Cinématique du point (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir le mouvement circulaire uniforme (MCU) et distinguer les grandeurs angulaires et linéaires associées. - Utiliser les relations \(v = \omega r\), \(a_c = \omega^{2} r = \dfrac{v^{2}}{r}\), \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) et \(f = \dfrac{1}{T}\) pour résoudre des problèmes pratiques. - Interpréter un diagramme vitesse‑temps ou accélération‑temps d’un point en MCU. - Appliquer ces notions à des situations d’atelier (poulies, treuils, ventilateurs) ou de chantier (bétonnières, mélangeurs). - Réaliser un bilan de compétences en identifiant les erreurs fréquentes et en proposant des démarches de remédiation. **Prérequis** : - Notions de référentiel, de trajectoire et de vitesse moyenne (chapitre précédent). - Manipulation des unités du Système International (m, s, rad, m·s⁻¹, m·s⁻²). - Conversion d’angles entre degrés et radians. - Lecture de schémas simples de mécanismes rotatifs. --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de mécanique générale du Cameroun, de nombreux équipements fonctionnent grâce à un mouvement de rotation continu : poulies d’élévation de charges, treuils de chantier, ventilateurs d’extraction de fumées, ou encore les tambours des bétonnières sur les chantiers de construction de Yaoundé ou Douala. Comprendre le mouvement circulaire uniforme permet au technicien de prévoir la vitesse linéaire d’une courroie, l’accélération centripète subie par un palier, ou encore la fréquence de rotation nécessaire pour éviter les résonances dangereuses. Ce chapitre fournit les outils mathématiques et les repères de sécurité indispensables à l’exercice du métier dans le respect des normes OHSAS 18001 et du décret n° 2015/042 du MINTP relatif à la sécurité des machines rotatives. --- ## I. Leçon 12 : Mouvement circulaire uniforme ### Définitions et grandeurs kinématiques > **Mouvement circulaire uniforme (MCU)** : mouvement d’un point dont la trajectoire est un cercle de rayon constant \(r\) et dont la vitesse linéaire \(v\) possède une intensité constante ; la direction de \(v\) change continuellement, tangentielle au cercle. > **Vitesse angulaire** \(\omega\) : rapport de l’angle parcouru \(\Delta\theta\) (en radians) au temps écoulé \(\Delta t\) : \(\displaystyle \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}\) [rad·s⁻¹]. > **Fréquence de rotation** \(f\) : nombre de tours complets par seconde : \(\displaystyle f = \frac{1}{T}\) [Hz], où \(T\) est la période. > **Période** \(T\) : temps nécessaire pour effectuer un tour complet : \(\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}\) [s]. > **Accélération centripète** \(a_c\) : accélération dirigée vers le centre du cercle, responsable du changement de direction de \(v\) : \(\displaystyle a_c = \frac{v^{2}}{r} = \omega^{2} r\) [m·s⁻²]. ### Relations fondamentales Le MCU relie les grandeurs linéaires et angulaires par le rayon \(r\) du cercle : | Grandeurs linéaires | Relation avec les grandeurs angulaires | Unité | |---------------------|----------------------------------------|-------| | Vitesse linéaire \(v\) | \(v = \omega r\) | m·s⁻¹ | | Accélération centripète \(a_c\) | \(a_c = \omega^{2} r = \dfrac{v^{2}}{r}\) | m·s⁻² | | Période \(T\) | \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi r}{v}\) | s | | Fréquence \(f\) | \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{v}{2\pi r}\) | Hz | > **Formule à retenir** : \(v = \omega r\) (liaison vitesse linéaire‑vitesse angulaire). ### Exemple d’atelier Une poulie d’élévation de charge sur un chantier de construction à Bafoussam présente un rayon de \(r = 0,18\) m. Le moteur entraîne la poulie à une vitesse angulaire de \(\omega = 150\) rad·s⁻¹. 1. **Vitesse linéaire de la courroie** : \[ v = \omega r = 150 \times 0,18 = 27,0\ \text{m·s}^{-1} \] 2. **Accélération centripète subie par l’axe de la poulie** : \[ a_c = \omega^{2} r = (150)^{2} \times 0,18 = 4050\ \text{m·s}^{-2} \] 3. **Période de rotation** : \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{150} \approx 0,0419\ \text{s} \;(≈ 41,9\ \text{ms}) \] 4. **Fréquence** : \[ f = \frac{1}{T} \approx 23,9\ \text{Hz} \] Interprétation : la courroie se déplace à 27 m·s⁻¹ (≈ 97 km·h⁻¹), ce qui nécessite un garde‑corps et un dispositif d’arrêt d’urgence conformément à l’article 4.2 du décret MINTP sur la protection des travailleurs contre les risques mécaniques. ### Application professionnelle Dans un atelier de maintenance de ventilateurs industriels (ex. : usine de transformation du cacao à Douala), le technicien doit vérifier que la vitesse de pointe des pales ne dépasse pas la limite critique de \(v_{max}=30\) m·s⁻¹ afin d’éviter la fatigue du matériau. En connaissant le rayon des pales (\(r=0,25\) m), il calcule la vitesse angulaire maximale autorisée : \[ \omega_{max}= \frac{v_{max}}{r}= \frac{30}{0,25}=120\ \text{rad·s}^{-1} \] Il compare ensuite cette valeur à la lecture du tachymètre ; si \(\omega > \omega_{max}\), il préconise un rééquilibrage ou le remplacement du moteur. --- ## II. Activités d’intégration ### Mise en situation professionnelle Les élèves sont répartis en groupes de quatre et reçoivent un scénario : *« Vous êtes chargé de la mise en service d’une bétonnière sur un chantier de route à Ngaoundéré. La cuve a un rayon de 0,5 m et doit atteindre une vitesse de linéaire de 4 m·s⁻¹ pour assurer un bon malaxage. »* Chaque groupe doit : 1. Déterminer la vitesse angulaire requise. 2. Calculer la période et la fréquence de rotation. 3. Vérifier que l’accélération centripète reste inférieure à la limite de résistance du palier (donnée \(a_{c,\,lim}=150\) m·s⁻²). 4. Rédiger une fiche de consignes de sécurité (port de lunettes, arrêt d’urgence, vérification du serrage des boulons). ### Travail guidé Le professeur circule, aide à la mise en équation et rappelle les conversions d’unités. Un tableau de suivi est rempli au tableau : | Groupe | \(\omega\) (rad·s⁻¹) | \(T\) (s) | \(f\) (Hz) | \(a_c\) (m·s⁻²) | Conformité ? | |--------|----------------------|-----------|------------|-----------------|--------------| | A | 8,0 | 0,785 | 1,27 | 32,0 | Oui | | B | 12,0 | 0,524 | 1,91 | 72,0 | Oui | | C | 20,0 | 0,314 | 3,18 | 200,0 | Non | | D | 30,0 | 0,209 | 4,78 | 450,0 | Non | Les groupes A et B respectent la limite de \(a_{c,\,lim}\); les groupes C et D dépassent cette limite, ce qui déclenche une discussion sur la nécessité de réduire la vitesse ou d’utiliser un palier plus résistant. ### Bilan À l’issue de l’activité, chaque groupe présente brièvement son résultat et souligne les points de vigilance (vérification du serrage, utilisation d’un frein de secours, contrôle périodique du déséquilibre). Le professeur synthétise les bonnes pratiques et rappelle l’importance du **plan de prévention** prévu par l’INRS (Institut National de Recherche et de Sécurité) adapté au contexte camerounais. --- ## III. Activités de remédiation ### Diagnostique des difficultés Un court questionnaire diagnostique (5 questions) révèle les erreurs récurrentes : - Confusion entre \(\omega\) (rad·s⁻¹) et \(f\) (Hz). - Oubli de convertir le diamètre en rayon. - Utilisation de la formule \(a_c = v^{2}/r\) avec \(v\) en km·h⁻¹ sans conversion. - Interprétation erronée du sens de l’accélération centripète (pensée vers l’extérieur). - Oubli de l’unité du radian (considéré comme adimensionnel). ### Exercices ciblés Trois exercices sont proposés, chacun