Cinématique du point (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** À la fin de ce chapitre l’élève sera capable de : - Définir les notions de point matériel, référentiel, trajectoire, déplacement, distance, vitesse et accélération. - Distinguer vitesse moyenne et vitesse instantanée, accélération moyenne et accélération instantanée. - Écrire et utiliser les équations du mouvement rectiligne uniforme (MRU) et du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA). - Interpréter les graphiques x(t), v(t) et a(t) pour ces deux types de mouvement. - Résoudre des problèmes pratiques issus d’ateliers, de chantiers ou de bureaux (ex. : déplacement d’un chariot, fonctionnement d’un convoyeur, chute d’un objet depuis un échafaudage). - Vérifier l’homogénéité des unités et appliquer les consignes de sécurité liées à la manipulation d’équipements en mouvement. **Prérequis** - Notion de référentiel galiléen et de système d’unités SI (mètre, kilogramme, seconde). - Manipulation de grandeurs scalaires et vectorielles (addition, soustraction, produit par un scalaire). - Lecture et tracé de graphiques simples (droites, paraboles). - Notion intuitive de taux de variation (Δy/Δx) – aucune connaissance formelle du calcul différentiel n’est requise, mais l’élève doit comprendre que la vitesse est le taux de variation de la position et l’accélération celui de la vitesse. --- ## Introduction contextualisée En mécanique des structures et des fluides, l’étude du mouvement d’un point matériel est la première étape pour analyser le comportement des poulies, des vérins, des fluides dans les conduites ou encore des engins de levage sur un chantier. Au Cameroun, que ce soit dans un atelier de soudure à Douala, sur un chantier de construction de routes à Bamenda ou dans une usine de transformation du cacao à Yaoundé, les techniciens doivent souvent déterminer : - Le temps nécessaire pour déplacer une poutre d’un point A à un point B sur un rail. - La vitesse à laquelle un convoyeur doit transporter des sacs de cacao afin d’éviter les débordements. - La hauteur de chute d’un outil tombé d’un échafaudage pour prévoir la zone d’impact et mettre en place des filets de sécurité. Ces situations se réduisent à l’étude du mouvement d’un point matériels le long d’une ligne droite, soit à vitesse constante (MRU), soit avec accélération constante (MRUA). Le présent chapitre fournit les outils mathématiques et la méthodologie de résolution directement transposables à ces contextes professionnels. --- ## I. Leçon 9 : Généralités cinématique ### 9.1 Définitions fondamentales | Grandeurs | Symboles | Définition | Unité SI | |-----------|----------|------------|----------| | Point matériel | P | Objet dont les dimensions sont négligeables devant les distances considérées | – | | Référentiel | ℛ | Système d’axes auquel on rapporte la position du point | – | | Trajectoire | 𝒞 | L’ensemble des points occupés par P au cours du temps | – | | Position | \(\vec{r}(t)\) | Vecteur allant de l’origine du référentiel au point P à l’instant t | m | | Déplacement | \(\Delta\vec{r}\) | \(\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)\) – variation vectorielle de la position | m | | Distance parcourue | s | Longueur du trajet effectivement suivie (toujours positive) | m | | Vitesse moyenne | \(v_m\) | \(\displaystyle v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}\) (pour un mouvement rectiligne) | m·s⁻¹ | | Vitesse instantanée | \(v\) | Limite de \(v_m\) quand \(\Delta t\to0\) : \(v=\frac{dx}{dt}\) | m·s⁻¹ | | Accélération moyenne | \(a_m\) | \(\displaystyle