CINEMATIQUE (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Interpréter et construire des diagrammes de vitesses et d’accélérations en cinématique graphique. - Appliquer la méthode de double équiprojectivité pour déterminer les vitesses absolues d’un point d’un mécanisme plan. - Localiser le centre instantané de rotation (CIR) d’un solide en mouvement plan et l’utiliser pour obtenir les vitesses des points du solide. - Composer deux mouvements élémentaires (translation + rotation) afin d’obtenir le mouvement résultant d’un point ou d’un solide. - Réaliser ces constructions dans des situations professionnelles typiques du domaine technique (atelier de mécanique, chantier de construction, bureau d’études). **Prérequis :** - Notions de base de la cinématique du point (vitesse, accélération, trajectoire). - Représentation vectorielle et opérations (somme, produit scalaire, produit vectoriel). - Géométrie descriptive : droites, parallélisme, similitude de triangles. - Utilisation d’une règle et d’un compas (ou d’un logiciel de DAO) pour des tracés précis. --- ## Introduction contextualisée Dans les métiers de la mécanique appliquée au Cameroun, que ce soit pour l’ajustage d’un moteur de véhicule, la conception d’un bras de levage sur un chantier de Douala ou l’optimisation d’un convoyeur dans une usine agroalimentaire de Yaoundé, il est fréquent de devoir déterminer rapidement les vitesses des points critiques d’un mécanisme sans recourir à des calculs analytiques lourds. La cinématique graphique offre des méthodes rapides, fiables et directement exploitables sur le terrain : le technicien peut, à l’aide d’un simple schéma, lire la vitesse d’un piston, vérifier le bon fonctionnement d’une charnière ou dimensionner un vérin. Les trois méthodes étudiées dans ce chapitre – double équiprojectivité, centre instantané de rotation et composition de mouvement – sont les outils de base que tout technicien supérieur doit maîtriser pour passer l’épreuve pratique du Baccalauréat séries F3 et pour intervenir efficacement en milieu professionnel. --- ## I. Leçon 9 : Cinématique graphique – Méthode de double équiprojectivité ### A. Principe de la double équiprojectivité La double équiprojectivité repose sur le fait que, pour un mécanisme plan constitué de barres rigides reliées par des articulations idéalement sans frottement, les vitesses absolues de deux points situés sur la même barre sont liées par une relation de proportionnalité dirigée. Si l’on connaît la vitesse d’un point **A** d’une barre, la vitesse d’un autre point **B** de cette même barre s’obtient en projetant **vₐ** sur la direction de la barre puis en reportant cette projection selon un facteur d’échelle égal au rapport des distances **AB**/**AA’**, où **A’** est le projeté orthogonale de **A** sur la droite passant par **B** perpendiculaire à la barre. > **> Définition** : Deux points **M** et **N** d’une même barre sont dits *équiprojettables* si leurs vitesses vérifient **vₙ = λ vₘ**, où λ est un scalaire réel dépendant uniquement de la géométrie de la barre. ### B. Construction graphique pas à pas 1. **Représenter le mécanisme** à l’échelle choisie (ex. 1 cm = 10 mm) en indiquant toutes les articulations connues. 2. **Indiquer la vitesse connue** (souvent celle d’un moteur ou d’une crémaillère) sous forme de vecteur **vₖ** placé à l’extrémité du point connu. 3. **Tracer la droite d’action** de la barre contenant le point inconnu. 4. **Projecter orthogonale** le vecteur vitesse connu sur cette droite ; on obtient **vₖ‖**. 