STATIQUE GRAPHIQUE (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir l’équilibre d’un système matériel soumis à trois forces concourantes. - Appliquer le théorème de Lami et la méthode du polygone des forces pour résoudre graphiquement un problème d’équilibre. - Construire un diagramme de Cremona à l’échelle choisie et en extraire les grandeurs inconnues (intensité, direction, point d’application). - Vérifier la solution obtenue par une approche analytique (somme des projections nulles). - Communiquer le résultat sous forme de schéma légendé, en respectant les normes de représentation technique utilisées en atelier ou sur chantier au Cameroun. **Prérequis nécessaires :** - Notions de vecteur (addition, décomposition, produit scalaire). - Concept de moment d’une force relativement à un point. - Maîtrise des unités du Système International (N, m, rad). - Lecture et tracé de plans à l’échelle (utilisation de la règle et du compas). --- ## Introduction contextualisée Dans les métiers de la construction métallique, de la chaudronnerie ou de la maintenance d’équipements industriels au Cameroun, il est fréquent de devoir vérifier que une pièce ou une assemblée reste en équilibre sous l’action de seulement trois forces (poids, réaction d’un appui, tension d’un câble, etc.). La résolution graphique offre une méthode rapide, intuitive et peu coûteuse lorsqu’on ne dispose pas d’un logiciel de calcul. Elle repose sur le principe selon lequel trois forces concourantes sont en équilibre si et seulement si elles peuvent être représentées par les côtés d’un triangle fermé lorsqu’on les place bout à bout. Cette approche, issue du théorème de Lami et du polygone des forces, constitue une compétence essentielle du baccalauréat technique séries F3 et sera mise en pratique lors d’activités d’intégration où l’élève devra analyser une structure réelle (par exemple une ferme de toit métallique) et produire un schéma de forces conforme aux normes de dessin industriel. --- ## I. Leçon 4 : Équilibre d’un système matériel : Résolution graphique soumis à trois forces ### 4.1 Principe fondamental > **Théorème de Lami** : Pour trois forces **F₁**, **F₂**, **F₃** concourantes et en équilibre, chaque force est proportionnelle au sinus de l’angle opposé : > $$\frac{F₁}{\sin\alpha₁}= \frac{F₂}{\sin\alpha₂}= \frac{F₃}{\sin\alpha₃}$$ > où αᵢ est l’angle formé par les deux autres forces. > **Polygone des forces** : Si l’on place les trois forces tête‑à‑queue, le polygone fermé (triangle) indique l’équilibre. Le vecteur résultant est nul. Ces deux énoncés sont équivalents et permettent de déterminer graphiquement une force inconnue lorsque les deux autres sont connues en intensité et direction. ### 4.2 Méthode graphique pas à pas 1. **Choix de l’échelle** : Déterminer une échelle de force (ex. 1 cm = 50 N) et une échelle de longueur pour le dessin (ex. 1 cm = 0,1 m). 2. **Repérage du point d’application** : Placer le point O où les trois forces concourent sur la feuille. 3. **Traitement de la première force connue** : Dessiner le vecteur **F₁** à partir de O, en respectant son angle et son intensité selon l’échelle. 4. **Ajout de la deuxième force connue** : À l’extrémité de **F₁**, tracer **F₂** avec son angle et son intensité. 5. **Fermeture du polygone** : Le troisième côté, allant de l’extrémité de **F₂** jusqu’au point O, représente **F₃** (inconnue). Sa longueur, mesurée sur l’échelle, donne son intensité ; son orientation donne sa direction. 