Bases de la RDM (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir le cisaillement et distinguer les contraintes normales et tangentielles dans une pièce soumise à des forces transversales. - Calculer la contrainte de cisaillement moyenne et maximale dans des sections rectangulaires, circulaires et en profilés courants. - Identifier les différents types d’assemblages (boulonnés, rivetés, soudés) et leurs modes de rupture principaux. - Dimensionner un assemblage boulonné simple en vérifiant la résistance au cisaillement des boulons et la pression d’appui sur les pièces. - Appliquer les règles de sécurité liées au maniement d’outils de perçage, de soudure et de serrage en atelier. - Réaliser une activité d’intégration consistant à concevoir et vérifier un assemblage de deux profilés métalliques soumis à une charge de cisaillement. - Mener des activités de remédiation visant à corriger les erreurs fréquentes de calcul et de mise en œuvre. **Prérequis nécessaires :** - Notions de statique graphique (équilibre des forces, moments). - Concepts de contrainte normale (\(\sigma\)) et de déformation (\(\varepsilon\)). - Unités du Système International : N, Pa, mm, m. - Lecture de plans simples et interprétation de cotes. --- ## Introduction contextualisée Dans les métiers de la construction métallique, de la chaudronnerie et de la maintenance industrielle au Cameroun, les pièces sont rarement soumises uniquement à des efforts axiaux. Les charges de vent, les charges d’exploitation ou les efforts de manutention provoquent souvent des forces transversales qui engendrent du **cisaillement**. Un mauvais dimensionnement des zones de cisaillement ou des assemblages peut conduire à une rupture soudaine, avec des risques majeurs pour la sécurité des travailleurs et l’intégrité des ouvrages (effondrement de charpentes, défaillance de ponts roulants, fuite de réservoirs sous pression). Ce chapitre approfondit donc la **Résistance des Matériaux (RDM)** en se concentrant sur le cisaillement et les assemblages, deux notions essentielles pour passer du calcul théorique à la pratique d’atelier ou de chantier. Les activités d’intégration permettront à l’élève de mettre en œuvre une procédure complète de dimensionnement, tandis que les activités de remédiation cibleront les points où les difficultés sont les plus fréquemment observées lors des évaluations du Probatoire. --- ## I. Cisaillement et assemblages ### 1. Notions de cisaillement Le **cisaillement** apparaît lorsque deux parties d’un corps tendent à glisser l’une par rapport à l’autre suivant un plan parallèle à la direction de la force appliquée. Contrairement à la traction ou à la compression, la contrainte de cisaillement \(\tau\) est tangentielle à la section considérée. > **Définition** : La contrainte de cisaillement moyenne \(\tau_m\) sur une section de surface \(A\) soumise à une force tranchante \(V\) est \(\displaystyle \tau_m = \frac{V}{A}\). Dans une poutre rectangulaire de largeur \(b\) et hauteur \(h\) soumise à une force tranchante \(V\) au niveau du neutre, la répartition de \(\tau\) est parabolique : \[ \tau(y) = \frac{3V}{2bh}\left(1-\frac{4y^{2}}{h^{2}}\right) \] où \(y\) mesure la distance depuis l’axe neutre (positif vers le haut). La valeur maximale se situe au neutre (\(y=0\)) : \[ \tau_{max}= \frac{3V}{2bh} \] ### 2. Contraintes de cisaillement dans les sections courantes | Section | Formule de \(\tau_{max}\) | Remarques | |---------|---------------------------|-----------| | Rectangle \(b \times h\) | \(\displaystyle \tau_{max}= \frac{3V}{2bh}\) | Valeur au neutre | | Cercle plein de diamètre \(d\) | \(\displaystyle \tau_{max}= \frac{4V}{3A}= \frac{4V}{3\pi d^{2}/4}= \frac{16V}{3\pi d^{2}}\) | | | Tube creux (diamètre extérieur \(D\), intérieur \(d\)) | \(\displaystyle \tau_{max}= \frac{2V}{A}= \frac{2V}{\pi (D^{2}-d^{2})/4}\) | Approximation pour parois minces | | Profilé I (âme de hauteur \(h_w\), épaisseur \(t_w\)) | \(\displaystyle \tau_{max}= \frac{V}{t_w h_w}\) | Contrainte concentrée dans l’âme | > **Règle de métier** : En conception, on compare \(\tau_{max}\) à la contrainte admissible au cisaillement \(\tau_{adm}\) du matériau (souvent \(\tau_{adm}=0,6\,\sigma_y\) pour l’acier doux). ### 3. Types d’assemblages et leurs modes de rupture | Assemblage | Principe | Mode de rupture fréquent | Vérification principale | |------------|----------|--------------------------|--------------------------| | Boulonné (vis + écrou) | Cisaillement des tiges + pression d’appui | Cisaillement du boulon, écrasement du trou | \(\tau_{bolt} \le \tau_{adm}\) et \(\sigma_{appui} \le \sigma_{adm,appui}\) | | Riveté (à chaud ou à froid) | Déformation plastique du rivet | Cisaillement du rivet, déchirure de la tôle | Même vérification que boulonné | | Soudé (cordons d’angle, bout à bout) | Fusion du métal d’apport | Rupture par traction du métal de base, fissure à la racine | \(\sigma_{soudure} \le \sigma_{adm}\) et contrôle visuel selon NF EN ISO 5817 | > **Norme de sécurité** : Au Cameroun, les travaux de soudure doivent respecter le décret n° 2012/432 du 15 août 2012 relatif à la prévention des risques professionnels dans les ateliers de métallurgie (port du masque, ventilation, protection oculaire). ### 4. Méthode de dimensionnement d’un assemblage boulonné simple 1. **Déterminer la force de cisaillement** \(V\) agissant sur chaque plan de cisaillement (souvent \(V = F/2\) pour une double cisaillement). 2. **Choisir le diamètre nominal** \(d\) du boulon à partir d’une table de résistances (ex. boulon classe 8.8 : \(\sigma_y=800\) MPa, \(\tau_{adm}=0,6\sigma_y=480\) MPa). 3. **Calculer la surface résistante** \(A_s = \frac{\pi d^{2}}{4}\) (pour une tige pleine). 4. **Vérifier le cisaillement** : \(\displaystyle \tau = \frac{V}{A_s} \le \tau_{adm}\). 5. **Vérifier l’appui** : pression moyenne \(p = \frac{F}{d\,t}\) où \(t\) est l’épaisseur de la plaque la plus mince ; exiger \(p \le \sigma_{adm,appui}\) (souvent \(0,6\sigma_y\) pour l’acier). 6. **Contrôler l’écartement et le bord** selon les règles de bonne pratique (écartement ≥ 2,5 d, distance au bord ≥ 1,2 d). ### 5. Exemple chiffré entièrement résolu **Situation** : Une platine d’acier de 12 mm d’épaisseur doit être assemblée à une cornière en acier par deux boulons identiques en double cisaillement. La charge de service appliquée sur l’assemblage est \(F = 24\) kN (répartie équitablement sur les deux boulons). On utilise des boulons de classe 8.8. **Données** : - \(\sigma_y=800\) MPa → \(\tau_{adm}=0,6\sigma_y=480\) MPa. - \(\sigma_{adm,appui}=0,6\sigma_y=480\) MPa (conservatif). **Étape 1 – Force sur chaque boulon** : \(V = \dfrac{F}{2}= \dfrac{24\text{ kN}}{2}=12\text{ kN}=12\,000\) N. **Étape 2 – Choix du diamètre** : On essaie d’abord \(d=12\) mm. **Étape 3 – Surface résistante** : \(A_s = \dfrac{\pi d^{2}}{4}= \dfrac{\pi (12)^{2}}{4}= \dfrac{\pi \times144}{4}= 36\pi \approx 113,1\) mm². **Étape 4 – Vérification du cisaillement** : \(\displaystyle \tau = \frac{V}{A_s}= \frac{12\,000}{113,1}=106,1\) N/mm² = 106,1 MPa. Puisque \(106,1\) MPa < \(480\) MPa → **OK**. **Étape 5 – Vérification de l’appui** : Pression moyenne sur la plaque la plus mince (12 mm) : \(p = \dfrac{F}{d\,t}= \dfrac{24\,000}{12\times12}= \dfrac{24\,000}{144}=166,7\) N/mm² = 166,7 MPa. \(166,7\) MPa < \(480\) MPa → **OK**. **Étape 6 – Écartement et bord** : Écartement minimal = \(2,5d = 30\) mm (on prévoit 35 mm). Distance au bord minimale = \(1,2d = 14,4\) mm (on prévoit 20 mm). **Conclusion** : Deux boulons M12 de classe 8,8 satisfont aux critères de résistance au cisaillement et d’appui