\). Les pertes localisées s’écrivent : > **Perte de charge localisée** > $$h_{l}= K\,\frac{v^{2}}{2g}$$ \(K\) est le coefficient de perte propre à chaque élément (coude 90° ≈ 0,30, vanne complètement ouverte ≈ 0,15, entrée brusque ≈ 0,5). La perte totale est \(h_{p}=h_{f}+ \sum h_{l}\). ### 11.3 Application à un réseau de tuyauterie (ex. alimentation d’un bâtiment) Considérons un bâtiment scolaire à Bafia alimenté par une conduite en PVC de diamètre 100 mm (\(D=0,10\,\text{m}\)), longueur totale \(L=50\,\text{m}\), comportant deux coudes 90° (\(K=0,30\) chacun) et une vanne d’ouverture complète (\(K=0,15\)). Le débit requis est \(Q=15\,\text{L/s}=0,015\,\text{m³/s}\). 1. **Vitesse moyenne** : \(v = Q/A = 0,015 / (\pi D^{2}/4) = 0,015 / (0,00785) = 1,91\,\text{m/s}\). 2. **Nombre de Reynolds** : \(Re = \rho v D / \mu\). Pour l’eau à 20 °C, \(\mu=1,0\times10^{-3}\,\text{Pa·s}\) → \(Re = 1000\times1,91\times0,10 / 1,0e-3 = 1,91\times10^{5}\) (écoulement turbulent). 3. **Facteur de friction** : à l’aide du diagramme de Moody, pour un PVC lisse (\(\varepsilon\approx 0,0015\,\text{mm}\)), \(\varepsilon/D=1,5e-5\) → \(f\approx0,018\). 4. **Perte linéaire** : \(h_{f}=0,018 \times (50/0,10) \times (1,91^{2}/(2\times9,81)) =0,018 \times 500 \times (3,65/19,62)=0,018 \times 500 \times 0,186 =1,67\,\text{m}\). 5. **Pertes localisées** : \(\sum K = 2\times0,30 + 0,15 =0,75\). \(h_{l}=0,75 \times (1,91^{2}/(2\times9,81)) =0,75 \times 0,186 =0,14\,\text{m}\). 6. **Perte totale** : \(h_{p}=1,67+0,14=1,81\,\text{m}\) de colonne d’eau, soit \(\Delta P = \rho g h_{p}=1000\times9,81\times1,81\approx 17,8\,\text{kPa}\). Si la pression disponible au réservoir est de 30 kPa, la pression à la pointe du bâtiment sera d’environ 12 kPa, suffisante pour alimenter les équipements sanitaires (pression minimale recommandée ≈ 10 kPa). ### 11.4 Limites d’utilisation (écoulement laminaire vs turbulent, nombre de Reynolds) - **Laminaire** (\(Re<2000\)) : la perte de charge varie linéairement avec la vitesse (\(h_{f}\propto v\)). La formule de Hagen‑Poiseuille peut être utilisée. - **Transition** (\(2000<Re<4000\)) : le facteur de friction dépend fortement de la rugosité ; on utilise des corrélations empiriques (ex. Colebrook‑White). - **Turbulent** (\(Re>4000\)) : la perte de charge varie approximativement comme \(v^{1,75}\) à \(v^{2}\) ; l’équation de Darcy‑Weisbach avec le facteur de friction donné par le diagramme de Moody est appropriée. Dans les installations camerounaises, la plupart des conduites d’eau potable dépassent \(Re=10^{4}\) ; on travaille donc majoritairement en régime turbulent. --- ## Synthèse du chapitre - Le bilan énergétique relie pression, vitesse et hauteur via l’équation de Bernoulli (idéal) ou généralisée (avec pertes). - Le tube de Pitot fournit la vitesse locale à partir de la différence de pression de stagnation‑statique. - Le tube de Venturi permet de mesurer le débit grâce à une contraction connue ; le coefficient de décharge \(C_{d}\) corrige les pertes réelles. - La vidange d’un réservoir suit la loi de Torricelli ; le temps de vidange dépend de la section du réservoir, de l’orifice et du coefficient de contraction. - Les pertes de charge se décomposent en pertes linéaires (Darcy‑Weisbach) et pertes localisées (coefficient \(K\)). - Le nombre de Reynolds détermine le régime d’écoulement et le choix de la corrélation de facteur de friction. - Ces outils sont indispensables au dimensionnement, au contrôle et à la maintenance des réseaux d’alimentation en eau, d’irrigation ou de systèmes de climatisation au Cameroun. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Bernoulli (idéal)** | Relation entre pression, vitesse et hauteur pour un fluide parfait, incompressible et sans perte d’énergie. | | **Perte de charge** | Diminution de la hauteur totale d’énergie due à la friction et aux singularités dans une conduite. | | **Nombre de Reynolds (Re)** | Rapport des forces d’inertie aux forces visqueuses ; prédit le régime laminaire (< 2000) ou turbulent (> 4000). | | **Facteur de friction de Darcy (f)** | Coefficient adimensionnel qui quantifie la perte de charge linéaire dans une conduite. | | **Tube de Pitot** | Dispositif mesurant la pression de stagnation et la pression statique pour déterminer la vitesse locale d’un écoulement. | | **Tube de Venturi** | Débitmètre basé sur une contraction du diamètre permettant de déduire le débit à partir de la différence de pression. | | **Loi de Torricelli** | Expression de la vitesse d’efflux d’un fluide à travers un orifice sous l’action de la gravité. | | **Coefficient de décharge (C_d)** | Facteur corrigeant le débit théorique d’un Venturi ou d’un orifice pour tenir compte des pertes réelles. | | **Coefficient de contraction (C_c)** | Rapport entre la surface effective du jet à l’orifice et la surface géométrique de l’orifice. | | **Perte localisée (h_l)** | Perte de charge due à un élément singulier (coudes, vannes, changements de section). | | **Diagramme de Moody** | Représentation graphique du facteur de friction \(f\) en fonction de \(Re\) et de la rugosité relative. | | **Hauteur de charge (h)** | Énergie mécanique par unité de poids du fluide, exprimée en mètres de colonne d’eau. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Mesure de débit avec un tube de Venturi Un poste de santé rurale utilise un tube de Venturi en acier inoxydable pour contrôler le débit d’une conduite d’alimentation de diamètre intérieur 80 mm. La gorge a un diamètre de 40 mm. Le manomètre à colonne d’eau indique une différence de pression de 12 kPa. Le coefficient de décharge est estimé à 0,95. **Calculer le débit volumique en L/s.** **Corrigé** 1. Sections : \(A_{1}= \pi (0,08)^{2}/4 = 5,03\times10^{-3}\,\text{m²}\) \(A_{2}= \pi (0,04)^{2}/4 = 1,26\times10^{-3}\,\text{m²}\) 2. Rapport d’aires : \(\beta = A_{2}/A_{1}=0,25\). 3. Débit théorique : \[ Q_{th}= A_{2}\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho\left(1-\beta^{2}\right)}} = 1,26\times10^{-3}\sqrt{\frac{2\times12000}{1000(1-0,25^{2})}} \] \[ =1,26\times10^{-3}\sqrt{\frac{24000}{1000(0,9375)}} =1,26\times10^{-3}\sqrt{25,6}=1,26\times10^{-3}\times5,06=6,38\times10^{-3}\,\text{m³/s} \] 4. Débit réel : \(Q = C_{d}\,Q_{th}=0,95\times6,38\times10^{-3}=6,06\times10^{-3}\,\text{m³/s}=6,06\,\text{L/s}\). **Réponse** : \(Q \approx 6,1\;\text{L/s}\). --- ### Exercice 2 – Temps de vidange d’un réservoir rectangulaire Un réservoir de stockage d’eau de pluie à Yaoundé a une base de 4 m × 3 m et une hauteur initiale d’eau de 2,5 m. Il est équipé d’un orifice de décharge de diamètre 75 mm placé au fond. Le coefficient de contraction est 0,62. **Déterminer le temps nécessaire pour vider complètement le réservoir (en minutes).