5. **Déterminer le facteur d’échelle** λ = (distance du point inconnu au centre de rotation de la barre) / (distance du point connu au même centre). 6. **Reporter λ·vₖ‖** à partir de l’origine du point inconnu pour obtenir **vᵢₙc**. 7. **Vérifier** que le vecteur obtenu est tangent à la trajectoire du point (si le mécanisme est connu). ### C. Exemple chiffré : mécanisme à quatre barres (type moteur d’essuie‑glace) Données : - Barre d’entrée **AB** tournant à ωₐ = 10 rad/s dans le sens horaire. - Longueurs : AB = 40 mm, BC = 60 mm, CD = 30 mm, DA = 50 mm. - Point **C** est le point d’intérêt (extrémité de la bielle). **Étapes :** 1. Vitesse du point **A** : **vₐ** = ωₐ·AB = 10 rad/s × 0,040 m = 0,40 m/s, perpendiculaire à **AB** (sens horaire). 2. La barre **BC** est d’intérêt ; on cherche **v_c** sur **BC**. 3. Le centre instantané de rotation de la barre **BC** (à déterminer plus précisément en leçon 10) est provisoirement pris comme l’intersection des droites perpendiculaires à **AB** en **A** et à **CD** en **D** ; on obtient un point **I** situé à 25 mm de **B** suivant **BC**. 4. Distance **BI** = 25 mm, **BC** = 60 mm → λ = BI/BC = 25/60 ≈ 0,4167. 5. Projection de **vₐ** sur la direction de **BC** : l’angle entre **vₐ** (perp. à **AB**) et **BC** vaut 30° (déduit du schéma). Donc **vₐ‖** = vₐ·cos30° = 0,40·0,866 = 0,346 m/s. 6. **v_c** = λ·vₐ‖ = 0,4167 × 0,346 ≈ 0,144 m/s, dirigé selon **BC** du point **B** vers **C**. > **> Résultat** : La vitesse du point **C** est de 0,144 m/s suivant la barre **BC** (sens B→C). --- ## II. Leçon 10 : Cinématique graphique – Méthode du centre instantané de rotation ### A. Définition du centre instantané de rotation (CIR) Pour un solide en mouvement plan, il existe à chaque instant un point **I** (le centre instantané de rotation) tel que la vitesse de tout point **M** du solide s’exprime par le produit vectoriel **vₘ = ω × IM**, où ω est la vitesse angulaire du solide (positif si sens trigonométrique). Le point **I** peut être réel (articulation) ou virtuel (intersection de droites perpendiculaires aux vitesses de deux points connus). > **> Propriété** : Si les vitesses de deux points **A** et **B** d’un solide sont connues et non parallèles, le CIR est l’intersection des droites passant par **A** et **B** et perpendiculaires respectivement à **vₐ** et **v_b**. ### B. Recherche du CIR pour un mécanisme plan 1. Identifier deux points du solide dont les vitesses sont connues (souvent les articulations avec des entrées de mouvement connues). 2. Tracer à chaque point la droite perpendiculaire à son vecteur vitesse. 3. L’intersection de ces deux droites donne le CIR **I**. 4. Une fois **I** connu, la vitesse de tout autre point **M** s’obtient par **vₘ = ω·IM**, où ω = vₐ/IA (ou v_b/IB). Le sens de **vₘ** est obtenu par la règle de la main droite : si ω est positif (trigonométrique), **vₘ** est obtenu en faisant tourner le vecteur **IM** de +90°. ### C. Exemple d’atelier : bras de levage d’une grue mobile (chantier de Bassa, Cameroun) Données : - Le bras est modélisé par la barre **OA** articulée en **O** (pivot fixe) et portant un crochet en **A**. - Le vérin hydraulique impose une vitesse connue du point **B** (articulation du vérin) égale à **v_b** = 0,20 m/s dirigé horizontalement vers la droite. - Le point **O** est fixe → **vₒ** = 0. - Longueurs : OB = 0,30 m, OA = 0,80 m, angle ∠BOA = 45°. **Étapes :** 1. Comme **vₒ** = 0, le CIR se trouve sur la droite passant par **O** et perpendiculaire à **vₒ** → toute droite passant par **O** convient ; on utilise donc le deuxième point. 