pour la charge donnée. --- ## II. Activités d’intégration **Objectif** : Concevoir, calculer et valider un assemblage de deux profilés métalliques soumis à une charge de cisaillement, en respectant les normes de sécurité atelier. ### Étape 1 – Analyse du cahier des charges - Deux profilés U de 100 mm × 50 mm × 6 mm (âme = 6 mm, ailes = 6 mm) doivent être reliés par une plaque d’acier de 8 mm d’épaisseur. - Charge de service transversale : \(F = 18\) kN appliquée au milieu de la longueur d’assemblage (0,6 m). - Matériau : acier S235 (limite d’élasticité \(\sigma_y = 235\) MPa). ### Étape 2 – Choix du type d’assemblage On privilégie un assemblage boulonné en double cisaillement avec 4 boulons répartis symétriquement (2 de chaque côté de la plaque). ### Étape 3 – Calcul de la force par boulon \(V_{bolt}= \dfrac{F}{n}= \dfrac{18\,000}{4}=4\,500\) N. ### Étape 4 – Sélection du diamètre On essaie \(d=10\) mm (classe 8.8). \(A_s = \dfrac{\pi (10)^2}{4}= 78,54\) mm². \(\tau = \dfrac{4\,500}{78,54}=57,3\) MPa < \(\tau_{adm}=0,6\sigma_y=0,6\times235=141\) MPa → OK. ### Étape 5 – Vérification de l’appui sur la plaque (8 mm) \(p = \dfrac{F_{bolt}}{d\,t}= \dfrac{4\,500}{10\times8}=56,25\) MPa < \(\sigma_{adm,appui}=0,6\sigma_y=141\) MPa → OK. ### Étape 6 – Contrôle des écarts et des bords (norme NF E25-012) - Écartement entre boulons ≥ 2,5 d = 25 mm (on prévoit 30 mm). - Distance au bord ≥ 1,2 d = 12 mm (on prévoit 15 mm). ### Étape 7 – Réalisation en atelier (fiche de procédure) 1. Tracer les points de perçage sur les profilés et la plaque à l’aide d’un poinçon et d’une règle métallique. 2. Perçage avec une fraise métallique de diamètre 10,2 mm (tolérance +0,2 mm) en respectant la vitesse de coupe recommandée pour l’acier (≈ 15 m/min). 3. Déburrer les trous à la lime ou à la meuleuse d’angle (disque à tronçonner fin). 4. Insérer les boulons, placer les rondelles et serrer à la clé dynamométrique à un couple conforme au tableau constructeur (ex. environ 15 N·m pour un boulon M10 classe 8,8 lubrifié). 5. Vérifier l’alignement avec un carré de menuisier et la planéité avec un règle de 2 m. 6. Effectuer un contrôle visuel des soudures éventuelles (pas de fissure, bonne pénétration). 7. Nettoyer la zone, ranger les outils et porter les EPI (lunettes de protection, gants anti‑coupure, masque anti‑poussière). ### Étape 8 – Bilan de l’activité L’élève doit rendre un rapport contenant : schéma de l’assemblage, tableau de calculs, fiche de procédure, photo de la réalisation et conclusion sur la conformité aux critères de résistance et de sécurité. --- ## III. Activités de remédiation Cette partie cible les difficultés récurrentes observées lors des évaluations du Probatoire : ### 1. Erreur de confusion entre contrainte normale et contrainte de cisaillement - **Remédiation** : Revoir les définitions graphiques (σ ⟂ surface, τ ∥ surface) à l’aide de schémas de Mohr simplifiés. Faire réaliser à l’élève trois exercices où il doit identifier le type de contrainte à partir d’un diagramme de forces. ### 2. Mauvaise utilisation de la formule de \(\tau_{max}\) pour une section circulaire - **Remédiation** : Présenter la dérivation rapide (intégration de la distribution parabolique) puis proposer un tableau de valeurs de \(\tau_{max}/(V/A)\) pour différentes sections (rectangle, cercle, tube). L’élève complète le tableau et vérifie ses résultats avec un logiciel de CAO simple (ex. FreeCAD). ### 3. Oubli de la vérification de l’appui dans les assemblages boulonnés - **Remédiation** : Faire un exercice où l’on ne donne que la contrainte de cisaillement calculée ; l’élève doit réaliser que l’assemblage peut malgré tout écraser les trous. On introduit alors la notion de pression d’appui et on compare à la contrainte admissible. ### 4. Erreur d’unité lors du passage de