a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) | m·s⁻² | | Accélération instantanée | \(a\) | Limite de \(a_m\) quand \(\Delta t\to0\) : \(a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}\) | m·s⁻² | > ** Vitesse moyenne sur un intervalle Δt :** \(v_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) > ** Vitesse instantanée :** \(v=\dfrac{dx}{dt}\) > ** Accélération moyenne :** \(a_m=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) > ** Accélération instantanée :** \(a=\dfrac{dv}{dt}\) ### 9.2 Représentation graphique - **x(t)** : courbe donnant la position en fonction du temps. - **v(t)** : pente de la tangente à x(t) (ou dérivée de x). - **a(t)** : pente de la tangente à v(t) (ou dérivée de v). Pour un mouvement quelconque, l’aire sous la courbe v(t) entre t₁ et t₂ donne le déplacement \(\Delta x\) ; l’aire sous a(t) donne la variation de vitesse \(\Delta v\). ### 9.3 Exemple professionnel : chariot de transfert dans un atelier de soudure (Douala) Un chariot transporte une poutre métallique de 6 m le long d’un rail droit. Les relevés donnent : - À t = 0 s, le chariot est à x₀ = 0 m. - À t = 4 s, il est à x = 6 m. **Calcul de la vitesse moyenne** : \[ v_m=\frac{x-x_0}{t-t_0}=\frac{6\text{ m}-0\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}=1,5\text{ m·s}^{-1} \] Comme le chariot démarre au repos et arrive à vitesse constante (on suppose un régime établi après une courte phase d’accélération), on peut considérer que la vitesse instantanée vaut approximativement 1,5 m·s⁻¹ pendant l’intervalle. > ** Dans un atelier, vérifier régulièrement l’alignement du rail et l’état des roues évite les à‑coups qui faussent la mesure de vitesse.** ### 9.4 Tableau récapitulatif des grandeurs cinématiques | Grandeur | Symbole | Relation définissante | Unité | |----------|---------|-----------------------|-------| | Position | x | – | m | | Déplacement | Δx | x₂−x₁ | m | | Distance | s | ∫|v|dt | m | | Vitesse moyenne | v_m | Δx/Δt | m·s⁻¹ | | Vitesse instantanée | v | dx/dt | m·s⁻¹ | | Accélération moyenne | a_m | Δv/Δt | m·s⁻² | | Accélération instantanée | a | dv/dt | m·s⁻² | --- ## II. Leçon 10 : Mouvement rectiligne uniforme (MRU) ### 10.1 Définition Un point matériel est en MRU lorsque sa vitesse **v** est constante (vecteur invariant) et que sa trajectoire est une droite. Par conséquent, l’accélération est nulle : \(a=0\). ### 10.2 Équations du mouvement Partant de l’origine du référentiel à l’instant t₀ = 0 (on peut toujours choisir t₀ = 0 par translation du temps) : \[ \boxed{x(t)=x_0+v\,t} \] \[ \boxed{v(t)=v_0=\text{constante}} \] \[ \boxed{a(t)=0} \] > ** Équation du MRU :** \(x(t)=x_0+v\,t\) ### 10.3 Représentation graphique - **x(t)** : droite de pente v. - **v(t)** : ligne horizontale à la hauteur v. - **a(t)** : ligne horizontale sur zéro. ### 10.4 Méthode de résolution pas à pas 1. Lire l’énoncé et identifier les grandeurs connues (x₀, x, t, v). 2. Choisir l’équation qui contient l’inconnue unique. 3. Substituer les valeurs avec leurs unités. 4. Effectuer le calcul et vérifier l’homogénéité des unités. 5. Interpréter le résultat dans le contexte professionnel. ### 10.5 Exemple professionnel : convoyeur à bande dans une usine de cacao (Yaoundé) Un convoyeur transporte des sacs de cacao de la zone de réception à la zone de stockage. La bande se déplace à vitesse constante **v = 0,8 m·s⁻¹**. La distance entre les deux zones est **L = 24 m**. **Temps de parcours** : \[ t=\frac{L-x_0}{v}=\frac{24\text{ m}-0\text{ m}}{0,8\text{ m·s}^{-1}}=30\text{ s} \] **Vérification** : 0,8 m·s⁻¹ × 30 s = 24 m → cohérent. > ** Sur un convoyeur, contrôler régulièrement la tension de la bande et l’état des rouleaux prévient les glissements qui modifieraient la vitesse nominale.