6. **Vérification** : S’assurer que le polygone est bien fermé (erreur < 2 % sur la longueur du côté manquant). > **Règle de sécurité graphique** : Toujours vérifier que le tracé reste dans les limites de la feuille pour éviter les erreurs d’échelle dues à un report hors page. ### 4.3 Exemple chiffré entièrement résolu **Situation** : Une masse P = 300 N est suspendue au point O par deux câbles : un câble horizontal T₁ fixé à un mur vertical à droite de O, et un câble T₂ fixé au même mur à gauche de O, faisant un angle de 45° avec l’horizontale (vers le haut‑gauche). On cherche les intensités T₁ et T₂. **Données** : Angle du câble T₂ : θ = 45° (au-dessus de l’horizontale, côté gauche). **Étapes** : 1. **Choix de l’échelle** : 1 cm = 50 N pour les forces (on ne dessine pas la géométrie, donc seule échelle de force nécessaire). 2. **Forces connues** : Poids P = 300 N → 6 cm dirigé vers le bas (vertical). - Câble T₁ inconnu, direction horizontale vers la droite. - Câble T₂ inconnu, direction 45° vers le haut‑gauche. 3. **Construction** : - Depuis O, tracer **P** : 6 cm vers le bas. - À l’extrémité de **P**, tracer **T₂** : on ne connaît pas encore son intensité, donc on trace une demi‑droite à 135° (puisque 45° au-dessus de l’horizontale vers la gauche correspond à un angle de 135° mesuré depuis l’axe +x). - Depuis l’extrémité de cette demi‑droite, tracer **T₁** : on ne connaît pas son intensité, on trace une demi‑droite horizontale vers la droite (0°). - Le point de rencontre de cette dernière demi‑droite avec l’origine O ferme le triangle. 4. **Mesure** : - En reportant sur l’échelle, on mesure le côté opposé à P (c’est‑à‑té le côté représentant T₂) : il vaut 8,5 cm → T₂ = 8,5 × 50 = 425 N (arrondi). - Le côté opposé à T₂ (c’est‑à‑té le côté représentant T₁) mesure 6,0 cm → T₁ = 6,0 × 50 = 300 N. 5. **Vérification analytique** (somme des projections) : - ΣFₓ = T₁ – T₂·cos45° = 300 – 425·0,707 ≈ 300 – 300,5 ≈ –0,5 N ≈ 0. - ΣFᵧ = T₂·sin45° – P = 425·0,707 – 300 ≈ 300,5 – 300 = 0,5 N ≈ 0. - Les faibles écarts proviennent de l’arrondi du tracé ; en affinant l’échelle (1 cm = 48 N) on obtient T₂ ≈ 410 N, T₁ ≈ 290 N, donnant ΣF ≈ 0. > **À retenir** : La résolution graphique donne une première approximation ; le contrôle analytique permet de corriger les imprécisions liées à l’échelle et au tracé. ### 4.4 Limites et précautions - La méthode est valable uniquement pour des forces concourantes (elles passent par un même point). - Si les forces sont parallèles ou non concourantes, il faut d’abord réduire le système à un résultant et un couple avant d’appliquer le polygone. - En atelier, utiliser un papier à quadrillage ou un logiciel de DAO léger (ex. LibreCAD) pour améliorer la précision, mais rester capable de réaliser le tracé à la main pour l’examen. --- ## II. Activités d’intégration ### II.1 Mise en situation professionnelle **Contexte** : Une petite entreprise de couverture métallique à Yaoundé doit vérifier l’équilibre d’une ferme de toit composée de deux arêtes métalliques (AB et AC) réunies au faîte A et soutenues par un tirant métallique BC. Le poids propre de la ferme est négligeable ; la seule charge externe est la neige accumulée, modélisée par une force verticale P = 450 N appliquée au faîte A. **Objectif de l’activité** : Déterminer graphiquement les efforts dans les barres AB, AC et le tirant BC, puis vérifier le résultat par la méthode des nœuds (équations d’équilibre). ### II.2 Déroulement de l’activité 1. **Analyse du schéma** : Identifier le nœud A (convergence de trois forces : tension dans AB, tension dans AC, réaction du soutien verticale due à la charge P). En fait, la charge P agit en bas en A, donc on considère P comme force connue dirigée vers le bas. 2. **Choix de l’échelle** : 1 cm = 50 N (forces) ; 1 cm = 0,2 m (longueurs si l’on veut représenter les barres). 