** **Corrigé** 1. Section du réservoir : \(A_{r}=4\times3=12\,\text{m²}\). 2. Section de l’orifice : \(A_{o}= \pi (0,075)^{2}/4 = 4,42\times10^{-3}\,\text{m²}\). 3. Formule de temps de vidange (réservoir à section constante) : \[ t = \frac{2 A_{r}}{C_{c} A_{o}\sqrt{2g}}\;\sqrt{H} \] où \(H=2,5\,\text{m}\). 4. Calcul : \[ \sqrt{2g}= \sqrt{2\times9,81}=4,43\,\text{m}^{1/2}\!\!/\text{s} \] \[ t = \frac{2\times12}{0,62\times4,42\times10^{-3}\times4,43}\;\sqrt{2,5} \] \[ = \frac{24}{0,62\times4,42\times10^{-3}\times4,43}\times1,581 \] \[ = \frac{24}{0,001215}\times1,581 = 19753 \times 1,581 \approx 31240\,\text{s} \] \[ = \frac{31240}{60}\approx 520,7\,\text{min}\approx 8,7\,\text{h}. \] **Réponse** : Environ **520 minutes** (≈ 8 h 40 min) pour vider le réservoir. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |----|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (ex. pression en kPa au lieu de Pa) lors du calcul de la vitesse avec le tube de Pitot. | Résultat erroné de plusieurs dizaines de pourcents, pouvant conduire à un sous‑dimensionnement de pompe. | Toujours travailler en unités de base du Système International (Pa, m, kg, s) avant d’appliquer les formules. | | 2 | Utiliser le facteur de friction \(f\) du régime laminaire ( \(f=64/Re\) ) pour un écoulement turbulent (Re > 4000). | Sous‑estimation importante des pertes de charge, risque de cavitation ou de débit insuffisant. | Vérifier le nombre de Reynolds ; choisir la corrélation appropriée (diagramme de Moody ou équation de Colebrook‑White pour le turbulent). | | 3 | Négliger le coefficient de décharge \(C_{d}\) dans le calcul du débit d’un Venturi ou d’un orifice. | Surestimation du débit pouvant entraîner un remplissage trop rapide d’un réservoir ou une mauvaise régulation de procédé. | Appliquer systématiquement le coefficient de décharge fourni par le fabricant ou déterminé expérimentalement (généralement 0,94‑0,99). | | 4 | Employer la loi de Torricelli sans tenir compte de la vitesse de surface dans un réservoir de faible section (ex. réservoir étroit). | Erreur de l’ordre de 10‑20 % sur le débit instantané, affectant le temps de vidange calculé. | Si la section du réservoir n’est pas largement supérieure à celle de l’orifice, utiliser la forme complète : \(v = \sqrt{2g\left(h+\frac{v_{s}^{2}}{2}\right)}\) où \(v_{s}\) est la vitesse de surface. | | 5 | Utiliser un manomètre à colonne d’eau pour mesurer des différences de pression supérieures à 100 kPa sans protection. | Risque de débordement du liquide, de blessure ou de détérioration de l’instrument. | Pour ΔP > 50 kPa, préférer un manomètre à colonne de mercure ou un capteur de pression électronique avec échelle appropriée. | | 6 | Installer un tube de Pitot en présence de fortes turbulences ou de vortices sans suffisamment de longueur d’écoulement droit amont et aval. | Lecture instable, bruit de mesure important, mauvaise répétitivité. | Respecter les recommandations d’installation : au moins 10 D amont et 5 D aval de conduite droite, où D est le diamètre de la conduite. | --- *Fin du cours.*