kN à N ou de mm² à m² - **Remédiation** : Insister sur la cohérence du système d’unités : travailler systématiquement en N et mm (→ MPa). Proposer un mini‑jeu de conversion où l’élève doit transformer des grandeurs données dans différentes unités avant de les utiliser dans une formule. ### 5. Non‑respect des distances au bord et de l’écartement (risque de fissuration) - **Remédiation** : Montrer, à l’aide d’une maquette en carton, ce qui se produit quand un boulon est trop près du bord (effet de concentration de contraintes). Puis faire réaliser à l’élève un contrôle de conformité sur un plan fourni, en utilisant une règle et un compas. Chaque activité de remédiation dure environ 20 minutes, suivie d’un bref débrief où l’élève explique oralement la règle appliquée et la raison pour laquelle elle évite la rupture. --- ## Synthèse du chapitre - **Cisaillement** : contrainte tangentielle \(\tau = V/A\); distribution parabolique dans les sections rectangulaires, maximale au neutre. - **Formules clés** : - Rectangle : \(\displaystyle \tau_{max}= \frac{3V}{2bh}\) - Cercle plein : \(\displaystyle \tau_{max}= \frac{16V}{3\pi d^{2}}\) - Boulon : \(\displaystyle \tau = \frac{V}{A_s}\) avec \(A_s=\pi d^{2}/4\) - **Assemblages** : boulonnés, rivetés, soudés ; vérification du cisaillement des éléments de fixation et de la pression d’appui. - **Méthode de dimensionnement** : déterminer \(V\) par boulon, choisir \(d\) d’après \(\tau_{adm}\), contrôler \(\tau\) et \(p\), respecter écarts et bords. - **Sécurité** : port des EPI, respect des normes de soudure (NF EN ISO 5817) et de prévention des risques (décret 2012/432). - **Objectif pratique** : réaliser un assemblage boulonné conforme, produire un rapport de calcul et de procédure. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Cisaillement | Glissement relatif de deux parties d’un corps suivant un plan parallèle à la force appliquée. | | Contrainte de cisaillement (\(\tau\)) | Force tangentielle par unité de surface agissant dans une section. | | Contrainte normale (\(\sigma\)) | Force perpendiculaire à la surface par unité de surface. | | Boulon (classe 8.8) | Fixation métallique avec limite d’élasticité \(\sigma_y≈800\) MPa, \(\tau_{adm}=0,6\sigma_y\). | | Pression d’appui | Moyenne de la force normale répartie sur la surface de contact entre boulon et trou (\(p=F/(d\,t)\)). | | Double cisaillement | Situation où le boulon subit deux plans de cisaillement simultanés (ex. plaque entre deux pièces). | | Écartement | Distance entre les axes de deux boulons consécutifs, doit être ≥ 2,5 d pour éviter l’interaction de contraintes. | | Distance au bord | Distance entre l’axe d’un boulon et le bord le plus proche de la pièce, doit être ≥ 1,2 d. | | Soudure d’angle | Cordon de soudure déposé dans l’angle formé par deux pièces perpendiculaires. | | NF EN ISO 5817 | Norme internationale définissant les niveaux de qualité des soudures en fusion (B, C, D). | | EPI | Équipements de Protection Individuelle (lunettes, gants, masque, casque). | | Décret 2012/432 | Texte réglementaire camerounais relatif à la prévention des risques professionnels dans les ateliers de métallurgie. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un boulon simple **Énoncé** : Une platine d’acier de 10 mm d’épaisseur doit être fixée à une poutre en I par un boulon en simple cisaillement. La charge de service appliquée sur la platine est \(F = 15\) kN. On utilise un boulon de classe 8.8. Déterminer le diamètre minimal nécessaire et vérifier la pression d’appui. **Corrigé** : 1. Force sur le boulon (simple cisaillement) : \(V = F = 15\,000\) N. 2. Contrainte admissible au cisaillement : \(\tau_{adm}=0,6\sigma_y=0,6\times800=480\) MPa. 3. On cherche \(d\) tel que \(\displaystyle \tau = \frac{V}{A_s}\le \tau_{adm}\) avec \(A_s=\pi d^{2}/4\). \[ \frac{15\,000}{\pi d^{2}/4}\le 480 \;\Longrightarrow\; d^{2}\ge \frac{15\,000\times4}{\pi \times 480}= \frac{60\,000}{1507,96}\approx 39,8 \] \[ d\ge \sqrt{39,8}\approx 6,3\text{ mm} \] On choisit le diamètre commercial supérieur : **M8** (d = 8 mm). 