Calcul des pressions (partie 2/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève sera capable de - définir la pression hydrostatique et exprimer sa variation avec la profondeur ; - déterminer la résultante des forces de pression sur une surface plane immergée et localiser son point d’application (centre de pression) ; - appliquer le théorème d’Archimède pour calculer la poussée d’un fluide sur un corps immergé ; - analyser l’équilibre d’un corps flottant ou immergé en comparant le centre de gravité et le centre de poussée ; - résoudre des problèmes pratiques de dimensionnement de réservoirs, de canalisations et de flotteurs rencontrés en atelier ou sur chantier au Cameroun. **Prérequis** : notions de force, de poids, de masse volumique (ρ), d’accélération de gravité (g ≈ 9,81 m s⁻²), de trigonométrie de base (sin, cos, tan) et capacité à manipuler des unités du Système International (Pa, N, m³, kg). --- ## Introduction contextualisée Dans les domaines de la construction hydraulique, de l’agro‑industrie et de l’énergie au Cameroun, la maîtrise des pressions dans les fluides est indispensable : dimensionnement d’un château d’eau pour alimenter un village, calcul de la poussée sur une vanne de barrage du fleuve Sanaga, vérification de la flottabilité d’une barge transportant du bois sur le fleuve Wouri. Ce chapitre fournit les outils théoriques et les procédés de calcul permettant de passer d’une situation réelle à une modélisation mathématique fiable, tout en intégrant les règles de sécurité liées à la manipulation de fluides sous pression. --- ## I. Leçon 20 : Forces hydrostatiques et point d’application ### 1. Définition de la pression hydrostatique > **Pression hydrostatique** : pression exercée par un fluide au repos, identique en tous points situés à la même profondeur et indépendante de la forme du récipient. Mathematiquement, pour un fluide homogène et incompressible : \[ p = p_0 + \rho g h \] où - \(p\) : pression absolue en Pa (N m⁻²) ; - \(p_0\) : pression de référence à la surface (souvent la pression atmosphérique \(p_{atm}=1,01\times10^5\) Pa) ; - \(\rho\) : masse volumique du fluide en kg m⁻³ ; - \(g\) : accélération de gravité en m s⁻² ; - \(h\) : profondeur verticale mesurée depuis la surface libre en m. > **Remarque** : la différence de pression entre deux niveaux ne dépend que de la différence de hauteur \(\Delta h\) : \(\Delta p = \rho g \Delta h\). ### 2. Loi de Pascal > **Loi de Pascal** : toute variation de pression appliquée à un fluide enfermé se transmet intégralement et sans diminution à tous les points du fluide. Cette propriété justifie l’utilisation de manomètres à colonne liquide et la conception de systèmes hydrauliques (freins, vérins). ### 3. Résultante des forces de pression sur une surface plane Pour une surface plane immergée, la force élémentaire sur un élément d’aire \(dA\) est \(d\mathbf{F}=p\,\mathbf{n}\,dA\) où \(\mathbf{n}\) est le vecteur normal unitaire dirigé vers l’extérieur du fluide. En intégrant sur toute la surface : \[ \mathbf{F}= \int_A p\,\mathbf{n}\,dA \] Si la surface est plane et inclinée d’un angle \(\theta\) par rapport à l’horizontale, la résultante totale des forces de pression est normale à la surface et sa norme vaut : \[ F = \rho g \, \bar{h}\, A \] où \(\bar{h}\) est la profondeur du centre de gravité de la surface (ou centre de la surface si elle est homogène). ### 4. Point d’application – centre de pression Le centre de pression (CP) est le point où l’on peut