3. **Construction du polygone des forces au nœud A** : - Dessiner la force connue P (450 N → 9 cm verticalement vers le bas). - Incliner les demi‑droites représentant les inconnues T_AB et T_AC selon les angles connus (par exemple, AB fait 30° avec l’horizontale vers la droite, AC fait 150° avec l’horizontale, soit 30° au-dessus de l’horizontale vers la gauche). - Fermer le polygone pour obtenir les longueurs correspondant à T_AB et T_AC. 4. **Report des valeurs** : Mesurer les longueurs, convertir en newtons, indiquer le sens (tension ou compression) sur le schéma de la ferme (une flèche sortant du nœud indique tension, une flèche entrant indique compression). 5. **Détermination du tirant BC** : Passer au nœud B (ou C). On connaît désormais la force dans AB (ou AC) et la géométrie du tirant (horizontal). On construit le polygone des forces au nœud B avec les forces connues (composante de AB selon x, réaction du soutien si nécessaire) et l’inconnue T_BC. On ferme le polygone pour obtenir T_BC. 6. **Vérification par nœud C** : Utiliser les valeurs trouvées pour résoudre le nœud C (deux barres et le tirant) et s’assurer que la somme des forces est nulle. 7. **Rédaction du compte‑rendu** : Présenter le schéma de forces, le tableau des efforts, et une conclusion sur la conformité aux contraintes admissibles de l’acier utilisé (σ_adm = 160 MPa). > **Règle de sécurité professionnelle** : Toujours porter des lunettes de protection lors de la manipulation de pièces métalliques lors de la vérification réelle sur chantier. ### II.3 Bilan de compétences mobilisées - **Lecture et interprétation** d’un plan de structure métallique. - **Application** du théorème de Lami et du polygone des forces. - **Maîtrise** des échelles graphiques et du contrôle analytique. - **Communication** technique : schéma légendé, tableau d’efforts, rédaction d’un bref rapport. - **Respect** des normes de représentation (ligne continue pour les forces connues, ligne pointillée pour les inconnues, flèches indiquant le sens). --- ## Synthèse du chapitre - **Équilibre à trois forces** : résultant nul ⇔ les trois forces peuvent former un triangle fermé lorsqu’elles sont placées tête‑à‑queue. - **Théorème de Lami** : relation de proportionnalité entre chaque force et le sinus de l’angle opposé. - **Méthode graphique** : choix d’échelle, tracé tête‑à‑queue, mesure du côté manquant, contrôle analytique. - **Étapes de résolution** : représenter les forces connues, incliner les demi‑droites des inconnues selon leurs directions, fermer le polygone, lire l’intensité et le sens. - **Vérification** : somme des projections nulles (ΣF_x = 0, ΣF_y = 0) ou somme des moments nulle selon le point choisi. - **Applications professionnelles** : analyse de fermes, poutres, câbles, tirants dans la construction métallique et la chaudronnerie au Cameroun. - **Outils** : règle, compas, rapporteur, papier à quadrillage, éventuellement logiciel de DAO léger pour le contrôle. - **Précautions** : vérifier la concourance, respecter les échelles, porter les EPI lors de la manipulation réelle. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Force concourante** | Ensemble de forces dont les droites d’action passent par un même point. | | **Théorème de Lami** | Relation liant l’intensité de trois forces concourantes en équilibre aux sinus des angles opposés. | | **Polygone des forces** | Construction géométrique où l’on place les forces tête‑à‑queue ; le polygone fermé indique l’équilibre. | | **Échelle de force** | Rapport entre une longueur sur le dessin et une valeur de force (ex. 1 cm = 50 N). | | **Diagramme de Cremona** | Représentation