4. Vérification avec d = 8 mm : \(A_s = \pi 8^{2}/4 = 50,27\) mm². \(\tau = 15\,000/50,27 = 298,5\) MPa < 480 MPa → OK. 5. Pression d’appui sur la platine (10 mm) : \(p = \dfrac{F}{d\,t}= \dfrac{15\,000}{8\times10}=187,5\) MPa. Contrainte admissible à l’appui (on prend 0,6σy) : 480 MPa → OK. 6. Écartement et bord (non requis pour un seul boulon, mais on respecte les bonnes pratiques : distance au bord ≥ 1,2d = 9,6 mm, on prévoit 12 mm). **Réponse** : Boulon M8 classe 8,8 suffit. --- ### Exercice 2 – Vérification d’un assemblage riveté **Énoncé** : Deux tôles d’acier de 6 mm d’épaisseur sont assemblées par trois rivets à chaud de diamètre 10 mm (classe 5.6, \(\sigma_y=360\) MPa). La charge de cisaillement transmise par l’assemblage est \(V_{tot}=30\) kN. Vérifier la résistance au cisaillement des rivets et la pression d’appui sur les trous. **Corrigé** : 1. Force par rivet (supposé réparti équitablement) : \(V_{rivet}= V_{tot}/3 = 30\,000/3 = 10\,000\) N. 2. Contrainte admissible au cisaillement pour la classe 5.6 : \(\tau_{adm}=0,6\sigma_y=0,6\times360=216\) MPa. 3. Surface résistante d’un rivet plein : \(A_s=\pi d^{2}/4 = \pi 10^{2}/4 = 78,54\) mm². \(\tau = V_{rivet}/A_s = 10\,000/78,54 = 127,3\) MPa < 216 MPa → OK. 4. Pression d’appui sur le trou (épaisseur t = 6 mm) : \(p = \dfrac{V_{rivet}}{d\,t}= \dfrac{10\,000}{10\times6}=166,7\) MPa. Contrainte admissible à l’appui (0,6σy) = 216 MPa → OK. 5. Écartement : on suppose un entraxe de 30 mm (≥ 2,5d = 25 mm) et distance au bord de 15 mm (≥ 1,2d = 12 mm) → conformes. **Réponse** : Les trois rivets M10 classe 5,6 résistent à la charge de 30 kN en cisaillement et en appui. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Confondre \(\sigma\) et \(\tau\) dans les formules de résistance | Sous‑dimensionnement ou sur‑dimensionnement dangereux | Toujours identifier le type de contrainte (normale ou tangentielle) avant d’appliquer la formule ; utiliser un schéma de corps libre pour visualiser la direction de la force. | | 2 | Oublier de convertir les unités (kN → N, mm² → m²) avant le calcul | Résultats erronés de plusieurs ordres de magnitude | Travailler exclusivement en unités de base du Système International (N, mm, MPa) ; noter systématiquement les unités à chaque étape. | | 3 | Négliger la vérification de la pression d’appui dans un assemblage boulonné | Écrasement du trou, glissement des pièces malgré un boulon résistant au cisaillement | Après le calcul de \(\tau\), calculer systématiquement \(p = F/(d\,t)\) et la comparer à \(\sigma_{adm,appui}\) (souvent 0,6σy). | | 4 | Perçage trop près du bord ou entraxe insuffisant | Concentration de contraintes pouvant entraîner une fissure à froid | Respecter les distances minimales : écartement ≥ 2,5 d, distance au bord ≥ 1,2 d ; vérifier à l’aide d’un compas ou d’une règle graduée sur le plan avant perçage. | | 5 | Soudure sans protection adéquate (pas de masque, ventilation insuffisante) | Exposition aux fumées métalliques, risque de maladies respiratoires | Porter un masque à filtration appropriée, assurer une extraction locale des fumées, respecter les temps de pause prévus par la réglementation (décret 2012/432). | | 6 | Serrage excessif d’un boulon avec une clé à choc sans contrôle du couple | Déformation plastique du boulon ou de la pièce, perte de précharge | Utiliser une clé dynamométrique réglée au couple recommandé par le fabricant (ex. 15 N·m pour M10 classe 8,8) ; vérifier le couple après serrage avec un dispositif de mesure si disponible. | --- *Fin du cours.*