considérer que la résultante totale agit. Pour une surface plane verticale ou inclinée, sa profondeur \(h_{CP}\) est donnée par : \[ h_{CP}= \bar{h} + \frac{I_{x}}{\bar{h}\,A} \] avec - \(I_{x}\) : moment d’inertie de la surface par rapport à l’axe horizontal passant par son centre de gravité (en m⁴) ; - \(A\) : aire de la surface (m²) ; - \(\bar{h}\) : profondeur du centre de gravité (m). > **Formule à retenir** : \(h_{CP}= \bar{h} + \dfrac{I_{x}}{\bar{h}A}\). ### 5. Exemple chiffré : vanne carrée sur un réservoir Une vanne carrée de côté \(L=0,6\) m ferme l’orifice d’un réservoir d’eau (\(\rho=1000\) kg m⁻³). Le centre de la vanne se trouve à une profondeur \(h_c=2,5\) m sous la surface libre. 1. Aire : \(A = L^2 = 0,36\) m². 2. Profondeur du centre de gravité : \(\bar{h}=h_c=2,5\) m. 3. Résultante de poussée : \[ F = \rho g \bar{h} A = 1000 \times 9,81 \times 2,5 \times 0,36 \approx 8\,829\text{ N} \] 4. Moment d’inertie d’un carré par rapport à son axe horizontal passant par son centre : \[ I_{x}= \frac{L^{4}}{12}= \frac{0,6^{4}}{12}= \frac{0,1296}{12}=0,0108\text{ m}^4 \] 5. Profondeur du centre de pression : \[ h_{CP}= \bar{h} + \frac{I_{x}}{\bar{h}A}= 2,5 + \frac{0,0108}{2,5 \times 0,36} = 2,5 + \frac{0,0108}{0,9}= 2,5 + 0,012 = 2,512\text{ m} \] La force de 8,83 kN agit donc à 2,512 m sous la surface, soit seulement 1,2 cm en dessous du centre géométrique – une différence négligeable pour une petite vanne mais significative pour de grandes surfaces. > **Règle de sécurité** : lors du dimensionnement d’une vanne sous pression, prévoir une marge de sécurité d’au moins 20 % sur la résultante calculée pour tenir compte des incertitudes de ρ, de g et des vibrations. --- ## II. Leçon 21 : Théorème d’Archimède et équilibre ### 1. Principe d’Archimède > **Théorème d’Archimède** : tout corps immergé totalement ou partiellement dans un fluide au repos subit une poussée verticale vers le haut égale au poids du volume de fluide déplacé. Formule : \[ F_{push}= \rho_{f} \, g \, V_{disp} \] où - \(\rho_{f}\) : masse volumique du fluide (kg m⁻³) ; - \(V_{disp}\) : volume de fluide déplacé (m³) ; - \(g\) : accélération de gravité. ### 2. Équilibre d’un corps immergé Un corps soumis à son poids \(W = m g\) et à la poussée \(F_{push}\) est en équilibre lorsque : \[ \sum F_{y}=0 \;\Longrightarrow\; W = F_{push} \] Si \(W > F_{push}\) le corps coule ; si \(W < F_{push}\) il remonte jusqu’à ce que la partie immergée réduise \(V_{disp}\) jusqu’à l’égalité. ### 3. Stabilité – centre de poussée vs centre de gravité - **Centre de gravité (G)** : point où agit le poids total du corps. - **Centre de poussée (C)** : point où agit la résultante de la poussée d’Archimède, équivalent au centre de volume de la partie immergée (également appelé centre de flottabilité). > **Condition de stabilité** : pour qu’un corps flottant soit stable en rotation, le métacentre (M) doit se trouver au-dessus de G. Le métacentre est défini par : \[ BM = \frac{I_{w}}{V_{disp}} \] où \(I_{w}\) est le moment d’inertie de la ligne de flottaison par rapport à l’axe longitudinal, et \(BM\) la distance métacentrique. La hauteur métacentrique est \(GM = BM - BG\) (BG = distance entre le centre de poussée et le centre de gravité). - Si \(GM > 0\) → équilibre stable. - Si \(GM = 0\) → équilibre neutre. - Si \(GM < 0\) → équilibre instable (basculement). ### 4. Exemple chiffré : flotteur cylindrique pour un filet de pêche Un flotteur en bois creux (cylindre) de rayon \(r=0,15\) m