** ### 10.6 Tableau récapitulatif MRU | Situation | Formule | Inconnue typique | |-----------|---------|------------------| | Connaître x₀, v, t → x | \(x=x_0+vt\) | position finale | | Connaître x₀, x, t → v | \(v=\dfrac{x-x_0}{t}\) | vitesse | | Connaître x₀, x, v → t | \(t=\dfrac{x-x_0}{v}\) | durée | | Accélération | \(a=0\) | – | --- ## III. Leçon 11 : Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) ### 11.1 Définition Un point matériel est en MRUA lorsque son accélération **a** est constante (vecteur invariant) et que sa trajectoire reste une droite. La vitesse varie linéairement avec le temps. ### 11.2 Équations du mouvement (départ à t₀ = 0) \[ \boxed{v(t)=v_0+a\,t} \] \[ \boxed{x(t)=x_0+v_0\,t+\frac{1}{2}a\,t^{2}} \] \[ \boxed{v^{2}=v_0^{2}+2a\,(x-x_0)} \] > ** Première équation du MRUA :** \(v=v_0+at\) > ** Deuxième équation du MRUA :** \(x=x_0+v_0t+\tfrac12 a t^{2}\) > ** Troisième équation du MRUA :** \(v^{2}=v_0^{2}+2a\Delta x\) ### 11.3 Représentation graphique - **x(t)** : parabole ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. - **v(t)** : droite de pente a. - **a(t)** : ligne horizontale à la hauteur a. ### 11.4 Méthode de résolution pas à pas 1. Identifier les grandeurs connues (x₀, x, v₀, v, t, a). 2. Choisir l’équation qui ne contient qu’une seule inconnue. 3. Substituer les valeurs, respecter les signes (direction positive choisie). 4. Effectuer le calcul, vérifier l’unité. 5. Interpréter le résultat (sens du mouvement, plausibilité). ### 11.5 Exemple professionnel : chute libre d’un outil depuis un échafaudage (Bamenda) Un marteau de masse négligeable glisse accidentellement d’un échafaudage situé à **h₀ = 12,0 m** au-dessus du sol. On néglige la résistance de l’air. L’accélération de la pesanteur est prise comme **g = 9,81 m·s⁻²** dirigée vers le bas (on choisit le positif vers le bas). - Position initiale : \(x_0=0\) m (on prend le point de départ comme origine). - Position finale lorsqu’il atteint le sol : \(x=h=12,0\) m. - Vitesse initiale : \(v_0=0\) m·s⁻¹ (l’outil tombe du repos). **Temps de chute** (on utilise \(x=x_0+v_0t+\frac12gt^{2}\)) : \[ 12,0 = 0 + 0\cdot t + \frac12(9,81)t^{2} \] \[ t^{2}= \frac{2\times12,0}{9,81}= \frac{24,0}{9,81}=2,447\; \] \[ t=\sqrt{2,447}=1,56\text{ s} \] **Vitesse à l’impact** (on utilise \(v=v_0+gt\)) : \[ v = 0 + 9,81\times1,56 = 15,3\text{ m·s}^{-1} \] **Vérification avec la troisième équation** : \[ v^{2}=0^{2}+2(9,81)(12,0)=235,44\;\Rightarrow\;v=\sqrt{235,44}=15,3\text{ m·s}^{-1} \] Le résultat est cohérent. > ** Sur un chantier, prévoir une zone de sécurité d’au moins deux fois la hauteur de chute maximale permet d’absorber les rebonds et les projections d’outils.** ### 11.6 Tableau récapitulatif MRUA | Équation | Utilisation principale | |----------|------------------------| | \(v=v_0+at\) | Trouver la vitesse finale connaissant t, ou le temps connaissant v et v₀. | | \(x=x_0+v_0t+\frac12at^{2}\) | Trouver la position finale connaissant t, ou le temps connaissant x et v₀. | | \(v^{2}=v_0^{2}+2a(x-x_0)\) | Trouver la vitesse finale sans connaître le temps, ou le déplacement connaissant v et v₀. | | \(a=\dfrac{v-v_0}{t}\) | Déterminer l’accélération quand v, v₀ et t sont connus. | --- ## Synthèse du chapitre - **Point matériel** : objet de taille négligeable, décrit par son vecteur position \(\vec r(t)\). - **Référentiel** : système d’axes auquel on rapporte le