2. Au point **B**, tracer la droite perpendiculaire à **v_b** (vecteur horizontal) → une droite verticale passant par **B**. 3. L’intersection de cette droite verticale avec la ligne **OA** (puisque le CIR doit aussi être aligné avec **O** pour que la vitesse en **O** soit nulle) donne le CIR **I** situé sur **OA** à une distance **OI** telle que le triangle **OBI** soit rectangle en **B**. 4. Dans le triangle rectangle **OBI**, on a **OB** = 0,30 m, angle ∠BOI = 45° (car **OI** est sur **OA** qui forme 45° avec **OB**). Donc **OI** = OB / cos45° = 0,30 / 0,707 ≈ 0,424 m. 5. Vitesse angulaire : ω = v_b / IB. On calcule **IB** = √(OI² + OB² – 2·OI·OB·cos45°) … mais plus simplement, dans le triangle rectangle, **IB** = OB·tan45° = 0,30 m. Donc ω = 0,20 / 0,30 = 0,667 rad/s (sens trigonométrique car **v_b** pointe vers la droite et **IB** est dirigé vers le haut‑gauche). 6. Vitesse du crochet **A** : **vₐ** = ω·IA, avec IA = OA – OI = 0,80 – 0,424 = 0,376 m. Donc **vₐ** = 0,667 × 0,376 ≈ 0,251 m/s. La direction est obtenue en tournant **IA** de +90° (sens trigonométrique) : **vₐ** est donc perpendiculaire à **OA**, dirigé vers le haut‑gauche. > **> Résultat** : Le crochet de la grue se déplace à 0,251 m/s suivant une trajectoire tangentielle au bras, ce qui permet de vérifier que la charge levée ne dépasse pas la vitesse limite de sécurité (0,3 m/s) prescrite par le règlement camerounais des engins de levage (arrêté n° 2015/012/MINTP). --- ## III. Leçon 11 : Cinématique graphique – Méthode de composition de mouvement ### A. Principe de composition Le mouvement d’un point peut être considéré comme la somme de deux mouvements élémentaires : une translation **T** et une rotation **R** autour d’un pôle. Si **vₜ** est la vitesse de translation du pôle et **ω** la vitesse angulaire de la rotation, alors la vitesse absolue du point **M** est : \[ \mathbf{v}_M = \mathbf{v}_T + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{PM} \] où **P** est le pôle de rotation (souvent choisi comme le point auquel on applique la translation connue). > **> Règle** : La composition se fait graphiquement par le parallélogramme des vitesses : on place **vₜ** à l’origine, puis on ajoute le vecteur de rotation **ω × PM** construit à partir de **PM** (longueur = ω·PM, direction obtenue par rotation de +90° de **PM** si ω>0). ### B. Construction graphique pas à pas 1. Choisir un pôle **P** (souvent un point dont la vitesse de translation est connue ou nulle). 2. Représenter le vecteur de translation **vₜ** (échelle choisie). 3. Déterminer le vecteur **PM** du pôle au point d’intérêt **M**. 4. Construire le vecteur de rotation **vᵣ** = ω × PM : - Sa longueur = ω·PM (ω en rad/s, PM en m). - Sa direction = **PM** tournée de +90° si ω>0 (sens trigonométrique), –90° sinon. 5. Compléter le parallélogramme : placer **vᵣ** à l’extrémité de **vₜ** (ou inverser l’ordre). 6. La diagonale du parallélogramme issue de l’origine représente **vₘ**. ### C. Exemple professionnel : convoyeur à bande avec guidage latéral (usine de transformation du cacao à Yaoundé) Un convoyeur transporte des sacs de cacao à vitesse constante **v_c** = 1,2 m/s le long de son axe **X**. Un dispositif de guidage latéral fait osciller une barre **AB** autour d’un pivot **A** fixé au châssis, avec une vitesse angulaire ω = 2,0 rad/s (sens trigonométrique). On veut connaître la vitesse du point **B** situé à l’extrémité de la barre, afin de régler la fréquence du moteur d’entraînement du guidage. Données : - Longueur AB = 0,25 m. - Le pivot **A** est solidaire du châssis, donc sa vitesse de translation est nulle (**vₜₐ** = 0). - La translation du convoyeur entraîne le point **A** à la vitesse **v_c** suivant **X** (puisque le châssis se déplace avec la bande). Donc on prend le pôle **P** = **A** et **vₜ** = **v_c** = 1,2 m/s suivant **X**. - ω = 2,0 rad/s (trigonométrique). **Étapes :** 1. Vecteur translation **vₜ** = 1,2 m/s suivant **X** (dessiné horizontalement vers la droite). 