et de hauteur totale \(h=0,8\) m est utilisé pour maintenir un filet à la surface d’un lac d’eau douce (\(\rho=1000\) kg m⁻³). La masse du flotteur (y compris le filet attaché) est \(m=12\) kg. 1. Volume total du cylindre : \[ V_{tot}= \pi r^{2} h = \pi \times 0,15^{2} \times 0,8 \approx 0,0565\text{ m}^3 \] 2. Poids du flotteur : \[ W = m g = 12 \times 9,81 = 117,7\text{ N} \] 3. Volume immergé nécessaire pour l’équilibre : \[ V_{disp}= \frac{W}{\rho g}= \frac{117,7}{1000 \times 9,81}=0,0120\text{ m}^3 \] 4. Fraction immergée : \[ \frac{V_{disp}}{V_{tot}} = \frac{0,0120}{0,0565}\approx 0,212\;(21,2\%) \] Ainsi, seulement environ 21 % du flotteur sera sous l’eau ; la partie émergée assure la flottabilité. 5. Hauteur de la partie immergée : \[ h_{imm}= \frac{V_{disp}}{\pi r^{2}} = \frac{0,0120}{\pi \times 0,15^{2}} \approx 0,1698\text{ m}\;(≈0,170\text{ m}) \] 6. Position du centre de poussée (C) : situé à mi‑hauteur de la partie immergée, donc à une distance \[ y_C = \frac{h_{imm}}{2} \approx 0,0849\text{ m} \] au-dessus du fond du cylindre. 7. Position du centre de gravité (G) : pour un cylindre homogène, \(G\) est à mi‑hauteur totale, \[ y_G = \frac{h}{2} = 0,4\text{ m} \] au-dessus du fond. 8. Distance \(BG = y_G - y_C = 0,4 - 0,0849 = 0,3151\text{ m}\) (G au-dessus de C). 9. Moment d’inertie de la ligne de flottaison (cercle de rayon \(r\)) : \[ I_{w}= \frac{\pi r^{4}}{4}= \frac{\pi \times 0,15^{4}}{4}\approx 0,000398\text{ m}^4 \] 10. Distance métacentrique : \[ BM = \frac{I_{w}}{V_{disp}} = \frac{0,000398}{0,0120}=0,0332\text{ m} \] 11. Hauteur métacentrique : \[ GM = BM - BG = 0,0332 - 0,3151 = -0,2819\text{ m}<0 \] Le flotteur serait donc instable si le centre de gravité restait trop haut. En pratique, on ajoute du lest (par exemple un petit poids de 0,5 kg placé bas) pour descendre G et obtenir \(GM>0\). > **Règle de sécurité** : avant mise en service d’un flotteur ou d’une barge, vérifier expérimentalement la hauteur métacentrique GM ; une valeur inférieure à 5 cm est généralement considérée comme insuffisante pour une embarcation de petite taille. ### 5. Tableau récapitulatif des cas d’immersion | Type d’immersion | Condition d’équilibre | Expression de la poussée | Remarque pratique | |------------------|-----------------------|--------------------------|-------------------| | Totale (corps complètement sous l’eau) | \(W = \rho_f g V_{corps}\) | \(F_{push}= \rho_f g V_{corps}\) | Utilisé pour les plongeurs, les ballasts | | Partielle (flottabilité) | \(W = \rho_f g V_{disp}\) avec \(V_{disp}<V_{corps}\) | \(F_{push}= \rho_f g V_{disp}\) | Bateaux, bouées, flotteurs de filet | | Corps ancré (force de retenue) | \(W - F_{push} = T\) (tension du câble) | Même que ci‑dessus | Ancrage de plateformes offshore | --- ## III. Leçon 22 : Synthèse et révision finale ### 1. Liste des formules essentielles | Grandeurs | Formule | Unités | |-----------|---------|--------| | Pression hydrostatique | \(p = p_0 + \rho g h\) | Pa | | Différence de pression | \(\Delta p = \rho g \Delta h\) | Pa | | Résultante de pression sur surface plane | \(F = \rho g \bar{h} A\) | N | | Profondeur du centre de pression | \(h_{CP}= \bar{h} + \dfrac{I_{x}}{\bar{h}A}\) | m | | Poussée d’Archimède | \(F_{push}= \rho_f g V_{disp}\) | N | | Condition d’équilibre flottant | \(W = F_{push}\) | N | | Distance métacentrique | \(BM = \dfrac{I_{w}}{V_{disp}}\) | m | | Hauteur métacentrique | \(GM = BM - BG\) | m | > **Formule à retenir** : \(p = p_0 + \rho g h\) (base de tous les calculs de pression). ### 2. Méthodologie de résolution d’un problème de pression 1. **Lire l’énoncé** et identifier le fluide (eau douce, eau de mer, huile, etc.) et sa masse volumique \(\rho\). 