mouvement. - **Trajectoire** : courbe suivie par le point ; dans ce chapitre, on se limite à la droite. - **Déplacement** \(\Delta\vec r\) : variation vectorielle de la position (peut être négatif). - **Distance** \(s\) : longueur du trajet (toujours positive). - **Vitesse moyenne** \(v_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) ; **vitesse instantanée** \(v=\dfrac{dx}{dt}\). - **Accélération moyenne** \(a_m=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) ; **accélération instantanée** \(a=\dfrac{dv}{dt}\). - **MRU** : \(v=\) const, \(a=0\) → \(x=x_0+vt\). - **MRUA** : \(a=\) const → \(v=v_0+at\), \(x=x_0+v_0t+\frac12at^{2}\), \(v^{2}=v_0^{2}+2a\Delta x\). - **Graphiques** : pente de x(t) donne v(t) ; pente de v(t) donne a(t) ; aire sous v(t) donne \(\Delta x\). - **Méthode de résolution** : identifier les grandeurs connues, choisir l’équation adéquate, substituer, vérifier unités, interpréter. - **Applications professionnelles** : déplacement de chariot d’atelier, convoyeur à bande, chute d’objet depuis un échafaudage, etc. - **Sécurité** : vérifier l’état des équipements, respecter les zones de sécurité, utiliser les EPI (casque, gants, chaussures de sécurité). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Point matériel | Objet dont les dimensions sont négligeables devant les distances considérées dans l’étude du mouvement. | | Référentiel | Système d’axes (origine et directions) permettant de mesurer la position et le mouvement d’un point. | | Trajectoire | Ensemble des points occupés par le point matériel au cours du temps. | | Déplacement | Variation vectorielle de la position entre deux instants : \(\Delta\vec r=\vec r(t_2)-\vec r(t_1)\). | | Distance parcourue | Longueur du trajet effectivement suivi, toujours positive. | | Vitesse moyenne | Rapport du déplacement au temps écoulé : \(v_m=\Delta x/\Delta t\). | | Vitesse instantanée | Limite de la vitesse moyenne quand le temps tend vers zéro : \(v=dx/dt\). | | Accélération moyenne | Rapport de la variation de vitesse au temps écoulé : \(a_m=\Delta v/\Delta t\). | | Accélération instantanée | Limite de l’accélération moyenne quand le temps tend vers zéro : \(a=dv/dt\). | | Mouvement rectiligne uniforme (MRU) | Mouvement où la vitesse est constante et la trajectoire une droite (accélération nulle). | | Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) | Mouvement où l’accélération est constante et la trajectoire une droite. | | Gravité (g) | Accélération due à la pesanteur terrestre, approximativement 9,81 m·s⁻² vers le bas. | | Zone de sécurité | Espace réservé autour d’une zone de travail pour prévenir les risques de chute ou de projection. | | EPI (Équipement de Protection Individuelle) | Matériel porté par le travailleur pour se protéger contre les risques professionnels (casque, gants, chaussures de sécurité, etc.). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Déplacement d’un chariot de transfert (atelier de métallerie, Douala) Un chariot transporte une poutre d’acier le long d’un rail horizontal. À l’instant \(t=0\) s, le chariot se trouve à \(x_0=0,00\) m. À \(t=5,00\) s, il est à \(x=10,0\) m. On suppose que le mouvement est uniformément accéléré pendant les deux premières secondes, puis devient uniforme. **Questions** 1. Déterminer l’accélération moyenne pendant les deux premières secondes. 2. Calculer la vitesse du chariot à la fin de la phase accélérée (à \(t=2,00\) s). 