graphique des efforts dans une structure, obtenu par le polygone des forces appliqué à chaque nœud. | | **Nœud** | Point de rencontre de plusieurs barres où les forces internes sont concourantes. | | **Tension** | Effort interne qui tire sur une barre, dirigé loin du nœud considéré. | | **Compression** | Effort interne qui pousse sur une barre, dirigé vers le nœud considéré. | | **Resultant** | Vecteur somme de plusieurs forces ; nul en cas d’équilibre. | | **Moment d’une force** | Produit de la force par le bras de levier perpendiculaire au point considéré. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Suspension par deux câbles Une plaque métallique de poids P = 600 N est suspendue au point O par deux câbles : le câble GA fait un angle de 30° avec l’horizontale vers la droite, le câble GB fait un angle de 30° avec l’horizontale vers la gauche (soit 150° mesuré depuis l’axe +x). Déterminer les tensions dans les deux câbles. **Corrigé** 1. **Choix de l’échelle** : 1 cm = 100 N. 2. **Forces connues** : Poids P = 600 N → 6 cm dirigé vers le bas (vertical). - Câble GA inconnu, direction 30° au-dessus de l’horizontale vers la droite. - Câble GB inconnu, direction 30° au-dessus de l’horizontale vers la gauche. 3. **Construction** : - Depuis O, tracer **P** : 6 cm vers le bas. - À l’extrémité de **P**, tracer **GA** : on ne connaît pas encore son intensité, donc on trace une demi‑droite à 30° (angle depuis l’axe +x). - Depuis l’extrémité de cette demi‑droite, tracer **GB** : on ne connaît pas son intensité, on trace une demi‑droite à 150° (angle depuis l’axe +x). - Le point de rencontre de cette dernière demi‑droite avec l’origine O ferme le triangle. 4. **Mesure** : - En reportant sur l’échelle, on mesure le côté opposé à P (c’est‑à‑té le côté représentant GA) : il vaut 6,0 cm → GA = 6,0 × 100 = 600 N. - Le côté opposé à GA (c’est‑à‑té le côté représentant GB) mesure également 6,0 cm → GB = 6,0 × 100 = 600 N. 5. **Vérification analytique** (somme des projections) : - ΣFₓ = GA·cos30° – GB·cos30° = 600·0,866 – 600·0,866 = 0. - ΣFᵧ = GA·sin30° + GB·sin30° – P = 600·0,5 + 600·0,5 – 600 = 300 + 300 – 600 = 0. 6. **Conclusion** : Les deux câbles sont en tension, chacun d’une intensité de 600 N. --- ### Exercice 2 – Ferme de toit symétrique Une ferme métallique symétrique comporte deux arêtes égales AB et AC de longueur 3 m chacune, formant un angle de 70° au sommet A. Le tirant BC est horizontal. Une charge de neige verticale P = 500 N est appliquée au sommet A. Déterminer les efforts dans les barres AB, AC et le tirant BC. **Corrigé** 1. **Choix de l’échelle** : 1 cm = 50 N (forces). 2. **Forces connues** : Poids P = 500 N → 10 cm dirigé vers le bas (vertical) au nœud A. - Barre AB inconnue, direction le long de l’arête AB (down‑left). - Barre AC inconnue, direction le long de l’arête AC (down‑right). 3. **Construction du polygone des forces au nœud A** : - Depuis O, tracer **P** : 10 cm vers le bas. - À l’extrémité de **P**, tracer une demi‑droite suivant la direction de AB (angle –125° depuis l’axe +x, soit 30° sous l’horizontale vers la gauche). - Depuis l’extrémité de cette demi‑droite, tracer une demi‑droite suivant la direction de AC (angle –55° depuis l’axe +x, soit 30° sous l’horizontale vers la droite). - Le point de rencontre de cette dernière demi‑droite avec l’origine O ferme le triangle. 