ciblant une difficulté spécifique, avec retour immédiat : 1. **Conversion d’unité** : Une roue de diamètre 0,6 m tourne à 120 tr/min. Calculer \(\omega\) en rad·s⁻¹. 2. **Utilisation du rayon** : Un arbre de rayon 0,04 m entraîne une courroie à \(v=8\) m·s⁻¹. Trouver \(\omega\) et vérifier si \(a_c\) dépasse 200 m·s⁻². 3. **Sens de l’accélération** : Dessiner le vecteur \(a_c\) pour un point situé à l’est du centre d’un cercle tournant dans le sens trigonométrique. Après chaque exercice, le corrigé est affiché et les élèves sont invités à expliquer leur raisonnement. ### Retour sur les acquis Une synthèse orale permet de reformuler les définitions clés, de rappeler les formules essentielles et d’insister sur les consignes de sécurité : port de gants anti‑coupure, vérification du blocage de l’énergie avant toute intervention (lock‑out/tag‑out), et respect des distances de sécurité minimale (au moins 0,5 m autour des parties en rotation). --- ## Synthèse du chapitre - **Mouvement circulaire uniforme** : trajectoire circulaire de rayon constant, vitesse linéaire constante en intensité. - **Vitesse angulaire** \(\displaystyle \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}\) [rad·s⁻¹]. - **Liaison linéaire‑angulaire** : \(v = \omega r\). - **Accélération centripète** : \(a_c = \dfrac{v^{2}}{r} = \omega^{2} r\) (direction vers le centre). - **Période** : \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi r}{v}\). - **Fréquence** : \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{v}{2\pi r}\). - **Unités** : \(r\) en m, \(v\) en m·s⁻¹, \(\omega\) en rad·s⁻¹, \(a_c\) en m·s⁻², \(T\) en s, \(f\) en Hz. - **Sécurité** : garde‑corps, arrêt d’urgence, lock‑out/tag‑out, vérification du serrage, port de lunettes et de gants. - **Application** : poulies, treuils, bétonnières, ventilateurs – calcul de vitesse linéaire, d’accélération centripète, de période et de fréquence pour dimensionner ou contrôler un équipement. --- ## Glossaire - **Mouvement circulaire uniforme (MCU)** : mouvement d’un point sur une trajectoire circulaire de rayon constant avec vitesse linéaire constante en intensité. - **Vitesse angulaire (\(\omega\))** : variation de l’angle parcouru par unité de temps, exprimée en rad·s⁻¹. - **Vitesse linéaire (\(v\))** : vitesse tangentielle du point sur la circonférence, en m·s⁻¹. - **Accélération centripète (\(a_c\))** : accélération dirigée vers le centre du cercle, responsable du changement de direction de \(v\). - **Période (\(T\))** : durée d’un tour complet, en secondes. - **Fréquence (\(f\))** : nombre de tours par seconde, en hertz (Hz). - **Rayon (\(r\))** : distance du centre du cercle au point en mouvement, en mètres. - **Diamètre (\(d\))** : deux fois le rayon, \(d = 2r\). - **Radian** : unité adimensionnelle d’angle, définie comme l’angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. - **Lock‑out/tag‑out** : procédure de mise en sécurité consistant à isoler et à verrouiller les sources d’énergie avant une intervention. - **Garde‑corps** : dispositif physique empêchant l’accès aux parties en rotation dangereuses. - **Régime critique** : vitesse de rotation à laquelle apparaissent des vibrations dangereuses pouvant entraîner une rupture mécanique. --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 – Poulies d’élévation **Énoncé** : Une poulie de rayon \(r = 0,12\) m entraîne un câble à une vitesse linéaire de \(v = 5,0\) m·s⁻¹. 1. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) de la poulie. 2. Déterminer l’accélération centripète subie par l’axe de la poulie. 3. Quelle est la période de rotation ? 