3. Déduire la distance parcourue pendant la phase uniforme (de \(t=2,00\) s à \(t=5,00\) s). **Corrigé** 1. Pendant les deux premières secondes, on utilise la formule du MRUA : \[ x = x_0 + v_0 t + \frac12 a t^{2} \] On ne connaît pas encore \(v_0\) ; on suppose que le chariot démarre du repos : \(v_0=0\). \[ x(2\text{ s}) = 0 + 0 + \frac12 a (2)^{2}=2a \] On ne connaît pas encore \(x(2\text{ s})\) ; on l’obtiendra après la deuxième étape. On passe donc à l’étape 2 pour trouver \(v\) à \(t=2\) s, puis on reviendra. 2. Vitesse à la fin de la phase accélérée (MRUA) : \[ v = v_0 + a t = 0 + a\cdot 2 = 2a \] Cette vitesse devient la vitesse constante de la phase uniforme. 3. Pendant la phase uniforme (de \(t=2\) s à \(t=5\) s, soit \(\Delta t = 3\) s), la distance parcourue est : \[ \Delta x_{\text{uniforme}} = v \Delta t = (2a)\times 3 = 6a \] La distance totale sur les 5 s est connue : \(x_{\text{total}} = 10,0\) m. Elle s’écrit comme la somme de la distance pendant les deux premières secondes (phase accélérée) et celle pendant les trois dernières secondes (phase uniforme) : \[ x_{\text{total}} = x(2\text{ s}) + \Delta x_{\text{uniforme}} = 2a + 6a = 8a \] Donc : \[ 8a = 10,0\text{ m} \;\Rightarrow\; a = \frac{10,0}{8}=1,25\text{ m·s}^{-2} \] **Réponses** : - Accélération moyenne pendant les deux premières secondes : **\(a = 1,25\; \text{m·s}^{-2}\)**. - Vitesse à \(t=2,00\) s : \(v = 2a = 2,50\; \text{m·s}^{-1}\). - Distance parcourue pendant la phase uniforme : \(\Delta x_{\text{uniforme}} = 6a = 6\times1,25 = 7,50\; \text{m}\). Vérification : distance pendant les deux premières secondes \(=2a=2,50\) m ; distance uniforme \(=7,50\) m ; total \(=10,00\) m ✓. > ** En atelier, contrôler régulièrement l’alignement du rail et l’état des freins du chariot permet de garantir que l’accélération mesurée correspond bien à la consigne de sécurité.** --- ### Exercice 2 – Convoyeur à bande dans une usine de traitement du café (Yaoundé) Un convoyeur transporte des sacs de café de la zone de torréfaction à la zone d’emballage. La bande se déplace à vitesse constante \(v\). On mesure que le premier sac apparaît à l’entrée de la zone d’emballage exactement 12,0 s après avoir quitté la zone de torréfaction. La distance entre les deux zones est de 9,60 m. **Questions** 1. Calculer la vitesse du convoyeur. 2. Si la vitesse du convoyeur doit être augmentée de 20 % pour répondre à une hausse de production, quelle sera la nouvelle durée de trajet entre les deux zones ? **Corrigé** 1. Vitesse : \[ v = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} = \frac{9,60\text{ m}}{12,0\text{ s}} = 0,800\text{ m·s}^{-1} \] 2. Nouvelle vitesse : \[ v_{\text{new}} = v \times (1+0,20) = 0,800 \times 1,20 = 0,960\text{ m·s}^{-1} \] Nouvelle durée : \[ t_{\text{new}} = \frac{\text{distance}}{v_{\text{new}}} = \frac{9,60\text{ m}}{0,960\text{ m·s}^{-1}} = 10,0\text{ s} \] **Réponses** : - Vitesse actuelle : **0,800 m·s⁻¹**. - Nouvelle durée après augmentation de 20 % : **10,0 s**. > ** Sur un convoyeur, vérifier la tension de la bande et l’état des rouleaux permet d’éviter les variations de vitesse qui pourraient entraîner des débordements ou des ruptures de sacs.** --- ### Exercice 3 – Lancer d’un objet depuis une plateforme de levage (chantier de construction, Bafoussam) Un ouvrier laisse tomber accidentellement une clé à molette depuis une plateforme située à 18,0 m au-dessus du sol. On néglige la résistance de l’air. **Questions** 1. Déterminer le temps de chute jusqu’au sol. 2. Calculer la vitesse de la clé juste avant l’impact. 