2. **Déterminer la géométrie** : superficie \(A\), forme, orientation (horizontale, verticale, inclinée). 3. **Calculer la profondeur du centre de gravité** \(\bar{h}\) (ou la profondeur moyenne si la surface est homogène). 4. **Appliquer la formule de résultante** \(F = \rho g \bar{h} A\). 5. **Si nécessaire, trouver le centre de pression** avec \(h_{CP}= \bar{h} + I_{x}/(\bar{h}A)\). 6. **Vérifier l’équilibre** (poids vs poussée) ou la stabilité (GM). 7. **Exprimer le résultat** avec l’unité appropriée et, si demandé, ajouter un coefficient de sécurité. ### 3. Exemple de situation professionnelle : dimensionnement d’un réservoir d’eau potable pour un lycée de Yaoundé Un lycée doit installer un réservoir cylindrique en acier de diamètre \(D=2,0\) m et de hauteur \(H=3,0\) m, posé sur un socle de béton. Le réservoir sera rempli au maximum à 90 % de son volume. On veut connaître la force exercée par l’eau sur la paroi inférieure (fond) et la hauteur du centre de pression sur cette paroi. - Masse volumique de l’eau : \(\rho = 1000\) kg m⁻³. - Pression atmosphérique négligée (on travaille en pression relative). **Étape 1 – hauteur d’eau** : \(h_{max}=0,90 \times H = 0,90 \times 3,0 = 2,7\) m. **Étape 2 – pression moyenne sur le fond** : Comme le fond est horizontal, la pression est uniforme : \(p_{fond}= \rho g h_{max}= 1000 \times 9,81 \times 2,7 = 26\,487\) Pa ≈ 26,5 kPa. **Étape 3 – force sur le fond** : Aire du fond : \(A_{fond}= \pi (D/2)^2 = \pi \times 1,0^2 = 3,1416\) m². \(F_{fond}= p_{fond} \times A_{fond}= 26\,487 \times 3,1416 \approx 83\,200\) N ≈ 83,2 kN. **Étape 4 – centre de pression** : Pour une surface horizontale, le centre de pression coïncide avec le centre géométrique du fond (puisque la pression est constante). Donc \(h_{CP}= h_{max}/2 = 1,35\) m au-dessus du fond (ou 1,35 m sous la surface libre). > **Résultat** : le fond subit une force de 83,2 kN dirigée vers le bas, appliquée en son centre, à 1,35 m sous la surface libre. Un coefficient de sécurité de 1,5 serait appliqué pour le dimensionnement des boulons de fixation du réservoir au socle. --- ## Synthèse du chapitre - La pression hydrostatique varie linéairement avec la profondeur : \(p = p_0 + \rho g h\). - La résultante des forces de pression sur une surface plane s’obtient par \(F = \rho g \bar{h} A\). - Le point d’application (centre de pression) est donné par \(h_{CP}= \bar{h} + I_{x}/(\bar{h}A)\). - Le théorème d’Archimède fournit la poussée verticale : \(F_{push}= \rho_f g V_{disp}\). - L’équilibre d’un corps flottant nécessite \(W = F_{push}\); la stabilité dépend de la hauteur métacentrique \(GM = BM - BG\). - En pratique, on introduit toujours un coefficient de sécurité (souvent 1,2–2,0) et on vérifie les conditions de stabilité avant toute mise en service. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Pression hydrostatique | Pression exercée par un fluide au repos, identique à même profondeur. | | Masse volumique (\(\rho\)) | Masse d’un fluide par unité de volume (kg m⁻³). | | Résultante de force | Somme vectorielle de toutes les forces élémentaires agissant sur une surface. | | Centre de pression | Point où l’on peut considérer que la résultante totale des forces de pression agit. | | Théorème d’Archimède | Principe selon lequel un corps immergé subit une poussée égale au poids du fluide déplacé. | | Volume déplacé (\(V_{disp}\)) | Volume de fluide occupé par la partie immergée d’un corps. | | Centre de poussée (C) | Point d’application de la résultante de la poussée d’Archimède (coïncide avec le centre de volume de la partie immergée, également appelé centre de flottabilité). | | Métacentre (M) | Point d’intersection de la ligne d’action de la poussée (verticale passant par le centre de poussée) avec l’axe vertical passant par le centre de gravité lorsque le corps subit un petit angle d’inclinaison. | | Hauteur métacentrique (GM) | Distance entre le centre de gravité G et le métacentre M ; indicateur de stabilité. | | Coefficient de sécurité | Facteur multiplicatif appliqué aux charges calculées pour tenir compte des incertitudes et des surcharges éventuelles. | | Ligne de flottaison | Courbe où la surface du fluide rencontre le corps flottant. | | Moment d’inertie de surface (\(I_x\)) | Seconde aire d’une surface par rapport à un axe, utilisée pour le calcul du centre de pression. | --- ## Exercices d’applications corrigés ### Exercice 1 – Vanne rectangulaire sur un canal d’irrigation Une vanne rectangulaire de largeur \(b=0,8\) m et de hauteur \(h=1,2\) m ferme l’extrémité d’un canal d’eau douce (\(\rho=1000\) kg m⁻³). Le haut de la vanne se trouve à 1,5 m sous la surface libre du canal. **Demande** : a) Calculer la résultante de la poussée d’eau sur la vanne. b) Déterminer la profondeur du centre de pression. **Corrigé** a) Profondeur du centre de gravité de la vanne : \(\bar{h}= h_{top}+ \frac{h}{2}=1,5 + 0,6 = 2,1\) m. Aire : \(A = b \times h = 0,8 \times 1,2 = 0,96\) m². Résultante : \(F = \rho g \bar{h} A = 1000 \times 9,81 \times 2,1 \times 0,96 \approx 19\,800\) N ≈ 19,8 kN. b) Moment d’inertie d’un rectangle par rapport à son axe horizontal passant par son centre : \(I_{x}= \dfrac{b h^{3}}{12}= \dfrac{0,8 \times 1,2^{3}}{12}= \dfrac{0,8 \times 1,728}{12}= \dfrac{1,3824}{12}=0,1152\) m⁴. Profondeur du centre de pression : \(h_{CP}= \bar{h} + \dfrac{I_{x}}{\bar{h}A}= 2,1 + \dfrac{0,1152}{2,1 \times 0,96}= 2,1 + \dfrac{0,1152}{2,016}= 2,1 + 0,0571 = 2,157\) m. **Réponse** : - Résultante ≈ 19,8 kN dirigée normalement à la vanne. - Centre de pression situé à 2,157 m sous la surface libre (soit 0,057 m sous le centre géométrique de la vanne). --- ### Exercice 2 – Flotteur sphérique pour une bouée de signalisation Une bouée sphérique en plastique creux de rayon extérieur \(R=0,25\) m et d’épaisseur uniforme \(e=0,005\) m (donc rayon intérieur \(r=R-e=0,245\) m) est remplie d’air (masse négligeable). La masse totale de la bouée (plastique + air) est \(m=0,9\) kg. Elle flotte en eau de mer (\(\rho_{sw}=1025\) kg m⁻³). **Demande** : a) Calculer le volume de la partie immergée à l’équilibre. b) Déterminer la hauteur métacentrique GM et commenter la stabilité. **Corrigé** a) Poids de la bouée : \(W = m g = 0,9 \times 9,81 = 8,829\) N. Volume déplacé nécessaire : \[ V_{disp}= \frac{W}{\rho_{sw} g}= \frac{8,829}{1025 \times 9,81}= \frac{8,829}{10\,055,25}=0,000878\text{ m}^3 \] Volume total de la sphère extérieure : \[ V_{tot}= \frac{4}{3}\pi R^{3}= \frac{4}{3}\pi \times 0,25^{3}=0,06545\text{ m}^3 \] Fraction immergée : \(\dfrac{V_{disp}}{V_{tot}} = \dfrac{0,000878}{0,06545}\approx 0,0134\) → seulement **1,34 %** du volume est immergé, ce qui est réaliste pour une bouée très légère. b) Détermination de la hauteur métacentrique - Hauteur du chapeau