4. Si la poulie doit être arrêtée en moins de 0,2 s pour une opération de maintenance, quelle est la décélération angulaire moyenne nécessaire (supposée constante) ? **Corrigé** : 1. \(\displaystyle \omega = \frac{v}{r} = \frac{5,0}{0,12} = 41,67\ \text{rad·s}^{-1}\). 2. \(\displaystyle a_c = \omega^{2} r = (41,67)^{2} \times 0,12 \approx 208,3\ \text{m·s}^{-2}\). 3. \(\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{41,67} \approx 0,151\ \text{s}\). 4. Décélération angulaire moyenne : \(\displaystyle \alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{0 - 41,67}{0,2} = -208,3\ \text{rad·s}^{-2}\) (valeur absolue 208,3 rad·s⁻²). ### Exercice 2 – Bétonnière de chantier **Énoncé** : Sur un chantier de route à Garoua, la cuve d’une bétonnière a un rayon de \(0,45\) m. Pour assurer un bon malaxage, la vitesse linéaire du bord de la cuve doit être comprise entre 3,0 et 4,5 m·s⁻¹. 1. Déterminer l’intervalle de vitesse angulaire \(\omega\) correspondant. 2. Calculer les périodes minimale et maximale. 3. Vérifier que l’accélération centripète reste inférieure à la limite admissible du palier, fixée à \(250\) m·s⁻². **Corrigé** : 1. \(\displaystyle \omega_{min} = \frac{v_{min}}{r} = \frac{3,0}{0,45} = 6,67\ \text{rad·s}^{-1}\). \(\displaystyle \omega_{max} = \frac{4,5}{0,45} = 10,0\ \text{rad·s}^{-1}\). 2. \(\displaystyle T_{min} = \frac{2\pi}{\omega_{max}} = \frac{2\pi}{10,0} \approx 0,628\ \text{s}\). \(\displaystyle T_{max} = \frac{2\pi}{\omega_{min}} = \frac{2\pi}{6,67} \approx 0,942\ \text{s}\). 3. Accélération centripète : - Pour \(\omega_{min}\) : \(a_{c,min} = \omega_{min}^{2} r = (6,67)^{2} \times 0,45 \approx 20,0\ \text{m·s}^{-2}\). - Pour \(\omega_{max}\) : \(a_{c,max} = \omega_{max}^{2} r = (10,0)^{2} \times 0,45 = 45,0\ \text{m·s}^{-2}\). Les deux valeurs sont bien inférieures à la limite de \(250\) m·s⁻² ; la bétonnière fonctionne donc dans des conditions sûres. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de sécurité / bonne pratique | |---|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Confondre \(\omega\) (rad·s⁻¹) avec \(f\) (Hz) et oublier le facteur \(2\pi\). | Calcul erroné de la période ou de la vitesse linéaire. | Toujours vérifier les unités : si le résultat est en tr/min, le convertir en rad·s⁻¹ via \(\omega = 2\pi \times (N/60)\). | | 2 | Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans les formules \(v=\omega r\) ou \(a_c=\omega^{2}r\). | Résultats doublés (ou divisés par 2) → sous‑ ou sur‑dimensionnement. | Rappeler que \(r = d/2\) ; inscrire cette relation sur la fiche de données de l’équipement. | | 3 | Oublier de convertir une vitesse donnée en km·h⁻¹ en m·s⁻¹ avant d’appliquer \(a_c=v^{2}/r\). | Valeur d’accélération centripète fortement sous‑estimée. | Appliquer systématiquement le facteur \(1/3,6\) : \(v\,(m·s^{-1}) = v\,(km·h^{-1})/3,6\). | | 4 | Considérer l’accélération centripète dirigée vers l’extérieur (force centrifuge réelle). | Mauvaise interprétation des efforts sur les paliers, risque de sous‑dimensionnement. | Rappeler que l’accélération centripète pointe vers le centre ; la force d’inertie ressentie est fictive et dirigée vers l’extérieur dans le référentiel tournant. | | 5 | Négliger le port de lunettes de protection lors du démontage d’une poulie sous tension. | Risque de projection de fragments ou de liquide de lubrification. | Règle OHSAS 18001 : porter des lunettes de sécurité anti‑impact et des gants adaptés avant toute intervention sur des pièces en rotation. | | 6 | Intervenir sur une machine en rotation sans appliquer la procédure de lock‑out/tag‑out. | Risque d’enroulement de vêtements ou de membres dans les pièces mobiles. | Toujours isoler l’énergie électrique ou hydraulique, placer un cadenas et une étiquette « Ne pas mettre sous tension » avant de commencer les travaux. | --- *Fin du cours.*