2. Vecteur **PA** = nul (puisque P=A). Donc on considère directement le point **M** = **B** avec **PB** = **AB** = 0,25 m suivant la barre qui forme un angle de 30° avec l’horizontale (déduit du schéma d’installation). 3. Longueur du vecteur rotation : ‖vᵣ‖ = ω·PB = 2,0 × 0,25 = 0,50 m/s. 4. Direction de **vᵣ** : on tourne **PB** de +90° (sens trigonométrique). Si **PB** fait 30° au-dessus de l’horizontale, **+90°** donne 120° par rapport à l’horizontale, soit un vecteur dirigé vers le haut‑gauche faisant un angle de 30° avec la verticale. 5. Construction du parallélogramme : placer **vᵣ** à l’extrémité de **vₜ** (ou l’inverse). 6. Résultant **v_b** : on mesure graphiquement (ou analytiquement) : - Composante X : vₜₓ + vᵣₓ = 1,2 + (‑0,50·cos30°) = 1,2 – 0,433 = 0,767 m/s. - Composante Y : 0 + vᵣᵧ = 0 + (0,50·sin30°) = 0,25 m/s (vers le haut). - Module : √(0,767² + 0,25²) ≈ 0,806 m/s. - Direction : arctan(0,25/0,767) ≈ 18° au-dessus de l’horizontale. > **> Résultat** : Le point **B** se déplace à 0,81 m/s suivant une direction faisant 18° avec l’axe du convoyeur. Cette vitesse doit rester inférieure à la limite d’usure du guidage (1,0 m/s) ; le réglage est donc conforme. --- ## Synthèse du chapitre - **Double équiprojectivité** : méthode pour reporter une vitesse connue d’un point d’une barre à un autre point de la même barre grâce à un facteur d’échelle λ = distance inconnue / distance connue. - **Centre instantané de rotation (CIR)** : point auquel la vitesse nulle permet d’exprimer la vitesse de tout point du solide par **v = ω × IM**. On le trouve comme intersection des droites perpendiculaires aux vitesses de deux points connus. - **Composition de mouvement** : vitesse absolue = vitesse de translation du pôle + vitesse de rotation (**ω × PM**). Construction graphique par parallélogramme des vitesses. - **Applications professionnelles** : moteurs d’essuie‑glace, bras de levage de grue, convoyeurs à bande avec guidage latéral – typiques des ateliers mécaniques, chantiers de BTP et industries agroalimentaires au Cameroun. - **Sécurité** : vérifier que les vitesses obtenues restent en dessous des seuils prescrits par les règlements camerounais (levage, transport, machines). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Cinématique graphique | Ensemble de méthodes permettant de déterminer vitesses et accélérations par des constructions géométriques à l’échelle. | | Double équiprojectivité | Relation de proportionnalité entre les vitesses de deux points d’une même barre, utilisée pour reporter une vitesse connue. | | Centre instantané de rotation (CIR) | Point d’un solide en mouvement plan ayant une vitesse nulle à l’instant considéré ; sert de pôle de rotation instantanée. | | Vitesse angulaire (ω) | Taux de variation de l’angle parcouru par un solide tournant, exprimé en rad·s⁻¹. | | Translation | Mouvement où tous les points d’un solide décrivent des trajectoires parallèles et égales ; vecteur de vitesse commun. | | Composition de mouvement | Principe selon lequel le mouvement d’un point est la somme vectorielle d’une translation et d’une rotation. | | Parallélogramme des vitesses | Construction graphique permettant d’obtenir la résultante de deux vecteurs vitesse (translation + rotation). | | Pôle | Point choisi comme référence pour décomposer un mouvement en translation autour de ce point et rotation autour de ce même point. | | Facteur d’échelle (λ) | Rapport des distances utilisé dans la double équiprojectivité pour mettre à l’échelle la vitesse connue. | | Vitesse absolue | Vitesse d’un point référencée au référentiel fixe (sol). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Mécanisme de commande d’une porte de garage (atelier de métallerie à Douala) Une porte sectionnelle est actionnée par un bras articulé **OA** (longueur 0,40 m) tournant autour d’un pivot fixe **O**. Le vérin hydraulique impose une vitesse connue du point **A** égale à **vₐ** = 0,30 m/s dirigé verticalement vers le haut. Déterminer la vitesse du point **B** situé à l’extrémité du bras (OB = 0,60 m, angle ∠AOB = 50°). **Corrigé** 1. Le point **O** est fixe → **vₒ** = 0. 2. On cherche le CIR du bras **OA** : comme **vₒ** = 0, le CIR se trouve sur la droite passant par **O** et perpendiculaire à **vₒ** → toute droite passant par **O** convient ; on utilise le point **A**. 3. Au point **A**, tracer la droite perpendiculaire à **vₐ** (vecteur vertical) → une droite horizontale passant par **A**. 4. L’intersection de cette droite horizontale avec la droite **OA** donne le CIR **I** situé sur **OA** tel que **OI** soit la projection de **OA** sur l’horizontale. - **OA** = 0,40 m, angle ∠AOB = 50° (donc **OA** fait 50° avec **OB**, mais on a besoin de l’angle avec l’horizontale ; supposons que **OA** soit incliné de 30° au-dessus de l’horizontale – valeur donnée par le schéma). - La projection horizontale de **OA** est **OI** = OA·cos30° = 0,40·0,866 = 0,346 m. 5. Vitesse angulaire : ω = vₐ / IA, où IA = OA – OI = 0,40 – 0,346 = 0,054 m. Donc ω = 0,30 / 0,054 ≈ 5,56 rad/s (sens trigonométrique car **vₐ** pointe vers le haut et **IA** pointe vers la gauche‑bas). 6. Vitesse du point **B** : **v_b** = ω·IB, avec IB = OB – OI = 0,60 – 0,346 = 0,254 m. Donc **v_b** = 5,56 × 0,254 ≈ 1,41 m/s. - Direction : on tourne **IB** de +90° (sens trigonométrique). Si **IB** fait 30° au-dessus de l’horizontale, **+90°** donne 120° → vecteur dirigé vers le haut‑gauche. > **> Réponse** : La vitesse du point **B** est d’environ **1,4 m/s** dirigée à 120° par rapport à l’horizontale (haut‑gauche). Cette valeur dépasse la vitesse limite de sécurité pour les portes de garage (1,0 m/s) ; il faut réduire la vitesse du vérin ou augmenter la longueur du bras. ### Exercice 2 – Bras de manipuleur d’une ligne d’assemblage (usine de textile à Garoua) Un bras de manipuleur comporte deux maillons : **AB** (0,30 m) et **BC** (0,25 m). Le maillon **AB** tourne autour du pivot fixe **A** avec ω₁ = 4,0 rad/s (sens trigonométrique). Le maillon **BC** tourne autour de **B** avec ω₂ = 2,5 rad/s (sens opposé, donc négatif). Déterminer la vitesse absolue du point **C**. **Corrigé** 1. Choisir le pôle **P** = **A**. La translation du pôle est nulle (**vₜ** = 0). 2. Vitesse du point **B** due à la rotation de **AB** : **v_b₁** = ω₁·AB = 4,0 × 0,30 = 1,20 m/s, direction obtenue en tournant **AB** de +90° (si **AB** est horizontal vers la droite, **v_b₁** est vertical vers le haut). 3. Vitesse du point **C** due à la rotation de **BC** autour de **B** : on considère d’abord la vitesse de **B** comme translation du pôle pour le second maillon. Donc on prend **vₜ** = **v_b₁** (1,20 m/s vers le haut). 