3. Si l’ouvrier porte un casque de protection qui réduit la vitesse d’impact effective de 15 % (par déformation du casque), quelle est la vitesse effective ressentie par la tête ? **Corrigé** 1. Chute libre : \(x_0=0\), \(x=18,0\) m, \(v_0=0\), \(a=g=9,81\) m·s⁻². \[ x = \frac12 g t^{2} \;\Rightarrow\; t = \sqrt{\frac{2x}{g}} = \sqrt{\frac{2\times18,0}{9,81}} = \sqrt{\frac{36,0}{9,81}} = \sqrt{3,670}=1,916\text{ s} \] 2. Vitesse à l’impact : \[ v = g t = 9,81 \times 1,916 = 18,8\text{ m·s}^{-1} \] 3. Réduction de 15 % due au casque : \[ v_{\text{eff}} = v \times (1-0,15) = 18,8 \times 0,85 = 15,98\text{ m·s}^{-1}\approx 16,0\text{ m·s}^{-1} \] **Réponses** : - Temps de chute : **1,92 s**. - Vitesse d’impact : **18,8 m·s⁻¹**. - Vitesse effective avec casque : **≈ 16,0 m·s⁻¹**. > ** Sur un chantier, le port du casque de sécurité est obligatoire lorsqu’on travaille en hauteur ; il absorbe une partie de l’énergie d’impact et réduit les risques de traumatisme crânien.** --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Confondre **vitesse** et **accélération** (ex. : prendre \(v=at\) comme définition de la vitesse). | Calculs de position totalement faux ; mauvaise interprétation des graphiques. | Toujours rappeler que \(v\) est la dérivée de \(x\) et \(a\) la dérivée de \(v\). Utiliser les unités : m·s⁻¹ pour \(v\), m·s⁻² pour \(a\). | | 2 | Oublier le **signe** du déplacement ou de la vitesse lorsqu’on choisit une direction positive. | Résultat numérique correct mais direction erronée (ex. : mouvement vers le haut considéré comme positif alors qu’il est négatif). | Définir clairement l’axe positif avant de commencer le calcul ; reporter ce choix sur tous les vecteurs. | | 3 | Utiliser des **unités incohérentes** (mélanger cm et m, ou secondes et minutes) sans conversion. | Erreurs de facteur 10⁻² ou 60, conduisant à des résultats irréalistes. | Convertir toutes les grandeurs en unités SI avant de substituer dans les formules ; vérifier l’homogénéité dimensionnelle. | | 4 | Négliger la **phase d’accélération** dans un mouvement qui n’est pas pur MRU (ex. : supposer qu’un chariot démarre immédiatement à vitesse constante). | Sous‑estimation du temps de parcours ou de la distance nécessaire. | Analyser l’énoncé : si une variation de vitesse est mentionnée, traiter d’abord la phase accélérée (MRUA) puis la phase uniforme (MRU). | | 5 | **Ne pas vérifier la plausibilité** du résultat (ex. : obtenir un temps de chute négatif ou une vitesse supérieure à celle de la lumière dans un contexte mécanique). | Acceptation d’une réponse physiquement impossible. | Après chaque calcul, comparer le résultat à des valeurs de référence (ex. : temps de chute d’un objet de 10 m ≈ 1,4 s). | | 6 | **Manque de vigilance sur le chantier** : travailler sous une charge suspendue sans vérifier l’arrimage ou le port du casque. | Risque de blessure grave par chute d’objet ou écrasement. | Appliquer la procédure d’inspection avant chaque levage : vérifier les élingues, le poids, la zone d’exclusion, porter EPI (casque, gants, chaussures de sécurité). | | 7 | **Sur un convoyeur** : laisser des objets traîner sur la bande ou négliger la tension de la bande. | Risque d’enroulement, de déchirure de la bande ou de projection de matière. | Effectuer une inspection visuelle quotidienne de la bande, maintenir la tension selon les recommandations du fabricant, garder la zone de travail dégagée. | | 8 | **Lors de la manipulation de produits chimiques** (ex. : nettoyage d’un convoyeur) : oublier de rincer ou de neutraliser les résidus. | Corrosion des pièces mécaniques, dégradation prématurée. | Suivre la fiche de données de sécurité (FDS) : porter gants résistants, rincer à l’eau abondante, sécher avant remise en service. | --- *Fin du cours.*