Sollicitations simples (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Décrire les hypothèses de la flexion simple et de la torsion simple ainsi que leurs domaines d’application. - Calculer le moment d’inertie des sections courantes (rectangulaire, circulaire, profilé en I) et l’utiliser dans les formules de résistance à la flexion. - Déterminer les contraintes de flexion, de torsion et d’effort normal dans une poutre soumise à des sollicitations simples ou composées. - Appliquer le critère de von Mises (ou Tresca) pour vérifier la résistance d’un élément soumis à plusieurs types de contraintes. - Réaliser le dimensionnement préliminaire d’une poutre ou d’un arbre dans un contexte professionnel camerounais (chantier de construction, atelier de mécanique, bureau d’études). - Identifier les erreurs fréquentes de calcul et les règles de sécurité/hygiène liées à la manipulation des pièces mécaniques et des structures. **Prérequis :** - Notions de statique graphique (équilibre des forces, moments). - Concepts de contrainte normale, de contrainte de cisaillement et de module d’élasticité (E). - Manipulation des unités du Système International (N, m, Pa, mm⁴). - Lecture de plans simples et connaissance des matériaux courants (acier S235, béton C25/30, aluminium). --- ## Introduction contextualisée Dans les lycées techniques du Cameroun, les élèves de la série ISH sont souvent amenés à concevoir ou à vérifier des éléments structuraux rencontrés sur les chantiers de bâtiments publics (écoles, centres de santé) ou dans les ateliers de maintenance d’équipements agricoles. La maîtrise des sollicitations simples – flexion, torsion et effort normal – constitue la base du dimensionnement sûr des poutres, des arbres de transmission et des poteaux de soutien. Ce chapitre présente, de façon progressive, les modèles théoriques, les formules de calcul et les exemples concrets tirés de la pratique professionnelle camerounaise, tout en intégrant les normes de sécurité (port des EPI, vérification des charges admissibles selon le règlement de construction du MINTP). --- ## I. Leçon 5 : Flexion simple et moments d’inertie ### A. Définitions et hypothèses > **Flexion simple** : déformation d’une poutre soumise à un moment fléchissant M sans effort normal ni force tranchante significative, dans l’hypothèse de sections planes restant planes après déformation (hypothèse de Bernoulli‑Euler). - Matériau homogène, isotrope, élastique linéaire (loi de Hooke). - Petites déformations (ε ≪ 1). - Axe neutre passant par le centre de gravité de la section. ### B. Diagrammes de flexion et de moment - **Diagramme des efforts tranchants (V)** : représentation de la force interne V(x) le long de la poutre. - **Diagramme des moments fléchissants (M)** : représentation du moment interne M(x). - Le signe conventionnel : moment positif lorsqu’il produit une traction dans la fibre inférieure (sens horaire sur la face gauche). ### C. Moment d’inertie des sections courantes | Section | Formule du moment d’inertie I (axe neutre) | Unités | |---------|--------------------------------------------|--------| | Rectangle (base b, hauteur h) | I = \dfrac{b h^{3}}{12} | mm⁴ | | Cercle plein (diamètre d) | I = \dfrac{\pi d^{4}}{64} | mm⁴ | | Profilé en I (âme épaisseur t_w, ailes largeur b_f, épaisseur t_f) | I ≈ \dfrac{b_f h^{3}}{12} - \dfrac{(b_f-t_w)(h-2t_f)^{3}}{12} | mm⁴ | > **Rappel** : le moment d’inertie mesure la résistance d’une section à la flexion ; plus I est grand, plus la contrainte de flexion σ est faible pour un même moment M. ### D. Formules de résistance à la flexion - Contrainte normale en une fibre distante y de l’axe neutre : \[ \sigma = \frac{M\,y}{I} \] - Contrainte maximale (fibre la plus éloignée) : \[ \sigma_{\max}= \frac{M\,c}{I}\quad\text{avec }c=\frac{h}{2}\text{ (rectangle) ou }c=\frac{d}{2}\text{ (cercle)} \] - Condition de résistance (élastique) : σ_max ≤ σ_adm, où σ_adm = f_y/γ_M (f_y = limite d’élasticité, γ_M = coefficient de sécurité matérielle, généralement 1,10 pour l’acier S235). ### E. Exemple chiffré : poutre en béton armé d’un bâtiment scolaire (Yaoundé) **Données** : - Portée L = 6 m, charge uniformément répartie w = 12 kN/m (poids propre + charges d’exploitation). - Section rectangulaire : b = 250 mm, h = 500 mm, recouvrement béton = 25 mm, armature inférieure = 4 Φ20 mm². - Classe de béton C25/30 → f_ck = 25 MPa, f_y = 400 MPa (acier B500B). - Coefficient de sécurité γ_c = 1,5, γ_s = 1,15. **Étapes** : 1. **Moment fléchissant maximal** (appui simple) : \[ M_{\max}= \frac{wL^{2}}{8}= \frac{12\times 6^{2}}{8}=54\text{ kN·m}=5,4\times10^{7}\text{ N·mm} \] 2. **Moment d’inertie de la section brute** : \[ I = \frac{b h^{3}}{12}= \frac{250\times 500^{3}}{12}=2,60\times10^{9}\text{ mm}^{4} \] 3. **Distance à la fibre extrême** : c = h/2 = 250 mm. 4. **Contrainte de flexion dans le béton** (en négligeant l’armature pour une première vérification) : \[ \sigma_{c}= \frac{M_{\max}c}{I}= \frac{5,4\times10^{7}\times250}{2,60\times10^{9}}=5,19\text{ MPa} \] 5. **Vérification** : σ_c ≤ f_ck/γ_c = 25/1,5 ≈ 16,7 MPa → **OK**. 6. **Vérification de l’armature** (contrainte d’acier) : - Aire d’armature A_s = 4×(π×20²/4) = 1256 mm². - Moment résistante de l’armature : M_s = A_s (f_y/γ_s) (d‑a/2) avec a ≈ β₁ c ≈ 0,85 × 250 = 212,5 mm, d ≈ h‑recouvrement = 475 mm. - M_s ≈ 1,6×10⁸ N·mm = 161 kN·m > M_max → armature suffisante. > **À retenir** : dans la flexion simple, la contrainte varie linéairement avec la distance à l’axe neutre ; le moment d’inertie est le facteur géométrique clé. ### F. Tableau récapitulatif | Élément | Formule clé | Unités | Remarque | |---------|-------------|--------|----------| | Moment d’inertie rectangle | I = b h³ /12 | mm⁴ | dépend fortement de h³ | | Contrainte de flexion | σ = M y / I | Pa | σ_max en fibre extrême | | Condition de résistance | σ_max ≤ f_y/γ_M | Pa | γ_M ≈ 1,10 pour acier | | Moment fléchissant appui simple | M_max = wL²/8 | N·m | charge uniformément répartie | --- ## II. Leçon 6 : Torsion simple et enveloppe mince ### A. Définition de la torsion > **Torsion simple** : déformation d’une barre droite soumise à un couple de torsion T produisant un angle de twist θ le long de son axe, dans l’hypothèse de sections circulaires restant planes et non déformées (hypothèse de Saint‑Venant). ### B. Hypothèses de l’enveloppe mince - Épaisseur constante t ≪ rayon moyen r_m. - Contraintes de cisaillement uniformément réparties dans l’épaisseur. - Déformation négligeable du rayon moyen (r_m ≈ constante). ### C. Formule de résistance au cisaillement de torsion - Moment de torsion lié au cisaillement moyen τ : \[ T = 2 A_m \, t \, \tau \] où A_m = aire fermée de la ligne médiane (pour un tube circulaire, A_m = π r_m²). - Contrainte de cisaillement maximale : \[ \tau_{\max}= \frac{T}{2 A_m t} \] - Angle de twist par unité de longueur : \[ \frac{\theta}{L}= \frac{T}{G J} \] avec module de cisaillement G et polar moment d’inertie J ≈ 2 π r_m³ t (enveloppe mince). > **À retenir** : pour une enveloppe mince, la résistance à la torsion dépend du produit de l’épaisseur, du rayon moyen et de la contrainte admissible ; augmenter le rayon est bien plus efficace qu’augmenter l’épaisseur. ### D. Exemple chiffré : arbre de transmission d’une machine agricole (Bamenda) **Données** : - Puissance transmise P = 15 kW à n = 500 tr/min. - Coefficient de service K_s = 1,25 (charges alternées). - Matériau : acier C45, f_y = 350 MPa, G = 80 GPa. - Coefficient de sécurité γ_T = 1,5. **Étapes** : 1. **Couple nominal** : \[ T_n = \frac{9550\,P}{n}= \frac{9550\times15}{500}=286,5\text{ N·m} \] 2. **Couple de conception** : T_d = K_s × T_n = 1,25 × 286,5 ≈ 358 N·m. 3. **Choix d’un tube enveloppe mince** : rayon moyen r_m = 20 mm, épaisseur t = 3 mm. - Aire médiane A_m = π r_m² = π × 20² ≈ 1256 mm². - Contrainte de cisaillement : \[ \tau = \frac{T_d}{2 A_m t}= \frac{358\times10^{3}}{2\times1256\times3}= 47,6\text{ MPa} \] - Contrainte admissible : τ_adm = 0,6 f_y/γ_T ≈ 0,6×350/1,5 = 140 MPa → **OK**. 4. **Vérification de l’angle de twist** (L = 1,2 m) : - J ≈ 2 π r_m³ t = 2 π × 20³ × 3 ≈ 1,51×10⁵ mm⁴. - θ/L = T_d/(G J) = 358×10³/(80 000 × 1,51×10⁵) ≈ 2,96×10⁻⁵ rad/mm = 0,0296 rad/m ≈ 1,70°/m. - Sur L = 1,2 m → θ ≈ 0,0355 rad ≈ 2,0° → négligeable. > **À retenir** : la torsion d’une enveloppe mince est gouvernée par le produit A_m t ; la vérification de l’angle de twist évite les vibrations excessives dans les transmissions. ### E. Tableau récapitulatif | Élément | Formule clé | Unités | Remarque | |---------|-------------|--------|----------| | Couple de torsion (enveloppe mince) | T = 2 A_m t τ | N·m | A_m = aire ligne médiane | | Contrainte de cisaillement | τ = T / (2 A_m t) | Pa | τ_max uniforme dans l’épaisseur | | Moment d’inertie polar (enveloppe mince) | J ≈ 2 π r_m³ t | mm⁴ | utilisé pour θ/L | | Angle de twist | θ/L = T / (G J) | rad/m | dépend du module de cisaillement G | | Condition de résistance | τ ≤ 0,6 f_y/γ_T | Pa | facteur 0,6 pour acier (critère de Tresca simplifié) | --- ## III. Leçon 7 : Sollicitations composées et poutres ### A. Superposition des sollicitations Dans la pratique, une poutre peut subir simultanément : - Un moment fléchissant M (flexion). - Un effort normal N (traction ou compression). - Un couple de torsion T (torsion). Sous l’hypothèse d’élasticité linéaire, les contraintes se superposent : \[ \sigma = \frac{N}{A} \pm \frac{M y}{I} \quad\text{(contrainte normale)} \] \[ \tau = \frac{T r}{J} \quad\text{(contrainte de cisaillement torsionnelle)} \] où A = aire de la section, r = rayon considéré (pour tube) ou distance extérieure (pour profilé). ### B. Critère de résistance combiné Pour les matériaux ductiles (acier, aluminium), on utilise le **critère de von Mises** : \[ \sigma_{eq}= \sqrt{\sigma^{2}+3\tau^{2}} \] La condition de résistance devient : \[ \sigma_{eq} \le \frac{f_y}{\gamma_M} \] Pour les matériaux fragiles (béton, fonte), on privilégie le **critère de Tresca** (max |σ₁‑σ₃| ≤ f_y/γ_M) ou une approche de contrainte normale admissible en compression/traction séparée. > **À retenir** : le critère de von Mises regroupe les effets de la contrainte normale et du cisaillement en une contrainte équivalente comparable à la limite d’élasticité. ### C. Dimensionnement d’une poutre soumise à flexion et effort normal (exemple de poteau de soutien d’un toit à Douala) **Contexte** : poteau en acier S235 soutenant une poutre de toit portée par deux poteaux distants de 4 m. Charge de neige = 1,2 kN/m², surface tributaire = 2 m² → charge verticale Q = 2,4 kN. Le poteau subit également un moment dû à l’excentricité de la charge (e = 0,05 m). **Données** : - Longueur du poteau L = 3,0 m (appui fixé‑pivot). - Section envisagée : profilé carré tube 80 × 80 mm, épaisseur t = 4 mm. - Aire A = 80² − (80−2·4)² = 6400 − 5184 = 1216 mm². - Moment d’inertie I (axe neutre) ≈ [ b h³ − (b−2t)(h−2t)³ ] / 12 ≈ 1,17×10⁶ mm⁴. - Module d’élasticité E = 210 GPa, f_y = 235 MPa, γ_M = 1,10. **Étapes** : 1. **Effort normal** : N = Q = 2,4 kN = 2400 N (compression). 2. **Moment fléchissant dû à l’excentricité** : M = N × e = 2400 × 0,05 = 120 N·m = 1,20×10⁵ N·mm. 3. **Contrainte normale moyenne** : σ₀ = N/A = 2400/1216 ≈ 1,97 MPa (compression). 4. **Contrainte de flexion extrême** : σ_f = M c/I, avec c = h/2 = 40 mm. \[ \sigma_f = \frac{1,20\times10^{5}\times40}{1,17\times10^{6}} \approx 4,09\text{ MPa} \] 5. **Contrainte normale totale** (fibre la plus tendue) : σ = σ₀ + σ_f ≈ 1,97 + 4,09 = 6,06 MPa (traction). Fibre la plus comprimée : σ = σ₀ − σ_f ≈ 1,97 − 4,09 = −2,12 MPa (compression). 6. **Vérification von Mises** (pas de torsion ici) : σ_eq = |σ| ≈ 6,06 MPa. Contrainte admissible : σ_adm = f_y/γ_M = 235/1,10 ≈ 213,6 MPa → **OK** avec grande marge. 7. **Vérification de flambement** (Euler) : - Longueur efficace L_e = K L, avec K = 0,7 (fixe‑pivot). L_e = 0,7 × 3,0 = 2,1 m = 2100 mm. - Rayon de giration r = √(I/A) = √(1,17×10⁶/1216) ≈ 31,1 mm. - Contrainte d’Euler σ_E = π² E / (L_e/r)² = π² × 210 000 / (2100/31,1)² ≈ 454 MPa. - σ_E > σ_adm → flambement non critique. > **À retenir** : lorsqu’une poutre subit à la fois un effort normal et un moment fléchissant, il faut vérifier les fibres les plus tendues et les plus comprimées ; le critère de von Mises permet de combiner normal et cisaillement si présents. ### D. Tableau récapitulatif | Élément | Formule clé | Unités | Remarque | |---------|-------------|--------|----------| | Contrainte normale combinée | σ = N/A ± M y / I | Pa | + pour traction, – pour compression | | Contrainte de cisaillement torsion | τ = T r / J | Pa | r = rayon extérieur (tube) ou distance extérieure (pour profilé) | | Équivalent von Mises | σ_eq = √(σ² + 3τ²) | Pa | valable pour acier, aluminium | | Condition de résistance | σ_eq ≤ f_y/γ_M | Pa | γ_M ≈ 1,10 pour acier S235 | | Contrainte d’Euler (flambement) | σ_E = π² E / (L_e/r)² | Pa | L_e = K L, K selon conditions d’appui | --- ## Synthèse du chapitre - **Flexion simple** : σ = M y / I ; moment d’inertie I géométrique clé ; vérification σ_max ≤ f_y/γ_M. - **Torsion simple (enveloppe mince)** : τ = T / (2 A_m t) ; angle de twist θ/L = T/(G J) ; résistance dépend du produit A_m t. - **Sollicitations composées** : superposition σ = N/A ± M y/I ; τ = T r/J ; critère von Mises σ_eq = √(σ²+3τ²) ≤ f_y/γ_M. - **Dimensionnement** : suivre les étapes (détermination des efforts, calcul des contraintes, vérification de résistance et de stabilité). - **Sécurité** : porter les EPI, respecter les charges admissibles du MINTP, vérifier les hypothèses d’élasticité et de petite déformation avant d’appliquer les formules. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Moment d’inertie (I) | Seconde aire d’une section par rapport à un axe ; mesure de la résistance à la flexion. | | Contrainte normale (σ) | Force normale répartie sur une aire ; unité : pascal (Pa). | | Contrainte de cisaillement (τ) | Force tangentielle répartie sur une aire ; unité : pascal (Pa). | | Moment fléchissant (M) | Résultant des moments internes provoquant la flexion d’une poutre. | | Couple de torsion (T) | Résultant des moments internes provoquant la torsion d’une barre. | | Enveloppe mince | Structure dont l’épaisseur est très petite par rapport à son rayon moyen ; hypothèses de répartition uniforme des contraintes. | | Critère de von Mises | Criterion d’équivalence permettant de comparer un état de contrainte multiaxial à la limite d’élasticité d’un matériau ductile. | | Flambement (Euler) | Instabilité de compression d’une barre mince ; dépend du module d’élasticité, du rayon de giration et de la longueur effective. | | Coefficient de sécurité (γ) | Facteur appliqué à la limite d’élasticité pour obtenir une contrainte admissible ; dépend du matériau et du type de sollicitation. | | Section efficace | Partie d’une section qui contribue réellement à la résistance (ex. : âme et ailes d’un profilé en I). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’une poutre en béton armé (chantier d’un centre de santé à Garoua) **Énoncé** : Une poutre simplement appuyée de portée L = 5,0 m supporte une charge uniformément répartie w = 15 kN/m (poids propre + charges d’exploitation). La section est rectangulaire b = 300 mm, h = 600 mm, recouvrement béton = 30 mm. Classe de béton C30/37 (f_ck = 30 MPa), acier B500B (f_y = 400 MPa). Vérifier la résistance à la flexion et déterminer la surface d’armature minimale nécessaire (en supposant une armature inférieure uniquement). **Corrigé** : 1. Moment fléchissant maximal : M_max = wL²/8 = 15 × 5²/8 = 46,875 kN·m = 4,6875×10⁷ N·mm. 2. Moment d’inertie de la section brute : I = b h³/12 = 300 × 600²/12 = 5,40×10⁹ mm⁴. 3. Distance à la fibre extrême : c = h/2 = 300 mm. 4. Contrainte de flexion dans le béton (sans armature) : σ_c = M_max c / I = (4,6875×10⁷ × 300) / 5,40×10⁹ = 2,60 MPa. 5. Contrainte admissible du béton : σ_c,adm = f_ck/γ_c = 30/1,5 = 20 MPa → **OK** (béton largement sous-contraint). 6. Calcul de l’armature nécessaire : on pose que la contrainte d’acier atteint σ_s,adm = f_y/γ_s = 400/1,15 ≈ 347,8 MPa. Le moment résistante de l’armature : M_s = A_s σ_s,adm (d‑a/2). On prend d ≈ h‑recouvrement = 570 mm. On estime a ≈ β₁ c avec β₁≈0,85 pour f_ck≤30 MPa → a≈0,85×300=255 mm. Alors d‑a/2 = 570‑255/2 = 570‑127,5 = 442,5 mm. On pose M_s ≥ M_max → A_s ≥ M_max / (σ_s,adm (d‑a/2)). A_s ≥ 4,6875×10⁷ / (347,8 × 442,5) ≈ 4,6875×10⁷ / 153 900 ≈ 304,5 mm². On choisit des barres de diamètre 16 mm (A_barre = π × 16²/4 ≈ 201 mm²). Nombre de barres : n = ceil(304,5/201) = 2 barres (A_s = 402 mm²). **Conclusion** : une armature inférieure de 2 Φ16 