immergé \(h\) (à partir du bas de la sphère) telle que le volume du chapeau sphérique soit égal à \(V_{disp}\) : \[ V_{cap}= \pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right)=V_{disp} \] En résolvant numériquement on obtient \(h \approx 0,0343\) m. - Rayon de la ligne de flottaison : \[ a = \sqrt{2Rh - h^{2}} = \sqrt{2\times0,25\times0,0343 - 0,0343^{2}} \approx 0,126\text{ m} \] - Moment d’inertie de la ligne de flottaison (cercle) par rapport à un diamètre : \[ I_{w}= \frac{\pi a^{4}}{4}= \frac{\pi \times 0,126^{4}}{4}\approx 2,0\times10^{-4}\text{ m}^4 \] - Distance métacentrique : \[ BM = \frac{I_{w}}{V_{disp}} = \frac{2,0\times10^{-4}}{0,000878}\approx 0,228\text{ m} \] - Position du centre de poussée (C) : le centre du chapeau sphérique se trouve à une distance \[ \bar{y}= \frac{h^{2}}{2\left(R-\frac{h}{3}\right)} \approx \frac{0,0343^{2}}{2\left(0,25-0,0343/3\right)}\approx 0,0025\text{ m} \] au-dessus du fond de la sphère. Donc la distance du fond au centre de poussée est \(y_C = \bar{y} \approx 0,0025\) m. - Le centre de gravité G d’une sphère homogène est à son centre, soit à une distance \(R = 0,25\) m du fond. - Distance \(BG = R - y_C \approx 0,25 - 0,0025 = 0,2475\) m (G au-dessus de C). - Hauteur métacentrique : \[ GM = BM - BG = 0,228 - 0,2475 = -0,0195\text{ m} \approx -2,0\text{ cm} \] Puisque \(GM < 0\), l’équilibre est **instable** : la bouée aurait tendance à basculer. Pour obtenir une flottabilité stable, il faut ajouter du lest en bas (par exemple une petite masse de quelques dizaines de grammes) afin de descendre G et rendre \(GM > 0\). > **Règle de sécurité** : avant mise en service d’un flotteur ou d’une barge, vérifier expérimentalement la hauteur métacentrique GM ; une valeur inférieure à 5 cm est généralement considérée comme insuffisante pour une embarcation de petite taille. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |----|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (ex. profondeur en cm au lieu de m) | Résultat de pression erroné de facteur 100 | Toujours travailler en unités SI (m, kg, s) avant de remplacer dans les formules. | | 2 | Confondre **masse volumique** \(\rho\) avec **densité spécifique** (poids/volume) | Utilisation de \(g\) en double, donnant des forces deux fois trop grandes | Rappeler que \(\rho\) est en kg m⁻³ ; la densité spécifique est \(\rho g\) (N m⁻³). | | 3 | Négliger le terme \(p_0\) (pression atmosphérique) quand on travaille en pression absolue | Sous‑estimation de la pression totale dans les réservoirs ouverts | Indiquer clairement si on calcule pression relative (manométrique) ou absolue ; ajouter \(p_{atm}=1,01\times10^5\) Pa quand nécessaire. | | 4 | Utiliser le mauvais moment d’inertie (ex. \(I_x\) d’un rectangle au lieu de celui d’un cercle) pour le centre de pression | Erreur de localisation du centre de pression pouvant conduire à une mauvaise fixation | Mémoriser les formules standards : rectangle \(I_x = bh^3/12\), cercle \(I_x = \pi r^4/4\). | | 5 | Supposer qu’un corps flottant est stable sans vérifier GM | Risque de basculement ou de naufrage en charge | Toujours calculer \(GM = BM - BG\); exiger \(GM > 0\) (souvent > 5 cm pour petites embarcations). | | 6 | Surcharger une vanne ou un joint au-delà de la capacité calculée sans marge de sécurité | Déformation, fuite, risque de blessure | Appliquer un coefficient de sécurité d’au moins 1,5 sur la résultante de pression ou sur la contrainte admissible du matériau. | --- *Fin du cours.*