4. Le vecteur **BC** a une longueur de 0,25 m et forme un angle de 45° avec l’horizontale (supposé du schéma). Sa vitesse de rotation : **vᵣ** = ω₂·BC = 2,5 × 0,25 = 0,625 m/s. Comme ω₂ est négatif (sens horaire), on tourne **BC** de –90° : si **BC** est à 45° au-dessus de l’horizontale, –90° donne –45° (soit 45° en dessous de l’horizontale, dirigé vers le bas‑droite). 5. Construction du parallélogramme : placer **vᵣ** à l’extrémité de **vₜ**. - Composantes : - **vₜ** : (0, 1,20) - **vᵣ** : 0,625·(cos –45°, sin –45°) = 0,625·(0,707, –0,707) = (0,442, –0,442) - Somme : **v_c** = (0+0,442, 1,20–0,442) = (0,442, 0,758) m/s. 6. Module : √(0,442² + 0,758²) ≈ 0,876 m/s. - Direction : arctan(0,758/0,442) ≈ 59,7° au-dessus de l’horizontale. > **> Réponse** : Le point **C** se déplace à **0,88 m/s** suivant une direction faisant environ 60° avec l’horizontale (haut‑droite). Cette vitesse est compatible avec la cadence de la ligne d’assemblage (≤ 1,0 m/s). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / sécurité | |----|------------------|-------------|--------------------------------| | 1 | Confondre le sens de rotation (trigonométrique vs horaire) lors de la construction de **vᵣ = ω × PM**. | Vitesse obtenue avec une direction opposée, leading to mauvais réglage de mécanismes (ex. vérin, bras). | Toujours vérifier le signe de ω : ω>0 → rotation trigonométrique (vecteur obtenu en tournant **PM** de +90°). ω<0 → rotation horaire (–90°). Utiliser la règle de la main droite comme aide-mémoire. | | 2 | Oublier de projeter la vitesse connue sur la bonne droite lorsqu’on applique la double équiprojectivité. | Facteur d’échelle λ erroné → vitesse du point recherché trop grande ou trop petite. | Tracer systématiquement la droite perpendiculaire à la vitesse connue, puis reporter la projection sur la direction de la barre concernée. Vérifier que le triangle formé est semblable. | | 3 | Placer le centre instantané de rotation en dehors du mécanisme lorsqu’il devrait être intérieur (ou inversement). | Le calcul de ω devient négatif ou non physique, entraînant des interprétations erronées des vitesses. | Se rappeler que le CIR peut être réel (articulation) ou virtuel ; il se trouve toujours à l’intersection des droites perpendiculaires aux vitesses de deux points connus. Si l’intersection se situe hors du mécanisme, accepter un CIR virtuel mais garder la même formule **v = ω × IM**. | | 4 | Négliger l’unité lors du calcul de ω·PM (oublier de convertir mm en m). | Résultat de vitesse erroné d’un facteur 10³, conduisant à des dépassements de vitesse non détectés. | Toujours travailler en unités SI (m, s, rad) avant d’appliquer les formules. Effectuer une vérification d’ordre de grandeur (ex. vitesse typique d’un vérin ≈ 0,1–0,5 m/s). | | 5 | Utiliser une échelle graphique trop petite, rendant les tracés imprécis. | Erreurs de lecture supérieures à 10 % sur les vitesses, inadmissibles pour l’examen. | Choisir une échelle permettant au moins 5 cm de représentation pour la plus petite longueur du mécanisme (ex. 1 cm = 10 mm). Utiliser une règle graduée à 0,5 mm et un compas de précision. | | 6 | Oublier de vérifier la compatibilité du résultat avec les normes de sécurité (vitesse limite, accélération admissible). | Risque de surcharge mécanique, d’usure prématurée ou d’accident en milieu professionnel. | Après chaque détermination de vitesse, comparer la valeur obtenue aux limites prescrites par les règlements camerounais (ex. arrêté n° 2015/012/MINTP pour les engins de levage, norme NF EN ISO 12100 pour les machines). Si dépassement, proposer une modification (réduction ω, augmentation bras, ajout de réducteur). | --- *Fin du cours.*