mm suffit ; la contrainte dans le béton reste largement admissible. ### Exercice 2 – Vérification de torsion d’un arbre de transmission d’une machine de traitement du café (Bafoussam) **Énoncé** : Un arbre transmet une puissance P = 22 kW à une vitesse de rotation n = 750 tr/min. L’arbre est un tube d’acier C45 (f_y = 350 MPa, G = 80 GPa) de rayon moyen r_m = 25 mm et épaisseur t = 4 mm. Le coefficient de service K_s = 1,3. Vérifier la résistance à la torsion et calculer l’angle de twist sur une longueur L = 1,5 m. **Corrigé** : 1. Couple nominal : T_n = 9550 P / n = 9550 × 22 / 750 = 280,3 N·m. 2. Couple de conception : T_d = K_s × T_n = 1,3 × 280,3 ≈ 364,4 N·m. 3. Aire médiane : A_m = π r_m² = π × 25² ≈ 1963,5 mm². 4. Contrainte de cisaillement : τ = T_d / (2 A_m t) = 364,4×10³ / (2 × 1963,5 × 4) = 364,4×10³ / 15 708 ≈ 23,2 MPa. 5. Contrainte admissible (critère de Tresca simplifié) : τ_adm = 0,6 f_y/γ_T, avec γ_T = 1,5 → τ_adm = 0,6 × 350 / 1,5 = 140 MPa. τ = 23,2 MPa ≤ 140 MPa → **OK**. 6. Moment d’inertie polar (enveloppe mince) : J ≈ 2 π r_m³ t = 2 π × 25³ × 4 ≈ 2 π × 15625 × 4 ≈ 2 π × 62500 ≈ 392 699 mm⁴. 7. Angle de twist par mètre : θ/L = T_d / (G J) = 364,4×10³ / (80 000 × 392 699) ≈ 1,16×10⁻⁵ rad/mm = 0,0116 rad/m ≈ 0,66°/m. Sur L = 1,5 m → θ = 0,0116 × 1,5 = 0,0174 rad ≈ 1,0 °. **Conclusion** : l’arbre est largement sous‑contraint en torsion ; l’angle de twist d’environ 1° sur 1,5 m est négligeable pour le fonctionnement de la machine. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de sécurité / bonne pratique | |---|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (ex. : mm en m) avant d’appliquer la formule σ = M y / I | Sur‑ ou sous‑estimation considérable de la contrainte (facteur 10³) | Toujours vérifier l’homogénéité des unités : N, mm, mm⁴ → Pa. Utiliser un tableau de conversion ou un cahier de calcul. | | 2 | Négliger l’effet de l’excentricité de la charge dans le calcul du moment fléchissant d’une poteau | Sous‑dimensionnement du moment, risque de flambement ou de rupture en compression | Déterminer l’excentricité réelle (ex. : liaison boulonnée, appui glissant) et ajouter M = N·e au moment de flexion. | | 3 | Utiliser la formule du moment d’inertie d’un plein pour un profilé en I ou un tube | Sur‑estimation de I → conception trop économique, risque de flambement local | Appliquer la formule spécifique (soustraction de l’âme) ou consulter les tables de profils (ex. : UPN, IPE). | | 4 | Omettre le coefficient de service K_s dans le calcul du couple de torsion d’une machine soumis à des charges alternées | Sous‑dimensionnement de l’arbre, risque de fatigue prématurée | Appliquer systématiquement K_s (≥ 1,0) fourni par le constructeur ou les normes (ex. : NF EN 1993‑1‑1). | | 5 | Ne pas vérifier l’angle de twist dans une transmission longue | Vibrations, usure prématurée des paliers, bruit excessif | Après le calcul de τ, contrôler θ/L = T/(G J) ; si θ dépasse quelques degrés sur la longueur, augmenter le rayon moyen ou l’épaisseur. | | 6 | Utiliser la contrainte admissible du béton en traction sans prendre en compte l’armature | Surestimation de la capacité du béton en traction → fissuration non détectée | Rappeler que le béton ne résiste pratiquement pas à la traction ; l’armature doit reprendre toute la traction. | --- *Fin du cours.*