4. **Mesure** : - En reportant sur l’échelle, on mesure le côté opposé à P (c’est‑à‑té le côté représentant AB) : il vaut 6,1 cm → AB = 6,1 × 50 = 305 N. - Le côté opposé à la demi‑droite AB (c’est‑à‑té le côté représentant AC) mesure également 6,1 cm → AC = 6,1 × 50 = 305 N. - Le côté restant (c’est‑à‑té le côté représentant la réaction du soutien si l’on considérait un autre nœud) n’est pas nécessaire ici. 5. **Détermination du tirant BC** : - Au nœud B, on connaît la force dans AB (compression de 305 N dirigée du nœud B vers le nœud A, donc le long de BA, angle +55° depuis l’axe +x). - On construit le polygone des forces au nœud B avec : * la réaction verticale du soutien R_B (inconnue, dirigée vers le haut), * la force dans AB (décomposée en composantes : x = 305·cos55° = 175 N vers la droite, y = 305·sin55° = 250 N vers le haut), * la force inconnue dans le tirant BC (horizontale, dirigée vers la droite si tension, vers la gauche si compression). - En imposant ΣFₓ = 0 : 175 N + F_BC = 0 → F_BC = –175 N (le signe négatif indique une force dirigée vers la gauche, donc le tirant est en compression de 175 N). - En imposant ΣFᵧ = 0 : 250 N + R_B = 0 → R_B = –250 N (le soutien exerce une réaction verticale vers le haut de 250 N, le signe négatif venant de notre convention). - Par symétrie, le même raisonnement au nœud C donne une compression de 175 N dans le tirant BC. - En réalité, le tirant BC est en **tension** : l’erreur de signe provient de la convention de direction des composantes. En reprenant l’équilibre global, on trouve que les réactions verticales aux appuis B et C sont chacune de 250 N vers le haut, et que le tirant BC subit une tension de 175 N. 6. **Vérification analytique** (somme des projections au nœud A) : - ΣFₓ = AB·cos55° – AC·cos55° = 305·0,574 – 305·0,574 = 0. - ΣFᵧ = AB·sin55° + AC·sin55° – P = 305·0,819 + 305·0,819 – 500 ≈ 250 + 250 – 500 = 0. 7. **Conclusion** : Les arêtes AB et AC sont chacune en compression d’environ 305 N ; le tirant BC est en tension d’environ 175 N. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / correction | |----|------------------|-------------|----------------------------------| | 1 | **Oublier de vérifier la concourance** des trois forces avant d’appliquer le polygone. | Résultat faux car le théorème ne s’applique pas. | Toujours représenter les droites d’action et confirmer qu’elles se rencontrent en un même point ; sinon, réduire le système à un résultant et un couple. | | 2 | **Mauvaise choix d’échelle** (trop grande ou trop petite) entraînant un tracé hors de la feuille ou une lecture imprécise. | Erreurs de mesure >10 % et difficulté à fermer le polygone. | Choisir une échelle telle que la plus grande force tienne entre 5 et 15 cm sur la feuille ; tester avec un tracé préliminaire. | | 3 | **Confondre tension et compression** en interprétant le sens de la flèche du côté manquant. | Signature d’effort inverse, risque de sous‑dimensionnement. | Se rappeler que la flèche du côté manquant pointe du nœud considéré vers l’extérieur si c’est une tension, vers l’intérieur si c’est une compression. | | 4 | **Négliger le contrôle analytique** après le tracé graphique. | Acceptation d’une solution erronée due à l’imprécision du dessin. | Toujours vérifier ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 (ou ΣM = 0) avec les valeurs obtenues ; ajuster l’échelle si nécessaire. | | 5 | **Utiliser une règle graduée en pouces** alors que les exercices exigent le Système International. | Conversion erronée, non conformité aux normes du examen. | Utiliser exclusivement une règle métrique (cm, mm) ; noter l’échelle en unités SI. | | 6 | **Ne pas porter d’EPI** lors de la manipulation réelle de pièces métalliques en atelier (ex. lors de la vérification d’une ferme sur chantier). | Risque de coupure, de projection de particules. | Porter lunettes de protection, gants anti‑coupure et chaussures de sécurité avant toute manipulation physique. |